05质点系运动定理一解答
大学物理-质点和质点系的动量定理
二
质点系的动量定理
质点系
对两质点分别应用 质点动量定理：
t2
F1
F21 F12
m1
F2
m2
( F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t1 t2 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20
t1
8
3-1 质点和质点系的动量定理
x
设t时刻，己有x长一段落到桌上，此时系统总动量
p ( l x )v
dp 2 v ( l x ) g dt
23
3-1 质点和质点系的动量定理
t时刻，系统受合外力
根据动量定理:
F (l x) g
桌对绳的冲力
dp 2 v (l x) g F (l x) g dt
t1
6
t1 t2
t1 t2
某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
3-1 质点和质点系的动量定理 (3)动量定理的适用条件： 一切惯性参照系; 对非惯性参照系，在考虑了惯性力之后，动 量定理成立。 (4)单质点的动量守恒定理：单质点受到的合外 力为0时，其动量守恒。
mv1 mv2
7
3-1 质点和质点系的动量定理
t1 (F1 F12 )dt m1v1 m1v10 t2 t1 (F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得： t2 ( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
I (m v ) m v 2 m v 1
由 A B ， I mv mv x Bx Ax
练习册第2章《质点力学的运动定律守恒定律》答案（1）
练习册第2章《质点⼒学的运动定律守恒定律》答案（1）第2章质点⼒学的运动定律守恒定律⼀、选择题1(C)，2(E)，3(D)，4(C)，5(C)，6(B)，7(C)，8(C)，9(B)，10(C)，11(D)，12(A)，13(D)⼆、填空题(1). ω2=12rad/s ，A=0.027J (2). 290J (3). 3J (4). 18 N ·s(5). j t i t 2323+ (SI) (6). 16 N ·s ， 176 J (7). 16 N ·s ，176 J (8). M k l /0，Mknm M Ml +0(9). j i5- (10).2m v ，指向正西南或南偏西45°三、计算题1. 已知⼀质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引⼒的作⽤，引⼒⼤⼩与质点离原点的距离x 的平⽅成反⽐，即2/x k f -=，k 是⽐例常数．设质点在 x =A 时的速度为零，求质点在x =A /4处的速度的⼤⼩．解：根据⽜顿第⼆定律x m t x x m t m xk f d d d d d d d d 2vv v v =?==-= ∴ ??-=-=4/202d d ,d d A Ax mx kmx x k v v v v vk mAA A m k 3)14(212=-=v ∴ )/(6mA k =v2. 质量为m 的⼦弹以速度v 0⽔平射⼊沙⼟中，设⼦弹所受阻⼒与速度反向，⼤⼩与速度成正⽐，⽐例系数为Ｋ，忽略⼦弹的重⼒，求：(1) ⼦弹射⼊沙⼟后，速度随时间变化的函数式； (2) ⼦弹进⼊沙⼟的最⼤深度．解：(1) ⼦弹进⼊沙⼟后受⼒为－Ｋv ，由⽜顿定律tmK d d vv =- ∴ ??=-=-v v v v vv 0d d ,d d 0t t m K t m K∴ mKt /0e -=v v(2) 求最⼤深度解法⼀： t xd d =vt x mKt d ed /0-=vt x m Kt txd e d /000-?=v∴ )e 1()/(/0mKt K m x --=vK m x /0m ax v =解法⼆： x m t x x m t m K d d )d d )(d d (d d vvv v v ===- ∴ v d K mdx -=v v d d 000m a x ??-=K mx x∴ K m x /0m ax v =3. ⼀物体按规律x ＝ct 3在流体媒质中作直线运动，式中c 为常量，t 为时间．设媒质对物体的阻⼒正⽐于速度的平⽅，阻⼒系数为k ，试求物体由x ＝0运动到x ＝l 时，阻⼒所作的功．解：由x ＝ct 3可求物体的速度： 23d d ct tx==v 物体受到的阻⼒⼤⼩为： 343242299x kc t kc k f ===v ⼒对物体所作的功为：=W W d =-lx x kc 03432d 9 =7273732l kc -4. ⼀质量为2 kg 的质点，在xy 平⾯上运动，受到外⼒j t i F 2244-= (SI)的作⽤，t = 0时，它的初速度为j i430+=v (SI)，求t = 1 s 时质点的速度及受到的法向⼒n F .解： j t i m F a 2122/-==t a d /d v = ∴ t j t i d )122(d 2-=v=?vv vd ?