电通量与高斯定理
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2.3.1-4电通量和高斯定理
d e E dS EdS
4 0 R
S
ds q r
E
q dS 2 4 0 R
1
2.3 电通量和高斯定理
三、高斯定律
(二)证明 出发点：库仑定律和叠加原理 1.通过一个与点电荷q 同 心的球面S的电通量。
e d e
s
S
q
0
q 40 R
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
(二)匀强电场的电通量
1.平面S与E垂直时
e＝ES
2.平面S与E有夹角θ时 引入面积矢量
e＝ES cos e＝E S E en S
S Se n
E
S
en
S
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 解：1、对称性分析：
E
+ + +++ +++ +++
+ + +
+ + + + +
+
+++ 结论：电场以中心轴线为对称轴。
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 2、以轴线为中心， 作半径为r(r>R)的圆柱形 高斯面S
2.3 电通量和高斯定理
4.若高斯面内的电荷的电量为零，则通过 高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场 强度并不一定为零； 5.通过任意闭合曲面的电通量只决定于它 所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对 电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合 面上各点处的场强大小和方向； 6.高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为 高斯面。
4 0 R
S
ds q r
E
q dS 2 4 0 R
1
2.3 电通量和高斯定理
三、高斯定律
(二)证明 出发点：库仑定律和叠加原理 1.通过一个与点电荷q 同 心的球面S的电通量。
e d e
s
S
q
0
q 40 R
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
(二)匀强电场的电通量
1.平面S与E垂直时
e＝ES
2.平面S与E有夹角θ时 引入面积矢量
e＝ES cos e＝E S E en S
S Se n
E
S
en
S
2.3 电通量和高斯定理
二、电场强度通量
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 解：1、对称性分析：
E
+ + +++ +++ +++
+ + +
+ + + + +
+
+++ 结论：电场以中心轴线为对称轴。
例4、求一半径为R，单位长度带电 的无 限长直圆柱带电体的电场。 2、以轴线为中心， 作半径为r(r>R)的圆柱形 高斯面S
2.3 电通量和高斯定理
4.若高斯面内的电荷的电量为零，则通过 高斯面的电通量为零，但高斯面上各点的电场 强度并不一定为零； 5.通过任意闭合曲面的电通量只决定于它 所包围的电荷的代数和，闭合曲面外的电荷对 电通量无贡献。但电荷的空间分布会影响闭合 面上各点处的场强大小和方向； 6.高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为 高斯面。
电通量 高斯定理
1
只有S内的电荷对穿过S的电通量有贡献.
P.12/29
0
q
内
电荷与电场
三、真空中高斯定理(Gauss theorem) 真空中静电场内,通过任意封闭曲面(高斯面)的电通 量等于该封闭曲面所包围的电量代数和的1/0倍： 讨论： 1. 式中各项的含义
1 SE dS 0 q内
E 大小相等 E 方向沿径向
o
r
dq
r0 r0
P
dE
d E
dE dE
E (q内) (4 π 0r )
2
P.16/29
电荷与电场
S
r R:
R
q
内
q
q
r
o
r
P
q 4 3 r R : q内 4 πr 3 3 3πR
q E外 2 4 π 0r
0
Φes 0
(3) 曲面为不包围电荷的任意封闭曲面 结论
Φe sE dS
q 0 0
q在S内 q在S外
P.11/29
电荷与电场
思考：1) 是否存在 q 恰好在S上的情况？ 2)上述结论与库仑定律 F 1 r 2 有何关系？ 练习2：空间有点电荷系q1,q2,…qn ,求穿过空间任意封 闭曲面S的电通量. 曲面上各点处电场强度： q
E dS E dS E dS E dS
上 下 侧
电荷与电场
r
P
π π E cos dS E cos dS E cos0 dS 2 2 上 下 侧 E 2 π rL
由高斯定理 E dS E 2 π rL
电通量,高斯定理
电通量、高斯定理1、均匀电场的场强E与半径为R 的半球面的轴线平行，则通过半球面的电场强度通量φ = πR 2E ，若在半球面的球心处再放置点电荷q ，q不改变E分布，则通过半球面的电场强度通量 φ =πR 2E ±q/2ε0。
