6年级-6-立体图形与旋转体综合-难版

第6讲

立体图形与旋转体综合

在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．

在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。

【例1】★一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．

典型例题

知识梳理

【解析】一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C ＝12.56÷2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了． 解答过程：底面周长（也是圆柱体的高）：12.56÷2＝6.28（厘米）． 侧面积：6.28×6.28＝39.4384（平方厘米） 两个底面积（取π＝3.14）：

表面积：39.4384＋6.28＝45.7184（平方厘米）

【例2】★★如图1，ABCD 是直角梯形(单位：厘米，3π=) ，

（1）以AB 为轴并将梯形绕这个轴旋转一周，得到一个旋转体，它的体积是多少? （2）如果以CD 为轴，并将梯形绕这个轴旋转一周，得到的旋转体体积是多少?

【解析】（1）如图2所示，所求体积可看作BCDE 绕AB 的旋转体与△AED 绕AB 的旋转体之和，即221

33361083

πππ⨯+⨯⨯

==(立方厘米)． （2）如图3所示，所求体积可看作ABCE 绕EC 的旋转体与△ADE 绕EC 的旋转体之差，即

221

363451353

πππ⨯⨯-⨯⨯==(立方厘米)．

【小试牛刀】（05年华罗庚金杯）一个直角三角形三条边的长度是3，4，5，如果以边长4为轴旋转一周，得到一个立体．求这个立体的体积．（对照例题11）

【解析】 以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是3，由圆锥的体积公式得：

21

34123

V ππ=⨯⨯=

【例3】★★一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？

【解析】按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆柱体，这时圆柱的高等于

1

0.60.23

⨯=（米）那么原来两个形体变成一个圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．

圆锥体化为圆柱体的高：10.60.23

⨯= 底面积：

体积：7.065×（2＋0.2）＝15.543（立方米）．

【例4】★★皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米．皮球有 2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？

【解析】皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．

球的体积：

水桶的底面积：π×302＝900π（平方厘米）．

【例5】★★下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．

【解析】直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．

正方体体积：63＝216（立方厘米）

剩下体积占正方体的百分之几．（216－56.52）÷216≈0.738≈73.8％．

答：剩下体积占正方体体积的73.8％

【例6】★★有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？

【解析】 解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面． 【解析】涂漆面积：

＝3.14×（18＋60＋20）

＝3.14×98＝307.72（平方厘米）． 答：涂油漆面积是307．72平方厘米．

【例7】★★有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

【解析】涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为

26

6π10π()24π560π18π20π98π307.722

⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．

【小试牛刀】(第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)

【解析】当圆柱的高是12厘米时体积为210300

π()122ππ

⨯⨯=

(立方厘米) 当圆柱的高是12厘米时体积为212360

π()102ππ

⨯⨯=

(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360

π

立方厘米．

【例8】★★把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？ 【解析】沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少的部分为减掉的2厘米圆柱体的侧面积，所以原来圆柱体的底面周长为12.562 6.28÷=厘米，底面半径为6.28 3.1421÷÷=厘米，所以原来的圆柱体的体积是2π188π25.12⨯⨯==(立方厘米)．

【小试牛刀】一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方 厘米．求这个圆柱体的表面积是多少？

【解析】圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．高缩短4厘米，表面积就减少50.24平方厘米．阴影部分的面积为圆柱体表面积减少部分，值是50.24平方厘米，所以底面周长是50.24412.56÷=(厘米)，侧面积是：12.5612.56157.7536⨯=(平方厘米)，两个底面积是：()2

3.1412.56 3.142225.12⨯÷÷⨯=(平方厘米)．所以表面积为：157.753625.12182.8736+=(平方厘米)．

【例9】★★如图，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水?

【解析】设圆锥容器的底面半径为r ，则水面半径为2r ，容器的容积为：21

3

r h π， 水的体积为：2221

111

()3222483

r h r h r h πππ••

==⨯ 说明容器可以装8份3升水，故还能装水：3×(8－1)=21(升)．