[数学]专题一 函数、导数与不等式
2005—2012年湖北高考试题分解 专题一 函数 导数 不等式(教师版)
专题一 函数、导数、不等式(2005-2012湖北高考理科试题汇编)2005年高考试题（理科）4. 函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是 B6.在y =2x,x=log 2x ,y =x 2,y =cos 2x 这四个数中，当0<x 1<x 2<1时，使)(221x x +>2)()(21x f x f +恒成立的函数的个数是 BA.0B.1C.2D.3 9.若0<x <2π,则2x 与3sin x 的大小关系：D A.2x >3sin x B.2x <3sin x C.2x =3sin x D.与x 的取值有关16.某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件下，最少要花费____________元. 500 17.(本小题满分12分)已知向量a =(x 2,x +1),b =(1-x ,t ).若函数f (x )=a ·b 在区间(-1,1)上是增函数，求t 取值范围. 17.本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用函数的性质分析和解决问题的能力.解法1:依定义f (x )=x 2(1-x )+t (x +1)=-x 3+x 2+tx +t , 则f ′(x )=-3 x 2+2x +t .若f (x )在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f ′(x )≥0. ∴f ′(x ) ≥0⇔t ≥3x 2-2x ,由于g (x )的图象是对称轴为x =31,开口向上的抛物线，故要使t≥5时，f ′(x )在(-1,1)上成立⇔t ≥g(-1),即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(-1,1)上满足f ′(x )>0,即f (x )在（-1,1）上是增函数. 故t 的取值范围是t ≥5.解法2:依定义f (x )=x 2(1-x )+t (x +1)=-x 3+x 2+tx+t , f ′(x )=-3x 2+2x +t .若f (x )在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f ′(x )≥0. ∵f ′(x )的图象是开口向下的抛物线,∴当且仅当f ′(1)=t -1≥0,且f ′(-1)=t -5≥0时，f ′(x )在（-1,1）上满足f ′(x ) >0,即f (x )在（-1,1）上是增函数. 故t 的取值范围是t ≥5.2006年高考试题（理科） 4．设2()lg2x f x x+=-，则2()()2x f f x+的定义域为 ( B )A ．(4,0)(0,4)-B ．(4,1)(1,4)--C ．(2,1)(1,2)--D ．(4,2)(2,4)-- 10．关于x 的方程222(1)10x x k ---+=，给出下列四个命题： ( A )①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根； 其中假．命题的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 17．（本小题满分13分）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
高考数学二轮复习不等式
(2)(2022·新高考全国Ⅱ改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确 的是__②__③____.(填序号) ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1.
由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3x＋2 y2， 解得－2≤x＋y≤2， 当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2， 当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以①错误，②正确； 由x2＋y2－xy＝1可变形为x2＋y2－1＝xy≤x2＋2 y2， 解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以③正确； x2＋y2－xy＝1 可变形为x－2y2＋34y2＝1，
考点二
线性规划
核心提炼
1.截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转
化为y＝－abx＋bz
(b≠0)，通过求直线的截距
z b
的最值间接求出z的最值.
2.距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z
＝|PM|2. 3.斜率型：形如z＝yx－ －ba (x≠a)，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
作出不等式组2x－3y－6≤0， x＋2y＋2≥0
表示的平面区域如图
中阴影部分(包括边界)所示，
函数z＝(x＋1)2＋(y＋2)2表示可行域内
的点与点(－1，－2)的距离的平方. 由图知， z＝ x＋12＋y＋22的最小值为点(－1，－2)到直线 x＋2y
＋2＝0 的距离，
即|－1－4＋2|＝3 5
C.[－1，3]
D.[－3，1]
作出约束条件的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，
其中 A(1，0)，B(0，1)，C(2，3)，z＝22yx＋－11＝yx＋－1212， 表示定点 M12，－12与可行域内点(x，y)连线的斜率，
高考数学专题一 微专题12 隐零点问题
f(x)＝12x2－x＋asin x，则 f′(x)＝x－1＋acos x， ∴f′(π)＝π－1－a＝π－2，∴a＝1， 令φ(x)＝x－1＋cos x，则φ′(x)＝1－sin x≥0恒成立， ∴φ(x)是增函数，当x>0时，φ(x)>φ(0)＝0，即f′(x)>0恒成立， ∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(0)＝0， ∵λ≤f(x)恒成立，∴λ≤f(x)min＝0， ∴λ的取值范围是(－∞，0].
当a＝1时，f(x)＋g(x)＝bx＋ln x－xex，
由题意 b≤ex－lnxx－1x在(0，＋∞)上恒成立，
令 h(x)＝ex－lnxx－1x，
则
1－ln h′(x)＝ex－ x2
x＋x12＝x2ex＋x2 ln
x ，
令 u(x)＝x2ex＋ln x，则 u′(x)＝(x2＋2x)ex＋1x>0，所以 u(x)在(0，＋∞)
专题一 函数与导数
微专题12
隐零点问题
考情分析
隐零点问题是指一个函数的零点存在但无法直接求解出来.在 函数、不等式与导数的综合题目中常会遇到隐零点问题，一般 对函数的零点设而不求，借助整体代换和过渡，再结合题目条 件，利用函数的性质巧妙求解.一般难度较大.
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
当 x0∈e12，＋∞时，h(x0)min＝h(e)＝－e， 综上，当x0∈(0，＋∞)时，h(x0)min＝h(e)＝－e， 得b≥－e. 故b的取值范围是[－e，＋∞).
