6年级-6-立体图形与旋转体综合-难版
小学六年级数学竞赛讲座 第6讲 几何综合之立体几何中的旋转体
解：设每层纸的厚度为 x 厘米， 展开后的面积为 11.4×11×300=37620 平方厘米，体积是 37620×2x 立方厘米； 卷起来之后的体积是 π×(5.82−2.32)×11=935.55， 所以 37620×2x=935.55，解得 x=0.01243 厘米≈0.12 毫米。
例 8．证明圆台的体积公式是 V 圆台= h (R2 Rr r2 ) （h 是圆台的高，R 是下底面 3
33
3
模块三、旋转体应用
例 7．图中所示的是我们生活中常用的卷筒卫生纸，你知道每层卫生纸有多厚吗？从卫生纸的包装纸上得到
以下资料：“两层 300 格，每格 11.4cm×11cm”。我们用尺子量出整卷卫生纸的内外半径分别为 2.3cm 和
5.8cm，那么每层卫生纸的厚度为
毫米（π取 3）。（精确到 0.01mm）
以 AB 为轴旋转一周，所形成的几何体的体积是 V= 1 ×π×( 12 )2×5= 48 π.
35
5
5．已知，直角梯形 ABCD，2AB=DC，AB=BC=5 厘米，梯形以 BC 为轴旋转一周，则白色部分扫出来的立
体图形的体积是
立方厘米。（π 取 3.14）
解：AB=BD=5 厘米，所以 CD=2AB=10 厘米，
2．将高都是 1 米，底面半径分别为 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组成一个物体，这个物体的表面积是 平方米。（π 取 3.14）
解：从俯视图看，上下都是一个大圆的面积即 π×1.52=2.25π，所以两个底面面积是 4.5π， 三个侧面分别是 2π×1.5×1、2π×1×1、2π×0.5×1，所以侧面积为 6π， 于是表面积是 10.5π=32.97 平方米。
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苏教版2023-2024学年六年级数学下册第二单元：八种问题之圆柱与圆锥的旋转构成问题“综合版”专项
2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第二单元：八种问题之圆柱与圆锥的旋转构成问题“综合版”一、填空题。
1．一张长方形的纸，长是8cm，宽是6cm，以长所在直线为轴旋转一周形成一个( )，这个立体图形的高是( )cm，长方形的宽等于这个立体图形的( )。
2．如图是一个长方形，如在这个长方形中剪下一个最大的正方形，并以正方形的一条边为轴快速旋转一周后会形成一个( )体，它的体积是( )立方厘米。
3．将一张长6cm、宽4cm的长方形纸以一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的体积是( )cm3或( )cm3。
4．将一张长4cm，宽3cm的长方形纸以长边为轴旋转一周，得到一个圆柱体，这个圆柱的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。
5．一个长方形的长是8cm，宽是5cm，如果以其中的一条边为轴旋转一周将得到的立体图形是( )，其中体积最大的是( )cm3。
6．如图长方形长3分米，宽2分米。
以宽边的中点连线（如图）为轴旋转一周所形成的立体图形的表面积是( )平方分米，以宽边为轴旋转一周所形成的立体图形的体积是( )立方分米（计算结果保留π）。
7．一个直角边分别为4cm和3cm的直角三角形，它的面积是( )2cm。
若以较短的直角边为轴旋转一周形成的图形的体积是( )3cm。
8．一个直角三角形的两条直角边分别是7cm和11cm，如果以其中一条直角边为轴旋转一周，可以得到一个( )，体积最大是( )cm3（保留两位小数）。
9．如图，以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，可以形成一个( )，以( )为轴旋转时体积最小，是( )立方分米。
10．一个直角三角形的两条直角边的长度分别是4厘米和6厘米，以直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是( )，体积最大是( )立方厘米。
二、解答题。
11．一个长方形长10厘米，宽2厘米，以长为轴旋转一周得到什么样的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？12．画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。
奥数六年级千份讲义9005立体图形和旋转体
✧ 参考书目：导引六年级第6讲；课本六年级上学期第5，6，7讲。
✧ 本讲重点内容总结：一、旋转体的概念：轴，高，底面，侧面，母线。
二、长方体，正方体，圆柱体，圆锥体的体积公式，侧面积公式，表面积公式。
三、正方体的剪拼以及染色问题。
四、能够熟练、清晰、准确的画出常见立体图形，要求画出的图形能够看见图形背后被挡住的部分，并能够在图形上面任意添加辅助线。
✧ 例题以及练习1. 从一个底边半径为10的圆柱体原材料上斜着切了一刀，得到一个零件，它的左边最矮处的高度为40，右边最高处为50，那么这个零件的体积为多少？侧面积为多少？2. 一个长和宽分别为10和5的长方形可以将两个宽粘在一起，围成一个圆柱体；也可以将两个长粘在一起围成一个圆柱体。
