标高投影详解5
第15章 标高投影
增加V面 辅助投影
19
§15-2 平面的标高投影
例15-5 已知两土堤顶面的高程、各坡面的坡度、地面的高 程，如图所示，试作出两堤之间、堤面与地面之间的交线，并 从堤顶a6 在坡面上作一条坡度i=1:3 的倾斜直线。
20
§15-2 平面的标高投影
解：先计算各堤顶边线与各坡面上高程为0 的等高线间的 水平距离： L1=L2=6:1/1.5=9 m , L3=1:1/1.5=1.5 m , L4=L5=L6=5:1/1=5 m 据此可画出各边坡的坡脚线。（点击鼠标看作图） 相邻两平面上 同高程等高线的交 点（如c5和d0）是两 平面交线上的点， 由此可作出相邻坡 面间的交线。（点
例15-1 已知直线AB 的标高投影a9b5 和直线上点C 到点 A 的水平距离L=4m，试求直线AB 的坡度i、平距l 和点C 的高程。 解： 使用图中的比例尺量得点a9和点b5之间的距离为10 m, 于是可求得直线的坡度为： i = H/L =(9-5)/10 = 2/5 由此求得直线的平距为： l = 1/i = 5/2 =2.5m 由于LAC=4m ,所以点C和点A 的高差 HAC= i×LAC = 2/5×4 =1.6m 由此求得点C的高程 HC = HA - HAC = 9 - 1.6 = 7.4m
31
§15-3 曲面的标高投影
以弯道两侧边线上的高程点16、17、18、19为圆心，按1m 的级差调整半径画同心圆，得到各锥面的等高线，作同高程等 高线的公切线，即为同坡曲面上相应高程的等高线15、16、17、 18。这些等高线与平台填筑坡面上相同高程的等高线相交，用光 滑曲线连接起来，即得同坡曲面与平台坡面的交线。各坡面上高 程为15的等高线就是它们与地面的交线。
击鼠标看作图）
标高投影
解：先分别与刻度点e1、f2、g3、b4为圆心， 作素线坡度为l/l的正圆锥的标高投影，然后 引直线与各圆锥面的相同标高等高线相切，得 边坡的等高线。 以a4为圆心作正圆锥面上标高为0的等高 线，然后过的d0引直线与它相切，即得变坡上 标高为零的等高线。分别过点hi、i2、j3引线 与它平行，即得边坡上标高为1、2、3的等高 线。 最后求相邻边坡的交线b4n0和a4m0 。所 得标高投影图，如右图所示。
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第三节
建筑物与地形面的交线
１、定义 ：工程建筑物的交线是指建 筑物表面上坡面间的交线。
２、求解方法:辅助平面法
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例题4： 拟用一 倾斜的直路面 ABCD连接标高为0 的地平面和标高 为4的平台（图 a），斜路面两侧 的边坡坡度为l/l， 平台的边坡坡度 为3/2。试作标高 投影图。
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平面的常用表示法
1、几何元素表示法：五种方法表示 2、用一条等高线和平面的坡度线表示平面（右图） 3、用一条倾斜直线和平面的坡度表示平面（左图）
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两平面相交
１、定义：两面（平面或曲面）上相同 标高等高线的交点连线，就是两面的交 线 。
２、解法：用引辅助平面的方法求它们 的交线。所引辅助平面与两已知平面的 交线,分别是两已知平面上相同整数标 高的等高线，他们必然相交于一点。引 两个辅助平面，可得两个交点，连接起 来，即得交线。
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平面对H面的倾角
平面上最大斜度线与它的H面投影之 间的夹角 ，就是平面对H面的倾角。
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例题2：已知一平面Q，由a4.2、b7.5、c1三点 所给定（图a），试求平面Q的坡度线。 解：只要先作出平面的等高线，就可以画出 Qi 。为此，先连各点，并任取两边（例如 a4.2b7.5和b7.5 c1），在其上刻度。然后连 接两边同一标高的刻度点，得出各等高线， 再在适当位置引线垂直于等高线，即可作出 Qi（图b）
标高投影
a3 b2
0 1
1:4
a3
2
3m
例1：已知直线AB的标高投影，求该直线的坡度、平
距及线上整数高程点 。
b10.5
b10.5 g9 h10
b10.5
a4.5
0 2 4
a4.5
6m
a4.5
c5
d6
e7
f8
解：
（1）求坡度和平距 根据绘图比例尺量得A、B两点水平距离LAB 为12m，则 直线的坡度为
H AB 10.5 4.5 1 i L AB 12 2
第十章、标高投影
工程建筑物是建在地面上或地面下的，与地面产 生交线。而地形面往往是不规则的复杂曲面，很难用 正投影的方法表达清楚，标高投影则能够很好地解决 这个问题。标高投影法是在水平投影上标注高度数字 表达空间形体的图示方法，由此得到的单面正投影图 称为标高投影图。
标高投影的单位以米计， 是单面正投影，标高 是以某海平面为基准面的，为绝对标高，有些时候采 用相对标高,已选定的水平面为基准面。
（2）求开挖线。可先求开挖线上一系列点。
21 20 19 18
18.00
18 19 20 21 22
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