-t t j t i 02d )122(∴ j t i t 3042-=-v vj t i t j t i t )44()23(42330-++=-+=v v当t = 1 s 时， i51=v 沿x 轴故这时， j a a y n12-==j a m F n n24-== (SI)5.⼀辆⽔平运动的装煤车，以速率v 0从煤⽃下⾯通过，每单位时间内有质量为m 0的煤卸⼊煤车．如果煤车的速率保持不变，煤车与钢轨间摩擦忽略不计，试求：(1) 牵引煤车的⼒的⼤⼩；(2) 牵引煤车所需功率的⼤⼩；(3) 牵引煤车所提供的能量中有多少转化为煤的动能？其余部分⽤于何处？解：(1) 以煤车和?t 时间内卸⼊车内的煤为研究对象，⽔平⽅向煤车受牵引⼒F 的作⽤，由动量定理： 000)(v v M t m M t F -+=?? 求出： 00v m F = (2) 2000v v m F P ==(3) 单位时间内煤获得的动能： 2021v m E K =单位时间内牵引煤车提供的能量为 P E ===21/E E K 50％即有50％的能量转变为煤的动能，其余部分⽤于在拖动煤时不可避免的滑动摩擦损耗．6.⼀链条总长为l ，质量为m ，放在桌⾯上，并使其部分下垂，下垂⼀段的长度为a ．设链条与桌⾯之间的滑动摩擦系数为µ．令链条由静⽌开始运动，则(1)到链条刚离开桌⾯的过程中，摩擦⼒对链条作了多少功？(2)链条刚离开桌⾯时的速率是多少？解：(1)建⽴如图坐标.某⼀时刻桌⾯上全链条长为y ,则摩擦⼒⼤⼩为 g lym f µ=摩擦⼒的功 ??--==0d d al al f y gy lmy f W µ=22al y lmg-µ =2)(2a l lmg--µ(2)以链条为对象，应⽤质点的动能定理 ∑W ＝222121v v m m - 其中 ∑W = W P ＋W f ，v 0 = 0 W P =?la x P d =la l mg x x l mg la 2)(d 22-=? 由上问知 la l mg W f 2)(2--=µal -a-a1)(22)(v m a l l mg l a l mg =---µ得 []21222)()(a l a l lg ---=µv7. 如图所⽰，在中间有⼀⼩孔O 的⽔平光滑桌⾯上放置⼀个⽤绳⼦连结的、质量m = 4 kg 的⼩块物体．绳的另⼀端穿过⼩孔下垂且⽤⼿拉住．开始时物体以半径R 0 = 0.5 m 在桌⾯上转动，其线速度是4 m/s ．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．⽽绳最多只能承受 600 N 的拉⼒．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R 等于多少？解：物体因受合外⼒矩为零，故⾓动量守恒．设开始时和绳被拉断时物体的切向速度、转动惯量、⾓速度分别为v 0、J 0、ω0和v 、J 、ω．则ωωJ J =00 ①因绳是缓慢地下拉，物体运动可始终视为圆周运动．①式可写成R mR R mR //20020v v =整理后得： v v /00R R =②物体作圆周运动的向⼼⼒由绳的张⼒提供 R m F /2v = 1分再由②式可得： 3/12020)/(F mR R v =当F = 600 N 时，绳刚好被拉断，此时物体的转动半径为R = 0.3 m8.设两个粒⼦之间相互作⽤⼒是排斥⼒，其⼤⼩与粒⼦间距离r 的函数关系为3r k f =，k 为正值常量，试求这两个粒⼦相距为r 时的势能．（设相互作⽤⼒为零的地⽅势能为零．）解：两个粒⼦的相互作⽤⼒ 3r k f =已知f ＝0即r ＝∞处为势能零点, 则势能∞∞∞=?==r r P P r r kW E d d 3r f)2(2r k =1. 汽车发动机内⽓体对活塞的推⼒以及各种传动部件之间的作⽤⼒能使汽车前进吗？使汽车前进的⼒是什么⼒？参考解答：汽车发动机内⽓体对活塞的推⼒以及各种传动部件之间的作⽤⼒都是汽车系统的内⼒，内⼒只会改变内部各质点的运动状态，不会改变系统的总动量，所以不能使汽车前进。
大学物理-质点运动定律习题思考题及答案
习题2-1. 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2) 子弹进入沙土的最大深度。
解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：dtdvmkv f =-=， 分离变量，可得：vdtdvm k =- 两边同时积分，所以：t m ke v v -=0 （2）子弹进入沙土的最大深度也就是v=0的时候子弹的位移，则：由vdt dv m k =- 可推出：dv km vdt -=，而这个式子两边积分就可以得到位移：00max 0v m mx vdt dv v k k==-=⎰⎰ 。
2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为M 、长度为L ，一端拴在竖直转轴OO ′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r 处绳中的张力T ( r )．解：在绳子中距离转轴为r 处取一小段绳子，假设其质量为dm ，可知：LMddm =，分析这dm 的绳子的受力情况，因为它做的是圆周运动，所以我们可列出： LMdrr rdm r dT 22ωω==）（。