2、真空中的高斯定理的数学表达式为∑⎰=⋅0/εq s d E i s ，其物理意义是静电场是有源场。
3、一点电荷q 位于一位立方体中心，立方体边长为a ，则通过立方体每个表面的E的通量是q/6ε0；若把这电荷移到立方体的一个顶角上，这时通过电荷所在顶角的三个面E的通量是 0 ，通过立方体另外三个面的E的通量是 q/8ε0。
4、两个无限大均匀带正电的平行平面，电荷面密度分别为σ1和σ2，且σ1＞σ2，则两平面间电场强度的大小是( C )(A)(B) (C)(D) 5、应用高斯定理求场强E时，要求E的分布具有对称性，对于没有对称性的电场分布，例如电偶极子产生的电场，高斯定理就不再成立，你认为这种说法：( B )(A)正确 (B)错误 (C)无法判断6、下述带电体系的场强分布可能用高斯定理来计算的是( D )(A)均匀带电圆板 (B)有限长均匀带电棒 (C)电偶极子 (D)带电介质球(电荷体密度是离球心距离r 的函数) 7、如果在静电场中所作的封闭曲面内没有净电荷，则( C )(A)封闭面上的电通量一定为零，场强也一定为零；()0212/εσσ+()021/εσσ+()0212/εσσ-()021/εσσ-(B)封闭面上的电通量不一定为零，场强则一定为零；(C)封闭面上的电通量一定为零；场强不一定为零；(D)封闭面上的电通量不一定为零；场强不一定为零。
8、无限长均匀带电圆柱体，电荷体密度为ρ，半径为R，求柱体内外的场强分布解：作一半径为r，高为h的同轴圆柱面为高斯面根据对称性分析，圆柱面侧面上任一点的场强大小相等，方向沿矢径方向⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+⋅=⋅侧面下底上底s dEs dEs dEs dEs=⎰⋅侧面s dE=E⎰侧面ds=2rhEπ（1）r < R时, ∑=ρπhrqi2,2/2ερππhrrhE=,2ερrE=（2）r > R时, ∑=ρπhRqi2,2/2ερππhRrhE=,rRE22ερ=∴=E)(,2)(,22RrrRRrr><ερερ。
电通量高斯定理
穿入曲面的电力线，电通量为负值； 与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
5
三、高斯定理
1、真空中的高斯定理
穿过任一闭合曲面的电通量 等于该 曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。
∑qi 是曲面S 内的电荷的代数和，这里的E是总电场(电 力线穿过曲面处的电场）、是S面内外所有电荷共同产生的 电场。
通过整个闭合球面S的电通量
e
d
s
e
qds
s 4 0r 2
q
4 0r 2
ds q
s
0
7
2）任意闭合曲面S／：
在该曲面外作一个以点电荷q 为中心的球面S
由于电力线的连续性、同前例
e
S
E
ds
q ε0
3）曲面S不包围q
n0
dS
S
从q发出的电力线
穿出任意闭合曲面
因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条 电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。
10
3、正确理解高斯定理
1）高斯面上各点的场强E，例如P点的 EP 是所有在场的电荷
共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。
Ｅ
P
qB
qC
qD
＋
q
－
q
q A
2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但
不能说明高斯面上各点的E一定为零。
11
四、高斯定理的应用：
对于某些具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方 便地求出电场分布。 1、均匀带电球面的电场：(设总电量为q、球面的半径为R)
为对称。
19
设P为柱面外之一点，过
电通量 高斯定理
E1 ds E2 ds ...... En ds
qn q1 q2 0 0 0
e E ds
s 0
1 qi 0
q1 q2 qn
S
q E ds
s
0
E ds 0
q ds
S
n
S
s
q
2
40 r
q
2
ds
q
0
4 0 r
ds
q
2. q位于任意曲面
S 内
0
s s
3. q位于任意闭合曲面
4. 曲面内包围多个点电荷
S 以外
S
q
( E1 E2 ...... En ) ds
解： e E ds E ds E ds E ds
E cos180 ds E cos 90 ds E cos 0 ds
0 0 0 s1 s2 s3
ER 0 R E
2 2
=0
n
0
1 e E ds
s
0
qi
四．高斯定理的应用 当场源分布具有高度对称性时，求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 ３.利用高斯定理求解
qi
例1．球面 求均匀带电球面的场强分布 已知R、 q>0 解: 对称性分析 E 具有球对称 作高斯面 通量 r R
电量 q i
电量
qi q
q E 4r
2
高斯定理
qn q1 q2 0 0 0
e E ds
s 0
1 qi 0
q1 q2 qn
S
