解析几何中的最值问题.

解析几何中的最值问题

解析几何中的最值问题是很有代表性的一类问题，具有题形多样，涉及知识面广等特点。解决这类问题，需要扎实的基础知识和灵活的解决方法，对培养学生综合解题能力和联想思维能力颇有益处。本文通过实例，就这类问题的解法归纳如下：

一、 转化法

例1、 点Q 在椭圆

22

147

x y +=上，则点Q 到直线32160x y --=的距

离的最大值为 （ ）

A

B

C

D

分析：可转化为求已知椭圆平行于已知直线的切线，其中距离已知直线较远的一条切线到该直线的距离即为所求的最大值。

解：设椭圆的切线方程为

3

2

y x b

=+，与

22

147

x y +=消去y 得

224370x bx b ++-=由∆=01272=+-b 可得4(4)b b ==-舍去，与

32160x y --=平行且距离远的切线方程为3280x y -+=

所以所求最大值为d =

=

，故选C 二 、配方法

例2、 在椭圆

22

221x y a b

+=的所有内接矩形中，何种矩形面积最大？ 分析：可根据题意建立关系式，然后根据配方法求函数的最值。 解：设椭圆内接矩形在第一象限的顶点坐标为A (),x y ，则由椭圆对称性，矩形的长为2x ，宽为2y ，面积为4xy ，与

22

221x y a b

+=消去

y 得： 22b S x a

=⋅=

可知当x a =

时，max 2S ab =

三、 基本不等式法

例3、 设21,F F 是椭圆14

22

=+y x 的两个焦点，P 是这个椭圆上任一点，则21PF PF •的最大值是 解：

124PF PF +=

由12PF PF +≥得

44

)(2

2121=+≤

•PF PF PF PF

即21PF PF •的最大值是4 。

四、 利用圆锥曲线的统一定义

例4 、设点A (-，P

为椭圆22

11612

x y +=的右焦点，点

M 在椭

圆上，当取2AM PM +最小值时，点M 的坐标为 （ ）

A

(-

B (-

C

D

解：由已知得椭圆的离心率为1

2

e =

，

过M 作右准线L 的垂线，垂足为N ，由圆锥曲线的统一定义得

2MN PM =

2AM PM AM MN ∴+=+

当点M 运动到过A 垂直于L 的直线上时， AM

MN +的值最小，此时点M

的坐标为，故选

C

五、 利用平面几何知识

例5 、平面上有两点(1,0),(1,0)A B -，在圆22

(3)(4)4x y -+-=上取一点

P ，求使22

AP BP +取最小值时点P 的坐标。

解：知PAB ∆中，PO 为中线，由平面几何知识得：

2

2

2

2

2

2222AP

BP

OP

OB

OP

+=+=+

故当OP 最小时，22

AP BP +也同时达到最小。

点O 与圆心(3,4)的连线与圆的交点的坐标为所求点P 的坐标。 由43

y x =

和22(3)(4)4x y -+-=，结合题意得

95

x =

，125

y

=

，点P

的坐标为912(,)5

5

。

六 、参数法

例6 、已知椭圆

E ：22

(1)143

x y -+=，F 为其右焦点，直线L 过坐标

原点且与椭圆E 交于A ，B 两点，连接FA ，FB ，求FA FB •的最大值。

解：22

4,31a b c ==∴=，左焦点即为坐标原点。

由椭圆定义知24OA FA OB FB a +=+==

(2)(2)164FA FB a OA a OB AB OA OB ∴•=--=-+•

设直线L 的参数方程为cos x t θ=和sin y t θ=（t 为参数） 代入椭圆方程，整理得

2(3sin )6cos 90t t θθ+-•-=

由t 的几何意义知：

212

3sin A B AB t t θ

=-=

=+

2

3925

164163sin 4

A B A B FA FB t t t t θ∴•=--+•=-

≤+ 即FA FB •的最大值为25

4

。