必修二示范教案两条直线平行与垂直的判定
数学《两条直线平行与垂直的判定》教案
数学《两条直线平行与垂直的判定》教案一、教学目标：1. 确定两条直线是否平行或垂直。
2. 掌握平行线和垂直线的特征和性质。
3. 培养学生观察、分析和判断的能力。
二、教学重难点：1. 两条直线平行与垂直的判定方法。
2. 如何运用这些方法来分析和解决实际问题。
三、教学步骤：1. 导入新知识：解释平行线和垂直线的概念，引导学生思考如何确定两条直线是否平行或垂直。
2. 学习重点：（1）两条直线平行的判定方法：①第一种方法：两条直线的斜率相等，且不相交。
②第二种方法：两条直线的两个任意向量相乘的内积等于 0。
（2）两条直线垂直的判定方法：两条直线的斜率的乘积等于 -1。
3. 学习难点：如何运用判定方法来解决实际问题。
4. 教学过程：（1）两条直线平行的判定例：如图所示，判断直线 AB 和直线 CD 是否平行。
分析：因为直线 AB 的斜率为 2，而直线 CD 的斜率也为 2，且两条直线不相交，所以直线 AB || 直线 CD。
（2）两条直线垂直的判定例：如图所示，判断直线 AB 和直线 CD 是否垂直。
分析：直线 AB 的斜率为 1/2，直线 CD 的斜率为 -2，而 1/2 ×(-2) = -1，因此直线 AB 和直线 CD 垂直。
5. 练习与拓展：（1）练习一：判断两条直线是否平行：①直线 y = 2x + 3 和直线 y = -2x - 1。
②直线 y = 3x + 1 和直线 y = -6x + 6。
（2）练习二：判断两条直线是否垂直：①直线 y = 2x + 3 和直线 y = -2x - 1。
②直线 y = 3x + 1 和直线 2x - y = 4。
6. 总结与归纳：对判定两条直线平行或垂直的方法进行总结归纳，帮助学生理清思路，掌握知识点。
四、教学板书设计：两条直线平行的判定方法：①两条直线的斜率相等，且不相交。
②两条直线的两个任意向量相乘的内积等于 0。
两条直线垂直的判定方法：两条直线的斜率的乘积等于 -1。
高中数学(3.1.2两条直线平行与垂直的判定)示范教案新人教A版必修2
两条直线平行与垂直的判断整体设计教课剖析直线的平行和垂直是两条直线的重要地点关系，它们的判断，又都是由相应的斜率之间的关系来确立的，而且研究议论的手段和方法也相近似，所以，在教课时采纳对照方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与差别. 值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，简单获得两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.三维目标1. 掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线能否平行. 掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线能否垂直. 培育和提高学生联系、对应、转变等辩证思想能力.2.经过教课，倡导学生用旧知识解决新问题，注意分析几何思想方法的浸透，同时注意思虑要严实，表述要规范，培育学生研究、归纳能力.要点难点教课要点 : 掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线能否平行、垂直.教课难点 : 是斜率不存在时两直线垂直状况的议论（公式合用的前提条件）.课时安排1 课时教课过程导入新课思路 1. 设问（ 1) 平面内不重合的两条直线的地点关系有哪几种？(2) 两条直线的倾斜角相等，这两条直线能否平行？反过来能否建立？(3) “α =β”是“ tan α =tan β”的什么条件？依据倾斜角和斜率的关系, 可否利用斜率来判断两条直线平行呢?思路 2. 上节课我们学习的是什么知识？想想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢 ?你以为可否用斜率来判断. 这节课我们就来特意来研究这个问题.推动新课新知研究提出问题①平面内不重合的两条直线的地点关系有几种？②两条直线的倾斜角相等，这两条直线能否平行？反过来能否建立？③“α =β”是“ tan α =tan β”的什么条件？④两条直线的斜率相等，这两条直线能否平行？反过来能否建立？⑤l1∥ l 2时， k1与 k2知足什么关系？⑥l 1⊥ l 2时， k1与 k2知足什么关系？活动 : ①教师指引得出平面内不重合的两条直线的地点关系有平行和订交，此中垂直是订交的特例 .②数形联合简单得出结论.③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率, 即 tan90 °不存在 .④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.⑤必需性：假如 l 1∥ l 2，如图 1 所示，它们的倾斜角相等, 即α1=α2，tan α1=tan α2, 即 k1=k2.图 1充足性：假如 k =k , 即 tan α =tan α ,1212∵0°≤α＜180°， 0°≤α ＜ 180°，∴α =α . 于是 l ∥l .121 212⑥学生议论，采纳类比方法得出两条直线垂直的充要条件 .议论结果： ①平面内不重合的两条直线的地点关系有平行和订交，此中垂直是订交的特例.②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来建立 .③“α =β”是“ tan α =tan β”的充要条件 .④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来建立.⑤l ∥ l 2k =k .112⑥l 1⊥ l 2k 1k 2=-1.应用示例例 1 已知 A （ 2，3），B （－ 4， 0）， P （－ 3，１）， Q （－ 1，2），判断直线 BA 与 P Ｑ的地点关系，并证明你的结论 .解: 直线 BA 的斜率 k =3 0=0.5,BA( 4)2 2 1=0.5,直线 PQ 的斜率 k =PQ( 3)1由于 k BA =k PQ . 所以直线 BA ∥ PQ. 变式训练若 A(-2,3),B(3,-2),C(1,m) 三点共线，则m 的值为 ( )A.1B.-2 1C.-2D.22剖析： k AB =k BC ,2 32m2,m= 1 .3 21 3 22答案： A例 2 已知四边形 ABCD 的四个极点分别为 A （0，0），B （ 2，-1 ），C(4,2),D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状，并给出证明 .12CD 边所在直线的斜率 k CD =- 1, 2 3 BC 边所在直线的斜率 k BC =,2 DA 边所在直线的斜率 k DA = 3.2由于 k AB =k CD ,k BC =k DA , 所以 AB ∥ CD,BC ∥DA.所以四边形 ABCD 是平行四边形 .变式训练直线 l ：ax+3y+1=0，l ：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率挨次分别为α1，α ，k ，1221k 2.（ 1） a=_____________时，α 1=150°； （ 2） a=_____________时， l 2⊥x 轴； （ 3） a=_____________时， l 1∥l 2； （ 4） a=_____________时， l 1、l 2 重合；（ 5） a=_____________时， l 1⊥l 2.答案：（1） 3（2）2 （3） 3 （4）-1（ 5）1.5知能训练 习题 3.1 A 组 6、7.拓展提高问题：已知 P （－ 3，2）， Q （ 3， 4）及直线 ax+y+3=0. 若此直线分别与PQ 的延伸线、 QP 的 延伸线订交，试分别求出a 的取值范围 . （图 2）图 2解：直线 l ：ax+y+3=0 是过定点 A （0，-3 ）的直线系，斜率为参变数 -a ，易知 PQ 、AQ 、AP 、l 的斜率分别为： k PQ = 1 ， k AQ = 7， k AP =5 1 333 ， k =-a.若 l 与 PQ 延伸线订交，由图, 可知 k PQ ＜ k 1＜k AQ ，解得 - 7＜ a ＜- 1；7 3 5 3若 l 与 PQ 订交，则 k ＞k 或 k ＜ k ，解得 a ＜ -或 a ＞ ；1AQ1AP33若 l 与 QP 的延伸线订交，则k PQ ＞ k 1＞ k AP ，解得 -1＜ a ＜ 5.33讲堂小结经过本节学习，要求大家：1. 掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线能否平行 .2. 掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线能否垂直 .3. 注意分析几何思想方法的浸透，同时注意思虑要严实， 表述要规范， 培育学生研究、 归纳能力 .4. 认识事物之间的互相联系，用联系的看法看问题.作业 习题 3.1 A组 4、5.设计感想以及数形联合能力. 经过对两直线平行与垂直的地点关系的研究，培育了学生的成功意识，合作沟通的学习方式, 激发学生的学习兴趣. 组织学生充足议论、研究、沟通，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判断依照，教师要实时指引、实时鼓舞.。
高二数学两条直线的平行与垂直教案