q E ds
s
0
E ds 0
q ds
S
n
S
s
q
2
40 r
q
2
ds
q
0
4 0 r
ds
q
2. q位于任意曲面
S 内
0
s s
3. q位于任意闭合曲面
4. 曲面内包围多个点电荷
S 以外
S
q
( E1 E2 ...... En ) ds
解： e E ds E ds E ds E ds
E cos180 ds E cos 90 ds E cos 0 ds
0 0 0 s1 s2 s3
ER 0 R E
2 2
=0
n
0
1 e E ds
s
0
qi
四．高斯定理的应用 当场源分布具有高度对称性时，求场强分布
步骤：１.对称性分析，确定 E 的大小、方向分布特征
２.作高斯面，计算电通量及 ３.利用高斯定理求解
qi
例1．球面 求均匀带电球面的场强分布 已知R、 q>0 解: 对称性分析 E 具有球对称 作高斯面 通量 r R
电量 q i
电量
qi q
q E 4r
2
高斯定理
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
§8-2 电通量 高斯定理
S
∑q
i
i内
根据高斯定理列方程，解方程得 第4步：根据高斯定理列方程，解方程得E
∫
S
r r E ⋅ dS = E ∫ dS = E.S =∑ q内 / ε 0
∑q E=
内
Sε 0
......( A)
7
应用举例： 4、应用举例：
均匀带电体的场强分布 的场强分布(点 球面、球体) 例8.6P13:求球对称均匀带电体的场强分布 点、球面、球体 求
2
高斯定理 定理: 三. 高斯定理:
(K.F.Gauss——德国物理学家、数学家、天文学家) 德国物理学家、数学家、天文学家 德国物理学家
1、表述 168)：在真空中的任何静电场中 通过任 、表述(P ：在真空中的任何静电场中, 闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的 的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 数和的1/ε0倍, 即 数和的 ε
R P2
∴ E2 =
q 4πε0r
...(2)# ⇒ 球面外与点电 2
荷电场相同
（2)、 求均匀带电球体 的场强分布：P14 、 的场强分布： r 已知R, 求球内外P 已知 q, 求球内外 1、P2处的 E 作与带电球体同心半径为 半径为r的 作与带电球体同心半径为 的 球面为高斯面 球面为高斯面 r r 高斯面: 2 ∫S1E ⋅ dS = 4πr E =∑ q内 / ε 0 ∑ q内 ......( A) E= S 2 4πε 0 r
ε0 i 式中：闭合面ｓ 式中：闭合面ｓ——高斯面 高斯面 r r 通过ｓ 通过 ∫ E ⋅ dS ——通过ｓ的电通量
S i内
Φe =
∫
S
r r 1 E ⋅ dS =
∑q
i
i内
根据高斯定理列方程，解方程得 第4步：根据高斯定理列方程，解方程得E
∫
S
r r E ⋅ dS = E ∫ dS = E.S =∑ q内 / ε 0
∑q E=
内
Sε 0
......( A)
7
应用举例： 4、应用举例：
均匀带电体的场强分布 的场强分布(点 球面、球体) 例8.6P13:求球对称均匀带电体的场强分布 点、球面、球体 求
2
高斯定理 定理: 三. 高斯定理:
(K.F.Gauss——德国物理学家、数学家、天文学家) 德国物理学家、数学家、天文学家 德国物理学家
1、表述 168)：在真空中的任何静电场中 通过任 、表述(P ：在真空中的任何静电场中, 闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的 的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 一闭合曲面的电通量等于该闭合曲面所包围的电荷的代 数和的1/ε0倍, 即 数和的 ε
R P2
∴ E2 =
q 4πε0r
...(2)# ⇒ 球面外与点电 2
荷电场相同
（2)、 求均匀带电球体 的场强分布：P14 、 的场强分布： r 已知R, 求球内外P 已知 q, 求球内外 1、P2处的 E 作与带电球体同心半径为 半径为r的 作与带电球体同心半径为 的 球面为高斯面 球面为高斯面 r r 高斯面: 2 ∫S1E ⋅ dS = 4πr E =∑ q内 / ε 0 ∑ q内 ......( A) E= S 2 4πε 0 r
ε0 i 式中：闭合面ｓ 式中：闭合面ｓ——高斯面 高斯面 r r 通过ｓ 通过 ∫ E ⋅ dS ——通过ｓ的电通量
S i内
Φe =
∫
S
r r 1 E ⋅ dS =
电通量与高斯定理
S n
En n
E
S θ θ
S⊥
E
Φ = ES
3、任意电场中的任意曲面
Φ = ES⊥ = ES cosθ = EnS
dΦ = EdS⊥ = EdS cosθ = EndS
定义： 定义：面元矢量
n S
dS
dS = dS n E dS = EdS cosθ
S
θ
E
dΦ = E dS
Φ = ∫ dΦ = ∫ E dS
四、高斯定理的应用 例：均匀带电球面 解：1 、 r > R
dE′
dS
Q
E P dE
n
Q
E
O R
dS′