这两个圆柱体的体积比为多少？3. 从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。
求这个几何体的表面积和体积。
4. 在如图所示的圆锥中，AB 和BC 长均为10厘米，底面圆周长为 10厘米。
这个圆锥体的侧面积为多少？有一只小虫准备从A 点出发，沿着锥面爬到线段BC ，那么它爬行的最短距离是多少厘米？5. 一个盛有水的正方体容器的棱长为20，水深为15。
今将一个底面半径为5，高为20的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深是多少？(取π为227)6. 一个盛水的容器是由两个圆柱体组成的，大圆柱体底面半径10cm ，并且它的底面半径和高都是小圆柱体的2倍。
现在容器里有一些水，水面距离容器还有11cm ，如果把容器倒过来，水面距离顶部有5cm ，那么这个容器的容积是多少？BAC7. 用棱长是1厘米的立方体拼成下图所示的立体图形。
求这个立体图形的表面积。
8. 如图，同样大小的立方体木块堆放在房间的一角，一共垒了40层，那么在这40层中的木块共有多少个？如果每个木块的棱长为1，那么可以看见的表面积一共为多少？9. 将一个棱长为25的立方体的8个角分别切掉棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的立方体后表面积为多少？10. 今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米？11. 图中是一个边长为5厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，它的表面积是多少平方厘米？如果将它的表面刷上红漆，然后将它分割成119块棱长为1厘米的小正方体，那么有多少个小正方体的1个面被染了红漆？有多少个小正方体的2个面被染了红漆？有多少个小正方体的3个面被染了红漆？12. 思考题：图中是一个边长为5厘米的正方体，分别在前、右、上三个面的中心位置垂直将正方体挖穿，形成一个边长1厘米的正方形空洞。
六年级思维训练 第五讲 立体几何综合
第五讲 立体几何综合【专题知识点概述】本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。
主要知识点⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π圆锥： 体积：213r h π ⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
【授课批注】可以结合以前所讲过的题进行更深入细致的讲解，加深学生的印象。
【重点难点解析】1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数3．体积的等量代换【竞赛考点挖掘】1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【分析与解】长方体的高是(33.66-2.1×2.3×2)÷2÷(2.1+2.3)= 1130(分米). 长方体的体积是2.1×2.3 × 1130=1101913(立方分米)．【例2】（难度等级 ※※）右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米．【分析与解】 2×2×6+1×1×4+21×21×4+41×41×4=29．25(平方厘米)．【例3】（难度等级 ※※）把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。
8.1基本立体图形第二课时 旋转体与简单组合体PPT课件(人教版)
1.思考辨析，判断正误 (1)圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等.( √ ) (2)过圆锥的轴的截面是全等的等边三角形.( × ) (3)圆台有无数条母线，且它们相等，但延长后不相交于一点.( × ) (4)过圆台任意两条母线的截面是等腰梯形.( √ ) 提示 (2)不一定是等边三角形，但一定是等腰三角形. (3)延长后相交于一点.
【训练3】 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上、下底面 的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长. 解 设圆台的母线长为l cm，截得圆台的上底面的半径为r cm. 根据题意，得圆台的下底面的半径为4r cm. 根据相似三角形的性质，得3＋3 l＝4rr.解得 l＝9. 所以圆台的母线长为9 cm.
球常用表示 球心的字母 来表示，左 图可表示为 __球__O__
2.棱柱和圆柱统称为柱体，棱锥和圆锥统称为锥体，棱台和圆台统称为台体. 3.简单组合体
(1)定义：由_简__单__几__何__体___组合而成的几何体叫做简单组合体. (2)简单组合体的构成情势：一种是由简单几何体_拼__接___而成的；另一种是 由简单几何体__截__去__或__挖__去__一部分而成的.
