[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1.doc

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[考研类试卷]考研数学一(常微分方程)历年真题试卷汇编1
一、选择题
下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。

1 (1998年)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量且当△x→0时,α是△x的高阶无穷小,y(0)=π,则y(1)等于( )
(A)2π
(B)π
(C)
(D)
2 (2016年)若是微分方程
y′+p(x)y=q(x)的两个解,则q(x)=( )
(A)3x(1+x2)
(B)一3x(1+x2)
(C)
(D)
3 (2008年)在下列微分方程中,以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是( )
(A)y"′+y"一4y′一4y=0
(B)y"′+y"+4y′+4y=0
(C)y"′一y"一4y′+4y=0
(D)y"′一y"+4y′一4y=0
4 (2015年)设是二阶常系数非齐次线性微分方程
y"+ay′+by=ce x的一个特解,则( )
(A)a=一3,b=2,c=一1
(B)a=3,b=2,c=一1
(C)a=一3,b=2,c=1
(D)a=3,b=2,c=1
二、填空题
5 (2006年)微分方程的通解是__________。

6 (2008年)微分方程xy′+y=0满足条件y(1)=1的解是y=___________。

7 (2014年)微分方程xy′+y(lnx—lny)=0满足y(1)=e3的解为y=____________。

8 (2005年)微分方程xy′+2y=zlnx满足的解为___________。

9 (2011年)微分方程y′+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=__________。

10 (2000年)微分方程xy"+3y′=0的通解为_____________。

11 (2002年)微分方程xy"+y′2=0满足初始条件的特解是____________。

12 (1999年)y"一4y=e2x的通解为y=__________。

13 (2001年)设y=e x(C1sinx+C2cosx)(C1,C2为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为__________。

14 (2007年)二阶常系数非齐次线性方程y"一4y′+3y=2e2x的通解为
y=_____________。

15 (2009年)若二阶常系数齐次线性微分方程y"+ay′+by=0的通解为y=(C1+C2x)e x,则非齐次方程y"+ay′+by=x满足条件y(0)=2,y′(0)=0的解为y=____________。

16 (2012年)若函数f(x)满足方程f"(x)+f′(x)一2f(x)=0及f′(x)+f(z)=2e x,则
f(x)=____________。

17 (2016年)设函数f(u,v)可微,z=z(x,y)由方程(x+1)z—y2=x2f(x—z,y)确定,则dz|(0.1)=___________。

18 (2017年)微分方程y"+2y′+3y=0的通解为___________。

19 (2013年)已知y1=e3x—xe2x,y2=e x一xe2x,y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解,则该方程的通解为y=____________。

20 (2004年)欧拉方程的通解为__________。

三、解答题
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21 (2010年)求微分方程y"一3y′+2y=2xe x的通解。

22 (2003年)设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。

(I)试将x=x(y)所满足的微分方程变换为
y=y(z)满足的微分方程; (Ⅱ)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,
的解。

23 (2006年)设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且满足等式
(I)验证 (Ⅱ)若f(1)=0,f′(1)=1,求函数f(u)的表达式。

24 (2012年)已知曲线L:其中函数f(t)具有连续导
数,且f(0)=0,若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1,求函数f(t)的表达式,并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。

25 (2014年)设函数f(u)具有二阶连续导数,z=f(e x cosy)满足
=(4z+e x cosy)e2x。

若f(0)=0,f′(0)=0,求f(u)的表达式。

26 (2015年)设函数f(x)在定义域I上的导数大于零,若对任意的x0∈I,由线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与直线x=x0及x轴所围成区域的面积恒为4,且f(0)=2,求f(x)的表达式。

27 (1999年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y′(x)>0,y(0)=1。

过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2恒为1,求此曲线y=y(x)的方程。

28 (1998年)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。

设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。

设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为
k(k>0)。

试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(v)。

29 (2004年)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来。

现有一质量为9 000 kg 的飞机,着陆时的水平速度为700 km/h。

经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0×106)。

问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? 注:kg表示千克,km/h表示千米/小时。

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