18
19
20
21 22 22
21
20
19 18
0 2 4 6 8m
0 2 4 6 8m
例2：已知地形面的标高投影，要在地面上修建一高程
21m的平台，挖方坡度为1：1.5，填方坡度为1：2，求 平台各坡面与地面的交线和坡面交线。
例1：在高程为1m的地面上修建一圆形平台，平台顶
工程制图B第十三章标高投影
➢ 等高线越密，则地势越陡；反之，越平坦 ➢ 除悬崖绝壁处，等高线均不相交
地形图的形成与绘制
吴家湾
平缓
陡峭
地形断面图
2.已知地形图和直线的标高投影，求作直线AB与地面的交点。
例3: 已知地形图和直线的标高投影，求作直线AB 与地面的交点。
基本几何元素的标高投影——平面
两平面的相对位置——相交
在标高投影中，两平面的交 线即是两平面上同高程等高线交点 的连线。
工程上常常需要表示面与面的交线，习惯上把坡面与地面的交线
称作坡脚线（填方坡面）或开挖线（挖方坡面），而把相邻两坡面的交 线称作坡面交线。
程 为 2m的 平 地 上 修 筑 大 小 二 堤 ， 堤 顶 高 程 及 两 侧 边 坡 如 图 求作各边坡的坡脚线及各坡面的交线。
01斜坡道边坡设计 单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述 您的观点，以便观者准确的理解您传达的思想。
§14-3 曲面的标高投影
在标高投影中，用一系列水平面
截切曲面，作出这些40 截交线的标高投
影，即得曲面的标高302投0 影。
10 等高线
40
30
20 10
曲面标高投影图
4 3 2 1 0
1 2 3 4
4 3 2 1 0
3 2 1 0
一、正圆锥面 曲面的标高投影——正圆锥面
正圆锥面的标高投影
曲面的标高投影——同坡曲面
一个各处坡度都相同的曲 面为同坡曲面。正圆锥上 每一条素线的坡度均相等， 所以正圆锥面是同坡曲面 的特殊情况。
曲面的标高投影——同坡曲面
正圆锥面顶点 沿一空间曲导 线运动，运动 时圆锥的轴线 始终垂直于水 平面，则所有 正圆锥面的外 公切面（包络 面）即为同坡 曲面。
标高投影
内容：（一）概述 （二）直线的标高投影 （三）平面的标高投影 （四）曲面的标高投影 （五）地形面 （六）土石方工程的交线（七）地形剖面图点的标高投影Aa4 B-3 a4 HB-3基准面 1：200B直线的标高投影例1 已知一直线AB，A点的高程为6，B点的高程为3，两点之 间的水平距离为6米，求坡度和平距。
例2 求图所示直线AB上高程为3.3的B点.解：因为高差H=7.3-3.3=4m，所以L= l×H=3×4=12m 按比例顺箭头方向量取8m即可。
整数标高点用换面的方法求得下图右图所示。
l2.两直线的位置关系• 两直线标高投影平行，且上升或下降方向一致，而且坡度 或平距相等则两直线平行，否则交叉;两直线的标高投影 相交，且交点处标高相等，则两直线相交，否则交叉直线。
• 判断如图所示两直线的相互位置关系。
平面的标高投影• 平面的等高线和坡度线• • • 大家都知道平面可由不在同一直线上的三点或一直线和直线外一点、两相交 直线或两平行直线表示的。
1.平面上的等高线 ①平面上的等高线顾名思义就是平面上高程相同的点的连线。
既然是相同高 程点的连线，不同的等高线可以看成是由不同高度的水平面切割平面的交线。
所以说平面上的等高线是平面上的水平线。
如图是平面上一系列等高线，等 高线相互平行，所以平面也可以用一系列平行线表示。
从图上看出，等高线有以下性质： ①等高线相互平行，标高投影也相互平行。
②当相邻等高线高差相等时，其水平间距也相等。
2.平面上的坡度线 坡度线就是平面对水平面的最大斜度线。
前面在平面的投影一章已经讲过， 最大斜度线和平面上的水平线空间垂直，投影也垂直。
最大斜度线对投影面 的倾角也是平面的对H面的倾角，因此坡度线代表了该平面的坡度。
• • • • •平面的标高投影3.标高投影中平面的表示法 标高投影中平面的表示法①一条等高线和一条坡度线表示。
②平面内的任意一条直线和坡度线表示。
标高投影
第12章
标高投影
17
§12.3 平面的标高投影
三、标高投影中平面的作图问题
2. 求平面间的交线 例12-5 求作土堤边坡间及边坡与地面间的交线。 解：
自动演播
重播
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第12章
标高投影
§12.3 平面的标高投影
三、标高投影中平面的作图问题
2. 求平面间的交线 例12-5 求作土堤边坡间及边坡与地面间的交线。 解：
第12章
标高投影
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§12.3 平面的标高投影
三、标高投影中平面的作图问题
2. 求平面间的交线 例12-6 倾斜坡道和土堤相连，求作填土范围和坡面间的交线。 解：
自动演播
重播
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第12章
标高投影
§12.3 平面的标高投影
三、标高投影中平面的作图问题
2. 求平面间的交线 例12-6倾斜坡道和土堤相连，求作填土范围和坡面间的交线。 解：
用一组等间隔的水平面截割地形曲面，得到一组水平截交 线，称为等高线。将它们投射到水平投影面（基准面）上，并 标出各自的标高，即得标高投影图，也称地形图。截平面高出 基准面的高度称为标高或高程，以m为单位。
第12章
标高投影
4
§12.2 点和直线的标高投影
一、点的标高投影
5秒后自动演播
第12章
