线性规划的对偶理论 ppt

对偶理论
推论3：
线 性 规 划 对 偶 问 题
若规划（P）或（D）有可行解，则（P）或（D）有最优解 的充要条件是规划（D）或（P）有可行解 例 试用对偶理论判断下面线性规划是否有最优解 所以…
显然无可行解
解：此规划存在可行解
x ,0,0 0
其对偶规划为
T
对偶理论
例 用对偶理论判断下面线性规划是否存在最优解
设 y y1
y2 ym
T
为（D）的最优解，则称 yi
为规划（P）的第i个约束对应的影子价格（Shadow Price）
y 换句话说， i 为第第i 种资源（例如设备台时）的一种估价
影子价格
影子价格的经济含义
线 性 规 划 对 偶 问 题
影子价格是对现有资源实现最大效益时的一种估价，由此可以 决定是否将既有资源出租或投资购买新资源。从这种意义上说， 影子价格是一种机会成本。
线 性 规 划 对 偶 问 题
因此原规划存在最优解
解
此规划存在可行解
其对偶规划为
存在可行解
对偶理论
定理3.2（强对偶性，或称对偶定理）：
线 性 规 划 对 偶 问 题
若原规划（P）有最优解，则对偶规划（D）也有最优解，反 之亦然。且二者最优解的目标函数值相等。 （证明：教材P58-59） 定理3.3（互补松弛性）： 在线性规划问题的最优解中，如果某一约束条件的对偶变量值为非 零，则该约束条件取严格等式；反之，若如果约束条件取严格不等 式，则其对偶变量一定为零。 定理3.4（互补基本解）： 线性规划问题的原问题和对偶问题存在一对互补的基本解，其中原 问题的非基变量（松弛变量）对应对偶问题的基变量，而对偶问题 的非基变量（松弛变量）对应原问题的基变量。
w yi 影子价格是一种边际价格，衡量资源变化对总效益的影响 bi
投资影子价格最高的资源可以让总效益最大。但要注意，影子价格 不是一成不变的，当约束条件、产品利润发生变化时，有可能使影 子价格发生变化。另外，资源增加有个度的问题，这在后面的灵敏 度分析中会讲到。 定理3.3（互补松弛性）表明当某种资源未得到充分利用时，即
a x
j 0 ij
n
j
而当该资源的影子价格 bi yi 0 时，其影子价格为0。
不为0，则说明该种资源已经耗费完毕：yi
0 aij x j bi
j 0
n
影子价格
影子价格的经济含义
线 性 规 划 对 偶 问 题
一般而言，线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案， 而对于对偶问题的求解则是确定资源的恰当估价。 例如，用于 公司内部结算等。 单纯形法中各检验数的经济意义：
aij 0，则确定最小的 bk 0对应变量 xk 为出基变量。
(3) 确定进基变量。 计算
j l min | a kj 0 a kj aik
确定 l 为进基变量
x
(4) 迭代更新单纯形表。 以 kl 为中心元素，参照单纯形法对表 进行迭代计算。 (5) 通过循环迭代找出最优解。
j c j c B P j c j y P j c j y aij
T B 1 T i 1
i
m
某种产品的产值
生产该产品的消耗资源的总和
即隐含成本
因此，当检验数为正时，说明生产有利，可以在计划中安排。
影子价格 线 性 规 划 对 偶 问 题
例：某外贸公司准备购进两种产品A1, A2。购进产品A1 ,每件需 要10元，占用5立方米的空间，待每件A1卖出后，可获纯利润3 元；购进产品A2 ，每件需要15元，占用3立方米的空间，待每件 A2卖出后，可获纯利润4元。公司现有资金1400元，有430立方 米的仓库空间存放产品，根据这些条件，可以建立求最大的线性 规划模型：
原问题（P） 决策变量 目标函数 约束条件 xi 第i种产品数量
对偶问题（D） yi 第i个约束条件
max z c T X
min w bT y
Ax b x0
A yc y0
T