r
O
Φ = ∫ E dS = ∫ EcosθdS S S Q 2 = E dS = E4πr = ， E= S
∫
Q 4πε0r
2
ε0
2、 r
Φ = ∫ E dS
S
<R
S
Q
O
= EcosθdS
例：均匀带电圆盘 求：轴线上 解： dS = 2πrdr
E
R
σ
dr
r
x P x
dq = σdS = σ 2πrdr
xdq dE = 4πε0 (x2 + r2 )3/ 2 1
O
rdr σx xσ 2πrdr = 2 2 3/ 2 = 2 2 3/ 2 4πε0 (x + r ) 2ε0 (x + r )
r<R
4 3 Φ = ∫ E dS = E4πr = ρ πr / ε0 S 3 ρ E= r 3ε0
2
R
r
E= Q 4πε0r2
104电通量高斯定理
24
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2
金属导电模型
构成导体旳框架、 形状、 大小旳是那些 基本不动旳带正电荷旳原子核, 而自由电子充 斥整个导体, 属于导体共有。当有外电场存在 时, 电场与导体旳相互作用使得导体内旳自由 电子重新分布, 从而决定了导体旳电学性质。
自由电子
导体带电-q
q
25
一、 导体旳静电平衡
将导体放入电场强度为 附E0加旳电外场电场E时。, 其内部产生
E 2 0r
r
l n E n
22
总结 静电场旳高斯定理合用于一切静电场；
高斯定理并不能求出全部静电场旳分布。
高斯定理求解电场分布
E
dS
1
0
q内
场强 E 能否提出积分号
带电体电荷分 建立旳高斯 布旳对称性 面是否合适
23
10.7 静电场中旳导体
前面讨论了真空中旳静电场, 实际旳 电场中往往存在多种导体或实物介质, 这 些宏观物体旳存在会与电场产生相互作用 和相互影响, 从而出现某些新旳现象。 下 面将讨论导体在静电场中旳性质和行为。
二、电场强度通量 Φe
穿过任意曲面
旳电场线条数称为
电通量。
S
4
1.均匀场中dS 面元旳电通量
n
de dN EdS
E cos dS
E
矢量面元
dS
dS
n
dS
de E dS
2.非均匀场中曲面旳电通量
dS
S
dS E
e de SE dS
5
3. 闭合曲面电通量
E
e de SE dS
E
dS
r
11
2. 多种 电荷
E E1 E2 ... E5
q5 q3 q2
电场的电通量与高斯定理
电场的电通量与高斯定理电场的电通量是描述电场线通过一个封闭曲面的程度的物理量，它在物理学中有着重要的应用。
而高斯定理则是计算电场电通量的一种重要方法。
本文将探讨电场的电通量的概念及计算方法，以及高斯定理的原理和应用。
1. 电场的电通量电场的电通量是指单位时间内通过垂直于电场线的面积的电场线数目。
常用符号表示为Φ，单位为“麦可伏伦/米平方”（C·V/m^2）。
电通量的大小与电场线的密度有关，电场线越密集，则电通量越大。
2. 电通量的计算电通量的计算可以通过积分来实现。
设曲面S为一个封闭曲面，并在曲面上选取微小面元dS，该微小面元的面积为ΔS。
假设电场E在该面元上的投影长度为E⊥，则通过该微小面元的电场线条数为E⊥·ΔS。
将所有微小面元上的电场线条数相加，就可以得到通过整个曲面的电通量Φ，即Φ = ∫ E⊥ · dS。
3. 高斯定理的原理高斯定理主要应用于具有对称性的电场问题。
它指出，对于任意封闭曲面S，通过该曲面的电通量Φ与该封闭曲面所包围的总电荷量Q之间存在以下关系：Φ = Q/ε0，其中ε0为真空中的电介质常数，约等于8.85 × 10^-12 C^2/N·m^2。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场问题的求解中具有广泛的应用。
通过选择合适的封闭曲面，可以简化电场问题的求解过程。
例如，当电场具有球对称性时，可以选择以球心为中心的球面作为封闭曲面，这样可以使计算过程更加简化。
5. 实例分析考虑一个均匀带电球体，球心位于原点，半径为R，总电荷量为Q。
我们希望计算通过球面的电通量。
根据高斯定理，可以选择以球心为中心，球面为封闭曲面进行计算。
由于球对称性，电场E在球面上的大小处处相等。
根据球面积分的计算公式，可以得到Φ = E · 4πR^2。
而球内的总电荷量为Q，因此根据高斯定理，我们可以得到Φ = Q/ε0。
将上述两个等式联立，可以解得E = Q / (4πε0R^2)。
电通量 高斯定理
(2)选过场点和板对称且垂直的封闭柱面为高斯面 S3 S3 S1 S2 S1 + + + + + +
+ + S2
S 2 ( 3) e E dS 2 ES2
S
0
E 2 0
0 场强垂直于板向外 0 场强垂直于板向内
例5 两块均匀无限大薄平板相互垂直，它们的电荷 面密度为+σ和-σ。求空间各点的场强大小和方向， 并画出电力线。 解：由图，对空间任一 点，由场强叠加原理得
本节作业： P321 15 17 18 19 20
在空腔内任取一点p, 设该点场强为 E
Ε1 op 3 0
1
c o
E1
小球单独存在时，p点的场强为
E2 cp 3 0
ห้องสมุดไป่ตู้
o p E
R
2
E1 E 2 E ( op cp ) E E1 E2
3 0
l
侧面
+++ S下 +++