考点三 与三角函数有关的“隐零点”问题
典例3 (2023·东北师大附中模拟)已知f(x)＝12x2－x＋asin x. (1)若在x＝π处的切线的斜率是π－2，求当λ≤f(x)在[0，＋∞)恒成立时的λ
2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第5讲基本不等式的综合问题(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第5讲 基本不等式的综合问题利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．例1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x >0，y >0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 答案 (1)233 (2)324(3)3 解析 (1)由(x ＋y )2＝xy ＋1，得(x ＋y )2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22 ≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号， 故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.例2 记max{a ，b }为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y的最小值为________．答案 10解析 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y ， ∴2t ≥x 2＋25y x －y， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25y x －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25yx －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1B ．6C ．9D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝aa －1>0，解得a >1.同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x <52 的最大值是________．答案 2 2解析 y 2＝(2x －1＋5－2x )2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x )＝8，又y >0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 答案 4解析 因为a >0，b >0，ab ＝1， 所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b＝a ＋b2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4， 当且仅当a ＋b2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b 且a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．。
高三数学专题之函数
数学专题之函数、导数、不等式1. 设函数)(,121)(x g xxx f 若+-=的图象与)1(1+=-x f y 的图象关于直线x y =对称；那么)2(g 值等于 B（A ）－1 （B ）－2 （C ）54- （D ）52-2. 一元二次方程2210,(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：CA ．0a <B ．0a >C ．1a <-D ．1a >3. 已知23)1(3)(2+⋅+-=x x k x f ；当∈x R 时；)(x f 恒为正值；则k 的取值范围是 （ B ）)(A )1,(--∞ )(B )122,(--∞ )(C )122,1(-- )(D )122,122(---4. 方程1+=ax x 有一个负根且无正根；则a 的取值范围是 （ D ）)(A 1->a )(B 1=a )(C a ≤1 )(D a ≥15.x x 42--≤a x -+134的解集是]0,4[-；则a 的取值范围是 （ A ）)(A ]5,(--∞ )(B ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,35 )(C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞--∞,35]5,( )(D )0,(-∞6. 已知映射f ：A →B ；其中A=B=R ；对应法则为f ：x →y=x 2+2x+3；若对实数k ∈B ；在集合A中不存在原象；则k 的取值范围是BA 、(－∞；0)B 、(－∞；2)C 、(2；+∞)D 、(3；+∞) 7. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数；且f(x)=－f(x+2)；当0≤x ≤1时；2)(xx f =；那么使21)(-=x f 成立的x 的值为DA 、2n （n ∈Z ）B 、2n －1（n ∈Z ）C 、4n+1（n ∈Z ）D 、4n －1（n ∈Z ） 8. 若不等式21--+x x ＞a 在R x ∈上有解,则a 的取值范围是（ B ） A ． ()3,3- B . ()3,∞- C ． (]3,3- D ．()3,-∞-9. 已知)12(+=x f y 是偶函数；则函数)2(x f y =的图象的对称轴是（ D ） A ．1=x B ．2=x C ．21-=x D ．21=x 10. 已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()f x f x +=-且x ∈[－1；1]时；()f x x =；则方程()||f x 5log ||x =解的个数是C ：A ．4 B. 6 C.8 D. 1011. 已知多项式16x 4+32x 3+24x 2+8x+1能被5整除；则满足条件的最小自然数x 的值为（ C ） A. 7 B. 4 C. 2 D. 112. 一个棱锥被平行于底面的截面截成一个小棱锥和一个棱台（用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥；底面和截面之间的部分叫棱台）；若小棱锥的体积为y ；棱台的体积为x ；则y 关于x 的函数图象大致形状为（C ）。
专题一 第5讲 导数与不等式的证明
可得h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)＝x－1－ln x≥h(1)＝0，即x－1≥ln x.
于是，当a≤1时，ex－a≥x－a＋1≥x＋a－1≥ln(x＋a)， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为x＝a，a＝1，x＋a＝1，它 们无法同时取等， 所以当a≤1时，ex－a>ln(x＋a)，即f(x)>0.
12
当a＝e时，f(x)＝ln(e－x)－x＋e，
要证 f(e－x)<ex＋2xe，即证 ln x＋x<ex＋2xe，即证lnxx＋1<exx＋21e.
设
g(x)＝lnx
x＋1(x>0)，则
1－ln g′(x)＝ x2
x ，
所以当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
当t∈(0,1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减， 假设g(1)能取到， 则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增， 假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0，
x＋ln1－x 综上所述，g(x)＝ xln1－x <1 在 x∈(－∞，0)∪(0,1)上恒成立.