高二数学两条直线的平行与垂直教案第一篇：高二数学两条直线的平行与垂直教案高二数学两条直线的平行与垂直教案一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．(二)能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程(一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是l1：y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即eq x（）要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即eq x()(三)例题例1 已知两条直线l1： 2x-4y+7=0，L2： x-2y+5=0．求证：l1∥l2．证明两直线平行，需说明两个要点：(1)两直线斜率相等；(2)两直线不重合．证明：把l1、l2的方程写成斜截式：∴两直线不相交．∵两直线不重合，∴l1∥l2．例2求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平等的直线方程．即 2x+3y+10= 0．解法2 因所求直线与2x+3y+5=0平行，可设所求直线方程为2x+3y+m=0，将A(1，-4)代入有m=10，故所求直线方程为2x+3y+10=0．例3 已知两条直线求证：l1⊥l2．l1： 2x-4y+7=0，l2： 2x+y-5=0．∴l1⊥l2．例4 求过点A(2，1)，且与直线2x+y-10=0垂直的直线方程．解法1 已知直线的斜率k1=-2．∵所求直线与已知直线垂直，根据点斜式得所求直线的方程是就是x-2y=0．解法2 因所求直线与已知直线垂直，所以可设所求直线方程是x-2y+m=0，将点A(2，1)代入方程得m=0，所求直线的方程是x-2y=0．(四)课后小结(1)斜率存在的不重合的两直线平行的等价条件；(2)两斜率存在的直线垂直的等价条件；(3)与已知直线平行的直线的设法；(4)与已知直线垂直的直线的设法．五、布置作业1．(1．7练习第1题)判断下列各对直线是否平行或垂直：(1)y=3x+4和2x-6y+1=0；(2)y=x与3x十3y-10=0；(3)3x+4y=5与6x-8y=7；解：(1)平行；(2)垂直；(3)不平行也不垂直；(4)垂直．2．(1．7练习第2题)求过点A(2，3)，且分别适合下列条件的直线方程：(1)平行于直线2x+5-5=0；(2)垂直于直线x-y-2=0；解：(1)2x+y-7=0；(2)x+y-5=0．3．(1．7练习第3题)已知两条直线l1、l2，其中一条没有斜率，这两条直线什么时候：(1)平行；(2)垂直．分别写出逆命题并判断逆命题是否成立．解：(1)另一条也没有斜率．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果这两条直线平行，那么另一条直线也没有斜率；逆命题成立．(2)另一条斜率为零．逆命题：两条直线，其中一条没有斜率，如果另一条直线和这一条直线垂直，那么另一条直线的斜率为零；逆命题成立．4．(习题三第3题)已知三角形三个顶点是A(4，0)、B(6，7)、C(0，3)，求这个三角形的三条高所在的直线方程．也就是 2x+7y-21=0．同理可得BC边上的高所在直线方程为3x+2y-12=0． AC边上的高所在的直线方程为4x-3y-3=0．六、板书设计第二篇：两直线平行与垂直两条直线的平行与垂直导学案姓名班级主编：李潭潭审编：李平原学习目标1．掌握利用斜率判断两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；2．通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯．学习重点与难点本节课的重点是用斜率判断两直线平行与垂直的方法。
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定精品教案 新人教A版必修2
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定（一）教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.（三）教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直.由学生回忆上节课内容，再由老师引入新课.设置情境引入新课概念形成1．特殊情况下，两条直线平行与垂直.两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直.由学生讨论得出答案概念深化2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或借助计算机，让学生通过度量，感知12,αα的关系.通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数方法得到几何结论，体现了用垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）∴tg a1 = tg a2.即k1 = k2.反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1= k2，那么tg a1= tg a2.由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1 = a2又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2⇔k1 = k2.注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定.代数方法研究几何问题的思想.下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l1⊥l2，这时12aα≠，否则两直线平行.设21αα<（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有1290αα=+o.因为l1、l2的斜率分别是k1、借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使1α为锐角，钝角等.通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法.k2，即190α≠o，所以2α≠o.∴1211(90)tg tgtgααα=+=-o.即121kk=-或k1k2 = –1，反过来，如果121kk=-即k1·k2= –1不失一般性，设k1＜0.k2＞0，那么1221(90)tg tgtgααα=-=+o.可以推出a1 = 90°+2α.l1⊥l2.结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12112211l l k k kk⊥⇔=-⇔=-注意：结论成立的条件，即如果k1·k2 = –1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定.应用举例例1 已知A(2,3)，B (–4,0)，P（–3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.借助计算机作图，使学生通过观察猜想：BA∥PQ，再通过计算机加以验证.（图略）例1 解：直线BA的斜率k1= (3 –0)/(2 –(–4)) = 0.5，直线PQ的斜率k2 = (2– 1)/( –1 – (–3)) =0.5，因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ.通过例题的讲解，使学生进一步理解掌握直线平行与垂直的条件.借助计算机作图，使学生通过观察猜想：四边形ABCD是平行四边形，再通过计算加以验证.备选例题例1 试确定M 的值，使过点A (m + 1，0)，B (–5，m )的直线与过点C (–4，3)，D (0，5)的直线平行.【解析】由题意得：0531,5(1)60(4)2AB CD m m k k m m --====--+----由于AB ∥CD ，即k AB = k CD ， 所以162m m =--，所以m = –2.例2 已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C (3，2)，求第四个顶点D 的坐标.【解析】设第四个顶点D 的坐标为(x ，y )因为AD ⊥CD ，AD ∥BC 所以k AD ·k CD = –1，且k AD = k BC12,103120,031y y x x y x --⎧=-⎪⎪--⎨--⎪⎪--⎩所以， 02(),.13x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩解得舍去 所以第四个顶点D 的坐标为(2，3).例3 已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标.【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC，设C (x，0)则32,14 AC BCk kx x--==+-所以321 14x x--⋅=-+-所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)。
高中数学 3.1.2两条直线平行与垂直的判定教案 新人教A版必修2 教案
两条直线平行与垂直的判定【教学目标】（1）掌握直线与直线的位置关系。
