chapter8 一维输运问题

Fick’s First Law
Mass Flux
W Bx
1 ∂M B ∂ρ B = = − DB A ∂t ∂x
kg B m m = − s m
2 3
B = solute
1 kg B m2 s

Molar Flux
jBx
1 ∂nB ∂C B = = − DB A ∂t ∂x
二维的情形：
一维的情形：
∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ) ∂t ∂x
u(x,y,z,t)表示物体于时刻 t 在位置 x,y,z 处的温度 其中： C 表示是比热 (焦耳/度·千克) ρ 表示密度 (千克/米3)， k 表示导热系数 f 0(x,y,z,t)表示热源强度(焦耳/千克·秒)
Q1 = ∫∫∫ c( x , y , z )ρ( x , y , z )[u( x , y , z , t 2 )
Ω
− u( x , y , z , t 1 )]dxdydz
6
处的比热与质 其中 c ( x , y , z ) ， ρ( x , y , z ) 分别为点 ( x , y , z ) 处的比热与质 量体密度。由于考虑的是均匀、各向同性的物体，因此 体密度。由于考虑的是均匀、各向同性的物体，
∫t
t2
1
t2 ∂u dt ∫∫∫ cρ dxdydz = ∫ dt ∫∫∫ [k∆u + F ( x , y , z , t )]dxdydz t1 ∂t Ω Ω
的任意性知： 由[t 1 , t 2 ]及 Ω 的任意性知：
∂u cρ = k∆u + F ( x , y , z , t ) ∂t
k F 记 a = ， f = ，得三维热传导方程 cρ cρ ∂u = a 2 ∆u + f ∂t
2
或写为： 或写为：
ut = a 2 ( u xx + u yy + uzz ) + f
(1)
若物体内部无热源，则 f ≡ 0 ，得齐次热传导方程
∂u = a 2 ∆u ∂t
或写为： 或写为：
ut = a 2 ( u xx + u yy + uzz )
(2)
注 ： 考虑 热 传导 问题 中， 当 物体 是均 匀 细杆 时 ，假 如 其 侧面 是绝热 的，且 温度 分布在 同一截面 相同 ，则
k 是导热系数，这里为常数。 是导热系数，这里为常数。 r 的单位外法向量， 设 n 为 ∂Ω 的单位外法向量，则
∂Ω
r n
Q2 = − ∫
t2
t1
r r dt ∫∫ q ⋅ nds =
∂Ω
∫t
t2
1
t2 ∂u r dt ∫∫ k∇u ⋅ nds = ∫ dt ∫∫ k r ds t1 ∂n ∂Ω ∂Ω
第 （ 边界条件） 已知单位时间内通过边界 Ⅱ、 二类边界条件 Neumann 边界条件） 已知单位时间内通过边界 Γ 的 ： 热流量
r 的外法向量， 表示流入， 表示流出， 这里 n 为 Γ 的外法向量， g ≥ 0 表示流入， g ≤ 0 表示流出， g = 0 表示
绝热。 绝热。
∂u r = − g( x , y , z , t ) / k ∂n Σ
∂u 第三类边界条件： + α u = g ( x, y , z , t ) ∂n ∂Ω×(0,+∞ )
无界空间： 无界空间：
初始条件 给
边界条件
物体在 t=0 的温度
3.扩散方程
物理模型：介质内部各部分分子浓度不同产生的分子扩散。 物理模型：介质内部各部分分子浓度不同产生的分子扩散。
ut = a 2 ( u xx + u yy + uzz ) + f ut = a 2 ( u xx + u yy + uzz )
(1) (2)
表示分子的浓度， 若 u( x , y , z , t ) 表示分子的浓度， cρ 取为 1，导热系数 换为扩散系数 扩散过程中遵循 过程中遵循质 k ( x , y , z ) 换为扩散系数 D( x , y , z ) ，扩散过程中遵循质 量守恒定律及扩散定律，当扩散系数为常数 D 时，可 守恒定律及扩散定律， 满足方程（ ， ，其中 导出 u( x , y , z , t ) 满足方程（2） 其中 a 2 = D 。 若分子 在扩散的同时还与介质发生反应，则可导出 满足方程（ ， ，其中 表示反应项。 u( x , y , z , t )满足方程（1） 其中 f 表示反应项。所以方 程（1）又称为反应扩散方程。 又称为反应扩散方程。 反应扩散方程
c ( x , y , z ) = c (常数 )， ρ( x , y , z ) = ρ(常数 ) 。
∴ Q1 =
∫∫∫ cρ[u( x, y, z , t 2 ) − u( x , y, z , t1 )]dxdydz Ω
