[数学]专题一 函数、导数与不等式
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专题一
函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是历 年高考的必考内容之一．自从导数走进高考试题中，就和函数形 影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度和深 度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问题必不
可少的工具．从最近几年全国及各省市新课程数学高考试卷的考
可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该
查内容来看，函数与导数这部分内容在高考中的考查可以说是全 方位的，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思
想、数学本质的考查；从考查的内容来看，它不仅有对函数知识
内部的显性考查，更有对与其他主干知识(数列、不等式、解析几 何)相结合的隐性考查．
2010 年广东高考没有考函数、导数和数列，批评声音不断， 2011 年终于回归常态，预计 2012 年高考，对函数的概念与性质只 会加强，不会削弱．备考时要特别注意三次函数、指数函数与对
(1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间；
(2)若函数
1 f(x)在0，2上无零点，求
a 的最小值．
2 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2lnx，则 f′(x)＝1－ x ，由 f′(x)>0，得 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2. 故 f(x)单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2，＋∞)．
1 (2)因为 f(x)<0 在区间0，2上恒成立不可能， 1 故要使函数 f(x)在区间0，2上无零点， 1 只要对任意的 x∈0，2，f(x)>0 恒成立， 1 2lnx 即对 x∈0，2，a>2－ 恒成立． x－1 1 2lnx 令 l(x)＝2－ ，x∈0，2， x－1 2 2 xx－1－2lnx 2lnx＋x －2 则 l′(x)＝－ ＝ 2 2 ， x－1 x－1
①当 a＜0 时，g′(x)＜0， ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减． 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a<0
2 时，不满足0，3⊆A.
②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a)． 令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去)．
于是
从而，l′(x)>0，于是
所以
1 l(x)<l2＝2－4ln2，
故要使 a>2－
2lnx 恒成立，只要 a∈[2－4ln2，＋∞)， x－1
1 f(x)在0，2上无零点，
综上所来自百度文库，若函数
则 a 的最小值为 2－4ln2.
题型二 函数、导数与不等式 例2：为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能 源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造
ⅱ)当 x∈(0,2)， a≥2 时，即 a≥4，g′(x)＜0， ∴函数在(0,2)上单调递减， 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a≥4
2 时，不满足0，3⊆A. 1 的取值范围是3，1.
综上，实数 a
函数与方程是高考的重要题型之一．一方面可以数
1 2 再令 m(x)＝2lnx＋x－2，x∈0，2，
2 2 －21－x 则 m′(x)＝－x2＋x＝ <0， x2 故
1 m(x)在 0，2上为减函数， 1 m(x)>m2＝2－2ln2>0， 1 l(x)在0，2上为增函数，
形结合，考查方程根的分布(如2007 年广东试题)；另一方面可以
与导数相结合，考查方程解的情况．如本题：若对任意x1∈[0,2]， 总存在x2∈[0,2]，使f(x1)＝g(x2)的本质就是函数f(x)的值域是函数
g(x)值域的子集．
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx.
2 4 1－x 解析：(1)方法一：对函数 f(x)求导，f′(x)＝3· 2 2. x ＋1
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减． 2 8 又 f(0)＝0，f(1)＝3，f(2)＝15， ∴当
2 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3.
方法二：当 x＝0 时，f(x)＝0， 4 1 4 1 2 当 x∈(0,2]时，f(x)＞0，且 f(x)＝3· 1≤3· ＝ ， 1 3 x＋x 2 x· x 1 当且仅当 x＝ x，即 x＝1 时，等号成立． 2 ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3. (2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 2 使 f(x1)－g(x2)＝0，∴0，3⊆A. 对函数 g(x)求导，g′(x)＝ax2－a2.
数函数(以 e 为底)的综合题．主要题型：(1)利用导数研究函数的单
调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主 要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活 应用函数图象与性质等．
题型一
函数、方程与导数
4x 例 1：已知函数 f(x)＝ 2 ，x∈[0,2]． 3x ＋3 (1)求 f(x)的值域； 1 (2)设 a≠0， 函数 g(x)＝3ax3－a2x， x∈[0,2]． 若对任意 x1∈[0,2]， 总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围．
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2 时，列表： x g′(x) g(x) 0 0 (0， a) － a 0 2 2 －3a a ( a，2) ＋ 2 8 2 a － 2 a 3
∵g(0)＝0，g(
2 a)＜0，且∵0，3⊆A，
8 2 2 ∴g(2)＝3a－2a ≥3. 1 解得3≤a≤1.
