常见级数

常见级数

一、 等比级数（几何级数）

无穷级数：

20

n n n aq a aq aq aq ∞==++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅∑ 称为等比级数（几何级数），其中0a ≠，q 叫等比级数的公比。 ① 部分和：

2(1)111n

n n n

S a aq aq aq a q a aq q q =+++⋅⋅⋅−==−q

−−− ② 等比数列和的性质：

A. 1q <，=n S 1a q −这时级数收敛，其和为1a q

− B. 1q >，这时级数发散。

n S =∞C. 1q =，的值要视n 的值为奇数还是偶数。 n S

二、 P 级数

11p n n ∞=∑

当P>1,级数收敛。

当P≤1,级数发散。

三、 11l n p n n n ∞

=∑

当P>1,级数收敛 当P≤1，级数发散

四、 等差级数

12

3n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅① 部分和： (1)1232n n n S n +=+++⋅⋅⋅⋅+=

显然，等差级数发散。

五、 调和级数： 111123n +++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅ 其，但是级数发散（对比与性质5）

lim 0n n u →∞= 若调和级数变为：11(1)n n n ∞=−∑即交错级数，按交错级数判别法----莱布尼茨公式 其为收敛级数。