标高投影
第12章
标高投影
21
§12.4 曲面的标高投影
一、圆锥面的标高投影
圆锥面的等高线是圆。
第12章
标高投影
22
§12.4 曲面的标高投影
一、圆锥面的标高投影
例12-7 求作一端为半圆形的场地的填筑范围及各坡面间的交线。
自动演播
标高投影
直线的表示法
（2）直线的方向及线上一 点的高程
坡度 —— 直线上任意两点的高 差和水平距离之比，用 i 表示。
A
α a L
b
例：
b3
H i tan L
a0
0 1 2
H 30 i 1 通常写为1∶1 L 3
2
直线的标高投影
直线的表示法
B H K 1
（2）直线的方向及线上一 点的高程
2
直线的标高投影
直线的确定
（1）两点 （2）一点及直线的方向
2
直线的标高投影
b
直线的表示法
3
（1）直线的水平投影及线 上两点的高程
a b b3
a
a0 L
0 1 2
2
直线的标高投影
例：已知直线的标高投影，求其实长和对H面的倾角。 B
b3
实长
3
a0
0 1 2
A
4.5
2
直线的标高投影
B H
平面上的坡度线的特性：
1.坡度线与等高线互相垂直， 其水平投影也互相垂直； 2.坡度线的坡度代表了平面的 坡度。
3
平面的标高投影
3.2 平面内的表示法
3.2.1 用一条等高线和平面的坡度表示平面 如 何 求平面的α角？
α
0 2 4
3
平面的标高投影
3.2 平面内的表示法
3.2.2 用一条倾斜线和平面的坡度表示平面
20 16 15 19
17 18
18
15
15
14
16
16
17
17
18
19
19
1∶400
例5 在地面修建道路，已知路面位置，并知填方边坡 为1∶1.5，挖方边坡为1∶1，，求开挖线及坡脚线。
标高投影
点、直线、平面的标高投影
点的标高投影
直线的标高投影 平面的标高投影
一、点的标高投影
5秒后自动演播
6
0
1
A
平距=1/坡度
h
aa 4
2 3 4m
直线的坡度与平距之间的关系
直线的坡度与平距互为倒数， 即： 坡度愈大，平距愈小； 坡度愈小，平距愈大。
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3、直线的标高内插
在某一倾斜直线的标高投影图上，求出高程为整数的点的 投影位置，成为标高内插。
在绘制、应用矿图时，经常进行标高内插。
标高内插常用的方法有： 解析法、 剖面法、平行线法。
（5）作辅助V投影（求倾斜线及倾角）
15秒后自动演播
23
例：已知A、B 、C三点的标高投影，求平面ABC的平 距和倾角。
平行于a1b6， 如何确 标高为1的 5 定间距？ 基线。 4
3 2 1 2 3
分
6
析
6 5 4
目的1
目的2
相邻等高线之间 的距离为平距，最大坡 度线的倾角为平面倾角。
b6
5 4 3
20
平面中的基本元素
平面的等高线为:一组 相互平行的水平线，其 标高投影仍相互平行。 平面的最大坡度线与等 高线相互垂直，其标高 投影亦相互垂直。
平面的最大坡度线
A
1
2
3
E
B
1
2
等高线 标 高 投 影 3
平面的坡度与平距 ＝平面内最大坡度 线的坡度与平距
标高投影的名词解释
标高投影的名词解释标高投影是工程学中一个重要的概念，主要用于描述地形地貌的高度和形状。
它涉及到测量、地理信息系统以及土地规划等领域，是实现工程项目的基础。
1. 标高的含义标高，也可以称为高程或者海拔，是指地面某一点与一个已确定参考面的垂直距离。
通常而言，标高的零点是平均海平面。
以海拔零点为起点，我们可以测量不同地理区域的高低起伏。
标高的单位通常使用米。
2. 投影的概念投影是一种将三维实体映射到二维平面上的方法，常见于地图制图中。
由于地球是一个球体，不可能完全还原其真实的形状和尺寸。
因此，人们采用不同的地图投影方法，将地球表面的地理信息在平面上进行呈现。
3. 标高投影的定义标高投影是将三维地形地貌信息，包括山脉、山谷、河流等，投射到二维平面上，并显示其相对的高低差异的过程。
通过标高投影，我们可以更清晰地了解地势的分布，以及在工程设计和土地规划中提供更准确的高程数据。
4. 标高投影的测量方法实现标高投影需要测量一定数量的地面高程数据点，并将其转化为数字模型。
测量的方法包括全球定位系统（GPS）、直升机激光雷达以及地面测量等。
这些数据点被输入到地理信息系统（GIS）中，通过插值算法生成高程模型。
5. 标高投影的应用领域标高投影在许多领域都有广泛的应用，包括城市规划、土地资源利用、地形分析等。
在城市规划中，标高投影可以帮助规划师更好地了解地区的地形特征，为建筑、道路等项目的设计提供参考。
在土地资源利用中，标高投影可以用于分析土地的高低差异，从而确定最佳的农田和建筑用地。
在地形分析中，标高投影可以帮助研究者发现地形特征的规律性，并开展地质研究和地貌分析。
总结：标高投影是工程学中一个重要的概念，用于描述地形地貌的高度和形状。
标高是地面某一点与参考面的垂直距离，而投影是一种将三维实体映射到二维平面上的方法。
通过标高投影，我们可以更好地了解地势的分布，为工程项目的设计和土地规划提供准确的高程数据。
标高投影的应用领域广泛，包括城市规划、土地资源利用和地形分析等。
《工程制图与识图》第十一章 标高投影
各个正圆锥的等高线。 (4) 作出各正圆锥上同高程的等高线的曲切
线 (包络线)，即是同坡曲面上的等高线。
§11.3 曲面的标高投影
11.3.3 地形面
地形面上的等高线有下列特性： 1.等高线一般是封闭的曲线。
11.1.2 直线的标高投影 11.1.2.2 直线的实长及直线的整数高程点
