三角恒等变换知识点加练习汇总
专题45 三角恒等变换知识点与典型例题(原卷版)
专题45 三角恒等变换知识点与典型例题（原卷版）同角三角函数基本关系式22sin cos 1αα+=sin tan tan cot 1cos ααααα=⇒= ααααcos sin 21)cos (sin 2+=+ ααααcos sin 21)cos (sin 2-=-(ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin •，三式之间可以互相表示) 1．已知tan 2α=， 求：（1）sin 2cos sin cos αααα+-；（2）221sin sin cos 2cos αααα+-.2．已知α是第二象限，且1tan 3α=-，计算： （1）sin()25cos sin()πααπα+--； （2）2sin cos()cos .απαα++1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式： (1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ (2）βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (3）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ (4）βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- (5）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-(6）βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+3．计算sin 72cos18sin18cos72+ 4．化简，求值： （1）已知3tan 4α=，求tan()4πα+的值； （2）sin 20sin 40cos20cos40︒︒-︒︒.5．已知1tan 3α=-，cos β=，,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦παπ，0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦πβ. （1）求tan β的值；（2）求tan()αβ+的值，并求出αβ+的值. 6．计算:(1)sin14cos16sin76cos74︒︒+︒︒；(2)()()()()sin 54cos 36cos 54sin 36x x x x ︒-︒++︒-︒+. 7．求值：()()()()cos 27cos 18sin 27sin 18x x x x ︒︒︒︒+-++-. 8．求下列各式的值.（1）22cos 22.5sin 22.5︒︒-； （2）cos70sin80sin70sin10︒︒︒︒+. 9．求下列各式的值.（1）cos80cos20sin80sin 20︒︒︒︒+； （2）cos10cos20sin10sin20︒︒︒︒-. 10．化简下列各式（1）()()()()cos 27cos 33sin 27sin 33αααα︒︒︒︒+--+- （2）()()()()sin 15cos 15cos 15sin 15αααα︒︒︒︒-++-+ 11．求值：（1）cos80cos20sin100sin 20︒︒︒︒⋅+； （2）cos160cos25sin 20sin 25︒︒︒︒+⋅； （3）()()sin75cos75sin75cos75︒︒︒︒+⋅-.12．已知tan 2x =，tan 5y =，求tan()x y +，tan()x y -．(7) sin cos a b αα+)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决定,sin tan baϕϕϕ===，该法也叫合一变形).7，辅角公式)sin(cos sin 22ϕθθθ++=+b a b a 其中2222sin ,cos b a b b a a +=+=ϕϕ，比如：xx y cos 3sin +=)cos )3(13sin )3(11()3(1222222x x ++++=)cos 23sin 21(2x x +=)3sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x10.常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=︒=︒=，3215tan -=︒, 3275tan +=︒, (8))4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4tan(tan 1tan 1θπθθ-=+-13．化简：（1cos x x +； （2cos )x x -.14．已知函数()cos f x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在区间π,π6⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.”2. 二倍角公式（1）a a a cos sin 22sin =（2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a（3）aaa 2tan 1tan 22tan -=3. 降幂公式：（1）22cos 1cos 2a a +=（2） 22cos 1sin 2a a -=4. 升幂公式（1）2cos 2cos 12αα=+ （2）2sin2cos 12αα=-（3）2)2cos 2(sin sin 1ααα±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2cos2sin 2sin ααα=5. 半角公式（符号的选择由2θ所在的象限确定） （1）2cos 12sinaa -±=， （2）2cos 12cos a a +±= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan-=+=+-±=6. 万能公式:（1）2tan 12tan2sin 2ααα+=, （2）2tan 12tan 1cos 22ααα+-=, （3）.2tan 12tan2tan 2ααα-=15．已知4sin 5α,且α是第二象限角. (1)求sin 2α的值;(2)求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 16．已知1tan 23α=，求tan α的值. 17．求下列函数的最小正周期 (1)2cos2x y =; (2)22sin y x =.18．已知函数22()(sin cos )2cos f x x x x =++. （1）求函数()y f x =周期及其单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()y f x =的最大值和最小值.19．已知函数()f x a b =⋅，其中向量()2cos ,1a x =，()cos 2b x x =，x ∈R . （1）求函数()f x 的最小正周期. （2）若,04x π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，求()f x 的值域.20．已知函数()2cos cos 1x x x f x =+，x ∈R . （1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y f x =的值域.走进高考一、单选题1．（2020年全国卷（理科）新课标Ⅰ）已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）A ．53B ．23 C ．13D ．592．（2020年全国卷（理科）新课标Ⅲ） 已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ） A ．–2B ．–1C ．1D ．23．（2018年全国卷理数全国卷II ）若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．4πB ．2π C ．34π D ．π4．（2018年全国卷Ⅲ） 若1sin 3α=，则cos2α= A ．89 B ．79C ．79-D ．89-5．（2016新课标全国Ⅱ理科）若cos (−α)=，则sin 2α=A ．B ．C ．−D ．−6．（2016年全国理科数学新课标3卷）若 ，则（ ）A ．B ．C ．1D ．7．（2019年全国卷（理科）新课标Ⅱ） 已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15B ．55 C ．33D ．2558．（2014年全国理科数学新课标Ⅰ）设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则（ ） A ．32παβ-=B ．32παβ+=C ．22παβ-=D ．22παβ+=9．(2015新课标全国Ⅰ理科)o o o o sin 20cos10cos160sin10-= A ．32- B ．32C ．12-D ．12二、填空题10（2020年全国卷（理科）新课标Ⅲ） 关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 11．（2018年全国理科数学新课标I 卷）已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．12．（2018年全国理科数学新课标2卷）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．13．（2016年全国理科数学新课标3卷） 函数的图象可由函数的图象至少向右平移 个单位长度得到．14．（2014年全国理科数学全国Ⅱ卷）函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.。
三角恒等变换知识点和例题
3 答案： π 3
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球的体积、表面积公式
4 3 V R 3 S 4R 2
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1.（2012·广东高考）某几何体的三视图如图所示，
它的体积为（ C ）
A.72π B.48π
C.30π
D.24π
答案：9
27
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4.已知过球面上三点 A, B, C 的截面和球心的距离为球 半径的一半，且 AB BC CA 2 ，求球的表面积.