方法二 f(x)＝ln ex＝1－ln x. 欲证 f(x)<1＋1x－x2ex，只需证1－elxn x＋x2－1x<1，
因为x∈(0,1)，所以1－ln x>0，ex>e0＝1，
则只需证 1－ln x＋x2－1x<1， 只需证 ln x－x2＋1x>0， 令 t(x)＝ln x－x2＋1x，x∈(0,1)，
高三数学二轮复习重点
高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。
这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。
一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。
不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。
当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。
专题二：数列。
以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。
专题三：三角函数，平面向量，解三角形。
三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。
向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。
专题四：立体几何。
立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。
大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。
另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。
空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。
专题五：解析几何。
专题一函数与导数、方程与不等式(一)
例 ２ （ ２ ０ １ ２ 年 “北 约 ”试 题 ）试 求
√ ＋１ ｌ 一６、 ／ ／ ＋２＋ √ ＋２ ７ —１ ０￣ ／ ＋２
— １的 实 数 根 的 个数 ．
解 析 求 解 本 题 的关 键 在 于 通 过 配
例 １ （ ２ ０ １ ２年 复 旦 大 学 千 分 考 试 题 ）
（ １ ） ｐ 厂 （ ） ＜ ０ ；
（ ２ ）方 程 ＿ 厂 （ ｚ ） ＝ ＝ ＝ ０ 在（ Ｏ ， １ ） 内一 定有 解． 解 析 （ １ ）由
下
（ １ ） ＜ ０即 可 ．
下 面用 反证 法 ： 假 设 （ ０ ） ≥ ０且 厂 （ １ ） ≥ ０ ， 则有 （ １ ） 厂 （ ０ ） 一ｒ ≥０ ， （ ２ ） ，（ １ ） 一Ｐ＋ｑ ＋ｒ ≥
若 ＋ｚ 一１ —０ ， 且Ｉ ｚ ｌ 一１ ， 求 复 数 ｚ的 值 ．
方， 褪 掉 二 重 根 号 ：√ ＋１ １ —６￣ ／ ｚ ＋２一
＋２ ） 一６、 解 析 因式分 解 ＋ｚ 一１ 一 ＋ 。 一 √（
（ 一 ＋ １ ） ＝ ＝ ＝ （ ｚ 一ｚ ＋１ ） （ ＋ 。 一１ ） 一０ ．
１ １例 ４设 二 次 函 数 厂 （ ） 一 ｚ ＋ ｇ ＋ ，
且 ＋ ＋ 一 ０ ， 已知 ＞ ０ ， 求证 ：
② 若 户 ＜ ０ ， 则－ 厂 （ ） ＞ ｏ ， 而 已 知
＞ｏ ， 则ｏ ＜ ＜１ ， 此 时要证 方 程 ． 厂 （ ５ ６ ） 一ｏ ｍ — ｒ １ 在（ ０ ， １ ） 内一 定 有 解 ， 只 要 证 ｆ（ ０ ） ＜ ０或
．
３ ｌ ＋
ｆ ｌ —１ ．
由 。 ＋ｚ 一１ —０ ， 先 将 其 中 的 １代 换 为
高考数学二轮复习专题
高考数学二轮复习专题汇总1专题一：集合、函数、导数与不等式。
此专题函数和导数以及应用导数知识解决函数问题是重点，特别要注重交汇问题的训练。
每年高考中导数所占的比重都非常大，一般情况是在客观题中考查导数的几何意义和导数的计算，属于容易题;二是在解答题中进行综合考查，主要考查用导数研究函数的性质，用函数的单调性证明不等式等，此题具有很高的综合性，并且与思想方法紧密结合。
2专题二：数列、推理与证明。
数列由旧高考中的压轴题变成了新高考中的中档题，主要考查等差等比数列的通项与求和，与不等式的简单综合问题是近年来的热门问题。
3专题三：三角函数、平面向量和解三角形。
平面向量和三角函数的图像与性质、恒等变换是重点。
近几年高考中三角函数内容的难度和比重有所降低，但仍保留一个选择题、一个填空题和一个解答题的题量，难度都不大，但是解三角形的内容应用性较强，将解三角形的知识与实际问题结合起来将是今后命题的一个热点。
平面向量具有几何与代数形式的“双重性”，是一个重要的知识交汇点，它与三角函数、解析几何都可以整合。
4专题四：立体几何。
注重几何体的三视图、空间点线面的关系及空间角的计算，用空间向量解决点线面的问题是重点。
5专题五：解析几何。
直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程的探求以及最值范围、定点定值、对称问题是命题的主旋律。
近几年高考中圆锥曲线问题具有两大特色：一是融“综合性、开放性、探索性”为一体;二是向量关系的引入、三角变换的渗透和导数工具的使用。
我们在注重基础的同时，要兼顾直线与圆锥曲线综合问题的强化训练，尤其是推理、运算变形能力的训练。
6专题六：概率与统计、算法与复数。
要求具有较高的阅读理解和分析问题、解决问题的能力。
高考对算法的考查集中在程序框图，主要通过数列求和、求积设计问题。
高考数学二轮复习策略1.加强思维训练，规范答题过程解题一定要非常规范，俗语说：“不怕难题不得分，就怕每题都扣分”，所以大家要形成良好的思维品质和学习习惯，务必将解题过程写得层次分明结构完整。
高考数学导数与不等式 导数方法证明不等式
探究点二 双变量不等式的证明
[思路点拨]首先求得导函数的解析式,然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性;解: f'(x)=1-ln x-1=-ln x,x∈(0,+∞).当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
[总结反思]待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,即若证明f(x)>g(x)在区间D上恒成立,则构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数h(x)的单调性,证明h(x)>0在区间D上恒成立.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 [2021·云南师大附中模拟] 已知函数f(x)=aex+b,若f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1.(1)求a,b的值;
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁丹东二模] 已知函数f(x)=ln(ax)-x+a.(2)当0<a≤1时,证明:f(x)≤(x-1)ex-a-x+a.