（2）在直线标高投影上标定整数高程点。
A
α
B
a 8.8
b 5.3
图11-5 直线上的标高整数点
11.1.2 直线的标高投影 11.1.2.3 直线的的坡度和平距
高度为1单位
高度为1单位
的平距l
坡度i =tanα=H/L
图11-6 直线的坡度和平距
平面上的水平线称为平面上的等高线。 平面上的等高线的特性:
(1) 等高线是直线； (2) 等高线互相平行； (3) 等高线的高差相等时，其水平间距 也相等。
11.2.1.2 坡度比例尺 • 把平面上最大坡度线的投影标注以整数高程，并
画成一粗一细的双线称为平面的坡度比例尺。
最大坡度线 等高线
坡度比例尺
（标高2和6的总平距）
图11-9 一条非等高线和平面坡度表示平面 a）已知条件； b）等高线作法； c）立体图
§11.2 平面的标高投影
11.2.3 两平面相对位置
11.2.3.1.两平面平行 若两平面平行，则它们的坡度比例尺平行，平距相等，
而且标高数字的增减方向一致。
图11-10 两平面平行
11.2.3 两平面相对位置
(2)用标注方向和坡度的直线及线上一点的标高投影来表示。
道路工程制图——标高投影
【解】 （1）求坡脚线 坡顶线到坡脚线的水平距离L=H/i=3÷1/1=3m 用同样的方法作出小堤的坡脚线。 （2）坡面交线 （3）画出示坡线
例4：已知一段路堤的堤顶ABCD，高度由零升到4个单位，如图a所示，两侧和 尽头的坡度已注明在图上，假设地面是标高为零的水平面，使做出路堤坡面与地 面的交线，以及坡面间的交线。
b6.4
图a 图b
b6.4
12m
图c
【解】（1）先求点A
如图b所示， HBA=
HBA 4m = （6.4-2.4）m = 4 m, 1 =12 m i 3 从b6.4沿箭头所示的下坡方向，按比例尺量取12m， 即得A点的标高投影
LBA=
（2）求整数标高点 （方法一：数解法） 如图C所示，在B、A两点间的整数标高点有高程为6、5、4、3m的四个点 F、E、D、C。
例3、 求路段两侧边坡与地面的交线
a
a
(a)
(b)
例4、求作场地的边坡
平面的标高投影
二个基本概念：等高线、坡度比例尺
坡度比例尺=平面的最大斜度线
平面的等高线为:一组 相互平行的水平线，其 标高投影仍相互平行。 坡度比例尺与等高线相 互垂直，其标高投影亦 相互垂直。
等高线 3 标高 投影
1 A
2
E B
1
2
3
坡度比例尺 ＝平面内最大斜度 线
平面倾角
（一）平面上的等高线
H
a3
l = L =cota H
平距和坡度互为倒数，l = 1/ i
H b6 B H
H A
直线的标高投影 2、直线的坡度和平距：
B I A a
H
A、B两点 的高度差
i
第14讲_标高投影
绘图比例
标高投影
点、直线、平面的标高投影 曲面和地面的标高投影 建筑物与地形面的交线
6.1 点、直线、平面的标高投影 一、点的标高投影 A
基面
高度为零
在点的水平投影旁，标注 出该点与水平投影面的高度距 离，便得到该点的标高投影。
0
1
2
a5
3
标高
4
5m
C c0 b-3
B
a5
c0 b-3
比例尺
（2）作坡面交线 ①作各正圆锥 上相同高程等高线的公切线，得同 坡曲面的等高线；画出干道坡面上 3、2、1诸等高线。②将同高程等 高线的交点依次连成光滑曲线。 （3）画出各坡面的示坡线，完成。
二、地面的标高投影 地面的标高投影图称为地形图。以一系列整数标高 的水平面与山地相截，把所得的等高截交线正投影到水 平面上，便得一系列不规则形状的等高线，注上相应的 标高值，就得到一个山地的标高投影图。
断面法
地形断面法求填挖方的边界线，就是 在道路上每隔一定距离作一个与道路中心 线垂直的铅垂面，由于同时剖切了地面与 道路，所得的地形断面与道路断面图的交 点，就是填方和挖方坡边线上的点。
A
PH
以一系列平行 于基准面H且相距为 等高线 一单位的水平面截 割平面P，得到P面 上的一组水平线。 H3 特性： ①等高线都是直线； H2 ②等高线互相平行； H1 ③等高线的高差相等 4 H0 时其平距相等。 3
12
0
B
标高投影
2.平面上的坡度线
平面的坡度线： 平面上对水平面 的最大斜度线。
特性： ①平面内的坡度线与等高 线互相垂直，它们的水平投影 也互相垂直； ②平面内坡度线的坡度代 表平面的坡度，坡度线的平距 就是平面内等高线的平距。
第六章标高投影
第六章 标高投影 第二节
3.建筑物的标高投影法
在实际工程中，许多建筑物要修建在不规则的地形面上，建筑物表面与地面相交 时，交线是不规则的曲线。求这些交线时，仍采用辅助平面法，即用一组水平面作为 辅助面，截切建筑物与地形面，求出建筑物表面与地形面的一系列共有点，连接起来 即得交线。 在下图中，根据所给各处标高及坡度，换算出建筑物各坡面平距，作出等高线， 把建筑物表面等高线与地形面等高线的交点连成曲线，即得到交线。
返回本章
第六章 标高投影 第一节
1.直线的标高投影表示法
直线由它的水平 投影并加注直线上两 点的标高表示。
b2
a3
0 1 2 3 4 5 6 7m
直线也可用直线 上一点的标高投影并 加注直线坡度和下降 方向表示。
a5
返回直线标高
第六章 标高投影 第一节
2.直线的坡度与平距
直线上两点间的高度差和它们的 水平投影长度之比称为直线的坡度。 用i表示。 i=高度差/水平距离=H/L
0
1
2
3
4
5
6
7m
返回直线标高
第六章 标高投影 第一节
3.平面的标高投影
在平面的标高投影部分，首先要学习平面上的等高线和坡度线的概念。
点击查看 平面上的等高线和坡度线
