高考数学分类专题复习之2425空间角与距离

O a

b 600 第二十四、二十五讲 空间角与距离

★★★高考在考什么 【考题回放】

1．如图，直线a 、b 相交与点O 且a 、b 成600

，过点O 与a 、b 都成600角的直线有（ C ）

A ．1 条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 2．（江苏•理）正三棱锥P-ABC 高为2，侧棱与底面所成角为45，则点A 到侧面PBC 的距离是（ B ）

A ．54

B ．56

C ．6

D ．64 3．（全国Ⅰ•理）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ D ）

A ．51

B ．52

C ．53

D ．54

4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于

3

π

． 5．（四川•理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC 1与侧面

ACC 1A 1所成的角是 6π

．

6．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， E 、F 分别为BC 与A 1D 1的中点，

(1) 求直线A 1C 与DE 所成的角；

(2) 求直线AD 与平面B 1EDF 所成的角； (3) 求面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角。 【专家解答】

(1)如图，在平面ABCD 内，过C 作CP//DE 交直 线AD 于P ，则CP A 1∠（或补角）为异面直线A 1C 与 DE 所成的角。在ΔCP A 1中，易得

a P A a DE CP a C A 2

13

,25,311==

==，由余弦定理得1515cos 1=∠CP A 。 故异面直线A 1C 与DE 所成的角为15

15

arccos

。 （2）ADF ADE ∠=∠ ，

∴AD 在面B 1EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上。而B 1EDF 是菱形，∴DB 1

为∠EDF 的平分线。故直线

AD 与面B 1EDF 所成的角为∠ADB 1．在RtΔB 1AD 中，

,3,2,11a D B a AB a AD ===则3

3cos 1=

∠ADB 。 故直线AD 与平面B 1EDF 所成的角为3

3arccos

。 （3）连结EF 、B 1D ，交于点O ，显然O 为B 1D 的中点，从而O 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的中心，作OH⊥平面ABCD ，则H 为正方形ABCD 的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM ，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH 为二面角B 1-DE-A 的平面角。

在RtΔDOE 中,23,22a OD a OE ==a DE 2

5

=，

则由面积关系得a DE OE OD OM 1030

=⋅=。

在RtΔOHM 中6

30

sin =

=∠OM OH OMH 。 O

故面B 1EDF 与 面ABCD 所成的角为6

30arcsin ★★★高考考什么

【考点透视】

异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大. 【热点透析】 1．转化思想：

① ⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形

2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证

3．二面角的平面角的主要作法：①定义 ②三垂线定义 ③ 垂面法 距离

【考点透视】

判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。 【热点透析】 转化思想： ① ⇔⇔⊥⇔⊥⇔⊥线线平行线面平行面面平行,线线线面面面 ； ② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离， 平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。 2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法： ①体积法； ②直接法,找出点在平面内的射影

★★★高考将考什么

【范例1】如图，在Rt AOB △中，

π

6OAB ∠=

，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．

（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（II ）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的大小；

（III ）求CD 与平面AOB 所成角的最大值．

解法一：

（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，

BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， 又二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AO BO O =， CO ∴⊥平面AOB ， 又CO ⊂平面COD ．

∴平面COD ⊥平面AOB ．

（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥， CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．

在Rt COE △中，2CO BO ==，1

1

2OE BO ==，

CE ∴==

又

12DE AO =

=． ∴在Rt CDE △

中，

tan 3CE CDE DE ===． O

C

A D

B

E