课堂小结
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.球面、球体的区分和联系 区分
球的表面是球面，球面是旋转形成 球面
的曲面 球体是几何体，包括球面及所围的 球体 空间部分
联系 球面是球体的表面
3.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想，处理组合体问题常采用分割思想. 4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间
1
课前预习
知识探究
1.圆柱、圆锥、圆台、球
第十二讲 立体图形的分类及识别-2023年六年级数学下册小升初专项复习(通用版)
2023年学校六班级小升初数学专项复习（12）——立体图形的分类及识别★★学学问问归归纳纳总总结结一、立体图形的分类及识别1.立体几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，统称为几何图形，几何图形是数学争辩的主要对象之一．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形．由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形．点动成线，线动成面，面动成体．即由面围成体，看一个体最多看到立体图形实物三个面．2．常见立体几何图形及性质：（1）正方体：有8个顶点，6个面．每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）．有12条棱，每条棱长的长度都相等．（正方体是特殊的长方体）（2）长方体：有8个顶点，6个面．每个面都由长方形或相对的一组正方形组成．有12条棱，相对的4条棱的棱长相等．（3）圆柱：上下两个面为大小相同的圆形．有一个曲面叫侧面．开放后为长方形或正方形或平行四边形．有很多条高，这些高的长度都相等．（4）圆锥：有1个顶点，1个曲面，一个底面．开放后为扇形．只有1条高．四周体有1个顶点，四周六条棱高．（5）直三棱柱：三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形．（6）球：球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体．例1：长方体有4个，正方体有4个，圆柱有5个，球有4个。
【分析】依据常见立体图形的特征及分类即可解答。
【解答】解：长方体有4个，正方体有4个，圆柱有5个，球有4个。
故答案为：4；4；5；4。
【点评】本题主要考查常见立体图形的特征及分类。
例2：填一填，圈一圈。
（1）一共有8个图形。
（2）排第6；排第7的是。
（3）如图的图形中有1个正方体，3个长方体，2个球和2个圆柱。
（4）圈出如图图形中简洁滚动的图形。
【分析】正方体：有8个顶点，6个面，每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）；长方体：有8个顶点，6个面，每个面都由长方形或相对的一组正方形组成；圆柱：上下两个面为大小相同的圆形，有一个曲面叫侧面；球：球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体。
冀教版六年级下册数学《立体图形》精品PPT教学课件
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知识点三： 观察物体
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1.从上、下、左、右、前、后六个方向 观察物体，看到的形状大多数情况下是不 一样的。
2.在同一水平直线上的不同点观察同一 物体的大小是不一样的，近大远小。
3.在同一竖直直线上的不同位置观察物 体，所看到的范围也不一样。
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圆柱 圆锥的特点：
内容 名称 图形
面
高
o 3个面。底面是2个完 两底之间的 圆柱 h 全相同的圆；侧面展 距离（无数
巩固与应用
1、下面的平行图形，以它的一条边为轴旋转一 周，会形成什么样的空间图形。用线连一连。
一想，再试一试。
巩固与应用
3、观察下面用4个正方体搭成的图形，并填一填。
③ ②和⑤ ①和④
巩固与应用
5
1 3 1 20
巩固与应用
5 7
巩固与应用
o r 开一般是一个长方形。条）
圆锥
h or
2侧个面面展。开底是面个是扇一形个。圆，顶 之 （一点 间条到 的）底 距面 离
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名称 图形 从不同方向上看到的形状
o 1.从上或下看，会看到一个圆。
圆柱 h 2.从侧面看，会看到一个长方形（或
说说下列各图是由哪些图形组成的。
六年级下册数学试题-小升初能力训练：几何综合——立体几何(解析版)全国通用
第07讲几何综合——立体几何1：下图的切割点均为所在棱的中点，如果按照左图切割，那么表面积总和增加了4，那么按照右图切割，表面积总和增加_______。
2：一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积(如下图所示)和正方体体积的比是多少？假设正方体的边长为1，那么每个切去的角(三棱锥)的体积为，211111322248⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭所以八个角一共切去的体积，所以余下的体积是正方体体积的，118486⨯=15166-=即余下部分的体积与正方体体积的比为．5:63：如图，原正方体的棱长为12厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的体积．倾斜于上下底面的切面，把正方体一分为二．被切掉的部分的图形和剩下的部分图形关于正方形的中心是对称的．33122864(cm )÷=4：如图，正方体的棱长为，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点6cm 形成一个正三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体积是．3cm乙9乙从图中可以看出，夹在六边形与三角形之间的立体图形有2个底面和6个侧面（六边形的每一条边对应一个侧面），所以共有个面，8由于正方体是关于它的中心成中心对称的，而根据正六边形和正三角形的连法，如果从正方体中去掉以这个正三角形为底面的三棱锥以及与它相对的三棱锥后，剩下的部分正好被六边形分成2个同样的立体图形，这就是所要求的立体图形．所以所要求的立体图形的体积是：．3111666266672(cm )232⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦5：如图，有一个棱长为2厘米的正方体。