t 2 ∂u( x , y , z , t ) dt dxdydz = ∫∫∫ cρ ∫ ∂t t1 Ω
输运定解问题的建立
李晓红 2012年5月24日 年 月 日
1
场论知识：
∂ ∂ ∂ ∇= , , 哈密顿(Hamilton)算子 哈密顿 算子 ∂x ∂ y ∂z r 是矢量函数， 若 A = ( P ( x , y , z ), Q( x , y , z ), R( x , y , z ))是矢量函数， r r r ∂P ∂Q ∂ R 则 ∇ ⋅ A = ∇A = divA = + + 散度( 散度(divergence) ∂ x ∂y ∂ z
r r ∂ R ∂ Q ∂P ∂R ∂Q ∂P , , ∇ × A = rot A = − − − ∂ y ∂z ∂ z ∂x ∂x ∂y
旋度(rotation)
若 u = u( x , y , z )是标量函数 ,
∂ u ∂ u ∂u 则 ∇u = gradu = , , ∂x ∂y ∂z
在G 内任取一小块 区域 Ω ，其 边界为闭曲面 ∂Ω 。
热量 热量 通过边界的流入量 热源的生成量 － ＝ ＋ t=t2 t=t1 t1≤ t ≤t2 t1≤ t ≤t2
Q1 数学推导： 数学推导：
Q2
Q3
①在时间间隔[ t1 , t 2 ]内，物体 Ω 的温度由 u( x , y , z , t1 ) 变 所需要的热量 热量为 到 u( x , y , z , t 2 )所需要的热量为Q1 ：
• 定解条件
边界条件 给定温度函数 u(x,y,z,t) 在物体Ω表面的限制。 一般来有三种类型：
有 界 空 间
第一类边界条件： u ( x, y, z , t ) ∂Ω×(0, +∞ ) = g ( x, y, z, t )
∂u = g ( x, y , z , t ) 第二类边界条件： k ∂n ∂Ω×(0,+∞ )
u = u ( x , t ) ， 得一 维热 传导 方程 ：
ut = a 2 u xx
当物体是均匀薄片时，假如其侧面是绝热的，则
u = u ( x , y , t ) ， 得二 维热 传导 方程 ：
ut = a 2 ( u xx + u yy )
2. 定解条件
初始条件： 初始条件：已知初始温度分布 t = 0 : u = ϕ( x , y , z ), ( x , y , z ) ∈ G
Ⅲ、第三类边界条件：已知通过边界 Γ与周围介质有热交换 类边界条件：已知通过边界
∂u k r = a0 (g0 − u) Σ ∂n Σ
或：
∂u + σu = g( x, y, z, t ) ∂n Σ
表示周围介质温度 周围介质温度， 表示热交换系数， 这里 g0表示周围介质温度， a0表示热交换系数， σ = a0 > 0。 k
1.热传导方程的导出
物理模型：在三维空间中，考虑一均匀、 物理模型：在三维空间中，考虑一均匀、各向同 性的物体 G （其边界为分片光滑曲面 Γ ） 假定其内 ， 部有热源，并且与周围介质有热交换。 部有热源，并且与周围介质有热交换。研究物体内部 温度的分布和变化。 温度的分布和变化。
物理定律：物体内部由于各部分温度不同， 物理定律：物体内部由于各部分温度不同，产生 热量的传递。 能量守恒定律， 热量的传递。热传导过程中遵循 能量守恒定律，即， 物体内部热量的增加等于通过物体的边界流入的热量 与由物体内部的热源所产生的热量的总和： 与由物体内部的热源所产生的热量的总和：
=
∫t
t2
1
∂u( x , y , z , t ) ∫∫∫ cρ ∂t dxdydzdt Ω
r ②由 Fourier 热传导 定律：热流向量 q 与 温度的梯度
成 正比 ，即
∂u ∂ u ∂u r q = − k∇ u = − k ( , , ) ∂x ∂y ∂z
r q
负号表明热量是由高温向低温流动， 负号表明热量是由高温向低温流动，
边界条件： 边界条件： 有界空间
u Σ = g( x , y, z , t )
无界空间： 无界空间：自然边界条件
边界条件） ：已知 上的温度分布。 Ⅰ、第一类边界条件（Dirichlet 边界条件） 已知 Γ 上的温度分布。 第一类边界条件（ ：
Σ = Γ × [ 0, ∞ )
g为常数指边界上保持恒温
数学模型
∂2 ∂2 ∂2 其中：a2=k/Cρ， f (x,y,z,t)=f0/C，∆ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
∂ 2u ∂ 2u ∂u = a 2 2 + 2 + f ( x, y , t ) ∂t ∂x ∂y