（2）掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法。
【教学重点难点】教学重点难点：两条直线的平行与垂直的判定方法又是教学难点。
【教学过程】一、引入：问题1：平面内两条直线的位置关系问题2：两条直线的平行和直线的倾斜角和斜率之间的关系二、新课问题探究1：（1）、如何判定两条不重合直线的平行？（2）、当两条直线斜率不存在，位置关系如何？（3）、直线l 1和直线l 2的斜率k 1=k 2，两条直线可能重合的情况下：两条直线位置关系怎样？ 总结归纳直线与直线平行的判定方法例题1（课本87页的例题3）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行。
（1）1l 经过点A （-1，-2）,B(2,1),2l 经过点M （3，4），N （-1，-1）答案：不平行（2）1l 经过点A （0，1）,B(1,0),2l 经过点M （-1，3），N （2，0）答案：平行例题2（课本87页的例题4）解答过程见课本变式：判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否垂直。
（1）1l 经过点A （-1，-2）,B(1,2),2l 经过点M （-2，-1），N （2，1）答案：不垂直（2）1l 经过点A （3，4）,B(3,100),2l 经过点M （-10，40），N （10，40）答案：垂直问题探究2（1）、如何利用直线的斜率判定两条直线的垂直？（2）、两条垂直的直线斜率有怎样的关系？总结直线与直线垂直的判定方法：例题3（课本87页的例题5）解答过程见课本变式：已知点A （-2，-5），B （6，6），点P 在x 轴上，且︒=∠90APB ，试求点P 的坐标。
分析：利用两直线的条件建立点p 的坐标满足的方程与关系式。
答案;P 的坐标为（0，-6）或（0，7）。
过程略例题4（课本87页的例题6）解答过程见课本变式：已知定点A （-1，3），B （4，2），以A 、B 为直径的端点，作圆与x 轴有交点C ，求交点C 的坐标。
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 教案(人教A版必修2)
3.1.2两条直线平行与垂直的判定●三维目标1．知识与技能(1)让学生掌握直线与直线的位置关系．(2)让学生掌握用代数的方法判定直线与直线之间的平行与垂直的方法．2．过程与方法(1)利用“两直线平行，倾斜角相等”这一性质，推出两直线平行的判定方法．(2)利用两直线垂直时倾斜角的关系，得到两直线垂直的判定方法．3．情感、态度与价值观(1)通过本节课的学习让学生感受几何与代数有着密切的联系，对解析几何有了感性的认识．(2)通过这节课的学习，培养学生用“联系”的观点看问题，提高学习数学的兴趣．(3)通过课堂上的启发教学，培养学生勇于探索、创新的精神．●重点难点重点：根据直线的斜率判定两条直线平行与垂直．难点：两条直线垂直判定条件的探究与证明．重难点突破：以初中学习的平面内两直线平行和垂直关系为切入点，利用数形结合的思想，导出直线倾斜角间的关系，再通过直线的倾斜角同斜率的关系，猜想得出两条直线平行和垂直判定的方式．为了更好的理解两直线垂直的条件，老师可利用几何画板直观演示，验证当两条直线的斜率之积为－1时，它们是相互垂直的即可．【课前自主导学】【问题导思】Array 1．如图，若直线l1∥l2，则其倾斜角α1与α2有什么关系？为什么？反之呢？【提示】α1＝α2，因为两直线平行，同位角相等．反之不成立，当α1＝α2时，直线l 1与l 2可能平行或重合． 2．若直线l 1∥l 2，则其斜率k 1＝k 2.这种说法对吗？【提示】 不对，只有在直线l 1与l 2都存在斜率时，由l 1∥l 2可以得出 k 1＝k 2，如图当直线l 1与l 2都与x 轴垂直时，虽然l 1∥l 2但斜率都不存在． 两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2.则对应关系如下：【问题导思】 1．如图，直线l 1与l 2的倾斜角分别为α1与α2，若l 1⊥l 2， 则α1与α2之间存在什么关系？ 【提示】 α2＝α1＋90°.2．当直线l 1的倾斜角为0°时，若直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率应满足什么条件？ 【提示】 直线l 2的斜率不存在，如图，当直线l 1的倾斜角为0°时，若l 1⊥l 2，则l 2的倾斜角为90°，其斜率不存在．两条直线垂直与斜率的关系【课堂互动探究】判断下列各组中的直线l 1与l 2是否平行：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (2,1)，l 2经过点M (3,4)，N (－1，－1)；(2)l 1的斜率为1，l 2经过点A (1,1)，B (2,2)；(3)l 1经过点A (0,1)，B (1,0)，l 2经过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1经过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2经过点M (5，－2)，N (5,5)． 【思路探究】 依据两条直线平行的条件逐一判断便可． 【自主解答】 (1)k 1＝1－ －2 2－ －1 ＝1，k 2＝－1－4－1－3＝54，k 1≠k 2，l 1与l 2不平行．(2)k 1＝1，k 2＝2－12－1＝1，k 1＝k 2，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合． (3)k 1＝0－11－0＝－1，k 2＝0－32－ －1＝－1，k 1＝k 2， 而k MA ＝3－1－1－0＝－2≠－1，∴l 1∥l 2.(4)l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.判断两直线平行，要“三看”：一看斜率是否存在；在斜率都存在时，二看斜率是否相等；若两直线斜率都不存在或相等时，三看直线是否重合，若不重合则两直线平行．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1,4)，直线l 2经过两点(2,1)，(x,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________. 【解析】 ∵直线l 1的斜率不存在，且l 1∥l 2，∴l 2的斜率也不存在． ∴点(2,1)及(x,6)的横坐标相同，∴x ＝2. 【答案】 2判断下列各组中的直线l 1与l 2是否垂直：(1)l 1经过点A (－1，－2)，B (1,2)，l 2经过点M (－2，－1)，N (2,1)； (2)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(3)l 1经过点A (3,4)，B (3,100)，l 2经过点M (－10,40)，N (10,40)．【思路探究】 求出斜率，利用l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1或一条直线斜率为0，另一条斜率不存在来判断．【自主解答】 (1)直线l 1的斜率k 1＝2－ －2 1－ －1 ＝2，直线l 2的斜率k 2＝1－ －1 2－ －2 ＝12，k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直．(2)直线l 1的斜率k 1＝－10，直线l 2的斜率k 2＝3－220－10＝110，k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴．直线l 2的斜率k 2＝40－4010－ －10＝0，则l 2∥x 轴．故l 1⊥l 2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．已知三角形三个顶点的坐标为A (4,2)，B (1，－2)，C (－2,4)，则BC 边上的高的斜率为( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12【解析】 BC 边上的高所在的直线与BC 边所在的直线垂直而k BC ＝4＋2－2－1＝－2，所以BC 边上的高的斜率k ＝－1k BC＝12.【答案】 C已知A (－4,3)，B (2,5)，C (6,3)，D (－3,0)四点，若顺次连接A 、B 、C 、D 四点，试判定图形ABCD 的形状．【思路探究】 先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明．【自主解答】 A 、B 、C 、D 四点在坐标平面内的位置如图，由斜率公式可得 kAB ＝5－32－ －4 ＝13，k CD ＝0－3－3－6＝13，k AD ＝0－3－3－ －4 ＝－3，k BC ＝3－56－2＝－12.∴k AB ＝k CD ，由图可知AB 与CD 不重合，∴AB ∥CD .由k AD ≠k BC ，∴AD 与BC 不平行．又k AB ·k AD ＝13×(－3)＝－1，∴AB ⊥AD . 故四边形ABCD 为直角梯形．1．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2．证明两直线平行时，仅k 1＝k 2是不够的，注意排除重合的情况． 3．判断多边形形状问题要进行到底，也就是要得到最具体的多边形．