【解析】设截面圆心为 O ,连接 OA ,
设球半径为 R ， 则
2 3 2 3 O A = × ×2 = . 3 2 3
棱台（圆台）的体积公式
1 V (S SS S)h， 3 其中 S , S 分别为上、下底面面积，h为棱台
（圆台）的高．
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1 63 2
1.（2012·新课标全国卷）如图所示：
网格纸上小正方形的边长为1，
粗线画出的是某几何体的三视 图，则此几何体的体积为（ B ）
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正方体和长方体的展开图与其表面积的关系
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棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 多面体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表 面积？
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h
A.6
C.12
B.9
D.18
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高考数学专题复习《三角恒等变换》知识梳理及典型例题讲解课件(含答案)
√
（2）若 ，则( )
A. B. C. D.
解：由已知，得 ,即 ，即 ， .故选C.
√
变式2.（1） 已知 ，则 ( )
A. B. C. D.
解：由 ，可得 或 （舍去），可得 .故选D.
A. B. C. 或 D.
解：因为 , 是方程 的两根，所以 , ，所以 ,又 , ，所以 , , 因为 , ，所以 , ， ，所以
√
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
（1）两角和与差的正弦、余弦和正切公式（和角、差角公式） _____________________ _____________________ _____________________ ____________________
4.3 三角恒等变换（2023.10.17）
（2） , , .
（3） , , , .
考点一 和、差、倍角公式的简单应用
例1【多选题】下列各式的值小于1的是 ( )
A. B. C. D.
√
√
√
解：对于A， ，A符合题意.对于B， ，故B符合题意.对于C， ，故C不符合题意.对于D， .因为 ,所以 , 故D符合题意. 故选ABD.
（2）升幂公式 _ _______. _ ______. _ ______________. _ ______________.
（3）辅助角公式 ， 其中 _ ______， _______，或 __.
【常用结论】
3.常用的拆角、拼角技巧
（1） .
√
（2）（2023届辽宁东北育才学校一模）若 ， ，且 ，则下列结论正确的是( )
高中 简单的三角恒等变换 知识点+例题
教学内容
1．公式的常见变形
（1）tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
（2）sin2α＝ ；cos2α＝ ；sinαcosα＝ sin 2α.
（3）1＋cosα＝2cos2 ；1－cosα＝2sin2 ；
（1）求f( )的值；
（2）设α，β∈[0， ]，f(3α＋ )＝ ，f(3β＋2π)＝ ，求cos(α＋β)的值．
解(1)由题设知：
f( )＝2sin( － )＝2sin ＝ .
(2)由题设知： ＝f(3α＋ )＝2sinα，
＝f(3β＋2π)＝2sin(β＋ )＝2cosβ，
即sinα＝ ，cosβ＝ ，
又α，β∈[0， ]，∴cosα＝ ，sinβ＝ ，
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝ × － × ＝ .
11．cos 20°cos 40°cos 60°·cos 80°等于_________.
答案
解析原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
12．定义运算 ＝ad－bc，若cosα＝ ， ＝ ，0<β<α< ，则β等于______.
答案
解析 方法一因为y＝ ＝ ，
所以令k＝ .又x∈ ，
所以k就是单位圆x2＋y2＝1的左半圆上的动点
P(－sin 2x，cos 2x)与定点Q(0,2)所成直线的斜率．
又kmin＝tan 60°＝ ，所以函数y＝ 的最小值为 .
方法二y＝ ＝ ＝ ＝ tanx＋ .
∵x∈(0， )，∴tanx>0.
