二元运算基本概念和性质(离散数学)

a2 a2∘a1 a2∘a2 … a2∘an
.
...
.
...
.
...
an an∘a1 an∘a2 … an∘an
∘ai
a1 ∘a1 a2 ∘a2 .. .. .. an ∘an
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运算表的实例
例4 A = P({a, b}), , ∼分别为对称差和绝对补运算
（{a,b}为全集）
的运算表
∼ 的运算表
证
el = el ∘ er = el ∘ er = er
所以 el = er , 将这个单位元记作 e. 假设 e’ 也是 S
中的单位元，则有
e’ = e ∘ e’ = e.
惟一性得证.
类似地可以证明关于零元的惟一性定理.
注意：当 |S| 2，单位元与零元是不同的；
当 |S| = 1 时，这个元素既是单位元也是零元. 23
因此当
x+y+2xy = 0 x 1/2时，
y
y
x
1
x 2x
是
x
(x = 1/2) 的逆元.
1 2x
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例题分析（续）
例7 (1) 说明那些运算是交换的、可结合的、幂等的. (2) 求出运算的单位元、零元、所有可逆元素的逆元.
abc
a cab b abc c bca
∘ abc
a aaa b bbb c ccc
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例题分析
例6 设 ∘ 运算为 Q 上的二元运算， x, yQ, x∘y = x+y+2xy,
(1) ∘运算是否满足交换和结合律? 说明理由. (2) 求 ∘ 运算的单位元、零元和所有可逆元.
解 (1) ∘ 运算可交换，可结合. 任取x, yQ, x ∘ y = x+y+2xy = y+x+2yx = y ∘ x,
令 yl = yr = y, 则 y 是 x 的逆元. 假若 y’∈S 也是 x 的逆元, 则
y'= y’ ∘ e = y’ ∘(x ∘ y) = (y’ ∘ x) ∘ y = e ∘ y = y
所以 y 是 x 惟一的逆元. 说明：对于可结合的二元运算，可逆元素 x 只有 惟一的逆元，记作 x1.
(7) SS 为 S 上的所有函数的集合：合成运算∘.
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一元运算的定义与实例（补）
定义 设 S 为集合，函数 f：S→S 称为 S 上的一 元运算，简称为一元运算. 例2 (1) Z, Q 和 R 上的一元运算: 求相反数
(2) 非零有理数集 Q*，非零实数集 R*上的一元 运算: 求倒数
(3) 复数集合 C 上的一元运算: 求共轭复数 (4) 幂集 P(S) 上, 全集为 S: 求绝对补运算~ (5) A 为 S 上所有双射函数的集合，ASS: 求反
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二元与一元运算的表示（续）
公式表示 例3 设 R 为实数集合，如下定义 R 上的二元运 算 ∗：
x, y∈R, x ∗ y = x. 那么 3 ∗ 4 = 3
0.5 ∗ (-3) = 0.5 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）
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运算表的形式
∘
a1
a2 …
an
a1 a1∘a1 a1∘a2 … a1∘an
单位元也叫做 幺元. 19
二元运算的特异元素（续）
零元
设 ∘ 为 S 上的二元运算, 如果存在θl（或θr）
∈S，使得对任意 x∈S 都有
θl ∘ x =θl ( 或 x ∘θr =θr )， 则称θl ( 或θr )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右)
零元.
若θ∈S关于∘运算既是左零元又是右零元，则 称θ为 S 上关于运算 ∘ 的 零元.
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消去律
定义 设∘为V上二元运算，如果 x, y, zV， 若 x ∘ y = x ∘ z，且 x不是零元，则 y = z 若 y ∘ x = z ∘ x, 且 x 不是零元，则 y = z
那么称 ∘ 运算满足 消去律.
实例: Z, Q, R 关于普通加法和乘法满足消去律. Mn(R) 关于矩阵加法满足消去律，但是关于矩阵 乘法不满足消去律.
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实例分析
Z, Q, R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为 n 阶实 矩阵集合, n2；P(B)为幂集；AA 为 A上A，|A|2.
集合 Z, Q, R Mn(R)
P(B)
AA
运算 普通加法+ 普通乘法 矩阵加法+ 矩阵乘法
并 交 相对补 对称差 函数符合
交换律 结合律 幂等律
有
有
无
有
有
无
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二元运算的特异元素（续）
可逆元素及其逆元
令 e 为 S 中关于运算∘的单位元. 对于 x∈S，如
果存在yl（或 yr）∈S 使得
yl ∘ x = e（或 x ∘ yr = e），
则称 yl ( 或 yr )是 x 的 左逆元 ( 或右逆元 ).