已知A (1，－1)，B (2,2)，C (3,0)三点，且有一点D 满足CD ⊥AB ，CB ∥AD ，则D 点的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(0，－1)C ．(1,0)D ．(0,1)【解析】 设D (x ，y )，则k CD ＝y －0x －3＝yx －3，k AD ＝y ＋1x －1， 又k AB ＝2＋12－1＝3，k CB ＝2－02－3＝－2，CD ⊥AB ，CB ∥AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧k CD ·k AB ＝y x －3·3＝－1 k CB ＝k AD ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3y ＝3－xy ＋1x －1＝－2，∴{ x ＋3y ＝3， 2x ＋y ＝1.∴{ x ＝0 y ＝1，即D (0,1)． 【答案】 D 【思想方法技巧】分类讨论思想在直线平行与垂直中的应用(12分)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)． (1)若l 1∥l 2，求a 的值； (2)若l 1⊥l 2，求a 的值．【思路点拨】 (1)x C ≠x D 斜率存在,l 1∥l 2→k 1＝k 2→a 的值 (2)l 1⊥l 2→分情况讨论→求a 的值 【规范解答】 设直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝2－ a ＋2 1－ －2＝－a3.2分(1)若l 1∥l 2，设直线l 的斜率为k 1，则k 1＝－a3. 又k 1＝2－a a －4，则2－a a －4＝－a3，∴a ＝1或a ＝6. 4分经检验，当a ＝1或a ＝6时，l 1∥l 2.(2)若l 1⊥l 2，①当k 2＝0时，此时a ＝0，k 1＝－12，不符合题意.8分 ②当k 2≠0时，l 2的斜率存在，此时k 1＝2－aa －4. ∴由k 2k 1＝－1，可得a ＝3或a ＝－4.所以，当a ＝3或a ＝－4时，l 1⊥l 2. 12分 【思维启迪】1．由l 1∥l 2比较k 1，k 2时,应首先考虑斜率是否存在，当k 1＝k 2时，还应排除两直线重合的情况． 2．由l 1⊥l 2比较k 1，k 2时，既要考虑斜率是否存在，又要考虑斜率是否为0的情况． 3．在l 1∥l 2及l 1⊥l 2相关问题的处理中，树立分类讨论的意识． 【课堂小结】1．两条直线平行的条件是在两直线不重合且斜率存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则两直线也平行．2．两条直线垂直的条件也是在两条直线的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件下有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1；若一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率等于0，则两条直线也垂直．3．在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想． 【当堂达标检测】1．下列说法中正确的是( )A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等C ．垂直的两直线的斜率之积为－1D ．只有斜率相等的两条直线才一定平行【解析】 A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存在；B 正确；C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，它们也垂直；D 不正确，斜率都不存在的两条直线也平行．【答案】 B2．已知直线l 1的斜率k 1＝－85，直线l 2的斜率k 2＝58，则l 1与l 2的位置关系为( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．无法确定 【解析】 ∵k 1·k 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 【答案】 C3．直线l 1的斜率为2，直线l 2上有三点M (3,5)，N (x,7)，P (－1，y )，若l 1⊥l 2，则x ＝________，y ＝________.【解析】 ∵l 1⊥l 2，且l 1的斜率为2，则l 2的斜率为－12，∴7－5x －3＝y －5－1－3＝－12，∴x ＝－1，y ＝7. 【答案】 －1 74．(1)已知直线l 1经过点M (－3,0)，N (－15，－6)，l 2经过点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，32，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，试判断l 1与l 2是否平行．(2)l 1的倾斜角为45°，l 2经过点P (－2，－1)，Q (3，－6)，问l 1与l 2是否垂直？ 【解】 (1)∵k MN ＝0－ －6 －3－ －15 ＝12，k RS ＝52－320－ －2 ＝12，∴l 1∥l 2.(2)∵k 1＝tan 45°＝1，k 2＝－6－ －13－ －2 ＝－1，∴k 1·k 2＝－1.∴l 1⊥l 2.【课后知能检测】 一、选择题1．下列说法正确的有( )①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l 1∥l 2，则k 1＝k 2；③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】 当k 1＝k 2时，l 1与l 2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确，故选A.【答案】 A2．(2014·昆明高一检测)直线l 1的斜率为2，l 1∥l 2，直线l 2过点(－1,1)且与y 轴交于点P ，则P 点坐标为( )A ．(3,0)B ．(－3,0)C ．(0，－3)D ．(0,3)【解析】 ∵k 1＝2，l 1∥l 2，∴k 2＝2，设P (0，y )则k 2＝y －10＋1＝y －1＝2，∴y ＝3，即：P (0,3)．【答案】 D3．若直线l 1，l 2的倾斜角分别为α1，α2，且l 1⊥l 2，则( ) A ．α1－α2＝90° B ．α2－α1＝90° C ．|α1－α2|＝90° D ．α1＋α2＝180° 【解析】 如图所示．由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°，∴|α1－α2|＝90°. 【答案】 C4．如果直线l 1的斜率为a ，l 1⊥l 2，则直线l 2的斜率为( ) A.1a B ．aC ．－1aD ．－1a 或不存在【解析】 当a ≠0时，直线l 2的斜率k 2为－1a ；当a ＝0时，直线l 2的斜率不存在． 【答案】 D5．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形 【解析】 k AB ＝－1－12＋1＝－23，k AC ＝4－11＋1＝32，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∠A 为直角． 【答案】 C 二、填空题6．(2014·南京高一检测)l 1的倾斜角为60°，l 2经过点M (1，3)，N (－2，－23)，则两直线l 1与l 2的位置关系是________．【解析】 由题意知，k 1＝tan 60°＝3，k 2＝－23－3－2－1＝3，k 1＝k 2，所以直线l 1与直线l 2平行或重合．【答案】 平行或重合7．经过点M (m,3)和N (2，m )的直线l 与斜率为－4的直线互相垂直，则m 的值是________． 【解析】 由题意知，直线MN 的斜率存在，∵MN ⊥l ，∴k MN ＝m －32－m ＝14，解得m ＝145.【答案】 1458．已知平行四边形ABCD 中，A (1,1)，B (－2,3)，C (0，－4)，则点D 的坐标为________．【解析】 设D (x ，y )，由题意可知，AB ∥CD 且AD ∥BC . ∴k AB ＝k CD 且k AD ＝k BC ，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－1－2－1＝y ＋4x ， －4－30＋2＝y －1x －1，解得{ x ＝3， y ＝－6，∴D 点的坐标为(3，－6)． 【答案】 (3，－6)三、解答题9．如图所示，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1，3)． (1)求OC 所在直线的斜率．(2)过C 作CD ⊥AB 于D ，求直线CD 的斜率．【解】 (1)∵点O (0,0)，C (1,3)，∴OC 所在直线的斜率k OC ＝3－01－0＝3. (2)在▱OABC 中，AB ∥OC ，∵CD ⊥AB ，∴CD ⊥OC ，∴k OC ·k CD ＝－1，k CD ＝－1k OC ＝－13.故直线CD 的斜率为－13.10．在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次是O (0,0)，P (1，t )，Q (1－2t,2＋t )，R (－2t,2)，其中t ∈(0，＋∞)，试判断四边形OPQR 的形状，并给出证明．