∴ tanx＋ ≥2 ＝ .(当tanx＝ ，即x＝ 时取等号)
三角恒等变换知识点加练习汇总
三角恒等变换测试题 _____贺孝轩三角函数1.画一个单位圆，则xy x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式（只要两角之和为/2就行） 3.三角函数间的关系1cos sin 22=+α ⇒ αα22sec 1tan =+， αααcos sin tan =⇒αααcos tan sin ⋅= 4．和差化积βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ， βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±5．二倍角αααcos sin 22sin = ， ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=6.二倍角扩展 ααcos 12cos 22+= ， ααcos 12sin 22-= ， 2)2cos 2(sinsin 1ααα±=±7.)sin(cos sin 22θαβα++=+b a b a ，其中22cos ba a +=θ，22sin ba b +=θ8.半角公式9凡正余弦的次数为二，均可以化成正切函数来表示如：1tan 1tan cos sin cos cos sin cos cos sin 22222++=++=+ααααααααα第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案代号填在答题卡上）1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （ ）A.1325 B. 1327 C. 26217 D. 2627 2.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ（ ） A. 23-B. 21- C. 21 D. 234.=-+0000tan50tan703tan50tan70 （ ）A.3 B.33 C. 33- D. 3- 5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.21 6.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A.x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103- 8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A. 6π-B.6π C. 65π D. 65π-9. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ）A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910. 已知cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．49D ．1 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos11cosπππππ（ ）A. 521B. 421 C. 1 D. 012. 函数sin 22x xy =+的图像的一条对称轴方程是 （ ）A ．x =113πB ．x =53πC ．53x π=-D ．3x π=- 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15.若542cos ,532sin-==αα，则角α的终边在 象限． 16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ．※知识回顾：1.和差公式cos()αβ±= sin()αβ±= tan()αβ±=2.倍角公式sin 2α=cos2α= = = tan 2α= 3.降幂公式2cos α= ，2sin α= .4.辅助角公式sin cos a x b x += ，sin cos ϕϕ==其中三角恒等变换测试题三．解答题（共5个小题，满分48分）17．（本小题8分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（本小题10分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（本小题10分）已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值． 20. （本小题10分）.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－135，则sin α=21．（本小题满分10分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域 【达标检测】1. sin cos sin cos 15151515o oo o+-的值为（ ）A.33B.264+ C.264-D. -32. 若αβπ、，∈⎛⎝⎫⎭⎪02，且tan tan αβ==4317，，则αβ-的值是（ ）A.π3B.π4C.π6D.π83. 函数y x x x =82sin cos cos 的周期为T ，最大值为A ，则（ ） A. T A ==π，4 B. T A ==π24，C. T A ==π，2D. T A ==π22，4. 已知111cos sin αα-=，则sin 2α的值为（ ）A. 21-B. 12-C. 222-D. 222-5. 已知tan θ=13，则cos sin 2122θθ+（ ）A. -65B. -45C. 45D.656. 设f x x (tan )tan =2，则f ()2=（ ）A. 4B.45C. -23D. -437. 2242-+sin cos 的值是（ ）A. sin 2B. -cos2C. -32cosD. 32cos9. 已知：()3250cos cos αββ++=，则()tan tan αβα+的值为（ ）A. ±4B. 4C. -4D. 11．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cotA B C A B C A B C+++===.、 1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有（ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B（ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m的值为（ ）7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ；③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).1、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =．设内角B x =，周长为y ．（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2、在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A=sin 2B =，求::a b c3、在ABC 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+， （1）求A 的大小；（2）若9a b c =+=，求b 和c 的值。
三角恒等变换知识点及题型归纳总结
三角恒等变换知识点及题型归纳总结(共8页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-三角恒等变换知识点及题型归纳总结知识点精讲常用三角恒等变形公式 和角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ+=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-差角公式sin()sin cos sin cos αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+倍角公式sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===半角公式sin 22αα== sin 1cos tan.21cos sin a αααα-==+辅助角公式sin cos ),tan (0),ba b ab aαααϕϕ+=+=≠角ϕ的终边过点(,)a b ，特殊地，若sin cos a b αα+=或tan .b aα= 常用的几个公式sin cos );4πααα±=±sin 2sin();3πααα±=±cos 2sin();6πααα±=±题型归纳总结题型1 两角和与差公式的证明 题型归纳及思路提示思路提示推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路. 例 证明(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ++=-(2)用C αβ+证明:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ++=+ (3)用(1)(2)证明tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ+++=-解析(1)证法一：如图4－32（a ）所示，设角,αβ-的终边交单位圆于12(cos .sin ),(cos(),sin()),P P ααββ--,由余弦定理得2221212122()PP OP OP OP OP cos αβ=+-⋅+22[cos cos()][sin sin()]22cos()αβαβαβ⇒--+--=-+22(cos cos sin sin )22cos()αβαβαβ⇒--=-+:cos()cos cos sin sin .C αβαβαβαβ+⇒+=-证法二：利用两点间的距离公式.