ES侧
q E 2πrl
E
q
2 π 0 rl
0
E
+ + +++ +++
q
2 π 0 rl
2
l
+++ +++
r > R： q π2R l R E 2 0 r 2 q π r l r R： r E E 2 0
令
Q Aa 0 2 2 4 0 r 2 0 r
电通量和高斯定理
05 电通量与高斯定理的意义 和影响
对电磁学理论的意义
描述电场分布
建立电磁场理论
电通量是描述电场分布的重要物理量， 通过高斯定理，我们可以计算出空间 中任意区域的电场强度和电通量密度。
电通量与高斯定理是电磁场理论中的 基础概念，为后续的麦克斯韦方程组 等理论奠定了基础。
揭示电场性质
高斯定理揭示了电场的一个重要性质， 即电场线总是闭合的，这一性质对于 理解电场的产生和传播机制具有重要 意义。
散度定理法
利用散度定理计算电通量， 公式为：∮E⋅dS=∫E⋅dS。
微元法
将闭合曲面划分为若干个 小面元，分别计算每个面 元的电通量，最后求和得 到总电通量。
02 高斯定理的表述
定理的表述
高斯定理的表述
在封闭曲面S内，总电荷量Q等于该封闭曲面内电通量Φ的积分， 即 ∫∫Σ Q = ∫∫Σ dΦ。
电通量的物理意义
表示电场分布的特性
电通量的大小反映了电场在某个闭合 曲面上的分布情况，可以用来描述电 场的强弱和方向。
与电荷分布的关系
电通量的大小与电荷分布有关，电荷 分布的不同会导致电通量的变化。
电通量的计算方法
01
02
03
公式法
根据电场强度E和闭合曲 面S的面积S，计算电通量。 公式为：Φ=∫∫E⋅dS。
要点一
总结词
要点二
详细描述
高斯定理是求解电场的强大工具，通过合理选择高斯面可 以简化问题求解过程。
高斯定理表述为：“通过任意闭合曲面的电场强度通量等 于该闭合曲面所包围的电荷量与真空电容率的比值。”在 求解电场问题时，可以根据问题的对称性和电荷分布情况 选择合适的高斯面，从而将复杂的积分运算简化为简单的 代数运算。例如，在求解无限大均匀带电平面或球壳产生 的电场时，利用高斯定理可以快速得出结果。
高二物理竞赛课件：电通量 高斯定理
S
E dS q
S
0
（c）点电(b)
e
E dS 0
S
+q
S (c)
（d）一般情况
n
N
E Ei Ej
i 1
j n 1
n
N
e
E dS=
S
(
S
Ei
E j ) dS
i 1
j n 1
n
＝
i 1
N
S Ei dS j n 1
S E j dS
曲面所包围的所有电荷的代数和的1/o倍。
E dS 1
S
0
i
qi
验证高斯定理：
（a）点电荷在球形高斯面的圆心处
de E dS EdS
q
4 0 R 2
dS
e
q
S 40R2 dS
q
4 0 R 2
dS q
S
0
E dS q +R
(a)
（b）点电荷在任意形状的高斯面内
e
E dS
S
在CGS电磁系单位制（emu）中磁感应强度的单位定为高斯（1932年以前曾 经用高斯定理作为磁场强度单位），便是为了纪念高斯在电磁学上的卓越贡献。
高斯定理的应用
计算具有对称分布的电荷系（其场强分布也具 有相应的对称性）的场强
解题要点：
1）适当选择闭合面（高斯面）
2) 计算 E dS S
3) 计算 qi
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天文学和大地测量学等领域的 研究，著述丰富，成就甚多。他一生中共发表323篇（种）著作，提出404项科 学创见（发表178项），在各领域的主要成就有：
（1）物理学和地磁学中，关于静电学、温差电和摩擦电的研究、利用绝对单 位（长度、质量和时间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。
9-3 电通量 高斯定理
A B
D C
B A
q
C
q e 6 0
D
例:如图所示，在正方体的某一顶点上有一点电 荷q，求通过面ABCD的电通量。 q
B A
C
D
q e 24 0
2. 当电场分布具有高度对称性时求场强分布 步骤： (1) 对称性分析，确定电场强度的大小和方向的 分布特征。 (2) 根据电场的对称性作高斯面，计算电通量。
S S S
0
q Ar4r dr
2 0
R
R
dr
r
r
(r R)
q 2 e E dS EdS E dS E 4r
S S S
0
q Ar 4r dr
2 0
r
第二种情形：电场呈现轴对称分布
例、如图所示，一无限长直均匀带电线，单位长 度的电量为 ，求其空间电场分布。
a. E是髙斯面各面元处的电场强度，是由全部电
0
q2
q4
课堂练习：当点电荷q4在曲面外移动时，通过闭合 曲面的电通量是否发生变化？P点的电场强度是否 发生变化？当点电荷q1在曲面内移动时又如何？
q4 q1 q2
P
q3
对电通量没有影响，但是，对P点的电场强度有影响。
三、高斯定理的应用
1 e E dS
R1 r R2
q1 4 / 3(r R ) EII 4r 3 0 4 / 3( R2 R )
2
R3
R1 I II
III
R2
R2 r R3
EIII 4r
2
0
q1
r R3
EIV
q1 q2 4 0 r 2
大学物理10.3 电通量 高斯定理
10.3 电通量
一、电力线（电场线）
E
dN
dS
高斯定理
场强方向沿电力线切线方 向，场强大小取决于电力 线的疏密