距转轴为r 处绳中的张力T ( r )将提供的是r 以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：）（）（）（2222r L LM r dT r T Lr-==⎰ω2-3. 已知一质量为m 的质点在x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作用，引力大小与质点离原点的距离x 的平方成反比，即2/x k f -=，k 是比例常数．设质点在A x =时的速度为零，求质点在4/A x =处的速度的大小。
解：由题意和牛顿第二定律可得：dx dv mv dt dx dx dv m dt dv m xk f ===-=2再采取分离变量法可得：mvdv dx x k=-2 ， 两边同时取积分，则：mvdv dx xkv A A ⎰⎰=-024/ 所以：mAkv 6=2-4. 一质量为kg 2的质点，在xy 平面上运动，受到外力j i F 2244t -=(SI)的作用，0=t 时，它的初速度为j i v 430+=(SI)，求s t 1=时质点的速度及受到的法向力n F .解：由题意和牛顿第二定律可得：dtd m m va f ==，代入f 与v ，并两边积分，v j i md dt t vv ⎰⎰=-0)244(21， )]43([284j i v j i +-⨯=-i v 5=速度是i 方向，也就是切向的，所以法向的力是j 方向的，则24=-F j2-5. 如图，用质量为1m 的板车运载一质量为2m 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为μ，车与路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力F 为多少才能保证木箱不致滑动？解：根据题意，要使木箱不致于滑动，必须使板车与木箱具有相同的加速度，所以列式：21222msx F m gf a m m m m μ'===+可得：g m m F )(21+μ2-6. 如图所示一倾角为θ的斜面放在水平面上，斜面上放一木块，两者间摩擦系数为)(θμtg <。
05质点系运动定理一解答
F M
ex
0 mu 恒矢量 0 r mu 恒矢量
ex
in W ex Wnc 0 E 恒量
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
6. 如图，两个小球用不能伸长的细软线连接，垂直地 跨过固定在地面上、表面光滑的半径为R的圆柱，小球B 着地，小球A的质量为B的两倍，且恰与圆柱的轴心一样 高．由静止状态轻轻释放A，当A球到达地面后，B球继 续上升的最大高度是 (A) R． (B) 2R/3． (C) R/2. (D) R/3． A落地之前,由功能原理有,
解：由万有引力定律和牛顿第二定律有
Mm u2 GM F G 2 m u r r r
L r mu m GMr k
角动量的大小为 m GMr
方向垂直于轨道平面，与速度方向成右手螺旋关系
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
4. 如图，长为1m的细线，上端固定，下端悬挂质量为 2kg的小球.今将小球拉到悬线与竖直方向成45°角的位 置,然后无初速地把小球释放.求悬线与竖直方向成10° 角时，小球的速度u． 解: 在小球运动的过程中,将受到拉力 和重力的作用.拉力处处与运动方向垂 直不作功,重力为保守力,机械能守恒.
ex F maC M aC 根据质心运动定律,有
4i 4 j M aC a 2 m/s
理论力学第十一章 质点系动量定理讲解
结论与讨论
牛顿第二定律与 动量守恒
牛顿第二定律 动量定理 动量守恒定理
工程力学中的动量定理和动量守恒定理比 物理学中的相应的定理更加具有一般性，应 用的领域更加广泛，主要研究以地球为惯性 参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质 点系的动力学问题。这些问题的一般运动中 的动量往往是不守恒的。
结论与讨论
O
第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
第二种方法：先确定系统 的质心，以及质心的速度， B 然后计算系统的动量。
质点系动量定理应用于简单的刚体系统
例题1
y vA
A
O
解： 第一种方法：先计算各个质点 的动量，再求其矢量和。
p mA v A mB vB
建立Oxy坐标系。在角度为任 意值的情形下
p mi vi
i
§11-1 质点系动量定理
动量系的矢量和，称为质点系的动量，又称 为动量系的主矢量，简称为动量主矢。
p mi vi
i
根据质点系质心的位矢公式
mi ri
rC
i
m
mi vi
vC i m
p mvC
§11-1 质点系动量定理
质点系动量定理
对于质点
d pi dt
质点系动量定理应用
动量定理的
于开放质点系－定常质量流 定常流形式
考察1－2小段质量流，其 受力：
F1、F2－入口和出口 处横截面所受相邻质量流 的压力；