如图4－32（b ）所示12(1,0),(cos ,sin ),(cos(),sin(),A P P αααβαβ++3(cos(),sin()),P ββ--由231;OAP OP P ∆≅∆得，213.AP PP =故2222(1cos())(0sin())[cos()cos ][sin()sin ],αβαββαβα-++-+=--+--即222222[1cos()]sin ()cos cos 2cos cos sin sin 2sin sin αβαββααββααβ-+++=+-+++化简得cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-(2)sin()[()][()]22cos cos ππαβαβαβ+=+-=+-cos()sin sin()22cos ππαβαβ=---sin sin cos cos αβαβ=+:sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ+⇒+=+ sin(sin cos cos sin (3)tan()cos()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβαβ+++==+-sin cos cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin cos cos cos cos αβαβαβαβαβαβαβαβ+-tan tan :tan().1tan tan T αβαβαβαβ++⇒+=- 变式１ 证明：(1):cos()cos cos sin sin ;C αβαβαβαβ--=+ (2):sin()sin cos sin S cos αβαβαβαβ--=- tan tan (3):tan().1tan tan T αβαβαβαβ---=+题型2 化简求值 思路提示三角函数的求值问题常见的题型有：给式求值、给值求值、给值求角等.(1)给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式.(3)给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角. 一、化同角同函例 已知3cos()45x π+=则2sin 22sin ()1tan x xx -=-7.25A 12.25B 11.25C 18.25D 解析 解法一：化简所求式22sin 22sin 2sin cos 2sin sin 1tan 1cos x x x x xx x x--=--cos 2sin (cos sin )2sin cos .cos sin xx x x x x x x=-=-由3cos()45x π+=得3,225x x -=即cos sin 5x x -=两边平方得 2218cos sin 2sin cos ,25x x x x +-=即1812sin cos .25x x -= 所以72sin cos .25x x =故选Ａ. 解法二：化简所求式2sin 22sin 2sin cos sin 21tan x xx x xx-==-27sin[2()]cos 2()12cos ().424425x x x ππππ=+-=-+=-+=故选Ａ. 评注 解法一运用了由未知到已知，单方向的转化化归思想求解；解法二运用了化未知为已知，目标意识强烈的构造法求解，从复杂度来讲，一般情况下采用构造法较为简单. 变式1 若13cos(),cos(),55αβαβ+=-=则tan tan _______.αβ=变式2 若4cos 5α=-，α是第三象限角，则1tan2()1tan 2αα+=- 1.2A - 1.2B .2C .2D -变式3 （2012江西理４）若1tan 4tan θθ+=，则sin 2().θ= 1.5A 1.4B 1.3C 1.2D 二、建立已知角与未知角的联系（通过凑配角建立）将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角的相互关系，并根据这种关系来选择公式.常见的角的变换有：和、差角，辅助角，倍角，降幂，诱导等. 1.和、差角变换如α可变为()αββ+-；2α可变为()()αβαβ++-；2αβ-可变为()αβα-+ 例 若330,cos ,sin(),255παβπααβ<<<<=+=-则cos β的值为（ ）. .1A - .1B -或725 24.25C - 24.25D ±分析 建立未知角与已知角的联系，().βαβα=+-解析 解法一：cos cos[()]cos()cos sin()sin .βαβααβααβα=+-=+++因为3(,)22ππαβ+∈所以，则 4cos(),(0,),sin 0,52παβαα+=-∈>4sin 5,α=433424cos ()().555525β=-⨯+-⨯=-解法二：因为(,)2πβπ∈，所示cos (1,0).β∈-故选Ｃ.评注 利用和、差角公式来建立已知角与未知角的联系，常利用以下技巧：();();()()βαβαβααβαβαγβγ=+-=--+=-++等.解题时，要注意根据已知角的范围来确定未知角的范围，从而确定所求三角式的符号. 变式1已知sin ),(0,)2πααβαβ=-=∈则().β=.3B π .4C π .6D π变式2 若3335(,),(0,),cos(),sin()44445413πππππαβαβ∈∈-=+=，则 sin()______.αβ+=二、辅助角公式变换 例已知cos()sin 65παα-+=，则7sin()6πα+的值为（ ）..5A -.5B 4.5C - 4.5D分析 将已知式化简，找到与未知式的联系. 解析由题意，cos cossin sinsin 66ππααα++=3cos sin )2265πααα⇒+=+=，得4sin().65πα+= 所以74sin()sin[()]sin().6665πππαπαα+=++=-+=-故选Ｃ. 变式1设6sin14cos14,sin16cos16,,2b c α=+=+=则a,b,c 的大小关系为（ ）. <b<c <c<a <c<b <a<c变式2设sin15cos15,sin17cos17,b α=+=+则下列各式中正确的是（ ）.22.2a b A a b +<< 22.2a b B a b +<<5.12A π22.2a b C b a +<< 22.2a b D b a +<<3.倍角，降幂（次）变换例（2012大纲全国理7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos 2().α=.A .B - C D分析 利用同角三角函数的基本关系式及二倍角公式求解.解析 解法一：；因为sin cos αα+=所以21(sin cos )3αα+=得22sin cos 3αα=-，即2sin 23α=-.又因为α为第二象限角且sin cos 0αα+=>，则3(2,2)().24k k k Z ππαππ∈++∈所以32(4,4)().2k k k Z παπππ∈++∈故2α为第三象限角，cos 2α==.故选Ａ.解法二：由α为第二象限角，得cos 0,sin 0αα<>，cos sin 0,αα-<且2(cos sin )12sin cos αααα-=-，又sin cos αα+=，则 21(sin cos )12sin cos 3αααα+=+=22sin cos 3αα⇒=-，得25(cos sin )3αα-=，所以cos sin 3αα-=-22cos2cos sin (cos sin )(cos sin )ααααααα=-=+-(==故选Ａ. 变式1 若1sin()63πα-=则2cos()().3πα+= 7.9A - 1.3B - 1.3C 7.9D变式2设α为锐角，若4cos()65πα+=，则7sin(2)12πα+的值省为 .变式3已知312sin(2),sin 513αββ-==-且(,),(,0),22ππαπβ∈∈-求sin α值. 变式4若31sin ,(,),tan()522πααππβ=∈-=，则tan(2)().αβ-= 24.7A - 7.24B - 24.7C 7.24D 变式5已知1sin cos 2αα=+，且(0.)2πα∈，则cos 2_____.sin()4απα=-4.诱导变换例若(sin )3cos 2f x x =-，则(cos )().f x =.3cos 2A x - .3sin 2B x - .3cos 2C x + .3sin 2D x +分析 化同函(cos )(sin())f x f =以便利用已知条件. 解析 解法一：(cos )[sin()]3cos 2()3cos(2)3cos 2.22f x f x x x x πππ=+=-+=-+=+故选Ｃ.解法二：22(sin )3cos23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+则2()22,[1,1]f x x x =+∈-故22(cos )2cos 22cos 13cos2 3.f x x x x =+=-+=+故选Ｃ.变式1α是第二象限角，4tan(2)3πα+=-，则tan _______.α= 变式2若5sin(),(0,)4132ππαα-=∈，则cos 2_____.cos()4απα=+最有效训练题1.已知函数()sin ,f x x x =设(),(),()763a fb fc f πππ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）.