分数裂项法总结.
分数裂项[001]
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分数裂项什么是分数裂项在数学中，分数裂项是指将一个分数拆分成两个或多个分数之和的技巧。
通常，我们会遇到一些复杂的分数，例如2/3、3/4等等。
利用分数裂项的方法，我们可以将复杂的分数拆分成更简单的分数，从而更方便地进行计算和运算。
如何进行分数裂项以下是分数裂项的一些常见方法：方法1：利用分子分母进行分数裂项当一个分数的分子和分母都是整数时，我们可以通过构造等式的方式进行分数裂项。
例如，对于分数2/3，我们可以将其拆分成1/3 + 1/3。
这样，我们就将原本较大的分母3拆分成了两个分母都为3的分数，从而简化了计算。
同样地，对于分数3/4，我们可以将其拆分成1/4 + 1/4 + 1/4，将分母4拆分成了三个分母都为4的分数。
方法2：利用分数的倒数进行分数裂项当一个分数的倒数是一个整数时，我们可以通过将分数的倒数进行分数裂项，进而拆分原分数。
例如，对于分数4/9，其倒数是9/4，而9/4可以拆分成2 + 1/4。
因此，我们可以将分数4/9拆分为2 + 1/4。
同样地，对于分数7/8，其倒数是8/7，而8/7可以拆分成1 + 1/7。
因此，我们可以将分数7/8拆分为1 + 1/7。
方法3：利用倍数进行分数裂项当一个分数的分子比分母大1倍时，我们可以通过构造等式的方式进行分数裂项。
例如，对于分数5/4，我们可以将其拆分成1 + 1/4。
在这种情况下，我们可以看到，分子5刚好比分母4多1倍，因此，我们可以将分数5/4拆分为1 + 1/4。
同样地，对于分数11/10，我们可以将其拆分成1 + 1/10。
在这种情况下，分子11比分母10多1倍，因此，我们可以将分数11/10拆分为1 + 1/10。
分数裂项的应用分数裂项在数学中的应用非常广泛。
它可以简化复杂的分数计算，使得计算更加简单和直观。
在代数运算中，分数裂项可以用于分数的加减运算、乘除运算以及方程的求解等。
例如，在分数的加减运算中，我们可以利用分数裂项将加法或减法运算转化为分数的加法或减法运算，从而简化求解过程。
六年级分数巧算裂项拆分
1 , 11、1(丄丄
2(1315
1
13)
1
用裂项法求
9 111113
型分数求和:
n（n k）
n n k n(n k) n(n k) n(n k)
13
分析：型（n,k均为自然数）
n（n k）
k
所以一-
n(n k) n n k
【例3】
的和
97 99
98
99
(四)
1
3)(35
1 1
)(5
1
7)
1 1
1
99
用裂项法求型分数求和:
n（n k）Leabharlann n 2k）分析:2k
n(n k)(n 2k)
【例4】
计算：
4
4
4
4
1
3
5
3 5 7
93 95
97
95
97
99
(13
15)
(315
517)…(
1
1
)(1 1)
3
93
95
95
9/V95 9797 99,
1
1
（n,k均为自然数）
1 3 97 99
3200
思维训练分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问 题、牛顿问题、数字的巧算问题。
分数裂项求和方法总结
（一）用裂项法求
1一型分数求和分析：因为
n(n1)
1n(n1)
n(n 1)
（n为自然数）所以有裂项公式:
n（n1）
【例1】
求丄
10 11
11 12
1的和。
59 60
分数裂项法总结.