W－质量流的重力； FN－管壁约束力合力。
考察1－2小段质量流， v1、v2－入口和出口处质量流的速度； 1－2 ：t 瞬时质量流所在位置； 1´－2´ ：t ＋ t 瞬时质量流所在位置；
3.2 质点系的动量定理 动量守恒定律
“神州”号飞船升空 神州” 神州
1. 变质量问题
设质点在 t 时刻的质量为 m，速度为 ，由于外力 F 的作用 ，速度为v， 和质量的并入， 时刻， 和质量的并入，到 t +dt 时刻，质点质量变为 m+dm，速度 ， 时间内， 变为 v+dv 。在 dt时间内，质量的增量为 dm，如 dm与 m 时间内 ， 与 合并前的速度为 u，根据动量定理有 ，
∑∫
i
t2
t2
v f id t
t1
t2 r r ∑∫ fidt = ∫ (∑ fi )dt i t1
∑
i
v fi = 0
t1
i
r fi
mi
质点系
r Fi
∑∫
i t1
t2
v f i dt = 0
内力的冲量 之和为零 质点系的重要结论之二
t2
则，质点系的动量定理
r r r 积分形式） ∫ F外dt = P P0 （积分形式）
dM ∫ dV = M u M ∫ V0 0
M0 火箭的质量比 N M
i
r f
质点系
r F
质点系中的重要结论之一 外力 external force 系统外部对质点系内部 外部对质点系内部质点的作用力 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定： 约定：系统内任一质点受力之和写成
内力之和
r r Fi + f i
外力之和
二、 质点系的动量定理 动量守恒定律 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力 利用质点系 方法:对每个质点分别使用牛顿定律,然后利用质点系内力 获最简形式。 的特点加以化简 获最简形式。 质点i 使用动量定理： 第1步，对 质点 使用动量定理： 步
大学物理第2章-质点动力学基本定律
势能的绝对值没有意义，只关心势能的相对值。 势能是属于具有保守力相互作用的系统 计算势能时必须规定零势能参考点。但是势能差是一定的，与零点的选择无关。 如果把石头放在楼顶，并摇摇欲坠，你就不会不关心它。 一块石头放在地面你对它并不关心。
重力势能：以地面为势能零点
01
万有引力势能：以无限远处为势能零点
m
o
θ
设：t 时刻质点的位矢
质点的动量
运动质点相对于参考原点O的角动量定义为：
大小：
方向：右手螺旋定则判定
若质点作圆周运动，则对圆心的角动量：
质点对轴的角动量:
质点系的角动量:
设各质点对O点的位矢分别为
动量分别为
二.角动量定理
对质点:
---外力对参考点O 的力矩
力矩的大小：
力矩的方向:由右手螺旋关系确定
为质点系的动能，
令
---质点系的动能定理
讨论
内力和为零,内力功的和是否为零？
不一定为零
A
B
A
B
S
L
例:炸弹爆炸，过程内力和为零，但内力所做的功转化为弹片的动能。
内力做功可以改变系统的总动能
例 用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时（锤仍以第一次同样的速度击钉）,能击入多深？ 第一次的功 第二次的功 解：
（1）重力的功
重力做功仅取决于质点的始、末位置za和zb，与质点经过的具体路径无关。
（2） 万有引力的功
*
设质量M的质点固定，另一质量m的质点在M 的引力场中从a运动到b。
M
a
b
质点系的动量定理 动量守恒定律
m(vx V ) MV = 0
解得
பைடு நூலகம்
vx =
m+M V m
设m在弧形槽上运动的时间为t，而m相对于M在水平方向移动距离为R， 故有 t M+m t R = ∫ vx dt = Vdt 0 m ∫0 于是滑槽在水平面上移动的距离
S = ∫ Vdt =
0 t
m R M+m
§3.动量守恒定律 / 二、注意几点及举例 动量守恒定律
若x方向 ∑ Fx = 0 , 则∑ mivi 0 x = ∑ mivix 方向 若y方向 ∑ Fy = 0 ,则∑ mivi 0 y = ∑ miviy 方向 4.自然界中不受外力的物体是没有的，但 自然界中不受外力的物体是没有的， 自然界中不受外力的物体是没有的 如果系统的内力 外力， 内力>>外力 如果系统的内力 外力，可近似认为动量 守恒。 守恒。 如打夯、 如打夯、火箭发 射过程可认为内力 内力>> 射过程可认为内力 外力， 外力，系统的动量守 恒。
Fdt＝(m＋dm)v－(mv＋dm0)＝vdm＝kdt v
则
F = kv = 200 × 4 = 8 ×102 N
一、动量守恒 由质点系的动量定理： 由质点系的动量定理：
∫ ( ∑ Fi外 )dt = P P0 = P
t t0
动量守恒条件： 动量守恒条件：
P P0 = 0
当 ∑ Fi外 = 0 时
第四节 质点系的动 量定理
一、质点系的动量定理 两个质点组成的质点系， 两个质点组成的质点系， 对两个质点分别应用 质点的动量定理： 质点的动量定理： t ∫t ( F1 + f12 )dt = m1v1 m1v10
0
质点系动量定理和质心运动定理.pptx
由上式所确定的空间点称质点系的质量中心(质心).