E dN dS
+
-
• 电力线起始于正电荷
（或无穷远处），终止 于负电荷（或无穷远 处）。 • 电力线不相交。
二、电通量
穿过任意曲面的电力线条 数称为通过该面的电通量 1. dS 面元的电通量
e d e E dS
S
穿出、穿入闭合面 电力线条数之差
闭合曲面电通量 = 正的电通量 - 负的电通量 穿出闭合面 = 电力线条数 穿入闭合面 电力线条数
例 均匀电场中有一个半径为R 的半球面 求 通过此半球面的电通量。 解 方法1: 通过dS 面元的电通量
半球面
E dS
底面
E dS 0
电荷分布
电场分布
闭合面电通量
E dS
半球面
2 E dS π R E
底面
德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
E
E
2 π 0 r
r
总结： 静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。 高斯定理求解电场分布 场强 E 能否提出积分号 带电体电荷分布的对称性 电荷 均匀
1 E dS
0
q
内
建立的高斯面是否合适 球面 圆柱面
球面、球体
无限大平面、平板
分布 无限长圆柱面、圆柱体
n 方向的规定
一、电力线（电场线）
E
dN
dS
高斯定理
场强方向沿电力线切线方 向，场强大小取决于电力 线的疏密
E dN dS
+
-
• 电力线起始于正电荷
（或无穷远处），终止 于负电荷（或无穷远 处）。 • 电力线不相交。
二、电通量
穿过任意曲面的电力线条 数称为通过该面的电通量 1. dS 面元的电通量
e d e E dS
S
穿出、穿入闭合面 电力线条数之差
闭合曲面电通量 = 正的电通量 - 负的电通量 穿出闭合面 = 电力线条数 穿入闭合面 电力线条数
例 均匀电场中有一个半径为R 的半球面 求 通过此半球面的电通量。 解 方法1: 通过dS 面元的电通量
半球面
E dS
底面
E dS 0
电荷分布
电场分布
闭合面电通量
E dS
半球面
2 E dS π R E
底面
德国数学家、天文学 家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电 报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
E
E
2 π 0 r
r
总结： 静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。 高斯定理求解电场分布 场强 E 能否提出积分号 带电体电荷分布的对称性 电荷 均匀
1 E dS
0
q
内
建立的高斯面是否合适 球面 圆柱面
球面、球体
无限大平面、平板
分布 无限长圆柱面、圆柱体
n 方向的规定
电通量_高斯定理
r<R
电量 ∑ qi = 0 由高斯定理 电量
P
r>R
∑q
i
= lλ
由高斯定理
E=0
λ E = 2π ε0 r
关于电通量
高斯定理的练习 1 Φ e = ∫ E • ds = ∑ qi
s
ε0
教材：P164 例1 P169 例2 P170例3 例4 P190 5-2 5-14 5-15 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21
例.如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于正立方体的 A 角 上，则通过侧面 abcd 的电场 强度通量等于：
a
d
A
q
（A）q /6ε0 ; （B）q /12ε0 ； （C）q /24ε0 ; （D）q /36ε0 .
q
●q
●q
c
b
位于中 心 位于一顶点
过每一面的通量
[C] 若将此电荷移到正方体的一个顶点上，则通过整个正 方体表面的电场强度通量为 。q 8ε 0
3 r ρ 4 π 高斯定理 E 4 πr 2 = ε0 3
∑ qi ε0
ρr qr q 场强大小 E = = 场强大小 E = 3 4 πε 0 r 2 3ε 0 4 πε 0 R
q
∴E =
q e 2 r 4π ε0 r
r≥R
r≤R
oo RR
1 qr e, E= 3 r 4π ε0 R
5-4
电场强度通量
电场中的高斯定理
Eb
一．电场线（电场的图示法） c b 1、 E 方向：切线 E ∆N E a 2、 电场强度大小 E = ∆S a ⊥ 性质：不闭合；不相交； 定义：面积矢量 起于正、止于负。 S = Sn n 为面积的法向 闭合曲面的方向: 由曲面内指向曲面外 n n n n
电量 ∑ qi = 0 由高斯定理 电量
P
r>R
∑q
i
= lλ
由高斯定理
E=0
λ E = 2π ε0 r
关于电通量
高斯定理的练习 1 Φ e = ∫ E • ds = ∑ qi
s
ε0
教材：P164 例1 P169 例2 P170例3 例4 P190 5-2 5-14 5-15 5-17 5-18 5-19 5-20 5-21
例.如图所示，一个带电量为 q 的点电荷位于正立方体的 A 角 上，则通过侧面 abcd 的电场 强度通量等于：
a
d
A
q
（A）q /6ε0 ; （B）q /12ε0 ； （C）q /24ε0 ; （D）q /36ε0 .