就可以利用裂项法公式： 1 n(n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
(n
1 1) n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
11 3 2 1 2 3 23 23 6 1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
相同的分子提出来，使分子变为1。
1 1 5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 7 57
1 1（11） 57 2 5 7
求 1和 1： 11111 1 33 55 77 99 11 1 1 11 3 1 35
解 1 ： （ 1 1 ) 1 原 （ 1 1 ) 式 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 ) 21 323 5 211 1 2 3 11 35
1 1
23 6
1 1 1
1 1 1 23 6
23 6
1 1
78 56 11 1 7 8 56
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n(n1) n n1
5 6 30
求 1和 1 ： 11111 1 22 33 44 55 66 77 8
解 1 ： 1 ( 1 1 ) ( 原 1 1 ) ( 1 1 式 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) 1 2 2 33 44 55 66 77 8
分数拆分计算中裂项相消法例题讲解和公式总结
分数拆分计算中裂项相消法例题讲解和公式总结今天G老师讲解分数计算中常用的一种思维方法：裂项抵消。
看下面这道例题，计算式中各项的和。
乍一看，计算式中含有的分数项非常多，倘若按照分数运算中的常规算法，分母先通分，分子相加减，最后约分化为最简分数。
估计考试时间结束，也不一定能算出答案。
所以，遇到项非常多的计算式时，不要紧张，先观察，看看有没有简便方法，找到思路后再下笔。
我们一起来分析这道题目，先看它的各项规律。
计算式中各个分式的分子都是1，分母为两个相邻自然数的乘积，2x3，3x4，4x5，5x6，6x7……49x50，分母乘数和被乘数从小到大依次连续，它们的差刚好是1，3-2=1，4-3=1，5-4=1……50-49=1。
那么，我们试着来分析计算式中的第一项：也就是说，第一项可以写成：以此类推，剩余的项也可写成类似的形式：这下，我们就可以开始计算了。
看到规律了吗？式子中-1/3，+1/3，-1/4，+1/4……这些是不是都可以抵消为0？最后，我们就存头留尾，算出结果了。
（千万要注意最后一个分数前的符号别丢了）看起来非常复杂的题目就这样被瓦解了。
在很多个分数的计算中，裂项抵消是重要的一种方法。
先将算式中的项进行拆分，拆成两个或多个数字单位的和或差，拆分后的项可以前后抵消。
裂项抵消分为“裂差”和“裂和”，“裂差”就是我们前边讲过的这种类型，分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的差。
那么，“裂和”呢？分母为两个自然数的乘积，分子是分母乘式中乘数与被乘数的和。
一起来看下面这道题。
是不是和前面的那道题非常像？分母和第一道题中的都一样，2x3，3x4，4x5，5x6……49x50，但是分子变了，不再都是1了。
但是，我们发现，5=2+37=3+49=4+511=5+6……99=49+50我们是不是也可以写成这样的形式？式中的第一项就可以写成：以此类推，各项都可以这样化简：原式就可以写成：（符号千万别搞错了！）式子中+1/3，-1/3，-1/4，+1/4……这些是不是都可以抵消为0？最后，我们就存头留尾，算出结果了。
分数裂项六种题型
分数裂项六种题型一、整数裂项整数裂项是一种常见的数学问题，通过将整数拆分成两个整数之和或之差，从而简化计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的整数裂项例子：1.将整数拆分成两个相邻整数之和或之差，例如：5=2+3，10=3+7。
2.将整数拆分成两个绝对值相等的数之和或之差，例如：10=3+(-3)，20=7+(-7)。
二、分数裂项分数裂项是将分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于计算或证明某些数学关系式。
以下是一些常见的分数裂项例子：1.将分数拆分成两个同分母的分数的和或差，例如：1/2=1/(4)+1/(4)，2/3=1/(3)+1/(3)。
2.将分数拆分成两个异分母的分数的和或差，例如：2/5=3/(15)+(-4)/(15)，4/7=3/(21)+4/(21)。
三、混合数裂项混合数裂项是指将整数、分数等不同类型的数拆分成两个或多个数之和或差。
以下是一些常见的混合数裂项例子：1.将混合数拆分成一个整数和一个分数的和或差，例如：3/2=2+(1/2)，5=3+(2/2)。