<b<c B. c<a<b <a<c <c<a2.若1sin()34πα+=，则cos(2)().3πα-= 1.4B - 7.8C - 7.8D3.若1tan 2α=，则cos(2)().2πα+= 4.5A 4.5B - 1.2C 1.2D - 4.已知11tan(),tan 27αββ-==-，且,(0,)αβπ∈，则2().αβ-= .4A π 3.4B π- 5.,44C ππ 35.,,444D πππ-1.4A5.函数sin()(0)y x πϕϕ=+>的部分图像如图4－33所示，设Ｐ是图像的最高点，Ａ，Ｂ是图像与x 轴的交点，则tan ().APB ∠=Ａ.10 Ｂ.8 8.7C 4.7D6.函数sin 3cos 4x y x -=+的最大值是（ ）.1.2A -1226.15B -- 4.3C - 1226.15D -+ 7.已知tan()34πθ+=，则2sin 22cos ______.θθ-=8.已知,x y 满足1sin sin 31cos cos 5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，则cos()______.x y += 9.23tan101________.(4cos 102)sin10+=- 10.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα<<<，则tan 2____,____.αβ== 11.已知函数2()2cos 3sin .2x f x x =- （1）求函数()f x 的最小正周期和值域； （2）若α是第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值.12.已知三点3(3,0),(0,3),(cos ,sin ),(,).22A B C ππααα∈（1）若AC BC =，求角α；（2）若1AC BC ⋅=-，求22sin sin 21tan ααα++的值.。
三角恒等变换(知识、题型、训练及答案)
三角恒等变换知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.tan 2α＝2tan α1－tan α. 3.辅助角公式函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ).（其中，ab =ϕtan ）注意：1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础自检测1.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.792.若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.453.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.4.sin 347°cos 148°＋sin 77°·cos 58°＝________.题型解析题型一 三角函数式的化简【例1】(1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.【训练1】 cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β)B.sin αC.cos(α＋2β)D.cos α题型二 三角函数式的求值【例2】(1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.(2)若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ3＝14，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ23＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.【训练2】 (1)已知x ∈(0，π)，且cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22πx ＝sin 2x ，则tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πx ＝( )A.13B.－13C.3D.－3(2)已知α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πα＝－23，则cos α＝________.题型三 三角变换的简单应用【例3】 △ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量.(1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B 2的最大值.【训练3】已知函数f (x )＝3cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ时，f (x )≥－12.答案诊 断 自 测1.A2.D3.34.22【例1】 (1)sin(α＋γ) (2)cos α 【训练1】 D 【例2】(1)6 (2)－78 (3)－3π4【训练2】(1)A (2)15－26【例3】解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A－cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＋A >π2，所以π6<B <π2， 所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6， 所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值， 此时B ＝π3，y max ＝2.【训练3】 (1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6， ∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12. ∴f (x )≥－12成立.。
(完整版)三角恒等变换知识总结及基础训练
第四讲 三角恒等变形一、三角恒等变形知识点总结1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。
（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
三角恒等变换知识点总结
第三章 三角恒等变换一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 5．（1）积化和差公式sin α·cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)] cos α·sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)] cos α·cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)] sin α·sin β= -21[cos(α+β)-cos(α-β)]（2）和差化积公式 sin α+sin β=2cos2sin2βαβα-+sin α-sin β=2sin2cos2βαβα-+ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=cos α+cos β=2cos2cos2βαβα-+ cos α-cos β= -2sin2sin2βαβα-+tan α+ cot α=ααα2sin 2cos sin 1=⋅ tan α- cot α= -2cot2α 1+cos α=2cos 22α 1-cos α=2sin22α1±sin α=(2cos2sinαα±)26。
简单的三角恒等变换习题
简单的三角恒等变换一、知识清单1．;__________2sin =α2．______;_________________________________2cos ===α3．⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠=Z k ,k 4______________2tan ππαα 4．.________________sin =α25．.________________cos =α2二、同步练习1.求证（1）cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin2α. （2） αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a（3）2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x （4）4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ（5）在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．2.化简求值（1）θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ （2）设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α（3）已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.求tan α及sin2α－cos 2α1＋cos2α的值．3.已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值，并指出此时x 的值.4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形5.