【解】 OP 边所在直线的斜率k OP ＝t ， QR 边所在直线的斜率k QR ＝t ＋2 －21－2t － －2t＝t ，OR 边所在直线的斜率k OR ＝－1t .PQ 边所在直线的斜率k PQ ＝ 2＋t －t 1－2t －1＝－1t ，∵k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，∴OP ∥QR ，OR ∥PQ ，∴四边形OPQR 是平行四边形． 又k QR ·k OR ＝t ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t ＝－1，∴QR ⊥OR .∴四边形OPQR 是矩形． 11．已知A (0,3)，B (－1,0)，C (3,0)，求D 点的坐标，使四边形ABCD 为直角梯形(A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列)．【解】 设所求点D 的坐标为(x ，y )，如图．由于直线AB 的斜率k AB ＝3，直线BC 的斜率k BC ＝0，则k AB ·k BC ＝0≠－1， 即AB 与BC 不垂直．故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边． (1)若CD 是直角梯形的直角边，则BC ⊥CD ，AD ⊥CD .∵k BC ＝0，∴CD 的斜率不存在．从而有x ＝3.又∵直线AD 的斜率k AD ＝k BC ，∴y －3x ＝0，即y ＝3.此时AB 与CD 不平行．故所求点D 的坐标为(3,3)， (2)若AD 是直角梯形的直角边，则AD ⊥AB ，AD ⊥CD .∵k AD ＝y －3x ，直线CD 的斜率k CD ＝yx －3，又由于AD ⊥AB ，∴y －3x ·3＝－1.①又∵AB ∥CD ，∴yx －3＝3.② 由①②可得⎩⎨⎧x ＝185， y ＝95.此时AD 与BC 不平行．综上可知，使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或⎝ ⎛⎭⎪⎫185，95.。
两条直线平行和垂直的判定教学设计
环节二 两条直线平行和垂直的判定【引入新课】为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题．下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系．【课堂探究】问题1：我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行. 当两条直线l 1与l 2平行时，它们的斜率k 1与k 2满足什么关系？答案：如图，假设两条直线均有斜率.若l 1∥l 2，则l 1与l 2的倾斜角α1与α2相等，由α1=α2，可得tan α1=tan α2，即k 1=k 2．因此，若l 1∥l 2，则k 1=k 2．反之，当k 1=k 2时，tan α1=tan α2，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知，α1=α2，因此l 1∥l 2．于是，对于斜率分别为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2，有问题2：两条直线平行还有没有别的情形？答案：当α1=α2=90°时，直线的斜率不存在，此时l 1∥l 2．若直线l 1，l 2重合，此时仍然有k 1=k 2．用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论． 问题3：显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l 1，l 2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？l 2l 1Oyx答案：设两条直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则直线l 1，l 2的方向向量分别是 a =（1，k 1），b =（1，k 2），于是， 即.也就是说，． 问题4：两条直线垂直还有没有别的情形？ 答案：如图，当直线l 1或l 2的倾斜角为90°时，若l 1⊥l 2，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然．由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果两条直线的斜率之积等于，那么它们互相垂直．即【知识应用】例1已知，，，，试判断直线AB 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．解：如图，直线BA 的斜率k BA ==，直线PQ 的斜率k PQ ==．因为k BA =k PQ ，所以直线AB ∥PQ ．例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为，，，，试12120110l l k k ⊥⇔⊥⇔⋅=⇔⨯+=a b a b 121k k =-12121⊥⇔=-l l k k l 2l 1Oyx1-1-(2,3)A (4,0)B -(3,1)P -(1,2)Q -()3024---122113----（）12(0,0)A (2,1)B -(4,2)C (2,3)D判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．解：如图，AB 边所在直线的斜率k AB =， CD 边所在直线的斜率k CD =， BC 边所在直线的斜率k BC =， DA 边所在直线的斜率k DA =． 因为k AB =k CD ，k BC =k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA ． 因此四边形ABCD 是平行四边形．例3 已知，，，，试判断直线AB 与PQ 的位置关系．解：直线AB 的斜率k AB =， 直线PQ 的斜率k PQ =． 因为k AB k PQ =×=，所以直线AB ⊥PQ ．例4 已知，，三点，试判断的形状． 分析：如图，猜想AB ⊥BC ，是直角三角形．DCBA xyO12-12-3232(6,0)A -(3,6)B (0,3)P (6,6)Q -2332-233()2-1-(5,1)A -(1,1)B (2,3)C ABC ∆ABC ∆解：边AB 所在直线的斜率k AB =，边BC 所在直线的斜率k BC =2． 由k AB k BC =，得AB ⊥BC ，即∠ABC =90°． 所以是直角三角形．12-1-ABC ∆。
北师大版高中数学必修二两条直线的平行与垂直教案
2.1.2两条直线的平行与垂直一、教学目标(一)知识教学：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.(二)能力训练：通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力．(三)学科渗透：通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．二、重难点重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．三、教学方法：启发、引导、讨论.四、教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线 L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2． L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等). （三）、例题：例1 已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证) 解同上.例3 已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ.例4 已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)（四）、课堂练习：P94 练习 1. 2.（五）、课后小结：(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.（六）、布置作业：P94 习题3.1 5. 8.五、教后反思：。
高中数学3.1 两条直线平行与垂直的判定 教案3人教版必修2
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计一、教材分析本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。
从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。
通过本章知识的学习可以让学生从新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。
同时在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程三、课标的分析《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。
从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。