2.将混合数拆分成两个分数之和或差，例如：4/3=1/(2)+3/(4)，7/6=1/(3)+1/(2)。
四、裂项相消法裂项相消法是一种常见的数学方法，用于简化分数的计算。
其基本思想是将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以便于约简分数。
以下是一个裂项相消法的例子：求和：1/2+1/6+1/12+1/20+...的值。
解答：原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)+...通过约简，我们得到原式=1-1/n（当n趋于无穷大时）。
五、分式裂项相消法分式裂项相消法是一种将分式拆分成多个分式的和或差，然后约简的方法。
以下是一个分式裂项相消法的例子：求分式：(a^2-b^2)/(a^2+b^2)的值。
解答：原式=(a^2-b^2)/(a^2+b^2)=(a-b)(a+b)/(a^2+b^2)=(a-b)/(a+b)+(a+b) /(a-b)。
分数裂项巧算方法
分数裂项巧算方法宝子们，今天咱们来唠唠分数裂项这个超有趣的巧算方法哦。
分数裂项呢，就像是把一个大的分数拆成几个小分数的组合，就像把一个大蛋糕切成好几块小蛋糕一样。
常见的有裂和与裂差两种类型。
先说说裂差吧。
比如说像这样的式子：(1)/(n(n + 1))，它就可以裂成(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
你看，是不是很神奇呢？那如果是(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+(1)/(4×5)这样的式子，我们就可以把每一项都按照这个方法裂项。
变成((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+((1)/(4)-(1)/(5))。
然后你会发现中间的那些分数就像玩消消乐一样，都消掉啦，最后就只剩下(1)/(2)-(1)/(5)=(3)/(10)，是不是超级简单呢？再来说说裂和。
有一些式子像(n + 1)/(n(n + 1))，这个就可以裂成(1)/(n)+(1)/(n + 1)。
比如说计算(2)/(1×2)+(3)/(2×3)+(4)/(3×4)，把每一项按照裂和来处理，就变成(1+(1)/(2))+((1)/(2)+(1)/(3))+((1)/(3)+(1)/(4))。
这里呢，就可以把相同分母的分数加起来，最后得到1 + (3)/(2)+(1)/(4)=(9)/(4)。
宝子们，在做分数裂项的时候呀，一定要先看清楚式子的类型，是裂差还是裂和。
还有哦，裂项之后要仔细检查一下有没有漏项或者符号弄错的情况。
只要掌握了这个小技巧，好多看起来很复杂的分数计算就变得轻松愉快啦。
就像找到了一把小钥匙，打开了分数计算的趣味大门呢。
所以呀，大家要多多练习这种分数裂项的方法哦，这样在数学的小世界里就能玩得更转啦。
分数裂项的知识点总结
分数裂项的知识点总结一、分数裂项的定义在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。
通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。
分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。
1. 分母为线性函数的分数裂项当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。
然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
2. 分母为二次函数的分数裂项当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。
具体的步骤如下：首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。
然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。
最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。
例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。
二、常见的分数裂项技巧在分数裂项的过程中，我们常常会遇到一些特殊的情况，这时需要灵活运用一些分数裂项的技巧来处理。
下面列举一些常见的分数裂项技巧：1. 使用齐次化简：当分母中含有根式或者复杂的二次函数时，我们可以使用齐次化简的方法，将其化为一般的二次函数，便于进行分数裂项。
2. 对待定系数进行适当取值：在进行部分分式分解时，我们可以通过适当取值来简化未知数的计算，例如取特殊值或者代入简单的方程组。
分数裂项求和方法总结
分数裂项求和方法总结（一）用裂项法求n（_i_）型分数求和1 1分析：因为------ -------n n 1n 1 n n(n 1)n(n 1)（n为自然数）n（n 1）所以有裂项公式:1 1 1n(n 1) n n 1【例1】10 11111 12的和。