在直角坐标系质心坐标为
xc
mi xi m
yc
mi yi m
zc
mi zi m
对由两个质点组成的质点系，有
xc
m1x1m2x2 m1m2
yc
m1y1m2y2 m1m2
第10页/共19页
x2 xc m1 xc x1 m2
y2 yc m1 yc y1 m2
质心必位于m1与m2的连线上，且质心与各质点距离与质点质量 成反比.
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[例题3] 一质点系包括三质点，质量为
m2 2单和位
m3
3，单 位置位坐标各为
求质心坐标.
m 1 ( 1 , 2 )m ,2 ( 1 ,1 ) 和 m 3 ( 1 ,2 )
m1 1单位
[解] 质心坐标
xc
m1x1m2x2m3x3 m1m2m3
d p vd tS v
由动量定理
dp vS vF
dt
F表示留在燃烧室内的燃烧物质对排出物质的作用力
Fx Sv2
向下
火箭所受推力，也等于
Sv 2
向上
第5页/共19页
[内例有题质2]量如为图表m0示的传煤送卸带出以，水传平送速带度顶部与将车煤厢卸底入板静v0高止度车差厢为内h。，每开单始位时时车间
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§3.7.2 质心运动定理
1.质心
质点系动量定理
而
vi
dri dt
i F i d dt(
mivi)
有
i i
F i ddt22(
miri)
F i md dt22(
m iri) m
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
一、质点系的内力与外力 内力: 质点系内各个质点间的相互作用。 外力: 质点系外物体对系统内质点所施加的力。
系统内，内力是成对出现的。
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理
二、质心
质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平 均意义上代表着质量分布的中心。
rC
r dm/m
(m dm)
分量式： xC x d m / m yC y d m / m
zC z d m / m
线分布 d m dl
面分布 d m d S 体分布 d m dV
质心与重心是两个不同的概念，重心是地球对物 体各部分引力的合力(即重力)的作用点，质心与重心 的位置不一定重合。
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对于N个质点组成的质点系：
m 1
r1,
,r2m,2,, ri,,mi，,rN，mN
质心的位矢：
rC miri / m
(m mi )
直角坐标系中的分量式：
xC mi xi / m yC mi yi / m zC mi zi / m
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对于质量连续分布的物体
质心的位矢：
第二章 运动的守恒量和守恒定律
§2-1 质点系的内力和外力 质心 质心运动定理 §2-2 动量定理 动量守恒定律 §2-3 功 能量 动能定理 §2-4 保守力 成对力的功 势能 §2-5 质点系的功能原理 机械能守恒定律 §2-6 碰撞 §2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
质点系的质心
o惯性系r j
mj fj
2、过程中包括的质点不变
二、 质心（center of mass）
质点系的质心，是一个以质量为权重取平均
的特殊点。
1、质心的位置
NN
rc
m i ri
i1 N
mi
m i ri
i1
M
i1
质点系 mi
ri c质心
rc
o
上式的分量形式:
xc
mi xi
i
M
mi yi
mivix 常量
i
miviy 常量
i
miviz 常量
i
if Fix 0
i
if Fiy 0
i
if Fiz 0
i
（4）反冲运动中的动量守恒
（5）动量守恒律在近代物理学中的意义
物理学家对动量守恒定律具有充分信心。
20世纪初发现原子核
的衰变
实验表明，这个过程 能量不守恒 动量不守恒
三、动量守恒定律
i
i
合外力的冲量
= 质点系动量的增量。
与内力无关。
二、动量守恒定律
若质点系 Fi 0
则 P
i
mivi con. s
i
即：若质点系所受合外力
为零，其动量守恒。
讨论：
（1）内力不会影响系统的总动量 ，但可使系统内的动量一个质点 转移到另一个质点。
（2）动量守恒律是牛顿第二、三 定律的直接结果；是空间平移不 变性的物理表现。
三、能量守恒定律
对于一个不受外界作用的 孤立系统，无论其内部经历任 何变化，该系统所有能量的总 和不变。能量只能从一种形式 转化为另一种形式，或从系统 内一个物体传给另一个物体。
质点动力学-动量及动量定理 (2)
柔绳对桌面的冲力F＝－F’ 即：
M 2 2 Fv v 而 v 2 g x FM 2 g x / L L
2
而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L 所以F总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg
fi 0
i
'
f
质点系
结论：质点系的内力之和为零
F
外力: 系统外部对质点系内部质点的作用力 约定：系统内任一质点受力之和写成 外力之和
F i fi
内力之和
二、质点系的动量定理
•两个质点的系统
m
1
f
F1
F2
d P1 F1 f dt
m
2
f