从正方体的上面正中间下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前面两个相同，棱长为12厘米，最后得到的额例题图形的表面积是多少平方厘米？146：如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：。
小学六年级数学竞赛讲座 第6讲 几何综合之立体几何中的旋转体
平方厘米，体积是
立方厘米。（结果用 π
表示）
解：所得的几何体是一个大圆柱内挖掉一个小圆柱，
上下看的底面上 2×π×12=2π，侧面是 2π×1×1+2π× 1 × 1 =2 1 π，所以表面积=4 1 π（平方厘米）；
23 3
3
体积 V=π×12×1−π×( 1 )2× 1 = 11 （立方厘米）。 2 3 12
694517.76+645948.24=1340466，整个旋转体的体积是 2×1340466=2680932.
例 5．如图：，ABCD 是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线 AC、BD 相交于 O，E、F 分 别是 AD 与 BC 的中点，图中的阴影部分以 EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体 图形的体积是多少立方厘米？（π 取 3） 解：因为 BC=6cm，AB=10cm，
7．如图，ABCD 是矩形，BC=6 厘米，AB=10 厘米，对角线 AC、BD 相交于 O，图中的阴影部分以 CD 为轴 旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？（π 取 3）
解：从上下两部分看，都是一个圆台挖掉一个圆锥，
圆台体积= 1 ×π×(62+6×3+32)×5=105π=315，圆锥的体积= 1 ×π×32×5=45，
所以白色部分旋转一周得到的是一个圆柱，挖掉两个圆锥，
体积 V=π×32×10−2× 1 ×π×32×5=60×π=180. 3
例 6．如图，将图中阴影部分按照中轴 AB 旋转一周，问阴影部分扫出的立体图形的体积是多少？
解：V1= 1 ×π×(52+3×5+32)×4− 1 ×π×(32+3×1+12)×4+π×12×4=52π，
【小升初专题复习】北师大版六年级下册数学-第十讲 立体图形综合(解析版)
【小升初专题复习】北师大版六年级下册数学-第十讲立体图形综合（解析版）一、知识点1、长方体总棱长：（长十宽十高）×4C＝（a＋b＋h）×4侧面积：底面周长×高＝（长十宽）×2×高S＝Ch＝（a＋b）×2×h表面积：（长×宽十长×高十宽×高）×2S＝（ab＋ah＋bh）×2体积：长×宽×高V＝abh2、正方体总棱长：棱长×12C＝12a侧面积：底面周长×高＝棱长×4×棱长S＝Ch＝4a²表面积：棱长×棱长×6S＝6a²体积：棱长×棱长×棱长V＝a³3、圆柱侧面积：底面周长×高S＝2πrh侧表面积：侧面积＋2个底面积＝2πrh＋2πr²S表体积：底面积×高V＝πr²h4、圆锥体积：底面积×高÷3V＝πr²h÷35、染色问题公式三面：8个二面：（长－2）×4＋（宽－2）×4＋（高－2）×4一面：（长－2）（宽－2）×2＋（长－2）（高－2）×2＋（宽－2）（高－2）×2 零面：（长－2）（宽－2）（高－2）二、学习目标1.我能够运用公式解决立体图形的计算问题。
2.我能够灵活应用排水法求物体的体积。
三、课前练习1.判断题。
（1）用9个一样大小的小正方体能拼成一个大正方体。
（）（2）如果圆柱的底面半径扩大2倍，那么它的体积就扩大4倍。
（）（3）如果两个正方体的棱长之比是2:3,那么它们的体积之比就是4:9。
（）【答案】（1）×；（2）×；（3）×【解析】（2）圆柱的体积是由底面积和高两个条件决定的，本题没有说明高不变，因此这种说法是错误的。
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第6讲
立体图形与旋转体综合
在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．
在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。
【例1】★一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．
典型例题
知识梳理
【解析】一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C ＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了． 解答过程：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）． 侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米） 两个底面积（取π＝3.14）：
表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）
【例2】★★如图1，ABCD 是直角梯形(单位：厘米，3π=) ，
（1）以AB 为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少? （2）如果以CD 为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?
