机械波多解问题的成因及对策

机械波多解问题的成因及对策

江苏省怀仁中学214196 顾晓伟

机械波的多解问题历来是高考中的热门考点，无论是全国卷，还是上海卷，都屡屡出现。同时本考点又是学生学习机械波时的难点所在。其主要表现在无法正确判断多解问题的原因，从而造成错解。本文将就机械波多解问题的源头——产生原因作简要的探讨，并结合最近几年高考中出现的考题说明对应的解题策略。

一、传播方向导致的多解问题

波源起振后产生的波可以在介质中向四周传播。若题中没有特别注明传播方向，则求解时必须讨论其传播方向，从而导致了波的多解问题。

例1．（87年全国高考卷）如图一（甲）所示，绳中有一列正弦横波，沿x 轴传播，a,b是绳上两点，它们在x轴上的距离小于一个波长，当a点振动到最高点时，b点恰好经过平衡位置向上运动。试在图上a、b之间画出波形图。

图一（甲）图一（乙）

分析：本题没有注明波的传播方向，所以需分波向+x轴，-x轴方向传播讨论。由于a、b间距离小于一个波长。因此a、b间不足一个波形，其图象如图一（乙）所示，①为波向+x轴传时波形，②为波沿-x轴传时的波形。

二、波长大小导致的多解问题

因题设中没有给定波长的确切条件，故引起答案的不确定性导致多解问题。

例2．（96年全国卷）如图二（甲）所示，一根张紧的水平弹性长绳上的a、b两点，相距14.0米，b点在a点右方，当一列简谐横波沿此绳向右传播时，若a点位移达到正向极大时，b点位移恰好为零，且向下运动。经过1.00秒后，a点位移为零，且向下运动。而b点的位移恰好达到负向极大，则这列简谐波的波速可能等于（）

A ．4.67m/s

B ．6m/s

C ．10m/s

D ．14m/s

图二（甲） 图二（乙） 分析：此题虽然已说明了波的传播方向，但满足题设条件的a 、b 两点可以

有无数个可能位置，图二（乙）中的b 1、b 2、b 3……等。只可写出a 、b 间距的

通式：S ab =λλn +4

3（n=0、1、2……），从而波速的答案也是系列解答。经求解可知A 、C 为正确答案。

三、波形周期导致的多解问题

简谐机械波的波形是周期性重复出现的，每经过一个周期波形图与原图形重

复，从而导致了问题的多解性。

例3．（96年上海卷）一列横波在某时刻的波形图如图三中实线所示，经2

×10-2S 后波形如图中虚线所示，则该波的波速v 和频率f 可能是（ ）

A ．v=5m/s

B ．v=45m/s

C ．f=50hz

D ．f=37.5hz

图三

分析：此题波的传播方向不确定，需分向+x 轴和向-x 轴传播两种情况讨论。

另外由于波形的周期性导致了传播波形的不确定性。若波向+x 轴传播，传播的

距离S=λλn +41（n=0、1、2……）。若向-x 轴传播，传播距离S=λλn +4

3（n=0、1、2……），通过求解可知A 、B 、D 答案是正确的。

四、质点振动方向导致的多解问题

例4．（99年上海卷）一列简谐横波向右传播，波速为v ，沿波传播方向上

有相距为L 的P 、Q 两质点，如图四（甲）所示，某时刻P 、Q 两点都处于平衡

位置，且P 、Q 间仅有一个波峰，经过时间t ，Q 质点第一次运动到波谷，则t

的可能值有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

图四（甲） 图四（乙） 分析：波从P 向Q 传播，满足P 、Q 在平衡位置且P 、Q 间仅有一个波峰条件

的机械波形图有四种情形，如图四（乙）所示，故正确答案为D 。

五、传播时间导致的多解问题

题目中所给定的时间条件不充分，可能比一个周期长，可能比一个周期短，

从而导致了多解问题的出现。

例5．（85年全国卷）一列横波在x 轴上传播，t 1=0和t 2=0.005秒时刻的波

形分别如图五中实线和虚线所示。

（1） 求这列波的波速；（2）若波速为6000m/s ，求波的传播方向。

图五

分析：本题给定了两时刻的波形图，由于时间间隔与周期关系不确定。Δt>T 、

Δt

波向+x 轴传时，Δt=nT T +41（n=0、1、2……）；波向-x 轴传时，Δt=nT T +4

3（n=0、1、2……）。从而可求出全部满足条件的解答。

六、质点振动图象导致的多解问题

例6.（94年上海卷）一列沿+x轴传播的简谐波，在x

1=10cm和x

2

=110cm处

的两点振动图线分别如图六（甲）中实线和虚线所示，试求质点振动周期和简谐波的波长。

图六（甲）图六（乙）

分析：题目只给定了两个质点振动图象，从图象较易得出，振动周期为4S，同时振动图象还揭示了质点的位置关系。x

1

质点在t=0时刻位于正的最大位移

处，x

2质点此时位于平衡位置且向上振动。但满足此条件的x

2

位置有许多个。

图六（乙）中的A、B、C……等。因此，机械波的波长有多个答案。x

1、x

2

间距

遵循x

1-x

2

=λ

λn

+

4

1

，从而可得λ=m

n1

4

4

+

（n=0、1、2……）

综上所述，我们不难发现，机械波的多解问题产生的根本原因是由于机械波图形的周期性重复。因此我们在求解该类问题时，要充分重视图象的功能。对图象进行仔细分析，挖掘隐含条件，结合传播方向，利用波动知识，把波动问题全面圆满地解决。

2002.11