减速器优化设计

一、减速器优化设计问题分析：
二级锥齿圆柱齿轮减速器，高速级输入功率P1=2.156kW ，转速n1=940r/min ；总传动比i=9.4，齿宽系数d ϕ=1。

齿轮材料和热处理：大齿轮为45号钢调质处理，硬度为240HBS ；小齿轮为40Cr 调质处理，硬度为280HBS ，工作寿命10年以上。

在满足强度、刚度和寿命等条件下，使体积最小来确定齿轮传动方案。

二、建立优化设计的数学模型
①设计变量：
将涉及总中心距a ∑齿轮传动方案的6个独立参数作为设计变量
X=[Mn 1,Mn 2,Z 1,Z 2,i 1,β]T=[x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,x 6]T
(其中Z1、Z2分别为高速级小齿轮齿数、低速级小齿轮齿数)
②目标函数：优化目标选为体积最小，归结为使减速器的总中心距a 最小， 写成111222(1)(1)2cos Mn Z i Mn Z i a β
+++= 减速器总中心距a ∑最小为目标函数
6
1542531cos 2)4.91()1()(min x x x x x x x X f -+++= ③约束条件:含性能约束和边界约束
性能约束：
(1) 齿面接触强度计算：
0cos 10845.6][31161313121≥-⨯βϕσT K i Z m n d H 和0cos 10845.6][32
26232322
2≥-⨯βϕσT K i Z m n d H 式中：][H σ—许用接触应力；
1T —高速轴的转矩；
2T —中间轴的转矩；
12,K K —载荷系数；
d ϕ—齿宽系数。

