[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc

[考研类试卷]考研数学一（常微分方程）历年真题试卷汇编1

一、选择题

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y(0)=π，则y(1)等于( )

（A）2π

（B）π

（C）

（D）

2 (2016年)若是微分方程

y′+p(x)y=q(x)的两个解，则q(x)=( )

（A）3x(1+x2)

（B）一3x(1+x2)

（C）

（D）

3 (2008年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是( )

（A）y"′+y"一4y′一4y=0

（B）y"′+y"+4y′+4y=0

（C）y"′一y"一4y′+4y=0

（D）y"′一y"+4y′一4y=0

4 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程

y"+ay′+by=ce x的一个特解，则( )

（A）a=一3，b=2，c=一1

（B）a=3，b=2，c=一1

（C）a=一3，b=2，c=1

（D）a=3，b=2，c=1

二、填空题

5 (2006年)微分方程的通解是__________。

6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。

7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。

8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。

9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。

10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。

11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。

12 (1999年)y"一4y=e2x的通解为y=__________。

13 (2001年)设y=e x(C1sinx+C2cosx)(C1，C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为__________。

14 (2007年)二阶常系数非齐次线性方程y"一4y′+3y=2e2x的通解为

y=_____________。

15 (2009年)若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)e x，则非齐次方程y"+ay′+by=x满足条件y(0)=2，y′(0)=0的解为y=____________。

16 (2012年)若函数f(x)满足方程f"(x)+f′(x)一2f(x)=0及f′(x)+f(z)=2e x，则

f(x)=____________。

17 (2016年)设函数f(u，v)可微，z=z(x，y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x—z，y)确定，则dz|(0．1)=___________。

18 (2017年)微分方程y"+2y′+3y=0的通解为___________。

19 (2013年)已知y1=e3x—xe2x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为y=____________。

20 (2004年)欧拉方程的通解为__________。

三、解答题

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21 (2010年)求微分方程y"一3y′+2y=2xe x的通解。

22 (2003年)设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y′≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。 (I)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为

y=y(z)满足的微分方程； (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，

的解。

23 (2006年)设函数f(u)在(0，+∞)内具有二阶导数，且满足等式

(I)验证 (Ⅱ)若f(1)=0，f′(1)=1，求函数f(u)的表达式。

24 (2012年)已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导

数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。

25 (2014年)设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(e x cosy)满足

=(4z+e x cosy)e2x。若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式。

26 (2015年)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0∈I，由线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f(0)=2，求f(x)的表达式。

27 (1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y′(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程。

28 (1998年)从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为

k(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。