59 601 110 60丄12（二）用裂项法求乔七型分数求和分析: 型。
（n,k均为自然数）n（n k）因为1(1所以【例2】n(nk)] n(n k)n(n k)")1计算5 7 9 11 11 13 13 151勺1(1 9 2'91 1、，1 1 )(丄(丄丄)2 11 131 1)(丄(1 1)2 5 7111-[( )( )( ,、 ,、2 5 7 7 9 9 11 11 13 13 152[515]丄15（三）用裂项法求—「型分数求和n（n k）分析：k- 型（n,k均为自然数）n（n k）1 1 _ n k n kn n k n(n k) n(n k) n(n k)所以k _ 11n(n k) n n k亠2 2 2 2【例3】求2的和1 3 3 5 5 7 97 99（四）用裂项法求仝型分数求和n(n k)(n 2k)分析：2k 均为自然数）分析：n（n k)(n (n,k2k)2k 1 1n(n k)( n 2k) n(n k) (n k)( n 2k)【例4】计算：-4 4 4 4 1 1 1 1(1 3)( ) (-3 5 5 1 1999899(1 1 ) ( 1 1 )(93 9595 97)(95 9797 99)1 1 1 、 “ 1 1 、“ 11 、、[( )()... ...(-)]3 1 2 32 3 4 2 3 4 3 4 5 17 18 19 18 19 20丄[1 1]3 1 2 3 18 19 201139 20520(五)用裂项法求1型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k) 分析：1（n,k 均为自然数）n(n k)( n 2k)(n 3k)1 1 1 n(n k)(n 2k)(n 3k) 3k (n(n k)( n 2k)1(n k)(n 2k)(n3k)【例5】1 1 计算：1234 2 3 4 5117 18 19 203k11n(n k)( n 2k)(n3k) n(n k)( n 2 k) (n k)( n 2k)(n 3k)【例6】计算：-3 3 3分析:(n,k 均为自然数)1 (1 3 1、( 1 1、 3 5) (3 5 5 7)111 3 97 99 32009603(六)用裂项法求 n(n k)(n 2k)(n 3k)型分数求和n(n k)(n 2k)(n 3k)(1 1 ) ( 1 1 )(1 2 3 2 3 4) (2 3 4 3 4 5)1 11 2 3 18 19 2011396840（七）用裂项法求复合型分数和（例题略）( 1 1 )(17 18 19 18 19 20)。
《分数裂项法总结》课件
随着计算机技术的发展，可以开发更高效的算法和工具来支持分数裂 项法的应用，提高计算效率和精度。
拓展分数裂项法的应用领域
除了数学和物理领域，分数裂项法还可以拓展应用到其他领域，如金 融、经济、生物等，为解决实际问题提供更多有效的工具。
加强教学方法的改进
针对分数裂项法的教学，可以进一步改进教学方法，提高教学效果， 帮助学生更好地掌握这一重要的数学技能。
感谢您的观看
THANKS
02
整数裂项法是将整数拆 分成易于计算的形式， 如将2n拆分成n+n。
03
差商裂项法是将分数的 分子和分母分别拆分成 两个部分，然后进行化 简。
04
分母有理化是将分数的 分母化为有理数的形式 ，以便进行计算。
03 分数裂项法的实例解析
分数裂项法在数学题目中的应用实例
分数裂项法在数学题目中有着广泛的应 用，可以帮助我们简化复杂的分数计算 。例如，我们可以将一个分数拆分成两 个或多个分数的和或差，从而简化计算
提高解题效率。
03
分数裂项法的优点和局限性
分数裂项法的优点在于能够简化复杂问题，提高计算效率和准确性。然
而，该方法也存在一定的局限性，如对于某些特殊形式的分数，可能无
法找到合适的拆分方式。
对分数裂项法的展望和未来发展方向
继续深入研究分数裂项法
未来可以进一步深入研究分数裂项法的理论和应用，探索更多适用于 该方法的数学模型和实际应用场景。
分数裂项法的练习题
练习题1
将分数1/6进行裂项，使其变为两 个分数之和。
练习题2
将分数2/7进行裂项，使其变为三 个分数之和。
练习题3
将分数3/8进行裂项，使其变为四个 分数之和。
数列分数裂项公式
数列分数裂项公式一、数列分数裂项的基本形式。
（一）分母为两个连续自然数相乘的形式。
1. 公式。
- 对于数列(1)/(n(n + 1))，其裂项公式为(1)/(n(n+1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。
- 例如，当n = 1时，(1)/(1×(1 + 1))=(1)/(1)-(1)/(2)=1-(1)/(2)=(1)/(2)；当n = 2时，(1)/(2×(2+1))=(1)/(2)-(1)/(3)=(1)/(6)。
2. 证明。
- 我们对(1)/(n)-(1)/(n + 1)进行通分，得到(n + 1)/(n(n + 1))-(n)/(n(n + 1))=(n + 1 - n)/(n(n + 1))=(1)/(n(n + 1))，从而证明了该裂项公式的正确性。