d P P 1 d 2 F f F f 1 2 d t d t
解：以链条为系统，向上为X正向，地面为原点建立 坐标系。 t时刻，系统总动量 P X v xv a d x d v dP d(xv) v x x d t d t dt dt
v ax
2
O
变质量问题
系统动量对时间的变化率为：
d P 2 3 ax v ax 2 ax ax d t t时刻，系统受合外 Iy Iz
t2 t1 t2 t1 t2 t1
F x dt F y dt F z dt
+
0 t1 t2 t
（注意可取 + -号）
冲量的几何意义：冲量
I x 在数值上等于
Fx ~ t 图线与坐标轴所围的面积。
3、质点的动量定理
d v d P F m a m d t d t
力学答案——漆安慎,05章
5.1.3
一个具有单位质量的质点在力场
ˆ + (12t − 6) ˆ F = (3t 2 − 4t )i j 中运动，其中 t 是时间。该质点在 t=0
时位于原点，且速度为零。求 t=2 时该质点所受的对原点的力矩。 解：据质点动量定理的微分形式， Fdt = d (mv ) = dv ( m = 1)
2
(2)'
解此方程组，求得：v0 ≈1.3 m/s
v ≈0.33 m/s
ˆ + b sin ω tˆ ˆ + bω cos ω tˆ L = r × mv = (a cos ω ti j ) × m(−aω sin ω ti j) ˆ ˆ×i ˆ= ˆ ˆ× ˆ ˆ) = k ∵i j× ˆ j = 0, i j= ˆ j × (−i ˆ + mabω sin 2 ω tk ˆ = mabω k ˆ ∴ L = mabω cos 2 ω tk
∵ τ = r × F = r × m a = r × m(−ω r ) = −mω r × r = 0 ,∴该质点 角动量守恒。 5.1.9 质量为 200g 的小球 v0 B 以弹性绳在光滑水平面上与固 A B 30º 定点 A 相连。弹性绳的劲度系数 为 8 N/m，其自由伸展长度为 600mm.最初小球的位置及速度 v0 如图所示。 当小球的速率变为 v 时，
5.1.8
一个质量为 m 的质点在 o-xy 平面内运动， 其位置矢量为
ˆ + b sin ω t ˆ r = a cos ω t i j ，其中 a、b 和ω是正常数，试以运动学
和动力学观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。 证明：
另外,在此过程中,只有保守内力（绳的弹力）做功,因而能量守恒，
3-2 质点系动量定理和质心运动定理
解：
dm = 2xσdx
a/ 2
y a
三角形质心坐标x 三角形质心坐标 c是
xc
∫ xdm = ∫ = ∫ dm ∫
0
a/
0
2 a = 2 3 2σxdx
2σx dx
2
O x dx
x
这个结果和熟知的三角形重心位置一致。 这个结果和熟知的三角形重心位置一致。
11
三、质心运动定理 右边: 右边:
r d 据质点系动量定理: 据质点系动量定理 ∑ F = (∑m v ).
质点系动量定理：在一段时间内， 质点系动量定理：在一段时间内，作用于质点系的 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量. 外力矢量和的冲量等于质点系动量的增量
1
v d n v 微分形式） Fi = (∑mivi ) （微分形式） ∑ dt i=1 i=1
n
其分量式
Fixdt = ∑mi vix − ∑mi vi 0x ∫t0 ∑ t ∫t0 ∑Fiydt = ∑miviy − ∑mivi0 y t Fizdt = ∑mi viz − ∑mi vi 0z ∫t0 ∑
z
dm ( x , y , z )
体分布 面分布 线分布
dm = ρdV
r r
x o
M
dm = σdS dm = λdl
y
dm ρ= dτ dm σ= ds dm λ= dl
dm：宏观小，微观大 宏观小，
xc =
r rc =
∫ ∫
xdm M ydm M
注意： 注意：
1.质心的坐标值与坐标系的选取有关； 2.质量分布均匀、形状对称的实物，质 心位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合。
质点系的动量定理
t2
p2x p1x
X (e)dt
t1
t
(M m)v 0 F dt
0
t2
p2 y p1y
Y (e)dt
t
0 (mu) (N Mg mg) dt
0
(Mt1
m)v
F
t
F
m m
mu
N
t
(M
m)g
t
N
m m
(M
m)g
m m
解得：v
(M
Fm m)m
;
N (M m)g m u
本章将研究质点和质点系旳动量定理，建立了动量旳变化 与力旳冲量之间旳关系，并研究质点系动量定理旳另一主要形 式——质心运动定理。
3
§12-1 质点系旳质心 内力与外力
一.质点系旳质心 ⒈定义 质点系旳质量中心称为质心。
是表征质点系质量分布情况旳一
个主要概念。
⒉ 质心 C 点旳坐标公式
rC
mi
M
ri
p mvC1 mvC2 mvC3
px mvC1 sin mvC2 cos mvC3
PC2
5 2
l; AB
)
m[( 1 l sin 45 5 l cos 2l)
2
2
ml( 1 2 5 3 2) 2 2ml
2 2 2 10
8
py mvC1 cos mvC2 sin
在某一时间间隔内，质点系动量旳变化量等于作用在质点
系上旳全部外力在同一时间间隔内旳冲量旳矢量和。
14
⒉ 投影形式
dpx
dt
Xi (e )
dp y
dt
Yi (e)
dp z
质点系的动量定理
i
Fi
d dt
i
Pi