专题1：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(文)
专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合2{|1}M x x =<，2{|0}N x x x =-<，则集合M ，N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．已知()x f 是定义在R 上的奇函数，若()x f 的最小正周期为3，f (1)>0，f (2)=231m m -+，则m 的取值范围是 （ ）（A ）3(,)2-∞ （B ）3(,1)(1,)2-∞ （C ）3(1,)2- （D ）3(,1)(,)2-∞-+∞ 3．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 （ ） A.()sin f x x = B.()1f x x =-+ C.()1()2x x f x a a -=+ D.2()ln 2xf x x-=+ 4．下列结论：①命题“0,2>-∈∀x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∃x x R x ”；②当),1(+∞∈x 时，函数221,x y x y ==的图象都在直线x y =的上方； ③定义在R 上的奇函数()x f ，满足()()x f x f -=+2，则()6f 的值为0.④若函数()x x mx x f 2ln 2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为12m ≥.其中，正确结论的个数是 （ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 45．已知,,22,,xy c y x R y x ==+∈+那么c 的最大值为 ( )A ．1B ．21 C ．22 D ．41 6．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 （ ）A ．4x y --3=0B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 7．已知a 是使表达式2x +1>42-x 成立的最小整数，则方程1-|2x -1|=a x -1实数根的个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．38．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，则当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为 （ ）A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+xD ． 2)4(-x9．条件:2p a ≥-；条件:q 函数()3f x ax =+在区间[-1，2]上存在零点0x ，则p ⌝是q 的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件10．已知命题p ：(,0),23x x x ∃∈-∞<；命题q ：(0,),tan sin 2x x x π∀∈>，则下列命题为真命题的是（ ）A. p ∧qB. p ∨(﹁q)C. (﹁p)∧qD. p ∧(﹁q) 11．设Q P ,为两个非空实数集合，定义集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈-=⊕Q y P x y x Q P ,,2．{}5,2,0=P {}7,4,2=Q ，Q P ⊕中元素的个数是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．函数)(x f 在定义域R 内可导，若)1()1(x f x f +=-，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设)0(f a =，)21(f b =，)3(f c =，则（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题13．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=-),1(log )1,(2)(81x x x x f x ，则满足41)(=x f 的x 值是 ．14．函数y =x 2(x >0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k +1，k N *∈其中，若a 1=16，则a 1+a 3+a 5的值是_____ __．15．在平面直角坐标系中，若不等式组 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为___ __．16．已知偶函数()()y f x x R =∈在区间[1,0]-上单调递增，且满足(1)(1)0f x f x -++=，给出下列判断： （1）f (5)=0； （2）f (x )在[1,2]上减函数；（3）()x f 的图像关与直线1x =对称； （4）函数()x f 在0x =处取得最大值； （5）函数()y f x =没有最小值， 其中正确的序号是 ． 三、解答题17．命题P ：对数)572(log 2-+-t t a (a >0,a ≠1)有意义；Q ：关于实数t 的不等式2(3)(2)0t a t a -+++<. （1）若命题P 为真，求实数t 的取值范围；（2）若命题P 是命题Q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18．已知函数()x f =ln x -ax(a ∈R)． （1）当a ∈[-e ，-1]时，试讨论f (x )在[1，e ]上的单调性； （2）若()x f < x 在[1，+∞)上恒成立，试求a 的取值范围．19．已知函数()2x cf x ax b+=+为奇函数，()()13f f <，且不等式()302f x ≤≤的解集是[][]2,12,4--⋃．（1）求证：0)2(=f ； （2）求,,a b c 的值；（3）是否存在实数m 使不等式()232sin 2f m θ-+<-+对一切R θ∈成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．20．已知函数()x f =3213x ax b -+在x = -2处有极值． （Ⅰ）求函数()x f 的单调区间；（Ⅱ）若函数()x f 在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，求b 的取值范围．21．已知xxx g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈（Ⅰ）讨论1=a 时, ()x f 的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，1()()2f xg x >+; （Ⅲ）是否存在实数a ，使()x f 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.参考答案1．B. 2．C 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．A 10．C 11．B 12．D13． 3 14． 2115． 3 16．（1）（2）（4）17．解析：（1）由对数式有意义得，512t <<． （2）命题P 是命题q 的充分不必要条件 ∴512t <<是不等式2(3)(2)0t a t a -+++<解集的真子集．