我们已学习过平面的几何元素表示法，现在要学习平面的标高投影表示 法。 点击查看 平面的标高投影表示法
在实际工作中，经常要计算由于填挖方工程形成的坡面与地面的交线位 置，这就要用到平面上等高线的作法。 点击查看 平面上的等高线的作法
两条等高线表 示平面
15
一条等高线和一条 坡度线表示平面
10
一条倾斜线和一条 坡度线表示平面
标高投影
标高投影目录概述直线和平面的标高投影曲面的标高投影标高投影在土建工程中的应用概述问题提出表达土建工程为什么需要标高投影？土建工程及其环境特点的平面表示标高投影55M 等高线土建工程及其环境特点：工程环境地面起伏、平面尺寸大土建工程平面图中的环境需要表示高差——需要含有高程的单面投影！4545505030304040标高投影以H 面为基面，下标表示相对基面的高程！表达A 、B 两点左右、前后A 、B 两点对H 面的上下水平投影中高度的表示距离在水平投影中加注物体某些特征面、线、点的高程数值和比例尺——标高投影标高投影要素水平投影标高值（下标）比例尺或比例标高投影---单面投影——是单面（水平）投影如比例1：100m8n2直线和平面的标高投影直线的标高投影直线的标高投影表示原理：二点确定直线一点+直线方向直线的标高投影形式：（含画图比例或比例尺）直线水平投影+直线上两点高程b6a31:200b61:200直线上一点标高投影+坡度及方向36mm15mm（AB高差3米）由此可求解坡度：15mm（取高差3米）30mm（6米）b a若求AB高差为3米的标高投影：（AB水平距离7米2）（AB水平距离）1：200m8直线的坡度与平距坡度（i ）=（二点高差）H L （二点水平距离）=tg(坡角) 当二点水平距离为一个单位时高差值即为坡度(i )值平距（☹）当二点高差为一个单位时二点水平距离称为平距(☹)平距（☹）=1 i 即，平距与坡度互为倒数：坡度大---平距小坡度小---平距大坡度i 值=高差值一个单位高差=一个单位平距=二点（1单位高差）水平距离结论：故有：坡度i=1:2平距☹=2（讨论直线上两点）直线实长和整数标高点直线实长：直角三角形法AB高差AB实长AB水平投影长整数标高点：1)据比例尺，求直线实长2)过高差线整数高点0、1、2作水平线（平行ab）——等高线，得实长线上E、D、C各点3)由C、D、E返回得c2、d1、e0AB上整数标高点平面上的等高线预定高度的水平面与平面的交线——该平面的等高线性质：等高线——平面上的水平线平面上的水平线互相平行常用等高线：整数标高等高线等高线高差常取1、2、5m 标高投影平面上的一系列水平线平面上的等高线零等高线——坡脚线：平面与基面的交线平面的坡度线平面上对基面（水平面）的最大倾斜线性质：坡度线（平面上对基面最大倾斜线）垂直等高线平面的坡度等于坡度线的坡度坡度比例尺代号---Pi画法—坡度线投影（一粗一细）附加整数标高；（显示平距！）标高投影1：200平面的标高投影（表示法）几何元素表示法：等高线+坡度+标高投影比例尺等高线作图：由i 得平距l=2米由平距l 及比例尺画一系列等高线坡度比例尺+标高投影比例尺含有等高线及坡度线平距平面的标高投影（表示法）几何元素表示法：非等高线+坡度•AB 为非等高线•“虚拟”坡度线表示坡度—虚线表示根据圆锥原理可作出该平面圆锥底角=坡面坡角平面的标高投影（表示法）几何元素表示法：据比例尺和圆锥原理作平面上一系列等高线•P 面与圆锥相切（圆锥底角=P 面坡角）：BD 间平距总值（AB 所在面）非等高线+坡度•AB 为非等高线•“虚拟”坡度线表示坡度方向—虚线表示（下坡）•P 面与圆锥面坡脚线（2米等高线）相切切线（圆锥素线）—P 面的坡度线B 点圆锥底圆半径R =关键：P 面的坡度=该坡度线的坡度！坡脚线•由坡度i 得平距为2•AB 高差=BD 高差含：三个平距，总值6（AB 所在面）作图法：•过a2点作圆弧的切线，得P 面坡脚线（即2 m 等高线）•过AB 线上整数标高点分别作坡脚线的平行线，得一系列等高线•以平距总值（6）为半径R ，以高点b5点为圆心作圆弧（正圆锥）过AB 线上整数标高点作平面上一系列等高线AD 间平距总值6AB 为非等高线以低点A 点为圆锥顶点作倒圆锥，底圆半径R =注意：开挖线！当“虚拟”坡度线表示上坡方向时平面的交线三面共点求交原理步骤：作若干不同高程的水平面，如H 25、H 20求该水平面与已知二平面的交线——等高线 求相应等高线的交点——三面共点 连接交点即得已知二平面的交线已知条件立体图投影作图投影作图时，直接作二平面一系列同高程等高线求公有点5个平距（10）平距l=2基本作图支堤与主堤求交分析：•支堤顶面交于主堤侧面2m 等高线高低•支堤侧面与主堤侧面交线过二堤侧面2m 等高线交点A （B ）及二坡脚线交点C （D ）•支堤侧面交线的一个端点是侧面坡脚线的交点基本作图支堤与主堤求交高低已知投影：作图步骤：•作2m 等高线•求交线AB （a2b2）•求两堤坡脚线•求坡脚线交点C （c0）、D （d0）、G （g0）、Ｈ（h0）e 2f 2•求支堤坡面交线ＥＧ（e2g0）、ＦＨ（f2h0）g 0h 0平距１m （3个）求坡脚线平距１m （3个）求坡脚线平距0.75m （2个）求坡脚线3m/30010mm1.5m/300=5mm•求两堤坡面交线ＡＣ（a2c0）、ＢＤ（b2d0）平距１m （2个）求坡脚线非同坡基坑开挖线与坡面交线作图步骤：由开挖面、坑底面高差得各坡面平距总值求作开挖线总值４m总值４m总值6m总值8m画坡面交线高差4m平距1m平距1m 平距1.5m 平距2mDCA B水平场地斜坡引道侧面平距1m ，B 处下来平距总值3m斜坡引道高差3m作图步骤：•按圆锥原理求引道两边坡坡脚线•作水平场地边坡坡脚线•过坡脚线交点作坡面交线水平场地5.001:1.21:1.21:200b 5a 5d 2c 2水平场地5.00 2.001:1.21:1.21:200b 5a 5d 2c 2f 2e 2水平场地5.002.001:1.21:1.21:200f 2e 2b5a 5标高投影习题斜坡引道与水平场地标高投影曲面的标高投影概述工程曲面锥面同坡曲面地形面曲面的标高投影正圆锥面用一系列等高线表示曲面18171615151617181817161518171615表示法等高线---同心圆直立圆锥一系列水平面截切地形面示坡方向---标高值写法表示高向倒立圆锥---圆越大标高值越大正立圆锥---圆越小标高值越大坡面与过渡锥面相切于锥面素线上，但不画出切线！