（二）分母为两个相差d（d为常数）的自然数相乘的形式。
1. 公式。
- 对于数列(1)/(n(n + d))，其裂项公式为(1)/(n(n + d))=(1)/(d)((1)/(n)-(1)/(n + d))。
- 例如，当n = 1，d = 2时，(1)/(1×(1+2))=(1)/(2)((1)/(1)-(1)/(3))=(1)/(2)×(2)/(3)=(1)/(3)。
2. 证明。
- 对(1)/(d)((1)/(n)-(1)/(n + d))进行通分，(1)/(d)×(n + d - n)/(n(n + d))=(1)/(n(n +d))，证明了该公式。
二、数列分数裂项在求和中的应用。
（一）简单求和。
1. 例题。
- 求数列(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(99×100)的和。
- 解：根据裂项公式(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)，原式可转化为(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(99)-(1)/(100))。
分数裂项公式大全
分数裂项公式大全
分数裂项公式是指将一个分数写成两个或多个分数之和的表达式。
以下是常见的分数裂项公式大全：
1. 一个分数的裂项公式：如果a、b、c均为整数且c ≠ 0，则有：
a/b = (a \cdot c + b \cdot c)/(b \cdot c)
这个公式可以将一个分数拆分为两个分数之和。
2. 分数的倒数裂项公式：如果a、b、c均为整数且b ≠ 0，则有：
1/(a/b) = b/a
这个公式可以将一个分数的倒数拆分为等值的另一个分数。
3. 分数的和的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的和拆分为一个分数。
4. 分数的差的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) - (c/d) = (ad - bc)/(bd)
这个公式可以将两个分数的差拆分为一个分数。
5. 分数的积的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) \cdot (c/d) = (ac)/(bd)
这个公式可以将两个分数的积拆分为一个分数。
6. 分数的商的裂项公式：如果a、b、c、d、e、f均为整数且b、
d、f ≠ 0，则有：
(a/b) ÷ (c/d) = (ad)/(bc)
这个公式可以将两个分数的商拆分为一个分数。
这些是常见的分数裂项公式，可以帮助你在计算和简化分数的过程中进行分数的拆分和合并。
分数裂项法总结
裂项法的注意事项
在使用裂项法时，需要注意以下几点：首先，要确保拆分 的分数是正确的，即拆分后的分数之差或商等于原分数； 其次，要注意运算的优先级，确保计算的准确性；最后， 要注意简化计算过程，尽可能减少计算的复杂度。
此外，对于一些特殊的分数，如分母为平方数或立方数的 分数，可以使用特定的裂项法进行计算，以简化计算过程 。
分数裂项法之立方差法
立方差法的概念
立方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个分数的立方差，可以简化计 算过程。
立方差法的应用
立方差法在数学和工程等领域中都有广泛的应用。例如，在解决几何问题时，立方差法可以帮助我们更好地理解和计 算立体图形的体积。
立方差法技巧
在使用立方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需要注意保持拆 分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
平方差法是一种将分数拆分成易于计算的形式的方法。通过将一个分数拆分成两个或多个 分数的平方差，可以简化计算过程。
平方差法的应用
平方差法在数学和物理等领域中都有广泛的应用。例如，在解决代数问题时，平方差法可 以帮助我们更好地理解和计算表达式的值。
平方差法的技巧
在使用平方差法时，需要注意选择合适的拆分方式，以使计算过程更加简便。同时，还需 要注意保持拆分后的分数与原分数相等，以避免出现计算错误。
分数裂项法在日常生活中的应用
在日常生活中，我们也会遇到许多涉及到分 数的问题，如时间、金钱等。通过运用分数 裂项法，我们可以更好地理解和处理这些问 题。
例如，在时间管理中，可以将一天的时间拆 分成小时、分钟等部分，以便更好地安排工 作和休息时间；在理财中，可以将一笔钱拆 分成不同的用途和投资方式，以便更好地实
(word完整版)分数裂项
分数裂项
分数裂项知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。
很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了.