法一：因方程2(3)(2)0t a t a -+++=两根为1,2a +故只需522a +> 解得：12a >．法二：令2()(3)(2)f t t a t a =-+++，因5(1)0,()02f f =<故只需 解得：12a >． 18．【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，2221(),0a x af x x x x x+'=+=>显然 当-e≤a≤-1时，1≤-a≤e ，令f′(x)=0得x=-a ，于是当1≤x≤-a 时，f′(x)≤0， ∴f(x)在［1,-a ］上为减函数； 当-a≤x≤e 时，f′(x)≥0， ∴f(x)在［-a,e ］上为增函数.综上可知，当-e≤a≤-1时f(x)在［1,-a ］上为减函数，在［-a,e ］上为增函数． (2)由f(x)<x 得lnx-ax<x ． ∵x≥1， ∴a>xlnx-x 2． 令g(x)=xlnx-x 2，要使a>xlnx-x 2在［1,+∞)上恒成立，只需a>g(x)max ， g′(x)=lnx -2x+1，令φ(x)=lnx -2x+1，则φ′(x)=1x-2，∵x≥1,∴φ′(x)<0,∴φ(x)在［1,+∞)上单调递减， ∴φ(x)≤φ(1)=-1<0，因此g′(x)<0，故g(x)在［1,+∞)上单调递减，则g(x)≤g(1)=-1， ∴a 的取值范围是(-1,+∞). 19．解答：（1）⎩⎨⎧≤-≥0)2(0)2(f f ，)(x f 是奇函数得0)2(=f ． （2）4,0,2-===c b a ． （3）m 不存在．20．解析：（Ⅰ）2()2f x x ax '=- 由题意知: (2)440f a '-=+=,得a=-1， ∴2()2f x x x '=+，令()0f x '>，得x<-2或x>0, 令()0f x '<，得-2<x<0, ∴f(x)的单调递增区间是（-∞，-2）和（0，+∞），单调递减区间是（-2，0）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=3213x x b ++，f(-2)=43b +为函数f(x)极大值，f(0)=b 为极小值． ∵函数f(x)在区间[-3,3]上有且仅有一个零点，∴(3)0(0)0f f -≤⎧⎨>⎩或(3)0(2)0f f ≥⎧⎨-<⎩或(3)0(3)0f f ->⎧⎨<⎩或(2)0(3)0f f -=⎧⎨<⎩或(3)0(0)0f f ->⎧⎨=⎩，即180403b b +≥⎧⎪⎨+<⎪⎩ ， ∴4183b -≤<-，即b 的取值范围是4[18,)3--． 21．解析：（Ⅰ） x x x f ln )(-=，xx x x f 111)(-=-='∴当10<<x 时，/()0f x <，此时()f x 单调递减 当e x <<1时，/()0f x >，此时()f x 单调递增∴()f x 的极小值为1)1(=f ……4分（Ⅱ） ()f x 的极小值为1，即()f x 在],0(e 上的最小值为1， ∴ 0)(>x f ，min ()1f x =令21ln 21)()(+=+=x x x g x h ，xxx h ln 1)(-='， 当e x <<0时，0)(>'x h ，()h x 在],0(e 上单调递增∴min max |)(|12121211)()(x f e e h x h ==+<+== ∴在（1）的条件下，1()()2f xg x >+ （Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，/1()f x a x =-x ax 1-=① 当0≤a 时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，ea 4=（舍去），所以， 此时)(x f 无最小值. ②当e a<<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a 上单调递增 3ln 1)1()(min =+==a af x f ，2e a =，满足条件.③ 当e a ≥1时，)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e a 4=（舍去），所以，此时)(x f 无最小值.综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3.。
2011届新课标高中总复习(第2轮浙江专用)第4课时 函数的综合利用
( *)
此时f ( x) = x 3 − ax + a − 1 = ( x − 1)( x 2 + x + 1 − a )经过点A (1, 0 )，
+ ( 2 )因为存在x0 ∈ (0， ∞)，使f ( x0 ) > x0 ⋅ e x
3 即x0 − ax0 + a > x0 ⋅ e x0 + a，
① λ + 2 = 2m 由a = 2b，得 2 λ - cos 2 α = m + 2sin α ② λ 2 由①知，λ = 2m - 2，所以 = 2 - . m m 下面求自变量m的取值范围． 由②得(2m - 2) 2 - m = cos 2 α + 2sin α = -(sin α -1) 2 + 2. 2 因为 sin α ∈ [ -1,1]，所以 - 2 ≤ 4m - 9m + 4 ≤ 2. 2 因为4m - 9m + 4 ≥ -2恒成立， 1 λ 2 由4m - 9m + 4 ≤ 2，得 ≤ m ≤ 2，所以 ∈ [ -6,1]． 4 m
π
π
m 【例2】向量a = (λ + 2，λ - cos α )，b = (m， + sin α )， 2
2 2
其中λ，m ∈ R.若a = 2b，求
λ
m
的取值范围．
利用向量关系得到λ、m、α的两个关系式， λ 所求 即可用m表示，充分应用关系式隐含的字母 m 范围(此处主要考虑sinα、cosα的值域)，求出m的取 值范围即可．
1．消元是构造函数的常用方法； 2．注意挖掘等式中隐含的取值范围．
【变式训练】(2010 北京卷)已知函数 (1)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切 线方程； (2)求f(x)的单调区间．
2015专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(第三讲)
2．抽象函数的周期性与对称性 (1)函数的周期性 ①若函数 f(x)满足 f(x＋a)＝f(x－a) ，则 f(x)为周期函数，
2a 是它的一个周期．
②设 f(x)是 R 上的 偶函数 ， 且图象关于直线 x＝a(a≠0)对称 ， 则 f(x)是周期函数，
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(3)[2014· 四川高考]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当 x∈[－1,1)时，f(x)＝ ________.
f(－x)＝－f(x)
成立，则 f(x)为奇函数(都有 f(－x)＝f(x)
成
立，则 f(x)为偶函数)． (3)周期性 周期函数 f(x)的最小正周期 T 必须满足下列两个条件： ①当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ； ②T 是
不为零的最小正数．
专题一 第二讲
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专题一
集合、常用逻辑用语、函数 与导数、不等式
专题一 第二讲
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第二讲
函数的图象与性质(选择、填空题 型)
专题一 第二讲
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[解析] x>1，故选C.