若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( ) A ．±173 B ．－173 C.13 D.1736.已知a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(sin x ，cos x )，记f (x )＝a ·b ，要得到函数y ＝sin 4x －cos 4x 的图象，只需将函数y ＝f (x )的图象( )A ．向左平移π2个单位长度B ．向左平移π4个单位长度 C ．向右平移π2个单位长度 D ．向右平移π4个单位长度 7.已知函数 f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；② f (x )的最小正周期是2π；③ f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④ f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，其中为真命题的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．③④8.若函数 f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π2的奇函数 9.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 10.已知函数. (1) 求的最小正周期. (2) 求的单调递增区间11.已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴；（2）若，求的值域.12.(12分)如图, 现要在一块半径为1m, 圆心角为的扇形纸报AOB上剪出一个平行四边形MNPQ, 使点P在弧AB上, 点Q在OA上, 点M、N在OB上, 设∠BOP＝, 平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角.13.（本小题满分10分）已知函数，求：（I）的最小正周期；（Ⅱ）的最大值与最小值，以及相应的.。
最新数学必修四第三章三角恒等变换知识点总结与测试
第三章 三角恒等变换
一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ cos
cos cos sin sin ；
⑵ cos
cos cos sin sin ；
⑶ sin
sin cos cos sin ；
⑷ sin
sin cos cos sin ；
⑸ tan ⑹ tan
tan tan 1 tan tan
tan tan 1 tan tan
8 、若 a=(-3,4),b=(1,0),c=(0,1), 则 cos<a,b>=__Байду номын сангаас___； a·(b+c)=
_______
9、设向量
3 a＝( 2，sin
1 θ) ，b＝(cos θ，3) 其中
θ∈(0
π ，2
)
，若
a∥b，
则 θ= ______ __ 。
已知 cos2
10、
2 则 sin 4 3
tan tan tan tan tan tan
二、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin 2 2sin cos 1 sin 2 sin 2 cos2 2 sin cos (sin
⑵ cos2 cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2
1 cos
2cos 2 ，1 cos 2
cos2
cos2 2
高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化 等。
必修四第三章测试题
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一、选择题
1、sin
2π 12
－
cos
2π12的值为
(
)
1
1
A．－ 2 B. 2
3 C．－ 2
三角恒等变换各种题型归纳分析
三角恒等变换各种题型归纳分析三角恒等变换基础知识及题型分类汇总一、知识点：一）公式回顾：cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta $，简记为C（$\alpha\pm\beta$）sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta $，简记为S（$\alpha\pm\beta$）sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$，简记为S2cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$，简记为C2tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$，其中$\alpha\neq\frac{k\pi}{2}$，简记为T2二）公式的变式1\pm\cos2\alpha=2\cos^2\alpha$，简记为1±C2frac{1\pm\cos\alpha}{2}=\sin^2\frac{\alpha}{2}$，简记为S2/2sin\alpha\pm\sin\beta=2\sin\frac{\alpha\pm\beta}{2}\cos\frac {\alpha\mp\beta}{2}$，简记为S±Scos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\al pha-\beta}{2}$，简记为C+Ccos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$，简记为C-Ctan\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$，简记为T1辅助角（合一）公式：begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\\\cos(-\alpha)=\cos\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha\\\cos(\frac {\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha\end{cases}$begin{cases}\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\\\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\end{cases}$二典例剖析：基础题型例1：已知$\sin2\alpha=\frac{5\pi}{13}$，$\alpha\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$，求$\sin4\alpha$，$\cos4\alpha$，$\tan4\alpha$。
三角函数恒等变换知识点总结
三角函数 三角恒等变换知识点总结一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。
若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或与α角终边在同一条直线上的角的集合： ； 与α角终边关于x 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于y 轴对称的角的集合： ； 与α角终边关于x y =轴对称的角的集合： ；②一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ； 终边在二、四象限的平分线上角的集合： ； 终边在四个象限的平分线上角的集合： ； （3）区间角的表示：①象限角：第一象限角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；②写出图中所表示的区间角：（4）正确理解角：要正确理解“oo90~0间的角”= ；“第一象限的角”= ；“锐角”= ； “小于o90的角”= ； （5）由α的终边所在的象限，通过 来判断2α所在的象限。
来判断3α所在的象限 （6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一已知角α的弧度数的绝对值rl =||α，其中l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。
注意钟表指针所转过的角是负角。
（7）弧长公式： ；半径公式： ；扇形面积公式： ；二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；=αcot ；=αsec ；=αcsc ；如：角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。
注意r>0 （2）在图中画出角α的正弦线、余弦线、正切线；比较)2,0(π∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。
高中数学必修一三角恒等变换概念知识点总结及练习题
高中数学必修一三角恒等变换概念知识点总结及练习题本文将总结高中数学必修一中与三角恒等变换相关的概念知识点，并提供一些相关练题供学生练。
三角恒等变换的概念三角恒等变换是指对三角函数中的角度进行等价变换，得到相等的结果。