从表中可以看出对称形式的对偶关系具有如下的对应关系： 目标函数最大 最小；约束条件不大于 不小于
原问题和对偶问题的关系
原问题与对偶问题的转换
线 性 规 划 对 偶 问 题
原问题和对偶问题的关系
原问题与对偶问题的转换
线 性 规 划 对 偶 问 题
原问题和对偶问题的关系
原问题与对偶问题的转换
线 性 规 划 对 偶 问 题
对偶理论 线 性 规 划 对 偶 问 题
从本章的第一个例子可以看出原规划问题追求的是生产利润最大 化，而其对偶规划考虑的是比生产更有利的可行性。 前者的目标函数值应当不大于后者的目标函数值，即 定理3.1（弱对偶性）：若 x & y 分别为原规划（P）和 对偶规划（D）的可行解，则
c xb y
Biblioteka BaiduT T
推论1（最优性）：
设 若
对偶规划（D）的可行解，则
x&y
分别为原规划（P）和对偶规划（D）的可行解
c T x b T y 则 x & y 分别为P和D的最优解 显而易见
推论2（无界性）： 如原规划（P）或其对偶规划（D）具有无界解，则对偶规 划（D）或原规划（P）无可行解。 显而易见 注意：改推论不可逆，教材P58
a
对偶单纯形法 线 性 规 划 对 偶 问 题
例：用对偶单纯形法求解下面的线性规划
min w 3x1 2 x2
3 x1 x 2 3 4 x 3 x 6 1 2 （s.t.） x1 3 x 2 2 x1 , x 2 0
对偶单纯形法 线 性 规 划 对 偶 问 题
解： (1)引入松弛变量 式两侧同乘-1，得到 化为标准形,并在约束等
为基变量，此式即为典式形式，并且检验数皆非 正，因此可构造初始对偶单纯形表。 初始表中基本解的三个分量小于零，不是可行解，需进行迭代 求解新的基本解。
c xb y
T T
证明： 从原规划的约束条件有
Ax b y T Ax y T b bT y
从对偶规划的约束条件有
cT x bT y
AT y c c T y T A cT x y T Ax
对偶理论
定理3.1（弱对偶性）：若 x & y 分别为原规划（P）和
线 性 规 划 对 偶 问 题
对偶单纯形法 灵敏度分析的目的和主要内容
问题的提出 线 性 规 划 对 偶 问 题
线性规划有一个有趣的特性，就是对于任何一个求极大值的线性 规划问题都存在一个与其对应的极小值线性规划问题，而且二者 之间联系紧密，可以互相转化。 对偶性 （教材P53-54例题）
从例子中可以看出： （1）原规划问题为生产计划问题，而其对偶问题为赋予该生产计 划可行性的潜在价值问题
x1 11 x2 125
将585元投资购买产品后，最大利润增加为：585*11/45=143元
对偶单纯形法
基本思路
线 性 规 划 对 偶 问 题
(1) 从原规划的一个基本解出发（未必为可行解），其对应一 个对偶可行解（检验数非正）。 (2) 检验原规划的基本解是否可行（即是否有负分量），如果有 小于0的分量，则进行迭代，求另一个基本解，此基本解对应 着另一个对偶可行解（检验数非正）。 (3) 如果得到的基本解的分量皆非负，则该解为最优解。 也就是说，对偶单纯形法在迭代过程中始终保持对偶解的可行 性（即检验数非正），使原规划的基本解逐步变为可行，并得 到最优解。
对偶理论
定理3.4（互补基本解）：
线 性 规 划 对 偶 问 题
线性规划问题的原问题和对偶问题存在一对互补的基本解，其中原 问题的非基变量（松弛变量）对应对偶问题的基变量，而对偶问题 的非基变量（松弛变量）对应原问题的基变量。
在单纯形法迭代的每一步： 如果原问题是可行解，而对偶问题非可行解，则 如果对偶问题是可行解，而原问题非可行解，则 如果原问题和对偶问题同为可行解，则为最优解
资源1 资源2
影子价格
求解后的如下的最优单纯形表：
线 性 规 划 对 偶 问 题
cB 4 3
xB x2 x1 cj-zj
b 60 50
3 x1 0 1 0
4 x2 1 0 0
0 x3 1/9 -1/15 -11/45