应用：两坡面的过渡同坡锥面等高线----一系列高差相等的水平面与曲面之交线平坡面与锥面的交线作图步骤：由坝顶坝底标高得高差10m求两平坡面等高线、坡脚线（由平距得总值l0mm与20mm）平距1m平距1.5m平距2m 求锥面相同等高线（注意等高线圆圆心）、坡脚线(平距总值15mm)求坡面与锥面同高等高线之交点顺次光滑连接交点得交线同坡曲面的形成---导线---空间曲线正圆锥沿导线平动圆锥面之包络曲面同坡曲面同坡曲面---坡度处处相同的曲面同坡曲面的形成---导线---空间曲线正圆锥沿导线平动同坡曲面的性质同坡曲面与移动圆锥处处相切同坡曲面的坡角等于移动圆锥的底角同坡曲面与移动圆锥同一标高的等高线相切圆锥面之包络曲面同坡曲面同坡曲面等高线与被包络圆锥同高等高线圆相切！同坡曲面---坡度处处相同的曲面应用---用于道路弯道边坡曲面同坡曲面标高投影的作图方法例：已知干路边坡坡度、支路边坡同坡曲面坡度及路面、地面标高投影，作坡面及坡面交线标高投影。
道路工程制图——标高投影
LBF = HBF / i =(6.4-6)÷1/3 = 1.2 m
同理，可求出其它各点。
方法二： 图解法
间隔为1m
a′ b′
2.4m
a2.4 c3 d4
P
6.4m
e5
b6.4 f6
图d 7 6 5 4 3 2 2m e5 d4
c3
a2.4
H
b6.4
f6
6. 直线的相对位置
7. 两平行直线
8. 相交二直线
3、一条一般位置线＋坡度方向线 平面的最大坡度线 b8
平面的标高投影
4、坡度比例尺
？
转换为 等高线表达
等2
3
0
1
2
3
4
5
坡度比例尺上的一个单位 实质为平面的平距
平面的标高投影
平面的表达法
5、几何元素表示法 b8
c2 a5
0 1 2 3 4 5
平面的标高投影
例1：已知A、 B 、 C三点的标高投影，求平面ABC 的等高线。 分 析 平行于a1b6，
鞍地 山脊线
山峰
山脊线
山谷
25 20 15 10 5
（一）、平面与地面的交线
求图中地面与坡度为2/3的坡面的交线。
36
35.5
解题步骤
1、求出图形范围内坡 面的等高线。 2、求出地面与坡面同 等高线的交点。 3、用内插法求出标高 为35.5的等高线，并求 出交点。 4、用断面法求出交线 的最高点。 5、平滑连接各交点， 得出坡面范围。（k1、
2
3
4
5
【例2】如图所示，已知平面上一条高程为10的等高线，又知平面 的坡度i=1:2,求作平面上高程为9、8、7的等高线。 【解】
第五章标高投影（20页）
第五章标⾼投影（20页）第五章标⾼投影知识⽬标：●了解标⾼投影的概念●了解直线、平⾯的标⾼投影与其实形的联系●了解常见地形地貌的地形图的表⽰法●掌握点、直线与平⾯的标⾼投影的⽅法●掌握直线、平⾯与地形⾯交线的求法●掌握道路⼯程构造物标⾼投影的作法，以及它与地形⾯的截交线的求法能⼒⽬标：●能正确熟练绘制点、直线、平⾯以及道路⼯程构造物的标⾼投影●能正确作出直线、平⾯、曲⾯与曲⾯（地形⾯）的交线标⾼投影●能正确绘制道路⼯程构造物与地形⾯的交线标⾼投影开章语：道路⼯程与地形有着紧密的联系，在设计和施⼯过程中，常常需要绘制反映地形地貌的地形图，以便解决相关的⼯程问题。
由于地⾯的形状往往⽐较复杂，长度⽅向尺⼨和⾼度⽅向尺⼨相差很⼤，如果仍⽤前⾯学习的三⾯正投影法表⽰，作图困难，且不易表达清楚。
因此，在⼯程实践中常采⽤给⽔平投影并标注⾼度表⽰形体形状的标⾼投影法来表⽰地形图。
本章主要内容：1．直线和平⾯的标⾼投影2．各种曲⾯的标⾼投影3．线与⾯、⾯与⾯相交时交点和交线的求法4．标⾼投影在道路⼯程实际中的应⽤第⼀节概述所谓标⾼投影法，指在物体的⽔平投影上加注某些特征⾯、线及控制点的⾼程数值和绘图⽐例来表⽰空间物体的⽅法。
标⾼投影是以⽔平投影⾯H为投影⾯，称为基准⾯。
标⾼就是空间点到基准⾯H的距离。
⼀般规定：H⾯的标⾼为零，H⾯上⽅的点标⾼为正值；下⽅的点标⾼为负值，标⾼的单位常⽤⽶（m）。
在实际⼯作中，地形图通常以我国青岛附近的黄海平均海平⾯作为基准⾯，所得的⾼程称为绝对⾼程，否则称为相对⾼程。
标⾼投影包括⽔平投影、⾼程数值、绘图⽐例三要素。
标⾼投影图是⼀种单⾯正投影图，即⽔平投影，它必须标明⽐例或画出⽐例尺，否则就⽆法从单⾯正投影图中来准确地确定物体的空间形状、具体尺⼨和位置。
其长度单位，如果图中没有注明，则单位以m计。
除了地形⾯以外，也常⽤标⾼投影法来表⽰其它⼀些复杂曲⾯。
第⼆节点和直线的标⾼投影⼀、点的标⾼投影将点向H⾯作正投影，然后在其右边标出该点到H⾯的实际距离（即标⾼数字），即得到该点的标⾼投影。
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2012-4-12
Wang chenggang 画法几何 第2章