常见的三角恒等变换有以下几种：1. 反函数关系：正弦和余弦的反函数关系为：$$\sin(\theta) = \cos(\frac{\pi}{2}-\theta)\quad \cos(\theta) =\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)$$正切和余切的反函数关系为：$$\tan(\theta) = \cot(\frac{\pi}{2}-\theta)\quad \cot(\theta) =\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)$$2. 二倍角公式：正弦和余弦的二倍角公式为：$$\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$$$$\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$$正切的二倍角公式为：$$\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}$$3. 半角公式：正弦和余弦的半角公式为：$$\sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}}$$ $$\cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}$$ 正切的半角公式为：$$\tan(\frac{\theta}{2}) = \frac{1-\cos(\theta)}{\sin(\theta)}$$练题1. 已知 $\sin(\alpha) = \frac{3}{5}$，求 $\cos(\alpha)$ 的值。
2. 求证 $\cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = \cos(2\theta)$。
三角函数恒等变换知识点和习题(含答案)教师版
三角函数恒等变换知识点和习题（含详解答案）一．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±； βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m 。
2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。
3．半角公式2cos 12sinαα-±=2cos 12cosαα+±=αααcos 1cos 12tan+-±=（αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=）4.（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。
（αα2cos 1sin22-= αα2cos 1cos 22+=）（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中5．三角函数式的化简、求值、证明（1）三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
（2）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。
（3）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
二．典例解析题型1：巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），例1：（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：322）； （2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）；（3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）题型2：三角函数名互化(切化弦)例2（1）求值sin 50(1)o o（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）题型3：公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。
《三角恒等变换》知识点及常见题型总结
简单的三角恒等变换一、考点、热点回顾模块一、两角和与差的三角函数要点一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-要点二、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路①巧变角：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等②三角函数名互化：切割化弦③公式变形使用：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±， 1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sinα·cosα=（sinα±cosα）2 ④三角函数次数的降升：降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=；升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-= ⑤常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+tan sin 42ππ===等模块二、简单的三角恒等变换 要点三、半角公式：sin α2＝cos 2α= tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-=+ 要点四、三角函数的积化和差公式1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++-1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+--1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++-1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--记忆口诀：前角用和后角差，正余二分正弦和，余正二分正弦差，余余二分余弦和，正正负半余弦差。
2023高中数学三角恒等变换必考知识点归纳
(每日一练)2023高中数学三角恒等变换必考知识点归纳单选题1、若cosα=13，则cos2α=（ ）A ．−79B ．−89C ．79D ．89 答案：A解析：根据二倍角余弦公式，代入数据即可得答案.由二倍角公式得cos2α=2cos 2α−1=2×19−1=−79，故选：A小提示：本题考查二倍角公式的应用，属基础题.2、函数f(x)=sin x −cos (x +π6)的值域为（ ）A ．[-2，2]B ．[−√3,√3]C ．[-1，1]D ．[−√32,√32] 答案：B解析：将f(x)=sin x −cos (x +π6)展开重新整理得到√3sin(x −π6)，求出值域即可f(x)=sin x-cos(x+π6)=sin x-√32cos x+12sin x=32sin x-√32cos x=√3sin(x−π6)，所以函数f(x)的值域为[−√3,√3]故选：B3、函数f(x)=2sin(x+π4)+cos2x的最大值为（）A．1+√2B．3√32C．2√2D．3答案：B解析：利用诱导公式及二倍角公式可得f(x)=2sin(x+π4)+sin2(x+π4)，令θ=x+π4，将函数转化为f(θ)=2sinθ+sin2θ，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，即可得解；解：因为f(x)=2sin(x+π4)+cos2x所以f(x)=2sin(x+π4)+sin2(x+π4)=2sin(x+π4)+2sin(x+π4)cos(x+π4)令θ=x+π4则f(θ)=2sinθ+2sinθcosθ=2sinθ+sin2θ则f′(θ)=2cosθ+2cos2θ=2(2cos2θ−1)+2cosθ=4cos2θ+2cosθ−2令f′(θ)=0，得cosθ=−1或cosθ=12当−1<cosθ<12时，f′(θ)<0；12<cosθ<1时f′(θ)>0所以当cosθ=12时，f(θ)取得最大值，此时sinθ=√32所以f(x)max=2×√32+2×√32×12=3√32故选：B 小提示：本题考查三角恒等变换及三角函数的性质的应用，解答的关键是利用导数研究函数的单调性从而求出函数的最值．4、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a 2+c 2+ac −b 2=0，则cos 2A 2−√3sin C 2cos C 2的取值范围为（ ）A ．（√34，3√34）B ．(14,34) C ．(34,1]D ．(34,32) 答案：B解析：利用余弦定理求出B 的值，再根据题意利用三角恒等变换和三角函数的图象与性质，即可求得对应的取值范围． 由a 2+c 2+ac −b 2=0，可得a 2+c 2−b 2=−ac ，由余弦定理得cosB =a 2+c 2−b 22ac =−12， 因为B ∈(0,π)，可得B ∈2π3，又由cos 2A 2−√3sin C 2cos C 2=12(cos2+1)−√32sinC =12cosA −√32sin(π3−A)+12 =−14cosA +√34sinA +12=12sin(A −π6)+12，因为0<A <π3，所以−π6<A −π6<π6，所以−12<sin(A −π6)<12， 所以14<12sin(A −π6)+12<34，即cos 2A 2−√3sin C 2cos C 2的取值范围为(14,34).故选：B.5、sin141°cos21°+cos39°sin21°=（ ）A ．−√32B ．−12C ．12D ．√32答案：D解析：直接利用诱导公式及两角和的正弦公式求解.因为sin141°cos21°+cos39°sin21°=sin(180°−39°)cos21°+cos39°sin21°=sin39°cos21°+cos39°sin21°= sin60°=√3,2故选：D。