关于 ∘运算，若 y∈S 既是 x 的左逆元又是 x 的
(2) 设∘运算的单位元和零元分别为 e 和 ，则对于 任意 x 有 x∘e = x 成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于 ∘ 运算可交换，所以 0 是幺元.
对于任意 x 有 x ∘ = 成立，即 x++2 x = x + 2 x = 0 = 1/2
给定 x，设 x 的逆元为 y, 则有 x ∘ y = 0 成立，即
• abc
a abc b bcc c ccc
解 (1) 满足交换、结合律；∘ 满足结合、幂等律； • 满足交换、结合律.
(2) 的单位元为 b, 没零元， a1 = c, b1 = b, c1 = a ∘ 的单位元和零元都不存在，没有可逆元素. • 的单位元为 a，零元为c, a1=a. b, c不可逆. 28
函数 (6) 在 Mn(R) ( n≥2 )上，求转置矩阵
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二元与一元运算的表示
算符：∘, ∗, ·, , 等符号
表示二元或一元运算
对二元运算 ∘，如果 x 与 y 运算得到 z，记做 x∘y = z；
对一元运算 ∘, x 的运算结果记作 ∘x
表示二元或一元运算的方法： 公式、 运算表
注意：在同一问题中不同的运算使用不同的算符
任取x, y, zQ, (x ∘ y) ∘ z= (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x ∘ (y ∘ z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz
= x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 26
例题分析（续）
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抽象代数系统的应用
• 毫无疑问，没有抽象代数结构研究和数理逻辑研究 的先行发展，图灵就不可能在1936年提出图灵机这 样的代数结构作为计算的模型。
• 在上世纪40~50年代，格和布尔代数成为电子计算 机硬件设计以及通信系统设计中的重要工具，
• 而半群理论在自动机和形式语言研究中发挥了重要 作用。
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二元运算的特异元素
单位元
定义 设∘为S上的二元运算, 如果存在el（或er）
S，使得对任意 x∈S 都有
el ∘ x = x ( 或 x ∘ er = x )， 则称 el ( 或 er )是 S 中关于 ∘ 运算的 左 ( 或右 )
单位元.
若 e∈S 关于 ∘ 运算既是左单位元又是右单位 元，则称 e 为 S 上关于 ∘ 运算的 单位元.
yl ∘ x = e
逆元 X 的逆元 x X 的逆元 x1 (x-1属于给定集合)
X逆元X X的逆元 X1 （X是可逆矩阵） 的逆元为 B 的逆元为 B X 的逆元为 X
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惟一性定理
定理 设 ∘为S上的二元运算，el 和 er 分别为 S
中关于运算的左和右单位元，则 el = er = e 为 S 上关于 ∘ 运算的惟一的单位元.
* ((a，b))=d 记之为
a*b =d
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集合A上的代数运算
定义2 设A，B是两个非空集合。 若* 是A×A到B的一个运算， 则称 * 是集合A上的一个代数运算或二 元运算。
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闭运算
设 * 是A×A到B的一个运算， 若B⊆A， 说*是集合A上的闭运算。 也说集合A对运算 * 是封闭的。
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(5) 设 Mn(R) 表示所有 n 阶 (n≥2) 实矩阵的集 合，即
二元运算的实例（续） Mn(R)
a11
a21
an1
a12 a22
an
aij R, i, j 1,2,...,n
矩阵加法和乘法都是 Mn(R) 上的二元运算. (6) 幂集 P(S) 上的二元运算：∪,∩,－, .
右逆元，则称 y 为 x 的逆元. 如果 x 的逆元存在，就称 x 是可逆的.
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实例分析
集合
Z, Q, R
运算 普通加法+ 普通乘法
el ∘ x = x
单位元 0 1
Mn(R) 矩阵加法+ n阶全0矩阵
矩阵乘法 n阶单位 矩阵
P(B) 并
交
B
对称差
θl ∘ x =θl
零元 无 0
无 n阶全0
矩阵 B 无
1、集合A中任意两个元素可以进行该运算； 2、运算的结果仍然属于集合A
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闭运算的例子
例1 (1) N 上的二元运算：加法、乘法. (2) Z 上的二元运算：加法、减法、乘法. (3) 非零实数集 R* 上的二元运算: 乘法、除法. (4) 设 S = { a1, a2, … , an}, ai ∘aj = ai ， ∘为 S 上二 元运算.