在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。
现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。
坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。
在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀”，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。
可以让学生既对几何产生兴趣，又让学生可以轻松的学习几何。
在教学中应注意引导学生将所学知识与现实实际联系，提高学生解决问题的能力。
四、教学对象的分析1、学生的知识、技能的基础。
学生在义务教育阶段，学生学习过函数的图像。
知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对（x,y ）表示，但没有系统接受过解析几何研究问题的思想方法。
因此要进行对本章内容的简要说明，我要研究的是什么？用什么样的方法来研究。
高中数学两直线平行与垂直的判定教案 新课标 人教版 必修2(A)
两直线平行与垂直的判定一、教学目标(一)知识教学点掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判断两直线是否平行或垂直，能运用条件确定两平行或垂直直线的方程系数．(二)能力训练点通过研究两直线平行或垂直的条件的讨论，培养学生运用已有知识解决新问题的能力以及学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，激发学生学习的兴趣．二、教材分析1．重点：两条直线平行和垂直的条件是解析几何中的一个重点，要求学生能熟练掌握，灵活运用．2．难点：启发学生把研究两直线的平行与垂直问题转化为考查两直线的斜率的关系问题．3．疑点：对于两直线中有一条直线斜率不存在的情况课本上没有考虑，上课时要注意解决好这个问题．三、活动设计提问、讨论、解答．四、教学过程(一)特殊情况下的两直线平行与垂直这一节课，我们研究怎样通过两直线的方程来判断两直线的平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)斜率存在时两直线的平行与垂直设直线l1和l2的斜率为k1和k2，它们的方程分别是l1： y=k1x+b1； l2： y=k2x+b2．两直线的平行与垂直是由两直线的方向来决定的，两直线的方向又是由直线的倾斜角与斜率决定的，所以我们下面要解决的问题是两平行与垂直的直线它们的斜率有什么特征．我们首先研究两条直线平行(不重合)的情形．如果l1∥l2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．∴tgα1=tgα2．即 k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等，k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°，∴α1=α2．∵两直线不重合，∴l1∥l2．两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即( )要注意，上面的等价是在两直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不存立．现在研究两条直线垂直的情形．如果l1⊥l2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为l1、l2的斜率是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．可以推出α1=90°+α2．l1⊥l2．两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直，即( )。
最新人教版高中数学必修2第三章《两条直线平行与垂直的判定》教案1
《两条直线平行与垂直的判定》教案教学目标1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两条直线是否平行或垂直；2．通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生正确运用知识解决新问题的能力，以及数形结合能力；3．通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.教学重点难点1．重点：两条直线平行和垂直的条件.2．难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.教法与学法1．教法选择：尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.2．学法指导：通过对直观教具的观察，教会学生观察——猜想——证明的学习方法，让学生进一步了解反证法的实质及“转化”的数学思想方法，在教学中培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力，并在教学中逐步提高学生论证问题的能力.教学过程一、设置情境，激发学生的探索兴趣探索新知归纳结论1.两条直线平行的判定设两条直线1l与2l的斜率分别为1k与2k.问题1、（提问）当1l//2l时，1k//2k满足怎样的关系？给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演.归纳：1l//2l⇒1k=2k问题2、当1k=2k时，两条直线1l与2l有怎样的位置关系？学生通过思考，很快得出直线1l//2l，但要明确其中的原理势必受到三角函数基础知识的限制，教师可给予适当的讲解.归纳：1k=2k⇒1l//2l问题3、由上面我们能得到什么样的结论.结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即1l//2l⇔1k=2k问题4、（提问）若直线1l的斜率不存在，则直线2l的斜率为多少时？直线1l和2l：（1）平行；（2）垂直.给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师在黑板上画出相应结论的图像.归纳（一般情况）：问题5、（提问）若直线1l与2l的斜率相等，则1l与2l一定平行吗？用已有知识解决新问题的能力；培养学生自主探究问题的习惯；让学生体验探究两条直线斜率与直线的位置关系的过程，更好的理解两直线平行的条件识符合从具体到抽象，从特殊到一律，并且培养学生的数形结合的数学思想给学生约30秒的时间思考，请一位学生口述答案，教师出示结果.（此结论是利用斜率证明三点共线的）2. 两条直线垂直的判定问题1、当1l ⊥2l 时，它们的斜率k 1与k 2有何关系？ 教师引导学生，由特殊到一般进行归纳，如举例(1)直线1l ⊥2l 且1l 的倾斜角为300，2l 的倾斜角为1200，k 1与k 2的关系.(2)直线1l ⊥2l 且1l 的倾斜角为600，2l 的倾斜角为1500，k 1与k 2的关系121k k ⋅=-由学生自主探究，得出121k k ⋅=-.猜想：任意两条直线垂直时121k k ⋅=-.教师利用几何画板直观演示任意两条相互垂直时直线斜率之积为-1，验证猜想的可靠性.提出问题：我们能否证明上述结论呢？该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生无法完成.教师通过分析、讲解，完成证明过程.归纳：1l ⊥2121l k k ⇒⋅=-问题2．反之，当121k k ⋅=-时，直线1l 与2l 有怎样的位置关系？学生思考后得出1l 与2l 是垂直的.由于结论的证明涉及三角函数的相关知识，完成证明很困难，老师利用几何画板直观演示，验证两条直线的斜率之积为-1，它们是相互垂直的即可.归纳：12121k k l l ⋅=-⇒⊥ 两条直线垂直的判定：如果两条直线有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即12121k k l l ⋅=-⇔⊥.用新知独立解决数学问题的能力题，为下一环节做好铺垫二、变式演练，提高能力三、归纳小结，课堂延展1.教材地位分析：直线与方程是平面解析几何初步的基础知识，主要内容是用坐标法研究平面上最基本、最简单的几何图形——直线.学习本章，既能为进一步学习解析几何的圆、圆锥曲线、线性规划、以及导数、微分等做好知识上的必要准备，又能为今后灵活运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.本节核心内容是两条直线平行与垂直的判定，它既是直线斜率概念的深化和简单应用，也是后续内容学习的重要基础.2．学生现实状况分析：在初中数学中，学生已学习过两条直线平行与垂直的判定，而且是在学生学习了直线的倾斜角、斜率概念和斜率公式等知识的基础上，进一步探究如何用直线的斜率判定两条直线平行与垂直的位置关系.对两条直线平行与垂直的几何判断方法并不陌生，并且具备了一些初步推理能力.但用两条直线的斜率判定两条直线平行与垂直，是用代数方法研究几何问题，学生面对的是一种全新的思维方法，首次接触会感到不习惯.学生还需具备三角函数的有关知识，但此前学生并没有这方面的知识储备.尤其是对诱导公式tan(90)tan αα︒+=-的认识是有一定困难的，因而要导出两条直线垂直的斜率条件，学生会感到困难.3.在教学中，学生在自主探究、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.。