2.10 标高投影
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［例题2.69］如图2.229a所示，求作直线AB的真长、对水平面 例题 ］如图 所示，求作直线 的真长、 所示 的真长 的倾角，以及AB上的点 的高程。 上的点C的高程 的倾角，以及 上的点 的高程。
(1)用数解法求解 ［解］(1)用数解法求解 用比例尺量得AB的水平距离 用比例尺量得 的水平距离L=6.3m，而高差 的水平距离 ，而高差H=5-1.5=3.5m，从而就可 ， 计算出AB的真长为 的真长为: 同时也可计算出AB与水平面的 计算出 的真长为 。同时也可计算出 与水平面的 倾角α=arctanH/L=arctan3.5/6.5=arctan0.556≈29°。用量得 的水平距 ° 用量得AC的水平距 离为4m，则点C的高程是 的高程是1.5+3.5×4/6.3=1.5+2.2=3.7m。 离为 ，则点 的高程是 × 。 (2)图解法一:用直角三角形法图解, (2)图解法一:用直角三角形法图解,如图 图解法一 所示。 b所示。 (3)图解法二: (3)图解法二:用 图解法二 换面法求解， 换面法求解，如 所示。 图c所示。 完成作图 (a)已知条件 (b)图解法一 (a)已知条件 （c）图解法二 (b)图解法一 的真长， 图2.229 作AB的真长，对水平面的倾角，及点 的高程 的真长 对水平面的倾角，及点C的高程
(a)已知条件 (b)用数解法解题 (a)已知条件 (b)用数解法解题 作直线AB的刻度 坡度和平距 的刻度、 图2.230 作直线 的刻度、坡度和平距
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Wang chenggang 画法几何 第2章
2.10 标高投影
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［解］
(2)用图解法解题:如图2.230c所示。 (2)用图解法解题:如图2.230c所示。 用图解法解题 2.230c所示 完成作图
所示， ［例题2.72］如图 例题 ］如图2.235a所示，求作三角形 所示 求作三角形ABC平面上的高程 平面上的高程 为8、9、10、11m的等高线，该平面的坡度比例尺(设三角形 、 、 、 的等高线，该平面的坡度比例尺 设三角形 的等高线 ABC平面为 ，以及该平面对水平面的倾角。 平面为P)，以及该平面对水平面的倾角。 平面为 ［解］
(1)用确定平面的几何元素表示 (1)用确定平面的几何元素表示 不在同一直线上的三点。 直线及线外一点。 ①不在同一直线上的三点。②直线及线外一点。 ③相交两直线。 相交两直线。 ④平行两直线。 平行两直线。
(a)用确定平面的几何元素表示 (a)用确定平面的几何元素表示 图2.234 平面的标高投影表示法
(a)已知条件 (a)已知条件 （c）图解法 作直线AB的刻度 的刻度、 图2.230 作直线 的刻度、坡度和平距
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Wang chenggang 画法几何 第2章
2.10 标高投影
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2.10.2 平 面
1.平面上的等高线、 1.平面上的等高线、坡度线和坡度比例尺 平面上的等高线
（1）平面上的等高线:平面上的水平线 ）平面上的等高线: （2）平面上的坡度线:平面上对水平基准面 的最大倾斜线 ）平面上的坡度线:平面上对水平基准面H的最大倾斜线 （3）平面的坡度比例尺:平面上的带有刻度的坡度线的水平投影 ）平面的坡度比例尺:平面上的带有刻度的坡度线的水平投影
(b)标高投影 (b)标高投影
(1)在实际工作中，直线两端点的标高常常不是整数， (1)在实际工作中，直线两端点的标高常常不是整数，如 在实际工作中 (2)直线上任意两点的高差 和它们的水平距离( (2)直线上任意两点的高差H和它们的水平距离(这两点间 有需要，可以在直线的标高投影上定出各整数标高点， 有需要，可以在直线的标高投影上定出各整数标高点，不 坡度i。 的直线的水平投影的长度) 之比，称为直线的坡度 的直线的水平投影的长度)L之比，称为直线的坡度 。直 必注出各整数标高点的投影符号字母， 必注出各整数标高点的投影符号字母，只要标注它们的整 线上任意两点的高差为一个单位时的水平距离， 线上任意两点的高差为一个单位时的水平距离，称为该直 数标高，这就是直线的标高投影的刻度 刻度。 数标高，这就是直线的标高投影的刻度。 线的平距 平距l。 线的平距 。
(a)立体图 (a)立体图
(b)标高投影 (b)标高投影 2.226点的标高投影 图2.226点的标高投影
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2.10 标高投影
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2.直线的标高投影的一般表示法 2.直线的标高投影的一般表示法
直线的标高投影一般由它的水平投影并加注两个端点的标高 投影来表示。如图2.227a所示，空间有三条直线：一般位置直 所示， 投影来表示。如图 所示 空间有三条直线： 线AB、铅垂线 、水平线 ，作出它们在水平基准面 上的 、铅垂线CD、水平线EF，作出它们在水平基准面H上的 正投影ab 正投影 、cd、ef，并分别加注两个端点的标高，就得到它们 、 ，并分别加注两个端点的标高， 的标高投影a6b3、c7d2、e5f5。 的标高投影