分数裂项是整个奥数知识体系中的一个精华部分,列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现,对学生要求较高。
将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项,常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。
遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系,找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程,这样的话，找到相邻两项的相似部分,让它们消去才是最根本的。
分数裂项法总结.知识讲解
若干个分数连加，如果每个分数的 分母，都是两个相邻自然数相乘， 且分子是1时，就可以利用裂项法 式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
判断：
判断：
判断：
1111111 2 6 12 20 30 42 56
1＋ 1＋ 1＋ L＋ 1 1 2 2 33 4 2 0 1 0 2 0 1 1
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一 .分 母 是 两 个 相 邻 数 裂 项 法 总 结 ：
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消去中间留下两边即：
总结：
1 1 2
1 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
1 n 1
n n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消 去 中 间 留 下 两 边 .即 ：
分数裂项法
分数裂项法是一种常用的计算分数的方法，通过将分数拆分为多个分数的和或差，使得计算变得简单和方便。
一般来说，分数裂项法适用于两个分数的分母不同的情况。
通过将两个分数的分母相乘，然后将分子分别乘以对方的分母，最后将结果相加即可得到乘积。
例如，计算分数乘法：2/3 ×4/5，可以将两个分数的分母相乘得到分母为15，然后将2/3的分子2乘以4/5的分母5，得到2×5=10，将4/5的分子4乘以2/3的分母3，得到4×3=12，将10和12相加得到乘积的分子为10+12=22，所以，2/3 ×4/5 = 22/15。
此外，还有分子裂项法，适用于两个分数的分子较大的情况。
通过将一个分数的分子分别乘以另一个分数的分子和分母，然后将结果相加得到乘积的分子。
例如，计算分数乘法：7/4 ×3/2，可以将7/4的分子7分别乘以3和2，得到7×3=21和7×2=14，然后将两个结果相加得到乘积的分子为21+14=35，所以，7/4 ×3/2 = 35/8。
另外，还有通分裂项法，通过将两个分数的分母相乘，然后将分子分别乘以对方的分母，最后将结果相加即可得到乘积。
这种方法适用于两个分数的分母不同的情况。
例如，计算分数乘法：1/3 ×3/4，可以将两个分数的分母相乘得到分母为12，然后将1/3的分子1乘以3/4的分母4得到1×4=4，将3/4的分子3乘以1/3的分母3得到3×3=9，然后将两个结果相加得到乘积的分子为4+9=13，所以，1/3 ×3/4 = 13/12。
此外，还有共用数裂项法，通过找出一个数来代表全部的数，使得计算变得简单和方便。
例如，计算分数加法：1/3 + 2/4 + 3/6。
可以找一个数来代表这三个分数，这个数为2072+2052+2062+2042+2083 =（2062x5）+10-10-20+21 =10310+1 =10311。
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2233445566778
1 1 8 若干个分数连加，如果每个分数的分母，
7 8
练习：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂差公式，把每个分数拆成两 个分数单位的差，消去中间留下两边.