高中数学3.1 两条直线平行与垂直的判定 教案3人教版必修2
《两条直线平行与垂直的判定》教学设计一、教材分析本课内容选自普通高中新课程标准实验教科书人教版数学必修2的第三章第二节，介绍的是平面解析几何的知识。
从本章开始学生初步、系统地了解平面解析几何的知识，在第一、二章的学习中，学生已掌握了高中立体几何的初步知识，这有利于学生从新的角度了解高中数学几何教学内容编排体系。
通过本章知识的学习可以让学生从新认识平面几何的知识，又可以为选修里面的圆锥曲线理论知识的学习打下重要的基础，起到承上启下的作用。
同时在本章中，学生初步尝试从新的观念来认识直线和方程的联系，再从基本概念和基本方法深化对直线方程三、课标的分析《普通高中数学课程标准》关于直线与方程的内容标准指出：将直线的倾斜角代数化，探索确定直线位置的几何要素，建立直线的方程，把直线问题转化为代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种思想贯穿本章教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。
从课标中这部分内容标准的要求，可以知道直角坐标系使几何研究又一次飞跃，几何从此跨入了一个新的时代。
在欧氏几何里，我们直接依据图形中点、直线、平面的关系，研究图形的性质。
现在我们采用另外一种研究方法：坐标法。
坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为代数问题，通过代数运算研究几何图形性质的一种方法。
在平面直角坐标系中，给直线插上方程的“翅膀〞，通过直线的方程研究直线之间的位置关系：平行、垂直，以及两条直线的交点坐标，点到直线的距离公式等等。
可以让学生既对几何产生兴趣，又让学生可以轻松的学习几何。
在教学中应注意引导学生将所学知识与现实实际联系，提高学生解决问题的能力。
四、教学对象的分析1、学生的知识、技能的基础。
学生在义务教育阶段，学生学习过函数的图像。
知道在直角坐标系中，点可以用有序实数对〔x,y 〕表示，但没有系统接受过解析几何研究问题的思想方法。
因此要进行对本章内容的简要说明，我要研究的是什么？用什么样的方法来研究。
两条直线平行与垂直的判定学案（精选五篇）
两条直线平行与垂直的判定学案（精选五篇）第一篇：两条直线平行与垂直的判定学案《两条直线平行与垂直的判定》导学案学习目标：1.探究两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.2.探究两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.重点：两直线平行、垂直的充要条件，会判断两直线是否平行、垂直.难点：斜率不存在时两直线垂直情况讨论.导入新课：1.倾斜角和斜率的概念.2.倾斜角的范围.3.已知直线上两点坐标，求直线的斜率.学习过程：一．自主学习（阅读教材P86----89）探究问题一：1.回想初中所学平面内两条直线的位置关系有哪些？2.设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，当l1∥l2时，k1与k2有什么关系？例1．已知A(2,3)，B(–4,0)，P（–3，1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.例2.已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0,0)，B(2, –1)，C(4,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.探究问题二：1.设两条直线l1、l2的斜率分别为k1、k2,当l1 l2时，k1与k2有什么关系？2.两直线垂直的判定条件.例3.已知A(–6,0)，B(3,6)，P(0,3)，Q(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.例4.已知A(5, –1)，B(1,1)，C(2,3)，试判断三角形ABC的形状.二.课堂检测1.判断下列各题中直线l1与l2的位置关系.(1)l1的斜率为1,l2经过点A(2,2)、B(3,3).(2)l1经过点A(0,2)、B(2,0),l2经过点M(2,3)、N(3,2).(3)l1的斜率为-5,l2经过点A(10,4)、B(20,6).(4)l1经过点A(4,3)、B(4,100),l2经过点M(-1,4)、N(1,4).2.已知过A(—2，m)和B(m，4)的直线与斜率为—2的直线平行，则m的值是（）A、—8B、0C、2D、103.已知A(a,2)、B(3,b+1)且直线AB的倾斜角为90度，则a,b的值为_________________4.已知平行四边形ABCD中，A（1，1）B（-2，3）C（0，-4）,求点D坐标三.课堂小结：1.两直线平行与垂直的条件.2.在运用两直线平行与垂直的条件时应注意的问题.四.课堂反思:第二篇：两直线平行与垂直的判定[推荐]3.1.2 两条直线平行与垂直的判定授课时间：第八周一、教学目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.二、教学重点、难点重点：两条直线平行和垂直的条件.难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题.三、教学方法尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法.教学设想第三篇：两直线平行与垂直的判定课题：两直线平行与垂直的判定一、学习目标：1.掌握用直线的斜率来判定两直线的平行。
高中数学3.1 两条直线平行与垂直的判定 教案2人教版必修2
课题：两条直线平行与垂直的判定单位：青铜峡市高级中学
姓名：张志进
课题：两条直线平行与垂直的判定
教学目标：
1.知识目标
理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 使学生初步了解平面解析几何的研究方法．
2.能力目标
通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生数形结合能力、运用已有知识分析问题、解决问题的能力．使学生体会数学中代数与几何的相互联系．
3.情感目标
通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．通过演示归纳，加强学生对知识的理解和应用．
教学重点：1、根据斜率判定两条直线平行和垂直．
2、初步了解平面解析几何的研究方法．
教学难点：1、对学生运用知识分析、解决问题的能力的培养．
2、两直线中有斜率不存在的情况时，两直线平行和垂直的判定．
教具准备：计算机、投影仪、三角板．
教学方法：讲解、练习、演示、探究
教学基本流程：略
教学情景设计：
教学反馈：。
2两条直线平行与垂直的判定教案导学案
2两条直线平行与垂直的判定教案导学案主题：平行与垂直直线的判定目标：1.学习如何判断两条直线平行2.学习如何判断两条直线垂直3.巩固并应用平行和垂直概念导入活动：1.导入前，让学生查看一些图片或对象，找出哪些是平行的，哪些是垂直的，并解释出他们的理由。
2.与学生讨论结果，并引导学生思考如何判断直线的平行性和垂直性。
步骤：一、平行线的判定方法（重点）1.提醒学生直线的定义：一条直线可以由两个点确定，或者可以由一个点和一组平行于该直线的向量来确定。
2.解释平行线的定义：当两条直线的斜率相等且不相交时，这两条直线是平行线。
3.提示学生两条平行直线之间没有交点。
4.提供几个示例问题，由学生思考并应用判定平行线的定义。
二、垂直线的判定方法（重点）1.提醒学生直线的定义：只需要有一个点和直线上的两个不同的点来确定一条直线。
2.解释垂直线的定义：两条直线相交且相互垂直时，这两条直线是垂直线。
3.提示学生可以利用两条直线的斜率关系来判断直线的垂直性。
4.提供几个示例问题，由学生思考并应用判定垂直线的定义。
三、实践应用（重点）1.利用刚刚学到的平行线的判定方法和垂直线的判定方法，在纸上完成一些练习题。
2.对学生的答案进行讨论和纠正。
3.鼓励学生应用这些方法解决实际生活中遇到的问题。
导出活动：让学生分享他们在日常生活中应用平行和垂直概念的例子，如建筑物、道路、图形设计等。
评估方式：1.通过观察学生在课堂练习中的答题表现来评估他们对平行和垂直概念的掌握情况。
2.对学生分享的现实生活中的例子进行评估，看他们是否能正确应用平行和垂直概念。
延伸活动：组织学生参观一些建筑物或其他实物场景，让他们观察并记录平行和垂直关系，以加深他们对这些概念的理解。
可以让学生画草图或拍照片，回到教室后和同学们分享他们的观察结果。
总结：通过本次课程的学习，学生应该掌握如何使用斜率来判断两条直线是否平行和垂直的方法，并能够应用这些概念解决实际问题。
两直线垂直与平行的判定教学设计