函数、导数与不等式
函数是高中数学的核心内容，是数学的基本工具之一，是历 年高考的必考内容之一．自从导数走进高考试题中，就和函数形 影不离，随着高考命题改革的深入，高考对导数考查的广度和深 度也在逐年增加，已由解决问题的辅助工具上升为解决问题必不
可少的工具．从最近几年全国及各省市新课程数学高考试卷的考
可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元．该
查内容来看，函数与导数这部分内容在高考中的考查可以说是全 方位的，它不仅有对基础知识、基本技能的考查，更有对数学思
想、数学本质的考查；从考查的内容来看，它不仅有对函数知识
内部的显性考查，更有对与其他主干知识(数列、不等式、解析几 何)相结合的隐性考查．
2010 年广东高考没有考函数、导数和数列，批评声音不断， 2011 年终于回归常态，预计 2012 年高考，对函数的概念与性质只 会加强，不会削弱．备考时要特别注意三次函数、指数函数与对
(1)当 a＝1 时，求 f(x)的单调区间；
(2)若函数
1 f(x)在0，2上无零点，求
a 的最小值．
2 解：(1)当 a＝1 时，f(x)＝x－1－2lnx，则 f′(x)＝1－ x ，由 f′(x)>0，得 x>2，由 f′(x)<0，得 0<x<2. 故 f(x)单调减区间为(0,2]，单调增区间为[2，＋∞)．
1 (2)因为 f(x)<0 在区间0，2上恒成立不可能， 1 故要使函数 f(x)在区间0，2上无零点， 1 只要对任意的 x∈0，2，f(x)>0 恒成立， 1 2lnx 即对 x∈0，2，a>2－ 恒成立． x－1 1 2lnx 令 l(x)＝2－ ，x∈0，2， x－1 2 2 xx－1－2lnx 2lnx＋x －2 则 l′(x)＝－ ＝ 2 2 ， x－1 x－1
①当 a＜0 时，g′(x)＜0， ∴函数 g(x)在(0,2)上单调递减． 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a<0
2 时，不满足0，3⊆A.
②当 a＞0 时，g′(x)＝a(x－ a)(x＋ a)． 令 g′(x)＝0，得 x＝ a或 x＝－ a(舍去)．
于是
从而，l′(x)>0，于是
所以
1 l(x)<l2＝2－4ln2，
故要使 a>2－
2lnx 恒成立，只要 a∈[2－4ln2，＋∞)， x－1
1 f(x)在0，2上无零点，
综上所来自百度文库，若函数
则 a 的最小值为 2－4ln2.
题型二 函数、导数与不等式 例2：为了进一步实现节能，在夏季降温和冬季供暖时减少能 源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造
ⅱ)当 x∈(0,2)， a≥2 时，即 a≥4，g′(x)＜0， ∴函数在(0,2)上单调递减， 8 ∵g(0)＝0，g(2)＝3a－2a2＜0， ∴当 a≥4
2 时，不满足0，3⊆A. 1 的取值范围是3，1.
综上，实数 a
函数与方程是高考的重要题型之一．一方面可以数
1 2 再令 m(x)＝2lnx＋x－2，x∈0，2，
2 2 －21－x 则 m′(x)＝－x2＋x＝ <0， x2 故
1 m(x)在 0，2上为减函数， 1 m(x)>m2＝2－2ln2>0， 1 l(x)在0，2上为增函数，
形结合，考查方程根的分布(如2007 年广东试题)；另一方面可以
与导数相结合，考查方程解的情况．如本题：若对任意x1∈[0,2]， 总存在x2∈[0,2]，使f(x1)＝g(x2)的本质就是函数f(x)的值域是函数
g(x)值域的子集．
【互动探究】 1．已知函数 f(x)＝(2－a)(x－1)－2lnx.
2 4 1－x 解析：(1)方法一：对函数 f(x)求导，f′(x)＝3· 2 2. x ＋1
令 f′(x)＝0，得 x＝1 或 x＝－1. 当 x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0,1)上单调递增； 当 x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)在(1,2)上单调递减． 2 8 又 f(0)＝0，f(1)＝3，f(2)＝15， ∴当
2 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3.
方法二：当 x＝0 时，f(x)＝0， 4 1 4 1 2 当 x∈(0,2]时，f(x)＞0，且 f(x)＝3· 1≤3· ＝ ， 1 3 x＋x 2 x· x 1 当且仅当 x＝ x，即 x＝1 时，等号成立． 2 ∴当 x∈[0,2]时，f(x)的值域是0，3. (2)设函数 g(x)在[0,2]上的值域是 A. ∵对任意 x1∈[0,2]，总存在 x2∈[0,2]， 2 使 f(x1)－g(x2)＝0，∴0，3⊆A. 对函数 g(x)求导，g′(x)＝ax2－a2.
数函数(以 e 为底)的综合题．主要题型：(1)利用导数研究函数的单
调性、极值与最值问题；(2)考查以函数为载体的实际应用题，主 要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；(3)灵活 应用函数图象与性质等．
题型一
函数、方程与导数
4x 例 1：已知函数 f(x)＝ 2 ，x∈[0,2]． 3x ＋3 (1)求 f(x)的值域； 1 (2)设 a≠0， 函数 g(x)＝3ax3－a2x， x∈[0,2]． 若对任意 x1∈[0,2]， 总存在 x2∈[0,2]，使 f(x1)－g(x2)＝0.求实数 a 的取值范围．
ⅰ)当 x∈[0,2]，0＜ a＜2 时，列表： x g′(x) g(x) 0 0 (0， a) － a 0 2 2 －3a a ( a，2) ＋ 2 8 2 a － 2 a 3
∵g(0)＝0，g(
2 a)＜0，且∵0，3⊆A，
8 2 2 ∴g(2)＝3a－2a ≥3. 1 解得3≤a≤1.