要使函数有意义，需满足x2－x>0，解得x<0或
2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第4讲不等式(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第4讲 不等式[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d.2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例1 (1)若p >1,0<m <n <1，则下列不等式正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <mnC ．m －p<n －pD ．log m p >log n p答案 D解析 方法一 设m ＝14，n ＝12，p ＝2，逐个代入可知D 正确．方法二 对于选项A ，因为0<m <n <1，所以0<m n<1，又p >1，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p <1，故A 不正确；对于选项B ，p －m p －n －m n ＝p －m n －m p －n n p －n ＝p n －m n p －n >0，所以p －m p －n >mn，故B 不正确；对于选项C ，由于函数y ＝x －p在(0，＋∞)上为减函数，且0<m <n <1，所以m －p>n －p，故C 不正确；对于选项D ，结合对数函数的图象可得，当p >1,0<m <n <1时，log m p >log n p ，故D 正确． (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( ) A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)答案 A解析 由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0， 则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0， 即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2， 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号．跟踪演练 1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是________________． 答案 {x |－1≤x ≤1} 解析 由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x <12，3x 2＋x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2·1x＋x －2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－1≤x ≤23或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤1，∴－1≤x <12或12≤x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65. 考点二 基本不等式 核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag x＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2 B ．若a <0，则a ＋4a≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b D ．若a ∈R ，则2a＋2－a≥22a ·2－a＝2 答案 D解析 由于b a ，a b的符号不确定，故选项A 错误；∵a <0，∴a ＋4a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4a≤－2－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a＝－4(当且仅当a ＝－2时，等号成立)，故B 错误；由于lg a ，lg b 的符号不确定，故选项C 错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a ＋2－a ≥22a ·2－a＝2(当且仅当a ＝0时，等号成立)，故选项D 正确．(2)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．答案 4 3解析x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy.由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6xy≥22xy ·6xy＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤258可知，xy 可以取到3，故x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.易错提醒 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________．答案 22＋2解析 ∵a >0，b >0，由a －b ＝1，得a ＝1＋b ，∴2a ＋1b ＝2＋2b ＋1b≥2＋22b ·1b＝2＋22，当且仅当b ＝22时，等号成立，∴2a ＋1b的最小值为22＋2. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－45舍去.故x 2＋y 2的最小值为45.专题强化练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |1<x <3} C ．{x |x <－1或x >3} D ．{x |x <1或x >3}答案 D解析 不等式即(x －3)(x －1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x |x <1或x >3}．2．下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c <d ，则a c >b dC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若ab >0，a >b ，则1a <1b答案 D解析 对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c <b d，故B 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝1，d ＝0时，a －c ＝b －d ，故C 选项错误． 由不等式的性质知D 正确．3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}，则f (10x)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >lg3} B ．{x |－2<x <lg3} C ．{x |x >lg3} D ．{x |x <lg3}答案 D解析 一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}， 则f (x )>0的解集为{x |－2<x <3}，则f (10x)>0可化为－2<10x<3，解得x <lg3， 所以所求不等式的解集为{x |x <lg3}．4．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a答案 B解析 由题意得a >1,0<b <1， ∴b2a <1，log 2(a ＋b )>log 22ab ＝1， 12a b+>a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b>log 2(a ＋b )．5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112答案 B解析 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.故选B.7．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2a ＋1b ＋2－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.8．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c取得最大值时，3a ＋1b－12c的最大值为( ) A ．3B.94C ．1D ．0答案 C解析 由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c， 当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14，又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0， 所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2－1b 24＝1，当且仅当b ＝1时等号成立．故最大值为1. 二、多项选择题9．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p <qC ．p ＝rD ．p >q 答案 BC解析 r ＝12(ln a ＋ln b )＝p ＝ln ab ，p ＝ln ab <q ＝ln a ＋b 2.10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 ABC解析 方法一 设y ＝x 2－6x ＋a ，则其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8.方法二 分离常数，得a ≤－x 2＋6x ，函数y ＝－x 2＋6x 的图象及直线y ＝a ，如图所示，由图易知5<a ≤8.11．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a >b 的充要条件为( ) A.1a >1bB ．ln a >ln bC ．a ln a <b ln bD ．a －b <e a－e b答案 BD解析 对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b，故A 错误；对于B ，因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，所以a >b >0⇔ln a >ln b ，故B 正确；对于C ，设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以a >b >0不能推出a ln a <b ln b ，故C 错误；对于D ，设g (x )＝x－e x(x >0)，则g ′(x )＝1－e x.因为x >0，所以e x>1，所以g ′(x )<0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a >b >0时，g (a )<g (b )，即a －e a<b －e b，即a －b <e a－e b，充分性成立；当a >0，b >0，且a －b <e a －e b 时，易证得a >b ，必要性成立，故D 正确．12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b>12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b＝22a －1＝12×22a， 因为a >0，所以22a>1，即2a －b>12，故B 正确； 对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确． 三、填空题13．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a1＋a<11aa+；④a1＋a>a 1＋1a.其中正确的是________．(填序号)答案 ②④解析 由于0<a <1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a <1＋1a，所以②④是正确的．14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 ∵x ∈(0，＋∞)，mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立， ∴m (x 2－x ＋1)>x 恒成立，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴m >xx 2－x ＋1恒成立，当x ∈(0，＋∞)时，xx 2－x ＋1＝1x ＋1x－1≤121－1＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．∴m >1.15．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析 由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1ex ＝－f (x )，又x ∈R ，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x·1ex＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立， 所以f (x )在R 上单调递增， 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )． 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________． 答案 9 解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ，又⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1≥5＋24＝9， 当且仅当x －1y ＝4y x －1，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ≥9， 令t ＝1x －1＋1y，则t (10－t )≥9，即t2－10t＋9≤0，∴1≤t≤9，∴1x－1＋1y的最大值为9.11。
高考数学一本策略复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语教案文