两直线垂直与平行的判定教学设计第一篇：两直线垂直与平行的判定教学设计§3.1.2两直线平行与垂直的判定授课类型：新授课授课对象：高二（1）班教学目标：1、充分掌握判定两直线平行的条件，能判断两直线是否为重合或平行2、能利用两直线平行的判定条件解决一些简单的平面解析几何问题3、掌握判定两直线垂直的判定条件，能利用判定条件解决一些平面解析几何问题4、在探究斜率与两直线位置关系的过程中，体会分类讨论的重要思想，感受数学的严谨性教学重点、难点：1、当两直线的斜率都不存在时，两直线平行，且前提为两直线不重合2、两直线垂直的判定条件的推导3、渗透分类讨论的重要数学思想教具：多媒体课件三角板教学方法：讲授法探究法教学进程：一、知识回顾导入新课1、倾斜角（定义、范围）2、斜率kk=tanα(α≠90)3、斜率公式P1(x1,y1),P2(x2,y2)k=0y2-y1(x1≠x2)x2-x1问：平面上两条直线有几种位置关系呢？①平行②相交③重合（）平行与垂直是两直线的特殊的位置关系，那这节课我们就来学习“两条直线平行与垂直的判定”二、新课讲授1、两直线平行的判定已知一条直线倾斜角α，不能确定这条直线的位置，可以任意平移直线l1，任意作直线l2，得到l1//l2问：不重合的两直线，倾斜角相等，两直线有什么位置关系呢？（平行）两条不重合的直线因此，我们得到：当l1和l2是，α1=α2−−→l1//l2问：如果两条直线互相平行，它们的倾斜角满足什么关系呢？（用PPT展示动态图画）我们得到：若两直线平行，它们的倾斜角α相等。
也即α1=α2←−−l1//l2两条不重合的直线※结论：当l1和l2是时，α1=α2⇔l1//l2（互为充要条件），由α1=α2我们可以得到什么？两条不重合的直线问：若没有前提条件l1和l2是（学生回答平行或重合，这里要强调两直线重合的位置关系，并且和学生说明如果没有特殊说明，说两条直线l1和l2时，一般指两条不重合的直线）问：若两直线平行时，它们的斜率满足什么关系呢？（这时要反复演示直线转动过程ppt，让学生注意到当）l1和l2同时垂直于x轴时的特殊情形学生会注意到当α1=α2=90时，l1//l2，而此时直线的斜率k不存在在时呢？l1//l2,斜问：那当两直线斜率k1,k2存率k1,k2满足什么关系呢此时，l1//l2−−→α1=α2−−→tanα1=tanα2−−→k1=k2？问：反过来，由k1=k2能否得到l1//l2的位置关系？我们首先要考虑什么？（先排除两直线l1和l2重合的可能），当两条不重合的直线的斜率k1=k2时，k1=k2−−→tanα1=tanα2−−→α1=α2−−→l1//l2 ※结论：两条直线不重合且斜率都存在时，l1//l2⇔k1=k2（充要条件）练习1、判断题⑴l1//l2是α1=α2的充要条件（×）⑵若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行（×）⑶l1//l2是k1=k2的充要条件（×）例1、已知直线l1的倾斜角是450，且过定点（1,1），l2是经过两点A（x,1）,B(4,-3)的直线，满足l1//l2,求x的值分析：由题设可知，两直线的斜率k1和k2都存在，且l1和l2是两条不重合的直线，要满足l1//l2，只要使k1=k2成立即可。
高中数学必修二教案：3.1.2+两直线平行与垂直的判定
集体备课电子教案高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日的倾斜角分别为α1与α2，若时，若直线l1⊥l2，则精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
整体设计
教学分析
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定，又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.
三维目标
1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.
2.通过教学，提倡学生用旧知识解决新问题，注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.
重点难点
教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件，并会判断两条直线是否平行、垂直.
教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论（公式适用的前提条件）.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.设问（1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种？(2)两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？根据倾斜角
和斜率的关系,能否利用斜率来判定两条直线平行呢?
思路2.上节课我们学习的是什么知识？想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题.
推进新课
新知探究
提出问题
①平面内不重合的两条直线的位置关系有几种？
②两条直线的倾斜角相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？
③“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件？
④两条直线的斜率相等，这两条直线是否平行？反过来是否成立？
⑤l1∥l2时，k1与k2满足什么关系？
⑥l1⊥l2时，k1与k2满足什么关系？
活动:①教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例.
②数形结合容易得出结论.
③注意到倾斜角是90°的直线没有斜率,即tan90°不存在.
④注意到倾斜角是90°的直线没有斜率.
⑤必要性：如果l1∥l2，如图1所示，它们的倾斜角相等,即α1=α2，tanα1=tanα2,即k1=k2.
图1
充分性：如果k 1=k 2,即tanα1=tanα2,
∵0°≤α1＜180°，0°≤α2＜180°，∴α1=α2.于是l 1∥l 2.
⑥学生讨论，采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件.
讨论结果：①平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交，其中垂直是相交的特例. ②两条直线的倾斜角相等，这两条直线平行，反过来成立.
③“α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件.
④两条直线的斜率相等，这两条直线平行，反过来成立.
⑤l 1∥l 2⇔k 1=k 2.
⑥l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.
应用示例
例1 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，１），Q （－1，2），判断直线BA 与P Ｑ的位置关系，并证明你的结论.
解:直线BA 的斜率k BA =)
4(203---=0.5, 直线PQ 的斜率k PQ =)
3(112----=0.5, 因为k BA =k PQ .所以直线BA ∥PQ.
变式训练
若A(-2,3),B(3,-2),C(
2
1,m)三点共线，则m 的值为( ) A.21 B.-2
1 C.-
2 D.2 分析：k AB =k BC ,32122332-+=+--m ,m=21. 答案：A
例2 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，-1），C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.
解：AB 边所在直线的斜率k AB =-2
1, CD 边所在直线的斜率k CD =-
2
1, BC 边所在直线的斜率k BC =2
3, DA 边所在直线的斜率k DA =23. 因为k AB =k CD ,k BC =k DA ,所以AB ∥CD,BC ∥DA.
因此四边形ABCD 是平行四边形.
变式训练
直线l 1：ax+3y+1=0，l 2：x+(a-2)y+a=0，它们的倾斜角及斜率依次分别为α1，α2，k 1，k 2.
（1）a=_____________时，α1=150°；
（2）a=_____________时，l 2⊥x 轴；
（3）a=_____________时，l 1∥l 2；
（4）a=_____________时，l 1、l 2重合；
（5）a=_____________时，l 1⊥l 2.
答案：（1）3 （2）2 （3）3 （4）-1 （5）1.5
知能训练
习题3.1 A 组6、7.
拓展提升
问题：已知P （－3，2），Q （3，4）及直线ax+y+3=0.若此直线分别与PQ 的延长线、QP 的延长线相交，试分别求出a 的取值范围.（图2）
图2
解：直线l ：ax+y+3=0是过定点A （0，-3）的直线系，斜率为参变数-a ，易知PQ 、AQ 、
AP 、l 的斜率分别为：k PQ =
31，k AQ =37，k AP =3
5 ，k 1=-a. 若l 与PQ 延长线相交，由图,可知k PQ ＜k 1＜k AQ ，解得-37＜a ＜-31； 若l 与PQ 相交，则k 1＞k AQ 或k 1＜k AP ，解得a ＜-3
7或a ＞35； 若l 与QP 的延长线相交，则k PQ ＞k 1＞k AP ，解得-31＜a ＜35. 课堂小结
通过本节学习，要求大家：
1.掌握两条直线平行的充要条件，并会判断两条直线是否平行.
2.掌握两条直线垂直的充要条件，并会判断两条直线是否垂直.
3.注意解析几何思想方法的渗透，同时注意思考要严密，表述要规范，培养学生探索、概括能力.
4.认识事物之间的相互联系，用联系的观点看问题.
作业
习题3.1 A 组4、5.
设计感想
本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励.。