(a)已知条件 (b)作图过程和作图结果 (a)已知条件 (b)作图过程和作图结果 作三角形上高程为8 10、11m的等高线 的等高线、 图2.235 作三角形上高程为8、9、10、11m的等高线、坡度比例尺和倾角
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2.10 标高投影
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2.10 标高投影
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2.平面的标高投影表示法 2.平面的标高投影表示法
(2)用平面上的一组等高线表示 (2)用平面上的一组等高线表示 (3)用平面上的一条等高线和一条坡度线表示 (3)用平面上的一条等高线和一条坡度线表示
(b)用平面上的一组等高线表示 (b)用平面上的一组等高线表示
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2.10 标高投影
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2.10.1 点和直线
1.点的标高投影 1.点的标高投影
如图2.226a所示，设空间有 所示， 如图 所示 三个点A 三个点 、B、C，作出它 ， 们在高程为零的水平基准 上的正投影a 面H上的正投影 、b、c， 上的正投影 ， 并在它们的投影符号字母 的右下角加注各点距离水 平基准面H的高程数字 的高程数字4、 、 平基准面 的高程数字 、0、 -2，这些标注的高程数字称 ， 为点A 的标高， 为点 、B、C的标高，于 的标高 是就得到了这三个点的标 高投影。这三个点的标高 高投影。 投影， 投影，也称为它们的标高 投影图，如图2.226b所示。 所示。 投影图，如图 所示
(a)立体图 (b)标高投影 (a)立体图 (b)标高投影 图2.227 直线的标高投影的一般表示法
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2.10 标高投影
5
3.直线的刻度、 3.直线的刻度、坡度和平距 直线的刻度
(a)立体图 (a)立体图 图2.228 直线的坡度与平距
5-1.5
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2.10 标高投影
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［例题2.70］如图2.230a所示，求作直线AB的刻度、坡度和平 例题 ］如图 所示，求作直线AB的刻度、 所示 AB的刻度 距。
(1)用数解法解题 ［解］(1)用数解法解题 用比例尺量得AB的水平距离 用比例尺量得 的水平距离L=8.2m，从而就可计算出直线 的坡度 的水平距离 ，从而就可计算出直线AB的坡度 i=H/L=(7.8-2.3)/8.2≈0.67；而直线 的平距 的平距l=1/i=1/0.67≈1.5m。 ；而直线AB的平距 。 由此还可计算出a 上高程为3的刻度点之间的水平距离是 的刻度点之间的水平距离是1.5× 由此还可计算出 2.3至b7.8上高程为 的刻度点之间的水平距离是 × ( 3-2.3)/1≈1m。于是用比例尺在图 中的 2.3b7.8上，从a2.3量取 ，得刻度 中的a 量取1m， 。于是用比例尺在图b中的 点3；继续向 7.8的方向按比例尺连续量取 ；继续向b 的方向按比例尺连续量取1.5m，就可得刻度点 、5、6、 ，就可得刻度点4、 、 、 7，留下的一段从刻度点 至b7.8的水平距离，根据计算应是 ×(7.8，留下的一段从刻度点7至 的水平距离，根据计算应是1.5× 7)/1=1.2m，今在图中用比例尺量出也是 所示。 ，今在图中用比例尺量出也是1.2m。作出的刻度如图 所示。 。作出的刻度如图b所示
所示， ［例题2.73］如图 例题 ］如图2.236a所示，求作通过直线 8b2、坡度为 所示 求作通过直线a 1∶0.5，在a8b2一侧的坡度线的大致下降方向为图中带箭头的 ∶ ， 虚线的平面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向， 虚线的平面，并作出这个平面上的坡度线的准确的下降方向， 以及平面上的高程为3m至 的诸等高线 的诸等高线。 以及平面上的高程为 至7m的诸等高线。 ［解］
L=0.5x6 x =3m
(a)已知条件 (b)作图原理 (a)已知条件 (b)作图原理 （c）作图过程和作图结果 作通过a8b2 坡度为1∶0.5 a8b2、 1∶0.5和已知大致下降方向的平 图2.236 作通过a8b2、坡度为1∶0.5和已知大致下降方向的平 准确的下降方向，以及平面上的高程为3m 7m的等高线 3m至 面，准确的下降方向，以及平面上的高程为3m至7m的等高线
(a)立体图 (a)立体图
(b)等高线 (b)等高线
(c)坡度线 (c)坡度线
(d)比例尺 (d)比例尺
平面上的等高线、 图2.233 平面上的等高线、坡度线和坡度比例尺
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Wang chenggang 画法几何 第2章