【解析】（1）如图2所示，所求体积可看作BCDE 绕AB 的旋转体与△AED 绕AB 的旋转体之和，即221
33361083
πππ⨯+⨯⨯
==(立方厘米)． （2）如图3所示，所求体积可看作ABCE 绕EC 的旋转体与△ADE 绕EC 的旋转体之差，即
221
363451353
πππ⨯⨯-⨯⨯==(立方厘米)．
【小试牛刀】（05年华罗庚金杯）一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果以边长4为轴旋转一周，得到一个立体．求这个立体的体积．（对照例题11）
【解析】 以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是3，由圆锥的体积公式得：
21
34123
V ππ=⨯⨯=
【例3】★★一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？
【解析】按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱体，这时圆柱的高等于
1
0.60.23
⨯=（米）那么原来两个形体变成一个圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．
圆锥体化为圆柱体的高：10.60.23
⨯= 底面积：
体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．
【例4】★★皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米．皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？
【解析】皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．
球的体积：
水桶的底面积：π×302＝900π（平方厘米）．
【例5】★★下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．
【解析】直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．
正方体体积：63＝216（立方厘米）
剩下体积占正方体的百分之几．（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．
答：剩下体积占正方体体积的73.8％
【例6】★★有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
【解析】 解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面． 【解析】涂漆面积：
＝3.14×（18＋60＋20）
＝3.14×98＝307.72（平方厘米）． 答：涂油漆面积是307．72平方厘米．
【例7】★★有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？
【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为
26
6π10π()24π560π18π20π98π307.722
⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．
【小试牛刀】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)
【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为210300
π()122ππ
⨯⨯=
(立方厘米) 当圆柱的高是12厘米时体积为212360
π()102ππ
⨯⨯=
(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360
π
立方厘米．
【例8】★★把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米，底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==(立方厘米)．
【小试牛刀】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方 厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？
【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：()2
3.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)．
【例9】★★如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水?
【解析】设圆锥容器的底面半径为r ，则水面半径为2r ，容器的容积为：21
3
r h π， 水的体积为：2221
111
()3222483
r h r h r h πππ••
==⨯ 说明容器可以装8份3升水，故还能装水：3×(8－1)=21(升)．
1. 在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积。
【解析】提示：大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积增加“小洞内”的4个侧面积．
6个小洞内新增加面积的总和：
1×1×4×6＝24（平方厘米），
原正方体表面积：42×6＝96（平方厘米），
挖洞后木块表面积：96＋24＝120（平方厘米），
体积：43－13×6＝58（立方厘米）．
答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米
2. (2008年第二届两岸四地”华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛)一个圆柱体形状的木棒，沿着底面直径竖直切成两部分．已知这两部分的表面积之和比圆柱体的表面积大2
2008cm，则这个圆柱体木棒的侧面积是________2
cm．(π取3.14)
第2题
【解析】根据题意可知，切开后表面积增加的就是两个长方形纵切面．
设圆柱体底面半径为r，高为h，那么切成的两部分比原来的圆柱题表面积大：
2
222008(cm)
r h
⨯⨯=，所以2
502(cm)
r h
⨯=，所以，圆柱体侧面积为：
2
2π2 3.145023152.56(cm)
r h
⨯⨯⨯=⨯⨯=．
课后作业
3.大、中、小三个正方体形的水缸都盛有1
3
缸水，它们的内边长分别为4分米、3分米、2
分米．把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？
【解】两堆碎石的体积之和：
3分米＝30厘米，2分米＝20厘米，
302×4＋202×11＝8000（立方厘米）．
沉浸在大水缸中水面应升高高度：
4分米＝40厘米，
8000÷402＝5（厘米）．
答：如果沉浸在大水缸中，水面升高5厘米
4. 在一只底面半径为20厘米的圆柱形小桶里，有一半径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中．当钢材从桶里取出后，桶里的水下降了3厘米．求这段钢材的长．
【解析】设这段钢材长为x厘米，则π×202×3＝π×102×x，
∴x＝12厘米．。