0 x4 -2/9 1/3 -1/9

由表中可知最优方案是分别购进A1和A2产品50和60件，最大利润 为390元。
（2）原规划的目标函数是从资源拥有者的角度得出利润最大 化，而其对偶规划的目标函数是从想获得该资源方的角度得出 成本最小化 （3）两个问题共用一套参数，但组合方式不同
原问题和对偶问题的关系
对偶问题在解释资源的影子价格、扩大单纯形法计算方法以及对问题进 行灵敏度分析等方面有很多应用。
线 性 规 划 对 偶 问 题
假设公司现有闲余资金585元，准备用于投资，增 加每立方米仓库需0.8元。问这笔资金是用来投资 仓库好呢还是购买产品好？
影子价格
cB xB b 3 x1 4 x2 0 x3 0 x4

线 性 规 划 对 偶 问 题
4
3
x2
x1 cj-zj
60
50
0
1 0
1
0 0
1/9
-1/15 -11/45
-2/9
对偶单纯形法
主要步骤
线 性 规 划 对 偶 问 题
(1) 建立初始单纯形表。 根据典式形式建立初始对偶单纯形表， 此表对应原规划一个基本解。要求：检验数行个元素皆非正， 但原规划基本解可以有小于零的分量。 (2) 确定出基变量。 若基本解的所有分量皆非负，则得到原规 划的最优解。若基本解中有小于零的分量 b j 0 ，且 b j 所在行所有系数 aij 0，则原规划无可行解。若 b j 0，且存在
约束矩阵：一个为另一个的转置
常数向量b和c互换 目标变量皆为非负 对称形式对偶问题
原问题和对偶问题的关系
非对称形式的对偶问题
线 性 规 划 对 偶 问 题
不具备对称形式的一对线性规划称为非对称形式的对偶问题 转换方式为： 1、将模型统一为规范形式，然后先按对称形式转换 2、对等式约束按（3）或（4）处理 3、若原规划中某个约束为等式，则在对偶规划中与此对应的 变量取值没有非负约束 4、若原规划中的某个变量没有非负限制，则在对偶问题中对 应的那个约束为等式。 教材P56例题
第二章 线性规划的对偶理论和 灵敏度分析
从经济意义上研究线性规划的对偶问题，通过对对偶问题的研究， 从不同的角度对线性规划问题进行分析，从而利用有限的数据，得 出更广泛的结果，间接地获得更多的有用信息，为企业经营决策提 供更多的科学依据
主要内容
原规划与对偶规划的转换 对偶定理
影子价格的概念和经济学意义
z zmax
z zmax
影子价格
考虑如下的互为对偶的线性规划
线 性 规 划 对 偶 问 题
max z c1 x1 c2 x2 cn xn
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
c1 c2 cn
a1n xn b1 a11 x1 a12 x2这个价格不是市场价格，而是针对具体企业在 y n a11 y1 a21 y 2 am1 a x a x a x a y a y a b2 21 1 22 2一定时期内存在的一种特殊价格，它蕴含在追 y n 2n n 22 2 m2 12 1 求最大利润的生产计划之中。资源的市场价格 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 随供求关系而变，而他的影子价格则有赖于资 y a1n y1 a2 n y 2 amn n 源的利用情况，随企业生产任务、产品结构等 x1 , x2 ,, xn 0 情况发生变化而改变。 y1 , y 2 ,, y m 0
1/3 -1/9
假设公司现有闲余资金585元，准备用于投资，增加每立方米仓库 需0.8元。问这笔资金是用来投资仓库好呢还是购买产品好？ 分析： 从表中个可以看出，对应产品和仓库的影子价格分别为 11/45和1/9元。 每投资1元用于仓库的边际效益为：1/9/0.8=0.14元 每投资1元用于产品的边际效益为11/45=0.24元 可以通过新模型求解验证，最优解为 应该考虑购买产品