第一讲集合、常用逻辑用语年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅰ卷集合交集运算·T1本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.Ⅱ卷集合交集运算·T2Ⅲ卷集合交集运算·T12017Ⅰ卷集合的交、并运算·T1Ⅱ卷集合的并集运算·T1Ⅲ卷求集合交集中元素个数·T12016Ⅰ卷集合的交集运算·T1Ⅱ卷集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1Ⅲ卷集合的补集运算·T1集合的概念及运算授课提示：对应学生用书第3页[悟通——方法结论]1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪∁R N ＝MC ．N ∪∁R M ＝RD ．M ∩N ＝M解析：∵M ＝{x |x <4}，N ＝{x |0<x <2}，∴M ∪N ＝{x |x <4}＝M ，故选项A 正确；M ∪∁R N ＝R ≠M ，故选项B 错误；N ∪∁R M ＝{x |0<x <2}∪{x |x ≥4}≠R ，故选项C 错误；M ∩N ＝{x |0<x <2}＝N ，故选项D 错误．故选A.答案：A(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A ＝{x ∈R |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＋11－x≥0}，则A ∩B＝( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |－1≤x <1}C ．{－1,1}D ．∅解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x <1}，∴A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1}． 答案：B 【类题通法】破解集合运算需掌握2招第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn 图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算.[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4解析：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A. 答案：A2．(2018·德州模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝4x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x，x >1}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．{2}B ．{1,2}C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2}解析：由题意知，A ＝{x ∈Z |4x －x 2≥0}＝{x ∈Z |0≤x ≤4}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{y |y >2}，则∁U B＝{y|y≤2}，则A∩(∁U B)＝{0,1,2}，故选D.答案：D3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁B A＝( ) A．{－2,0,2} B．{－2,0}C．{－2} D．{－2,2}解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁B A＝{－2}．答案：C命题及真假判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]1．全称命题和特称命题的否定归纳∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．2．“或”“且”联结词的否定形式“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．[全练——快速解答]1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则( )A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x ＋1)>0.答案：B2．给出下列3个命题：p1：函数y＝a x＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a20－a0b0＋b20<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k ∈Z)．则下列命题中的真命题为( ) A ．p 1∨p 2 B ．p 2∨(綈p 3) C ．p 1∨(綈p 3)D ．(綈p 2)∧p 3解析：对于p 1，令f (x )＝a x＋x (a >0，且a ≠1)，当a ＝12时，f (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋0＝1，f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－1＝1，所以p 1为假命题；对于p 2，因为a 2－ab ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12b 2＋34b 2≥0，所以p 2为假命题；对于p 3，因为cos α＝cos β⇔α＝2k π±β(k ∈Z )，所以p 3为真命题，所以(綈p 2)∧p 3为真命题，故选D.答案：D3．命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________． 答案：若xy ≠1，则x ，y 不互为倒数 若xy ＝1，则x ，y 不互为倒数 【类题通法】判断含有逻辑联结词命题真假的方法方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．充分、必要条件的判断授课提示：对应学生用书第4页[悟通——方法结论]充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．(1)“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，直线l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y ＋4＝0，所以直线l 1∥l 2；若l 1∥l 2，则－a (a ＋1)＋2＝0，解得a ＝－2或a ＝1.所以“a ＝－2”是“直线l 1：ax －y ＋3＝0与l 2：2x －(a ＋1)y ＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．答案：A(2)(2018·南昌模拟)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当m 与n 反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n ＝|m·n|，则m·n ＝|m|·|n|·cos〈m ，n 〉＝|m |·|n |·|cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m·n ＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.答案：D 【类题通法】1．(2018·胶州模拟)设x ，y 是两个实数，命题“x ，y 中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是( )A ．x ＋y ＝2B ．x ＋y >2C ．x 2＋y 2>2D ．xy >1解析：当⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1时，有x ＋y ≤2，但反之不成立，例如当x ＝3，y ＝－10时，满足x＋y ≤2，但不满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1y ≤1是x ＋y ≤2的充分不必要条件．所以“x ＋y >2”是“x ，y 中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．答案：B2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据祖暅原理，“A ，B 在等高处的截面积恒相等”是“A ，B 的体积相等”的充分不必要条件，即綈q 是綈p 的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p ”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p ，则q ”为真，否命题“若q ，则p ”为假，即p 是q 的充分不必要条件，选A.答案：A授课提示：对应学生用书第107页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{0,2}，B ＝{－2，－1,0，1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,2} B ．{1,2}C ．{0}D ．{－2，－1,0,1,2}解析：A ∩B ＝{0,2}∩{－2，－1,0,1,2}＝{0,2}． 故选A. 答案：A2．(2017·高考山东卷)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数 y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 答案：D3．设A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x ≤3 解析：A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |ln(3－2x )<0}＝{x |0<3－2x <1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32，结合Venn 图知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1<x <32. 答案：B4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，∴A ∩B ＝{1,2}．故选C. 答案：C5．(2018·合肥模拟)已知命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则( ) A ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为假命题 B ．命题綈q ：∀x ∈R ，x 2≤0为真命题 C ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为假命题 D ．命题綈q ：∃x 0∈R ，x 20≤0为真命题解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x ＝0时，x 2≤0成立，所以綈q 为真命题．答案：D6．(2018·郑州四校联考)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.答案：A7．(2018·石家庄模拟)“x >1”是“x 2＋2x >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由x 2＋2x >0，得x >0或x <－2，所以“x >1”是“x 2＋2x >0”的充分不必要条件． 答案：A8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( )A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.答案：D9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是( )A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a|>|b| D．2a>2b解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.答案：A10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∨qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧q解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．答案：C11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0<X<1)＝0.4，则P(0<X<2)＝0.8，则下列命题是真命题的是( )A．p∨(綈q) B．p∧qC．p∨q D．(綈p)∧(綈q)解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0<X<1)＝P(1<X<2)＝0.4，所以P(0<X<2)＝0.8，q为真命题，所以p∨q为真命题．答案：C12．下列命题是假命题的是( )A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”B．若命题p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C 错误．答案：C 二、填空题13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}，则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案：{(2,3)}15．已知A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |1<x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}⊆B ，所以a ≥2. 答案：[2，＋∞)16．若关于x 的不等式|x －m |<2成立的充分不必要条件是2≤x ≤3，则实数m 的取值范围是________．解析：由|x －m |<2得－2<x －m <2，即m －2<x <m ＋2.依题意有集合{x |2≤x ≤3}是{x |m－2<x <m ＋2}的真子集，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m －2<2m ＋2>3，由此解得1<m <4，即实数m 的取值范围是(1,4)．答案：(1,4)。
2015专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式(第四讲)
(5)
a2＋b2 a＋b 2ab 2 ≥ 2 ≥ ab≥a＋b(a>0，b>0)； (a＋b)2(a，b∈R，当 a＝b 时等号成立)．
专题一 第四讲
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(6)2(a2＋b2) ≥
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热点一 不等式的解法
不等式的求解尤其是一元二次不等式的求解是高考 重点考查的知识点之一，既可数列、平面向 量、解析几何、导数等内容综合在解答题中进行考查.