n 2n 1
练习1
Sn
1 1 4
1 47
1 7 10
1
(3n 2)(3n 1)
解：
1 1 11 1 11 1
11
1
Sn
(1 ) ( ) ( 3 4 34 7 37
) 10
(
)
3 3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
n n 1
习
练
题
1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 56
111111 34 45 56 67 78 89
11 1 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42 56
1 ＋ 1 ＋ 1 ＋L ＋
1
1 2 23 3 4
就可以利用裂项法公式： n
1 (n
1)
1 n
1 n 1
把每个分数拆成两个分数单位的差，消 23
L
L
(n
1 1)
n
1 n(n
1)
1
n
1 1
n
n 1
分数裂项的减法形式举例如下:
通分与拆分互逆：
Q 11 3 2 1 2 3 23 23 6
11 2 5 7 35
11 1 5 7 57
1 1 （1 1） 57 2 5 7
求和：1 1 1 1 1 1 1 13 35 5 7 79 911 1113 1315
解：原式 1 （1 1) 1 （1 1) 1 （ 1 1 ) 1 （ 1 1 )
1＝ 3 2 ＝1 1 6 23 23 2 3
一、两个相邻数裂项解析
1 1 23 6
1 1 1 23 6
1 1 78 56
11 1 7 8 56
1 1 1 23 6
11 1 7 8 56
根据上述式子， 你有发现什么 规律吗？
规律分数的分母必须是相邻的 自然数相乘;分子必须是1.
一.两个相邻数裂项解析：分数的分母必
须是相邻的自然数相乘;分子必须是1.
1 1
23 6
1 1 1
1 1 1 23 6
23 6
1 1
78 56 11 1 7 8 56
11 1 7 8 56
注意：分数的分母必
须是相邻的自然数;分
1 1
子必须是1
5 7 35
11 2 5 7 35
11 1 5 6 30
3 3
11 1 5 7 57
11 3 5 6 56
总结： 1 1 1 n (n 1) n n 1
5 6 30
求和：1 1 1 1 1 1 1 1 2 23 3 4 45 5 6 6 7 78
解：原式 1 1 (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) (1 1) 12 23 34 45 56 67 78
2 13 2 35
2 11 13 2 13 15
1 （1 1 1 1 1 1 1 1 )
2
335
11 13 13 15
1 （1 1 ) 2 15
7 15
总结：
1 1 3
1 35
1 (2n 1) （2n 1）
1（1 1 ） 2 2n 1
2010 2011
总结：
1 1 1 1
1 2 23
(n 1) n n (n 1)
1 1 n 1
n n 1
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边.即：
1 1 L L 1 1
1 2 23
(n 1) n n(n 1)
一、两个相邻数裂项方法：
若干个分数连加，如果每个分数的 分母，都是两个相邻自然数相乘， 且分子是1时，就可以利用裂项法 式，把每个分数拆成两个分数单位
的差，消去中间留下两边.
一、两个相邻数裂项：
一.分母是两个相邻数裂项：若干个分数连加，如果每个分数的分母，
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时，
1 1 n 1
n n 1
一、两个不相邻数裂项方法：若
干个分数连加，如果每个分数的分母，
判断：
都是两个相邻自然数相乘，且分子是1 就可以利用裂项法公式，把每个分数拆 成两个分数单位的差，简便（抵消）计
算。消去中间留下两边. 如果分子不为1且相同时，可以把
相同的分子提出来，使分子变为1。
1 1 5 7 35
1 1 1 n(n 1) n n 1 即：把每个分数拆成两个分数单位的差， 消去中间留下两边.
一.分母是两个相邻数裂项法总结：
把每个分数拆成两个分数单位的差，
消去中间留下两边.即：
1 1 L L 1 1
1 2 23
(n 1) n n(n 1)
1 1 n 1
判断：
判断：
判断：
求和 1 1 1 1
1 2 23
98 99 99 100
举例解析：裂项基础之黄金数列
1 1 L L 1 1
1 2 23
9899 99100
1 1 100
99 .消去中间留下两边.
100
一.分母是两个相邻数裂项： 若干个分数连加，如果每个分数的分母， 都是两个相邻自然数相乘，且分子是1时， 就可以利用裂项法公式：