力矩的功,刚体绕定轴转动的动量定理

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刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。

2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。

（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。

3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。

练习：1角动量守恒的条件是。

0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。

(完整版)刚体转动守恒定律

速度0＝0，下摆到竖直位置时的角速度为，按力矩的功和转动动能增量的关系式得
定轴转动的动能定理
mg l 1 J 2
22
由此得 mgl
J
因 J 1 ml 2 代入上式得 3g
3
J
所以细棒在竖直位置时，端点A和中心点C的速度
分别为
vA l 3gl
vC
l
2
1 2
3gl
刚体的平面平行运动
c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。
定轴转动刚体的角动量守恒定律
直线运动与定轴转动规律对照
质点的直线运动
v dx dt
dv d2 x a dt dt2
P mv F
EK
1 mv2 2
m
dA Fdx Fdt
刚体的定轴转动
d
dt
d
dt
Mz
dLz dt
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理的微分形式：
t2 t1
M
d
t
J
J0
t2 M d t为t t2 t1时间内力矩M 对给定轴的冲量矩
t1
。
2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律
角动量守恒定律：若一个系统一段时间内
所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。
解先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O
棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小

1-4 力矩做功动能定理动量守恒定理解析

刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚
体转动动能的增量。
例1:如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。
2 r1 2 r
1 1 2 2 ml mvl ml 3 3
2
d
第一章力学基本定律
1-4 力矩做功动能定理动量守恒定理
解:（1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得
m 2 1 2 J r1 r2 5000 0.3 2 0.2 2 kg m 2 2 2 325kg m 2
第一章力学基本定律
1-4 力矩做功动能定理动量守恒定理
O
解：这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能零点，用表示棒这时的角速度,则
C
l 1 2 11 2 2 mg J ＝ ml 2 2 2 3
（1）
第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。
第一章力学基本定律
1-4 力矩做功动能定理动量守恒定理
这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对 O轴的角动量守恒。我们用 v 表示物体碰撞后的速度，则
则物体在 d t 时间内转过角位移 d
外力矩所做元功为：
dt

刚体定轴转动的转动定律

R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一用牛顿第二运动定律及转动定律求解.分析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用转动定律有 TR J 物体下降的加速度的大小就是转动时滑轮边缘上切向加速度，所以
o R M

T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解作示意图如右,由于质量连续分布，所以由转动惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R

2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解如图所示, 由于质量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解彗星受太阳引力的作用，而引力通过了太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日因为 r近日 v近日，r远日 v远日
r近日v近日所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m

R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮，可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计绳子，绳子一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物体，问物体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？

大学物理3_4 刚体绕定轴转动的动能定理

t 3 3 3 5 3 2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章刚体的转动
例3 留声机的转盘绕通过盘心垂直盘面的轴以角速度作匀速转动.放上唱片后,唱片将在摩擦力作用下随转盘一起转动.设唱片的半径为 R 、质量为 m ,它与转盘间的摩擦系数为 .求(1)唱片与转盘间的摩擦力矩;(2)唱片达到角速度需要多长时间;(3)在这段时间内,转盘的驱动力矩作了多少功? 解 (1)如图所示,在唱片上取长为 dl 宽为 dr 的面积元 dS dldr ,该面积元所受的摩擦力为:
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 W J J0 mR 0 mR 2 2 2 2 4
3–4
第三章刚体的转动刚体绕定轴转动的动能定理例3-11 一长为 l , 质量为 m0 的均质细竿可绕支点O自由转动 . 一质量为 m、速率为 v0 的子弹射入竿内一端，使竿的偏转角为30º 问子弹的初速率为多少 ? .
加速度
力质量
dr v dt dv a dt
F
d 角速度 dt d 角加速度 dt
力矩

M
m
转动惯量 J
动量
P mv
角动量
L J
r
dm
2
3–4
刚体绕定轴转动的动能定理
第三章刚体的转动
质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动刚体的定轴转动
EPB EkB EPA EkA
3–4
第三章刚体的转动刚体绕定轴转动的动能定理 1 2 4 2 2 J J1 J 2 ml ml ml 3 3
取A点的重力势能为零,即则有而
EPA 0

刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达式

刚体绕定轴转动定律和角动量定理的表达
式
刚体绕定轴转动定律和角动量定理是物理学中的一对重要定律，它们描述了刚体绕定轴转动的动力学过程。

首先，刚体绕定轴转动定律表明，当刚体绕定轴转动时，角加速度与作用于该刚体的合力成正比，且方向与合力方向一致，可用公式表示为：α=F/I，其中α为角加速度，F为合力，I为惯性矩。

其次，角动量定理表明，刚体绕定轴转动时，角动量的变化量等于作用于刚体的合力矩的积分，可以用公式表示为：ΔL=∫F·ds，其中ΔL为角动量的变化量，F为合力，ds为沿着转动轴的增量。

这两个定律对刚体绕定轴转动的过程有着重要的解释作用。

它们揭示了角加速度与合力之间的关系，以及角动量的变化量与合力矩之间的关系。

同时，它们也为刚体绕定轴转动的动力学研究提供了重要的参考依据，从而为我们更好地理解刚体绕定轴转动的动力学过程提供指导。

总之，刚体绕定轴转动定律和角动量定理是物理学中的重要定律，它们描述了刚体绕定轴转动的动力学过程，并为我们更好地理解刚体绕定轴转动的动力学过程提供指导。

刚体力学_功动能定理

m
.
N
R
m1
m2 解: 把m1、m2和m看作一系统系统所受 m g 看作一系统,系统所受看作一系统 1 m2 g 合外力有重力m 、合外力有重力 1g、m2g,这两个力对轴这两个力对轴支撑力N通过转轴的力矩分别为m 的力矩分别为 1gR、m2gR;支撑力通过转轴对轴的力、支撑力通过转轴,对轴的力矩为零.加上阻力矩加上阻力矩M 系统所受合外力矩为顺时针为正) 系统所受合外力矩为(顺时针为正矩为零加上阻力矩 f ,系统所受合外力矩为顺时针为正 M=m2gR-m1gR-Mf 系统的总角动量为(顺时针为正顺时针为正) 系统的角 m: Jω 系统的总角动量为顺时针为正动量包括 m1: Rm1v L=Jω+Rm1v+Rm2v m2: Rm2v
1 1 1 2 2 2 mv 0 = mv + Jω 2 2 2
的圆盘，例一质量为 m' 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂圆盘上绕有轻绳，直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，问物体由静止下落高度一端挂质量为m 一端挂质量为的物体 . 问物体由静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少? 其速度的大小为多少设绳的质量忽略不计 . v 对圆盘做功，解1 拉力 FT 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动 v 能定理可得，能定理可得，拉力 FT 的力矩所作的功为
o
圆锥摆
o
v θ T
'
m
v v
v p
o
v v
R
以子弹和杆为系统守恒；动量不守恒；守恒；角动量守恒；机械能不守恒 .
圆锥摆系统守恒；动量不守恒；对 O'O 轴角动量守恒；守恒；机械能守恒 .

44力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理

19
7
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4-4 力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理
o
圆锥摆
'
圆锥摆系统
动量不守恒；
R
T
m
p
o
v
角动量守恒；机械能守恒．
8
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4-4 力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理
例：如图，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔O，绳的一端系有一质量为m的小球并放在桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度0 绕孔O 作半径r 的匀速圆周运动, 现在向下缓慢拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止求：这一过程中拉力的功。
Mgh
2 Mgh kh h 1 零势面 M m 2 (2)弹簧伸长最大时，M 的速度应为零。上式中令v=0，得弹
1 J mr 2 , v r 2
2
Mv
J kh 2 2
由此解得： v
2
M
簧的最大伸长量为：hmax 2 Mg / k
12
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4-4 力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理
3
细杆绕质心转动的转动惯量： J c 1 Ml 2
(4)
m
联立求解上述方程组

2m v 4m M 0 欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使 v1 v2 v2
6mv 0 l ( 4m M )
v1 4m M v0 4m M
(即两者运动一样快)，条件为：M=2m
17
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——刚体绕定轴转动的动能定理
比较
1 1 2 2 W F dr mv2 mv1 2 2
4
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4-4 力矩的功刚体绕定轴转动的动能定理

刚体的转动

解以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向做正交分解，如图所示

力矩与功

即恒力矩对绕定轴转动的刚体所作的功，等于力矩的大小与转过的角度θ的乘
中，对棒和地球系统，外力（轴对棒）不作功，
由于碰撞时间极短，
轴的角动
经典力学）的确定性。

即如果知道物体初始的运动状态以及运动过程中的受力情况，那么就可以根据牛顿运动定律列出物体的运动方程，从而可以确知物体在任意时刻的运动状态。

事实上，确定性的确取得了大量令人振奋的成就，如哈雷彗星回归时间的预测、海王星的发现、宇宙飞船与空间站的对接和返回地
然而事实上，物体的运动并非都是只按照确定性进行的，在许多情况下，物体的运动还表现出相当明显的偶然性、随机性。

例如，作抛体运动的物体的运动轨迹会因为空气的阻力、温度和湿度、风速等因素的影响而发生随机的变化。

表现物体运动随机性的最典型的例子是布朗运动。

如图是藤黄粒子在水中
x3
图（1）
222ωJ
3l Mg
2。

刚体力学第2讲——定轴转动中的功能关系刚体的角动量定理和角动量守恒定律

圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度w0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转
动相反方向作圆周运动(如图) 求：1) 圆盘对地的角速度．
2）欲使圆盘对地静止，人应沿着圆周对圆盘的速度的大小及方向？
R

R/2 v
解：取人和盘为系统，
M 外 0 系统的角动量守恒.
R /2
Ro
v
(1)开始系统的角动量为

m
12 R
2

0
1 2
M
R 20
后来：
m
1 4
R 2 mE
1 2
M
R 2 ME
mE ME mM 21 M R 20 / 40
R /2
Ro
v
MR 40
2

ME

2v R

M
R 2 ME
/2
为
亦即l>6s；当‘’取负值，则棒向右摆，其条件为
3gl 3 2gs 0 亦即l<6s
棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得：
mgh 1 1 ml 2 2
23
把式（5）代入上式，所求结果为
h l 3s 6sl
解这个问题可分为三个
阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这
O
时除重力外，其余内力与
外力都不作功，所以机械
能守恒。我们把棒在竖直
C
位置时质心所在处取为势
能零点，用表示棒这时
的角速度，则
mg l 1 J 2＝1 1 ml 2 2
22
23
（1）

刚体转动守恒定律

2
)
2
Ek

1 2
J2
刚体转动动能
三.定轴转动的动能定理
根据定轴转动定理
M d J
dt
则物体在 d时t 间内转过角位移 d 时 dt
外力矩所做元功为：
dA Md d J d Jd d Jd
dt
dt
总外力矩对刚体所作的功为：
A
2 Md
讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变，
当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当M z 0时， J =恒量 =恒量
定轴转动刚体的角动量守恒定律
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系
统的角动量依然守恒。J 大→ 小,J 小→ 大。
当M z 0时， Lz J11 J22 恒量
是变力矩，大小等于mg(l /2) cos ，棒转过一极
小的角位移d 时，重力矩所作的元功是
dA mg l cosd
2
在使棒从水平位置下摆到竖直位置过程中，重力
矩所作的功是
A dA

02
mg
l 2
cosd

mg l 2
应该指出：重力矩作的功就是重力作的功，也可
用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角
解先对细棒OA所受的力
作一分析；重力G 作用在 O

棒的中心点C，方向竖直向
下；轴和棒之间没有摩擦
力，轴对棒作用的支承力N
垂直于棒和轴的接触面且
通过O点，在棒的下摆过
G
程中，此力的方向和大小
是随时改变的。

A
A
定轴转动的动能定理
在棒的下摆过程中，对转轴O而言，支撑力N通过

第4章-刚体转动

例1 如图, 有一半径为 R 质量为 m的匀质圆盘, 可绕
通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动. 转轴与圆盘之间的
摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 绳的一端固
定在圆盘上, 另一端系质量为 m 的物体. 试求物体下落
时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度.
m
Ro
m
oR
m
T
m
T'
Py
解：1）分析受力 2）选取坐标
2 刚体定轴转动的角动量
L mirivi ( miri2 )
i
i
L J
单位：kg·m2·s-1，量纲：ML2T-1
二刚体定轴转动的角动量定理
z
O ri
vi
mi
dL d(J) J d J M
dt dt
dt
t2
t1
Mdt t2 Mdt
t1
L2
L1
dL L2 dL
L1
J2 J1
➢ 角速度矢量 lim d
t t0 dt
方向: 右手螺旋方向
参考轴
6
4-1 刚体的定轴转动
➢ 刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以用角速
度的正负来表示 .
➢
角加速度
d
dt
z
z
定轴转动的特点
0 0
1） 2）
每任一一质质点点均运作动圆周 ,运动,，均圆相面同为，转但动v平,面a 不；同；
球体（沿任一直径）：圆筒（沿几何中心轴）：
J 2 mR2 5
J m 2
R12 R22
21
4-2 力矩转动定律转动惯量
讨论 ➢ 有两个飞轮：一个是木制的，周围镶上铁制

1-4 力矩做功动能定理动量守恒定理

第一章力学基本定律
1-4 力矩做功动能定理动量守恒定理
解:把飞船和排出的废气看作一个系统，废气质量为m。可以认为废气质量远小于飞船的质量， dm/2

u Lg u r L0

dm/2
所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即
L＝J 0
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体，这些气体对中心轴的角动量为dm r(u+v)，方向与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为
当M z 0时， Lz J11 J 22 恒量
c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。例1: 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过O的水平轴转动，如图。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为。相撞后物体沿地面滑行s而停止。求撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
1 2 l E0 J mg (a ) 2 2
l a E m0 ga(1 cos ) mg (a cos ) 2

m0
势能零点
第一章力学基本定律
1-4 力矩做功动能定理动量守恒定理由机械能守恒，E=E0, 代入=300，得：
1 2 l 1 l 1 J mg (a ) m0 ga(1 ) mg (a ) 2 2 2 22
1 2 J 2
2n飞 2n电 d电 60 60 d飞
2

转动定理的积分形式力矩对时间和空间的累积效应

刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定
0
轴转动的刚体所作的功
W＝
1 2
J
2－
1 2
J
2 0
等于刚体的转动动能的增量。
例题：如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，可绕一无摩擦的水平轴转动。圆盘上绕有轻绳，一端悬挂质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多
少？设绳的质量忽略不计。
dW
Fvgdrv
F
drv
cos
2
Frd
sin
dW Md
W Md
说明：力矩作功的实质仍然是力作功。只是
对于刚体转动的情况，这个功不是用力的位移来表示，而是用力矩的角位移来表示。
0
2、力矩的功率
（1）定义：
单位时间内力矩对刚体所作的功。
（2）公式
P dW ＝M d M
dt
dt
功率一定时，转速越大，力矩越小；转速越小，力矩越大。
一、刚体定轴转动的角动量定理
v
定轴转动定理
v M
v dL
同牛顿第二定律
v F
dpv
dt
dt
类似，以微分形式反映了力或力矩对刚体质点或质点系的瞬时作用规律。如果我们要考虑一段时间内外力矩对刚体的作用效果，则可对转动定理
表式对时间积分可得积分形式——刚体定轴转动的角动量定理
由
M
dL
dt
得
Mdt dL
（3）意义
表示力矩对刚体作功的快慢
3、刚体的转动动能
刚体以角速度ω作定轴转动，取一质元Δmi，距转轴 ri，则此质元的速度为vi=riω，
动能为ห้องสมุดไป่ตู้