q
●q
●q
c
b
位于中 心 位于一顶点
过每一面的通量
[C] 若将此电荷移到正方体的一个顶点上，则通过整个正 方体表面的电场强度通量为 。q 8ε 0
3 r ρ 4 π 高斯定理 E 4 πr 2 = ε0 3
∑ qi ε0
ρr qr q 场强大小 E = = 场强大小 E = 3 4 πε 0 r 2 3ε 0 4 πε 0 R
q
∴E =
q e 2 r 4π ε0 r
r≥R
r≤R
oo RR
1 qr e, E= 3 r 4π ε0 R
5-4
电场强度通量
电场中的高斯定理
Eb
一．电场线（电场的图示法） c b 1、 E 方向：切线 E ∆N E a 2、 电场强度大小 E = ∆S a ⊥ 性质：不闭合；不相交； 定义：面积矢量 起于正、止于负。 S = Sn n 为面积的法向 闭合曲面的方向: 由曲面内指向曲面外 n n n n
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第6章 静电场
(3) 净电荷 就是电荷的代数和。 (4) 利用高斯定理求静电场的分布。 当场源电荷分布具有某种对称性时,应用 高斯定理,选取适当的高斯面,使面积分
中的 E 能以标量形式提出来, 即可求出场强。
大学物理 第三次修订本
16
S
E dS
第6章 静电场
利用高斯定理求解特殊电荷电场分布的思路: 分析电场对称性； 根据对称性取高斯面； 根据高斯定理求电场强度。 球对称: 球壳、球体、同心球壳、同心球体与 球壳的组合。 轴对称: 长直导线、圆柱体、圆柱面、同轴圆 柱面和同轴圆柱体的组合。 面对称: 无限大带电平板、平行平板的组合。
第6章 静电场
总结
静电场的高斯定理适用于一切静电场； 高斯定理并不能求出所有静电场的分布。 高斯定理求解电场分布
1 E dS
0
q
内
场强 E 能否提出积分号 带电体电荷分 布的对称性 建立的高斯 面是否合适
30
大学物理 第三次修订本
大学物理 第三次修订本
13
第6章 静电场
3. 高斯定理
1 e SE dS q内
0
真空中的任何静电场中,穿过任一闭合 曲面的电通量,等于该曲面所包围的电荷电 量的代数和乘以 1 0 。 注意 (2) E 是所有电荷产生的; e 只与内部 电荷有关。 (2)反映静电场的— 有源场性质, 电荷就 是它的源。
n
E
dS
S
dS
dS
2.非均匀场中曲面的电通量 e d e S E dS
大学物理 第三次修订本
E
5
第6章 静电场
3. 闭合曲面电通量
e d e SE dS
E
dS1
E
(1) n 方向的规定：
说明
dS 2
23
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
例7电荷体密度 半径为 R1 , R2 求重叠区域的电场。
r1
r2
解 4 3 πr1 r1 3 E1 ( ) r1 2 4 π 0 r1 r1 3 0 E E1 E2 (r1 r2 ) 3 0 4 3 r ( ) 2 r2 o o 3 1 2 E2 r ( ) 3 2 2 0 r2 3 0 4 0 r2 均匀电场
S1
R1 R2
0
∴
E0
大学物理 第三次修订本
25
第6章 静电场
2. R1< r <R2 由高斯定理 2 E dS E 4πr
S2
∴
3 3 E (r R1 ) 2 3 0 r
1 4 3 4 3 πr πR1 3 0 3 4π 3 3 (r R1 ) 3 0
S2 R1 R2
大学物理 第三次修订本
26
第6章 静电场
3. r > R2 由高斯定理 2 E d S E 4 π r
S3
S3 R1 R2
4 3 1 4 3 πR2 πR1 0 3 3 4 3 π( R2 R13 ) 3 0 3 2 ( R2 R1 ) ∴ E 2 3 0 r
e SE dS E dS
侧
P
上底
E dS E dS
下底
EdS E dS E 2r l
侧 侧
l n E
根据高斯定理得
E 2r l 1
0
l
E 2 0 r
n
Φe Φ1 Φ2 Φ3 Φ4 Φ5 Φ1 ES1 cos π ES1 z Φ2 Φ3 Φ4 0
S1 S2 S5 S4 x
Φ5 E cos S5 ES1
Φe ES1 ES1 0
8
通过闭合曲面的电场强度通量为零。
大学物理 第三次修订本
侧 左底 右底
0 ES ES 2ES 根据高斯定理,有
2 ES 1
E
n
E
0
S
E 2 0
n
n
22
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
例6 无限长均匀带电直线的电荷线密度为+ 。 求: 距直线 r 处一点P 的电场强度。 n 解:电场分布具有轴对称性。 过P点作高斯面 r
18
第6章 静电场
根据高斯定理
1 q E4r qi E 2 i 40r i 0 i 1 Q r R qi Q E 2 40r i 对球面内一点: E
P +R + +
1
r+
+
Q +
方向: ?
