12至17年全国2卷考点分布(立体几何)

一、近六年新课标二卷高考立体几何题考点比较

1

2

3

4

5

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的

是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）

()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18

【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11

633932

V =⨯⨯⨯⨯=

（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，

SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）

()

A 6 ()B

()C

3 ()

D 2

【解析】选A

ABC ∆

的外接圆的半径3

r =

O 到面ABC

的距离3d ==

SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC

的距离为23

d =

此棱锥的体积为11233436

ABC V S d ∆=

⨯=⨯=

6

另：123ABC V S R ∆<

⨯=排除,,B C D

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==

， D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1

（1）证明：BC DC ⊥1

（2）求二面角11C BD A --的大小。 【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒

∠=

同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=

得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥

取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H

111111

A C

B

C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A B

D 1C O ⇒⊥面1A BD

7

1

O H B D

C H B

D ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合

且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角 设AC a =

，则12

C O =

，111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒

【2013】

（4）已知m , n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β . 直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊂ /α，l ⊂ /β, 则：

（A ）α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β

（C ）α与β 相交，且交线垂直于l （D ）α与β 相交，且交线平行于l 答案：D

【解】显然α与β 相交，不然α∥β 时⇒ m ∥n 与m , n 为异面矛盾. α与β 相交时，易知交线平行于l .

（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O -xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1)，(1, 1, 0），(0, 1, 1），(0, 0, 0)，画该四面体三视图中的正视图时，以z O x 平面为投影面，则得到正视图可以为

(A) (B) (C) (D)

8

9

【2014】

6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）

A. 17

27 B.

5

9 C.

10

27

D. 13

（6）C

11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为（）

A. 110

B. 25

C.

D.

10

11

（11）C

18. （本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，

，求三棱锥E-ACD 的体积.

（18）解：

（I ）连接BD 交AC 于点O,连结EO 。

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点。 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB 。

EO ⊂平面AEC,PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.

（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB,AD,AP 两两垂直。

如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，

则

(,0),

D 1

(0,

),22

E 1(0,

)22AE =. 设(,0,0)(0)b m

m ，则(

c m (AC m =。

12

设1(,,)n x y z =为平面ACE 的法向量，

则110,0,n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

即0,

1

0,2

mx y z ⎧+=+=，

可取1n m

=-。 又2(1,0,0)n =为平面DAE 的法向量，

由题设121

cos ,2

n n =

，即

12=，解得3

2

m =

。 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为1

2

. 三菱锥E ACD -的体积

11313

32228

V =⨯⨯⨯=. 2015

【2015】