以 F 和 P 表F示系d统P的合外力和总动量，上式可写为：
dt
由此可得F“dt质点d系P的动微量分定形理式”：
t2
Fdt
P2
dP
P
积分形式
t1
P1
内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。 只有外力才能改变系统的总动量。
的速度，动量和应是同一时刻的===动量之和。
2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。
3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 ===中，往往可忽略外力（外力与内力相比小很多）— ======——近似守恒条件。
4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方 ===向为零。）——部分守恒条件
5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿 ===定律更普遍的最基本的定律
离S1＝100米,问另一块落地点与发射点的距离是多少？ （空气阻力不计，g=9.8m/s2)
解：已知第一块方向竖直向下
h
v1t
'
1 2
gt
'2
t ' 1s 为第一块落地时间
v1 v1y 14 7m / s
y v2
h
v1 h S1
x
炮弹在最高点，vy
0, 到最高点用时为t
好触到水平桌面上，如果把绳
的上端放开，绳将落在桌面上。
试证明：在绳下落的过程中，
任意时刻作用于桌面的压力，
等于已落到桌面上的绳重力的
x
三倍。
证明：取如图坐标，设t 时刻已有x
o
长的柔绳落至桌面，随后的dt时间
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L
L
L
0
k xxdx k xdx
0
dm
0
ldx
0
L L
L
0 L
l
0
2 L l0 L2 3 6M
0
1 3 1 2 l0 x kx 3 2 0 1 2 l0 x kx 2 0
1 1 3 2 l0 L kL L kL3 3 2 1 2 2 12 M l0 L kL 2
0
碰撞过程中，水平方向不受外力、动量守恒
mv0 x mv0 sin 30 m M v x
mv0 sin 30 0.02 1 vx 400 4m/s mM 0.98 0.02 2
绳不能伸缩
vy 0 u ux
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
2．如图，桌面上堆放一串柔软的长链，今拉住长链的 一端竖直向上以恒定的速度u0上提．试证明：当提起 2 的长度为y 时，所用的向上的力 lyg lu 0 ，其中 F l为长链单位长度的质量． 解: 建立图示地面坐标系，以整根链条为研究对象。
t 时刻，链条的动量为： p t ly u 0 j dp dy 2 F lu 0 j lu 0 j y dt dt 系统所受的合外力： y dp 2 N lyg F ly g F lyg j lu 0 j O dt
L r mu mur sin q k mud k
q
u
r
o 5. 若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的 不一定 合力矩____________（填一定或不一定）为零；这种 情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一 定守恒的量是________________． 动量 力偶作用时，合力为零、合力矩不为零。
1 1
N1 M Mg
N1 d rM d rm N1 d rmM 0
பைடு நூலகம்
1
M
1
m
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
8．一人造地球卫星到地球中心O的最大距离和最小距 离分别是RA和RB．设卫星对应的角动量分别是LA、LB， 动能分别是EKA、EKB，则应有 (A) LB > LA，EKA > EKB． (B) LB > LA，EKA = EKB． (C) LB = LA，EKA = EKB． RB RA (D) LB < LA，EKA = EKB． B O A (E) LB = LA，EKA < EKB． 万有引力为有心力，在有心力作用下角动量守恒
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
一、选择题
1．质量分别为mA和mB (mA>mB)、速度分别为uA和 uB ( uA > uB )的两质点A和B，受到相同的冲量作用，则 (A) A的动量增量的绝对值比B的小． (B) A的动量增量的绝对值比B的大． (C) A、B的动量增量相等． (D) A、B的速度增量相等．
F ex m aC M aC 根据质心运动定律,有
4i 4 j M aC a 2 m/s
2
4 q arctan 45 4
4N l C
·
q
y
O
x
l
4N
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
3. 有一质量为M（含炮弹）的炮车，在一倾角为q的光 滑斜面上下滑，当它滑到某处速率为u0时，从炮内射出 一质量为m的炮弹沿水平方向．欲使炮车在发射炮弹后 的瞬时停止下滑，则炮弹射出时对地的速率u=_______. Mu0/mcosq 炮弹射出瞬间，忽略重力，斜面方向的动量守恒
3．一质量为M的斜面原来静止于水平光滑平面上，将 一质量为m的木块轻轻放于斜面上，如图．如果此后 木块能静止于斜面上，则斜面将 (A) 保持静止． (B) 向右加速运动． (C) 向右匀速运动． (D) 向左加速运动．