1 E 2 r
r R qi 0 i 2 E 4 r 0 E d S
大学物理 第三次修订本
27
第6章 静电场
例9 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R1, R2, 带 有等量异号电荷, 单位长度的电量为λ和-λ。 求: 1. r < R1 ; 2. R1< r <R2 ; R R 3. r > R2 各处的场强。 解: 1. r < R1 S1
2 1
由高斯定理,得
E0
大学物理 第三次修订本
14
第6章 静电场
若源电荷是连续分布的
1 Φe E dS
S
说明
0
V
dV
(1) 静电场的高斯定理适用于一切静电场。
(2) E 与电荷量,电荷的分布有关。
S
E dS 与闭合面内的电量有关,与电荷的
15
分布无关。
大学物理 第三次修订本
E E
S
穿出、穿入闭合面电场线条数之差。
大学物理 第三次修订本
7
第6章 静电场
例1 一个三棱柱放在均匀电场中E = 200iN/C。 求通过此三棱柱体的电场强度通量。 解: 三棱柱体的表面为 y 一闭合曲面,由S1, S2, S3, en S4, S5 构成, 其电场强度 S3 E θ 通量为:
第6章 静电场
6.3 电通量 高斯定理
高斯德国数学家、天 文学家和物理学家，有 “数学王子”美称，他与韦 伯制成了第一台有线电报 机和建立了地磁观测台。 高斯还创立了电磁量的绝 对单位制。
大学物理 第三次修订本
1
第6章 静电场
一、电场线 电场线上各点的切线方 向表示电场中该点场强的方 向; 垂直于电场线的单位面 积上的电场线的条数表示该 点的场强的大小。 dN E dN E( p) ( )p dS dS 正确的选择dN 可以使 电场线数密度等于场强。
大学物理 第三次修订本
24
第6章 静电场
例8 均匀带电球壳内外半径分别为R1 , R2 , 电荷 体密度为 。 求: 1. r < R1 处; 2. R1< r <R2 处; 3. r > R2 处各点 的场强的大小。 解: 1. r < R1 由高斯定理
S1
0 2 E dS E 4πr
大学物理 第三次修订本
28
第6章 静电场 2. R1< r <R2 由高斯定理,得
l E 2 πrl 0
∴ E 2 π 0 r
方向:径向向外。
R1 R2
3. r > R2 由高斯定理,得
S2 S2
l l
E 2 πrl
( )l
0
0 ∴ E0
29
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
q 在任意闭合面内， 电通量为
E
q Φe SE dS 0
dS
q
穿过闭合面的电场线 条数仍为 q /0。 e 与曲面的形状和 q 的位 置无关，只与闭合曲面包 围的电荷电量 q 有关。 q 在闭合面外 e 0
r
+q
穿出、穿入的电场线条数相等。
大学物理 第三次修订本
17
第6章 静电场
四、高斯定理的应用 例3 均匀带电球面,总电量为Q ,半径为R 。 求:电场强度分布。 解 对球面外一点P : 取过场点P 的同心球面为高斯面
+R + P +
r
+
E dS
S
Q +
+
EdS
S
E d S E 4r
S
2
大学物理 第三次修订本
第6章 静电场
例2均匀电场中有一个半径为R 的半球面，求 通过此半球面的电通量。 E 解 方法1 900- 通过dS 面元的电通量 d
d e E dS E cos(90 )dS
dl Rd
r
R
dS 2π rdl r R cos
大学物理 第三次修订本
9
第6章 静电场
e d e Eπ R 2 sin 2 d
π 2 0
π R E
2
E
方法2 构成一闭合面，电通量 Φe E dS E dS 0
半球面
பைடு நூலகம்
2 E dS E dS πR E
底面
穿入为负 穿出为正 π π dΦe1 E dS1 0 2 π dΦe 2 E dS 2 0 0 2
大学物理 第三次修订本
6
第6章 静电场
(2) 电通量是代数量。 (3) 通过闭合曲面的电通量: