次函数和幂函数知识点

图像

定义域 (－∞，＋∞)

(－∞，＋∞)

值域

⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 2

4a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 2

4a

单调性

在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤

－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎢⎡

⎭

⎪⎫

－b

2a ，＋∞上单调递增

在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤

－∞，－b 2a 上单调递增；

在x ∈⎣⎢⎡

⎭

⎪⎫

－b

2a ，＋∞上单调递减

奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数

顶点 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫－b 2a ，4ac －b 2

4a

对称性

图像关于直线x ＝－b

2a

成轴对称图形

3. 幂函数

形如y ＝x α

(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 4． 幂函数的图像及性质

(1)幂函数的图像比较

(2)幂函数的性质比较

y ＝x

y ＝x 2

y ＝x 3

y ＝x 1

2

y ＝x －1

定义域

R

R R [0，＋∞)

{x |x ∈R 且

x ≠0}

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且

y ≠0}

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

非奇非偶函

数

奇函数

单调性

增

x ∈[0，＋∞)

时，增；

x ∈(－∞，0]

时，减

增

增

x ∈(0，＋∞)

时，减；

x ∈(－∞，0)

时，减

[难点正本 疑点清源] 1． 二次函数的三种形式

(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．

(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2． 幂函数的图像

(1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴．

(2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12

，y ＝x －1

可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．

1． 已知函数f (x )＝x 2

＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为____________．

答案 (－∞，－2]

解析 f (x )的图像的对称轴为x ＝1－a 且开口向上， ∴1－a ≥3，即a ≤－2.

2． (课本改编题)已知函数y ＝x 2

－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________．

答案 [1,2]

解析 y ＝x 2

－2x ＋3的对称轴为x ＝1. 当m <1时，y ＝f (x )在[0，m ]上为减函数． ∴y max ＝f (0)＝3，y min ＝f (m )＝m 2

－2m ＋3＝2. ∴m ＝1，无解．

当1≤m ≤2时，y min ＝f (1)＝12

－2×1＋3＝2，

y max ＝f (0)＝3.

当m >2时，y max ＝f (m )＝m 2

－2m ＋3＝3， ∴m ＝0，m ＝2，无解．∴1≤m ≤2.

3． 若幂函数y ＝(m 2

－3m ＋3)xm 2－m －2的图像不经过原点，则实数m 的值为________．

答案 1或2

解析 由⎩

⎪⎨⎪⎧

m 2

－3m ＋3＝1

m 2

－m －2≤0，解得m ＝1或2.

经检验m ＝1或2都适合．

4． (人教A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n

在第一象限的图

像．已知n 取±2，±1

2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依

次为

____________． 答案 2，12，－1

2

，－2

解析 可以根据函数图像是否过原点判断n 的符号，然后根据函数凸凹性确定n 的值． 5． 函数f (x )＝x 2

＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是

( )

A ．m ＝－2

B ．m ＝2

C ．m ＝－1

D ．m ＝1

答案 A

解析 函数f (x )＝x 2

＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m 2，且只有一条对称轴，所以－m

2

＝ 1，即m ＝－2.

例2 已知函数

f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]．

(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间．

思维启迪：对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解，对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用．

解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2

－4x ＋3＝(x －2)2

－1，由于x ∈[－4,6]， ∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，

∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35.

(2)由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2

＋2x ＋3，

∴f (|x |)＝x 2

＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，

且f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x 2＋2x ＋3，x ∈?0，6]x 2

－2x ＋3，x ∈[－6，0]

，

∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．

探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图像的对称轴进行分析讨论求解．