对于木块-斜面系统,水平方向不受外力作用,动量守恒:
x x x x x Mu S G mu B G Mu S G m u B S u S G 0
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
5．一力学系统由两个质点组成，他们之间只有万有引 力作用。若两质点所受外力的矢量和为零，则此系统 （A）动量、机械能及对一轴的角动量守恒 （B）动量、机械能守恒，但角动量是否守恒不能确定 （C）动量守恒，但机械能和角动量是否守恒不能确定 （D）动量和角动量守恒，但机械能是否守恒不能确定
2 p0 1 2 A mu0 2 2m
p 2mEk
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
三、计算题
1．一端在原点、沿x方向放置的细杆，质量线密度为 l=l0+kx，其中k是常数，细杆的总质量为M，长度为 L．求该杆的质心位置xc．。 解:
xc
xdm x ldx l
dEp dx
i
EP (J) 10 5
x (m) dEp -4 -2 0 2 4 6 8 10 x 2,6m时， 0, F 0 -6 dx dEp x 4,2 6,8m时， 0, F 0 dx dEp x 2,6m时， 0, F 0 旧版功和能（一）填空题 5 dx
u
x S G
mu
x BS
M m
m M
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
4．对功的概念有以下几种说法： (1)保守力作正功时,系统内相应的势能增加． (2)质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零． (3)作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以两者 所作功的代数和必为零． 在上述说法中： (A) (1)、(2)是正确的． (B) (2)、(3)是正确的． (C) 只有(2)是正确的． (D) 只有(3)是正确的． Ep=-Wc，保守力作正功、势能减少。 作用力与反作用力做功的代数和等于相互作 用力与两质点相对元位移的标积。 int F21 d r2 r1
2 F lyg lu 0
G-lyg
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
3．在半径为r的圆轨道上匀速率运动的一个质量为m 的卫星，它对地的角动量是多少？结果用r，m，G，M （地球质量）表示．
解：由万有引力定律和牛顿第二定律有
Mm u2 GM F G 2 m u r r r
O
45 °
l
T
1 2 mgl(1 cos 45 ) mgl(1 cos ) mu B＇ 2
L r mu m GMr k
角动量的大小为 m GMr
方向垂直于轨道平面，与速度方向成右手螺旋关系
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
4. 如图，长为1m的细线，上端固定，下端悬挂质量为 2kg的小球.今将小球拉到悬线与竖直方向成45°角的位 置,然后无初速地把小球释放.求悬线与竖直方向成10° 角时，小球的速度u． 解: 在小球运动的过程中,将受到拉力 和重力的作用.拉力处处与运动方向垂 直不作功,重力为保守力,机械能守恒.
F M
ex
ex
0 mu 恒矢量 0 r mu 恒矢量
in nc
ex
W W 0 E 恒量
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
6. 如图，两个小球用不能伸长的细软线连接，垂直地 跨过固定在地面上、表面光滑的半径为R的圆柱，小球B 着地，小球A的质量为B的两倍，且恰与圆柱的轴心一样 高．由静止状态轻轻释放A，当A球到达地面后，B球继 续上升的最大高度是 (A) R． (B) 2R/3． (C) R/2. (D) R/3． A落地之前,由功能原理有,
弹力、重力为保守力，系统机械能守恒，
kx0 mg m kx0 g
EPmg mgx0 kx
2 0
EPk k x 2
2 0
2 0 2 0
k x0 O
EP EPmg EPk mgx0 kx 2 kx 2
旧版功和能（二）填空题 1
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
I p m u 2 u1
质点系运动定理（一） 第三章 质点系运动定理 √2．质量为20g的子弹，以400m/s的速率 沿图示方向射入一原来静止的质量为980g 的摆球中，摆线长度不可伸缩．子弹射入 30 u0 后与摆球一起运动的速率为： （A）2m/s． （B）4m/s． （C）7m/s． （D）8m/s．
Mu0 M mu mu cos q
u Mu0 M mu m cos q
u0
u Mu0 m cos q
M
m
v v
q
质点系运动定理（一）
第三章 质点系运动定理
4. 质量为m的质点以速度 u 沿一直线运动，则它对直线 mud 外垂直距离为d的一点的角动量大小是__________．
8. 质量为m1和m2的两个物体，具有相同的动量．欲使 它们停下来，外力对它们做的功之比A1:A2 =_______； m2:m1 若它们具有相同的动能，欲使它们停下来，外力的冲量 m1 : m2 之比I1:I2 =__________．
p mu
1 Ek mu 2 2
I p
A Ek
L 恒矢量 LB LA
LB mu B RB LA mu A RA u B u A RA RB u A
质点系运动定理（一）