易错提醒 (1)利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适 用条件，否则容易出错． (2)解决线性规划问题时，一定要注意最优解必须在可行域 内，否则达不到最值．
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R热点探究悟道
(3)a>b >0 ⇒an>bn(n∈N，n≥1)． n n >0 (4)a>b ⇒ a> b(n∈N，n≥2)．
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3．六个重要的不等式 (1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)； (2)a2＋b2 ≥2ab (a，b∈R)； a＋b ≥ ab (3) (a>0，b>0)； 2
专题一 第四讲
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形结合，考查方程根的分布(如2007 年广东试题)；另一方面可以
与导数相结合，考查方程解的情况．如本题：若对任意x1∈[0,2]， 总存在x2∈[0,2]，使f(x1)＝g(x2)的本质就是函数f(x)的值域是函数
g(x)值域的子集．
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx.
1 (2)因为 f(x)<0 在区间0，2上恒成立不可能， 1 故要使函数 f(x)在区间0，2上无零点， 1 只要对任意的 x∈0，2，f(x)>0 恒成立， 1 2lnx 即对 x∈0，2，a>2－ 恒成立． x－1 1 2lnx 令 l(x)＝2－ ，x∈0，2， x－1 2 2 xx－1－2lnx 2lnx＋x －2 则 l′(x)＝－ ＝ 2 2 ， x－1 x－1
查内容来看，函数与导数这部分内容在高考中的考查可以说是全 方位的，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思
想、数学本质的考查；从考查的内容来看，它不仅有对函数知识
内部的显性考查，更有对与其他主干知识(数列、不等式、解析几 何)相结合的隐性考查．
2010 年广东高考没有考函数、导数和数列，批评声音不断， 2011 年终于回归常态，预计 2012 年高考，对函数的概念与性质只 会加强，不会削弱．备考时要特别注意三次函数、指数函数与对
2 4 1－x 解析：(1)方法一：对函数 f(x)求导，f′(x)＝3· 2 2. x ＋1
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减． 2 8 又 f(0)＝0，f(1)＝3，f(2)＝15， ∴当
数函数(以 e 为底)的综合题．主要题型：(1)利用导数研究函数的单
调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主 要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活 应用函数图象与性质等．
题型一
函数、方程与导数
4x 例 1：已知函数 f(x)＝ 2 ，x∈[0,2]． 3x ＋3 (1)求 f(x)的值域； 1 (2)设 a≠0， 函数 g(x)＝3ax3－a2x， x∈[0,2]． 若对任意 x1∈[0,2]， 总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围．
1 2 再令 m(x)＝2lnx＋x－2，x∈0，2，
2 2 －21－x 则 m′(x)＝－x2＋x＝ <0， x2 故
1 m(x)在 0，2上为减函数， 1 m(x)>m2＝2－2ln2>0， 1 l(x)在0，2上为增函数，
可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该
2 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3.
方法二：当 x＝0 时，f(x)＝0， 4 1 4 1 2 当 x∈(0,2]时，f(x)＞0，且 f(x)＝3· 1≤3· ＝ ， 1 3 x＋x 2 x· x 1 当且仅当 x＝ x，即 x＝1 时，等号成立． 2 ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3. (2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 2 使 f(x1)－g(x2)＝0，∴0，3⊆A. 对函数 g(x)求导，g′(x)＝ax2－a2.
ⅱ)当 x∈(0,2)， a≥2 时，即 a≥4，g′(x)＜0， ∴函数在(0,2)上单调递减， 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a≥4
2 时，不满足0，3⊆A. 1 的取值范围是3，1.
综上，实数 a
函数与方程是高考的重要题型之一．一方面可以数
于是
从而，l′(x)>0，于是
所以
1 l(x)<l2＝2－4ln2，
故要使 a>2－
2lnx 恒成立，只要 a∈[2－4ln2，＋∞)， x－1
1 f(x)在0，2上无零点，
综上所述，若函数
则 a 的最小值为 2－4ln2.
题型二 函数、导数与不等式 例2：为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能 源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造
(1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间；
(2)若函数
1 f(x)在0，2上无零点，求
a 的最小值．
2 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2lnx，则 f′(x)＝1－ x ，由 f′(x)>0，得 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2. 故 f(x)单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2，＋∞)．
专题一
函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是历 年高考的必考内容之一．自从导数走进高考试题中，就和函数形 影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度和深 度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问题必不
可少的工具．从最近几年全国及各省市新课程数学高考试卷的考
①当 a＜0 时，g′(x)＜0， ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减． 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a<0
2 时，不满足0，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ⊆A.
②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a)． 令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去)．
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2 时，列表： x g′(x) g(x) 0 0 (0， a) － a 0 2 2 －3a a ( a，2) ＋ 2 8 2 a － 2 a 3
∵g(0)＝0，g(
2 a)＜0，且∵0，3⊆A，
8 2 2 ∴g(2)＝3a－2a ≥3. 1 解得3≤a≤1.