（2）齿根弯曲强度计算：
高速级小、大齿轮的齿根弯曲强度条件为：
0cos 3)1(][21
12131111≥-+βϕσT K Z M i Y n Fa d F
0cos 3)1(][21
12131122≥-+βϕσT K Z M i Y n Fa d F 低速级小、大齿轮的齿根弯曲强度条件为:
0cos 3)1(][22
22232233≥-+βϕσT K Z M i Y n Fa d F 0cos 3)1(][22
22232244≥-+βϕσT K Z M i Y n Fa d F 式中
1][ωσ、2][ωσ、3][ωσ、4][ωσ分别是齿轮1234,,,Z Z Z Z 的许用弯曲应力 1Fa Y ,2Fa Y ,3Fa Y ,4Fa Y 分别是齿轮1234,,,Z Z Z Z 的齿形系数
约束函数：
0102099.1cos )(3533316631≤⨯-=-x x x x X g 高速级齿轮接触强度条件
0107081.3cos )(3432663252≤⨯-=-x x x x X g 低速级齿轮接触强度条件
0)1(104876.4cos )(233153623≤+⨯-=-x x x x X g 高速级大齿轮弯曲强度条件
0)4.9(106308.1cos )(24325362254≤+⨯-=-x x x x x X g 低速级大齿轮弯曲强度条件
0)4.9(]cos )50(2[)(5425316155≤+--+=x x x x x x x x x X g 大齿轮与轴不干涉 边界约束：
（1）不干涉条件2322111(1)2cos (5)0n n n m Z i m m Z i β+-+-≥
（2）不根切条件17cos 3min ≥=β
Z Z （3）动力传动模数126n m ≤≤；226n m ≤≤
（4）圆柱齿轮传动比36i ≤≤
约束函数：
02)(16≤-=x X g 06)(17≤-=x X g 高速级齿轮副模数的下限和上限 02)(28≤-=x X g 06)(29≤-=x X g 低速级齿轮副模数的下限和上限 014)(310≤-=x X g 022)(311≤-=x X g 高速级小齿轮齿数的下限和上限 016)(412≤-=x X g 022)(413≤-=x X g 低速级小齿轮齿数的下限和上限
0503.2)(514≤-=x X g 0689.2)(515≤-=x X g 高速级传动比的下限和上限 （根据i 1≈(1.3~1.5)i 2计算可得）
08)(616≤-=x X g 015)(617≤-=x X g 齿轮副螺旋角的下限和上限 （一般取8゜~15゜）
三、编制优化设计的M 文件
%两级锥齿轮减速器总中心距目标函数
function f=jsqyh_f(x);
hd=pi/180;
a1=x(1)*x(3)*(1+x(5));
a2=x(2)*x(4)*(1+9.4/x(5));
cb=2*cos(x(6)*hd);
f=(a1+a2)/cb;
%两级锥齿轮减速器优化设计的非线性不等式约束函数
function[g,ceq]=jsqyh_g(x);
hd=pi/180;
g(1)=cos(x(6)*hd)^3-1.2099e-6*x(1)^3*x(3)^3*x(5);
g(2)=x(5)^2*cos(x(6)*hd)^3-3.7081e-6*x(2)^3*x(4)^3;
g(3)=cos(x(6)*hd)^2-4.4876e-3*(1+x(5))*x(1)^3*x(3)^2;
g(4)=x(5)^2.*cos(x(6)*hd)^2-1.6308e-3*(9.4+x(5))*x(2)^3*x(4)^2;
g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(2)*x(3))-x(2)*x(4)*(9.4+x(5)); ceq=[];
x0=[2;4;18;20;6.4;10];%设计变量的初始值
lb=[2;2;14;16;2.503;8];%设计变量的下限
ub=[6;6;22;22;2.689;15];%设计变量的上限
[x,fn]=fmincon(@jsqyh_f,x0,[],[],[],[],lb,ub,@jsqyh_g);
Disp '************两级锥齿轮传动中心距优化设计最优*************' fprintf(1,' 高速级齿轮副模数 Mn1=%3.4fmm\n',x(1)) fprintf(1,' 低速级齿轮副模数 Mn2=%3.4fmm\n',x(2)) fprintf(1,' 高速级小齿轮齿数 z1=%3.4fmm\n',x(3)) fprintf(1,' 低速级小齿轮齿数 z2=%3.4fmm\n',x(4)) fprintf(1,' 高速级齿轮副传动比 i1=%3.4fmm\n',x(5)) fprintf(1,' 齿轮副螺旋角 beta=%3.4fmm\n',x(6)) fprintf(1,' 减速器总中心距 a12=%3.4fmm\n',fn)
g=jsqyh_g(x); disp '==========最优点的性能约束函数值==========' fprintf(1,' 高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数g1=%3.4fmm\n',g(1)) fprintf(1,' 低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数g2=%3.4fmm\n',g(2)) fprintf(1,' 高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数g3=%3.4fmm\n',g(3)) fprintf(1,' 低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数g4=%3.4fmm\n',g(4))
fprintf(1,' 大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数g5=%3.4fmm\n',g(5)) 四、M文件运行结果
************两级锥齿轮传动中心距优化设计最优************* 高速级齿轮副模数 Mn1=4.0205mm
低速级齿轮副模数 Mn2=5.6497mm
高速级小齿轮齿数 z1=16.9830mm
低速级小齿轮齿数 z2=20.8259mm
高速级齿轮副传动比 i1=2.5030mm
齿轮副螺旋角 beta=8.9317mm
减速器总中心距 a12=404.2589mm
==========最优点的性能约束函数值==========
高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数g1=-0.0000mm
低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数g2=-0.0000mm
高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数g3=-293.6936mm
低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数g4=-1512.0868mm
大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数g5=-167.7832mm
五、优化结果处理
************两级锥齿轮传动中心距优化设计最优************* 高速级齿轮副模数 Mn1=4mm
低速级齿轮副模数 Mn2=6mm
高速级小齿轮齿数 z1=17mm
低速级小齿轮齿数 z2=21mm
高速级齿轮副传动比 i1=2.5mm
齿轮副螺旋角 beta=8.9317mm
减速器总中心距 a12=430mm
==========最优点的性能约束函数值==========
高速级齿轮副接触疲劳强度约束函数g1=-0.0000mm
低速级齿轮副接触疲劳强度约束函数g2=-0.0000mm
高速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数g3=-293.6936mm
低速级大齿轮齿根弯曲强度约束函数g4=-1512.0868mm
大齿轮顶圆与轴不干涉几何约束函数g5=-167.7832mm。