微积分基本定理ppt课件

y
ti 1
y
tt
S lim n
yvbti1 t
i 1
n
lim n
y' ti1 t
i 1
b
b
v t ydat
a
y' t dt
a
b
S y't dt yb ya a
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a f (x)dx F(b) F(a)
A4
定积分的简单性质
(1)
b
kf (x)dx k
b
f (x)dx
(k为常数)
a
a
b
b
b
(2) a [f1(x) f2 (x)]dx a f1(x)dx a f2 (x)dx
b
c
b
(3)a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx (a<c<b)
题型1：定积分的简单性质的应用
律S＝S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意 时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段 〔a，b〕内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t) 来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在 联系吗？
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为
v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定
i 1
i 1
Si f (i )x
n
且有，lim n0 i1
f (i )(b a) / n
A(常数）
则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)
记作
b
f (x)dx
a
即A
b
n
f ( x)dx lim
a
n 0 i 1
f (i（ ) b - a) / n
积分上限
积分和
即A
[a,b]上的增量s(b)–s(a).
如图：一个作变S 速直 yb线运动y的a物体的运动规律是y yt,由导数
的概念可知，它S 在 任S意1 时刻St2的速度为vSity't,设Sn这个物体在
时间
段a,
b内的位S 移为vS，t 你能t 分 别y'
i
i 1
用t yt i 1
,
vtt表 b示nSa吗y'？ti1
b
n
f (x)dx lim
a
n0 i1
f (i（) b - a) / n
积分下限
被
被积
积 函 数
积 表 达 式
分 变
[a,b] 积分区间
量
复习：2、定积分的几何意义是什么？
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
b
定积分 f (x)dx 就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。 a
函数 f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数 在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把
计算定积分归结为求原函数的问题。
b a
f
(x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分
找出f(x)的原 函数是关键
112
1dx x
213 2xdx
解（１） ln x' 1
点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以 把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差
题型2：定积分的几何意义的应用
问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。
1、3 4dx＝？ 1
8
2、a xdx＝？ 0
1 a2 2
3、3 9 x2 dx＝？ 9
0
4
问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz
Formula).
或记作
b
a
f
( x)dx
F(x)
b a
F(b)
F (a).
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便 的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积
复习：1、定积分是怎样定义？
设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间[a,b]等分成n个小区间，
在每个小区间 [xi1, xi ] 任取i [xi1, xi ]
n
n
做和式： f (i )x f (i )(b a) / n.
S1
S3
S2
b
2、定积分 f (x)dx 的数值在几何上都可以用曲边梯
形面积的代数a 和来表示。
b a
f
( x)dx
S1
S2
S3
说明：
f ( x) 0,
b
a
f
( x)dx
A
曲边梯形的面积
f ( x) 0,
b
a
f
(
x)dx
A
曲边梯形的面积的负值
A1
A2
A3Leabharlann Baidu
A4
b
a
f
( x)dx
A1
A2
A3
1、化简 1 f (x)dx
2
f (x)dx
3
f (x)dx
2008
f (x)dx
0
1
2
2007
2、已知，3 dx 3, 3 xdx 9, 3 x2dx 9, 3 x3dx 81
0
0
20
0
4
求：
（1）（ 3 4x3 3x2 6x 8)dx ? 0 (2) 3 (8x3 21x2 12x 15)dx ? 0
a
n1 a
例２．计算定积分
3 3 x 2 1 dx
1
x2
解:
x3
'
3x2 , 1 ' x
1 x2
原式
3
3x2dx
31 dx
3
3x2dx
3 1 dx
1
x 1
2
1
1 x2
x3
3 1
1 x
3 1
33
13
1 3
x
2 1
1 dx x
ln
x
2 1
ln 2
ln 1
ln 2
公 式1：ab
1dx x
ln
x
b a
ln
b
ln a
213
2 xdx
x2
3 1
32
12
8
练习1:
1
1
1d
x
__1__
0
1
21xdx _2___
0
1
3
1
x3dx
_4___
0
4
2
x3dx
15
_4___
1
公式2：b x ndx x n1 b
B
探究新知： y
y yt hn Sn
yb S
M
hi
Si
M
h2
S2
ya
A
h1
S1
O
aa( t0 ) t1 t2L ti1 ti L tn1 bb( tn ) t
S yb ya
S
Si
S1 S2
vti1 t
Si
y' ti1 t
b
Si
hi
n
tanDPC
ayS' nt
n
i
1
t y'
积分表示为
s
b
a
v(t
)dt.
另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直
线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体
的位移为s(b)–s(a)，
所以又有
b
a
v(t
)dt
s(b) s(a).
由于s'(t) v(t)，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，
定积分abv(t)dt 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间