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三角恒等变换测试题 _____贺孝轩三角函数1.画一个单位圆，则xy x y ===αααtan ,cos ,sin 2.一些诱导公式ααπααπααπtan )tan(,cos )cos(,sin )sin(-=--=-=-ααπααπααπcot )2tan(,sin )2cos(,cos )2sin(=-=-=-⇒（只要两角之和为错误!未找到引用源。
/2就行） 3.三角函数间的关系1cos sin 22=+α ⇒ αα22sec 1tan =+， αααcos sin tan =⇒αααcos tan sin ⋅= 4．和差化积βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ， βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅±=±5．二倍角αααcos sin 22sin = ， ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=ααα2tan 1tan 22tan -=6.二倍角扩展 ααcos 12cos 22+= ， ααcos 12sin 22-= ， 2)2cos 2(sinsin 1ααα±=± )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα +=±7.)sin(cos sin 22θαβα++=+b a b a ，其中22cos ba a +=θ，22sin ba b +=θa b=θtan8.半角公式θθθθθθθθsin cos 12cos2sin 22sin 22cos2sin 2tan2-===θθθθθθθθcos 1sin 2cos 22cos2sin22cos2sin 2tan2+===9凡正余弦的次数为二，均可以化成正切函数来表示如：1tan 1tan cos sin cos cos sin cos cos sin 22222++=++=+ααααααααα 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案代号填在答题卡上）1.已知)2,23(,1312cos ππαα∈=，则=+)4(cos πα （ ）A.1325 B. 1327 C. 26217 D. 2627 2.若均βα,为锐角，==+=ββααcos ,53)(sin ,552sin 则（ ） A.552 B. 2552 C. 2552552或 D. 552-3.=+-)12sin 12(cos )12sin 12(cos ππππ（ ） A. 23-B. 21- C. 21 D. 23 4.=-+0tan50tan703tan50tan70 （ ）A.3 B.33C. 33-D. 3-5.=⋅+ααααcos2cos cos212sin22（ ） A. αtan B. αtan2 C. 1 D.21 6.已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A.x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ）A ．1010 B ．1010- C ．10103 D ．10103- 8. 若).(),sin(32cos 3sin 3ππϕϕ-∈-=-x x x ，则=ϕ（ ）A. 6π-B. 6πC. 65πD. 65π- 9. 已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ）A ．89- B ．21- C ． 21 D ．8910. 已知cos 23θ=，则44cos sin θθ-的值为（ ）A ．3-B ．3C ．49D ．1 11. 求=115cos 114cos 113cos 112cos11cosπππππ（ ）A. 521B. 421 C. 1 D. 012. 函数sin 22x xy =的图像的一条对称轴方程是 （ ）A ．x =113πB ．x =53π C ．53x π=- D ．3x π=- 二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知βα,为锐角，的值为则βαβα+==,51cos ,101cos ．14．在ABC ∆中，已知tanA ,tanB 是方程23720x x -+=的两个实根，则tan C = ．15.若542cos ,532sin-==αα，则角α的终边在 象限． 16.代数式sin15cos75cos15sin105o o o o += ．※知识回顾：1.和差公式cos()αβ±= sin()αβ±= tan()αβ±=2.倍角公式sin 2α=cos2α= = = tan 2α=3.降幂公式2cos α= ，2sin α= .4.辅助角公式sin cos a x b x += ，sin cos ϕϕ==其中三角恒等变换测试题三．解答题（共5个小题，满分48分）17．（本小题8分）△ABC 中，已知的值求sinC ,135B c ,53cosA ==os ．18．（本小题10分）已知αβαβαπαβπsin2,53)(sin ,1312)(cos ,432求-=+=-<<<．19．（本小题10分）已知α为第二象限角，且 sinα=,415求12cos 2sin )4sin(+++ααπα的值．20. （本小题10分）.已知α∈（0，2π），β∈（2π，π），sin （α+β）=6533，cos β=－135，则sin α=21．（本小题满分10分） 已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域【达标检测】1. sin cos sin cos 15151515o oo o+-的值为（ ）A.33B.264+ C.264-D. -32. 若αβπ、，∈⎛⎝⎫⎭⎪02，且tan tan αβ==4317，，则αβ-的值是（ ） A.π3B.π4C.π6D.π83. 函数y x x x =82sin cos cos 的周期为T ，最大值为A ，则（ ） A. T A ==π，4 B. T A ==π24，C. T A ==π，2D. T A ==π22，4. 已知111cos sin αα-=，则sin 2α的值为（ ）A. 21-B. 12-C. 222-D. 222-5. 已知tan θ=13，则cos sin 2122θθ+（ ）A. -65B. -45C. 45D.656. 设f x x (tan )tan =2，则f ()2=（ ）A. 4B.45C. -23D. -437. 2242-+sin cos 的值是（ ）A. sin 2B. -cos2C. -32cosD. 32cos9. 已知：()3250cos cos αββ++=，则()tan tan αβα+的值为（ ）A. ±4B. 4C. -4D. 11．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===或变形：::sin :sin :sin a b c A B C =. 2．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩或222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩. 3．（1）两类正弦定理解三角形的问题 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 5．解题中利用ABC ∆中A B C π++=，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sin cos ,cos sin ,tan cotA B C A B C A B C+++===.、1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 （ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 （ ）A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中，有（ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinAB ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B（ ）A ．B>60°B ．B ≥60°C ．B<60°D ．B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为 （ ） A ．4B ．2C ．1D ．不定7、如图：D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 （ ）A ．)sin(sin sin αββα-aB ．)cos(sin sin βαβα-⋅aC ．)sin(cos sin αββα-a D ．)cos(sin cos βαβα-a9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形. 11、在ΔABC 中，若S ΔABC =41 (a 2+b 2－c 2),那么角∠C=______. 12、在ΔABC 中，a =5,b = 4,cos(A －B)=3231,则cosC=_______.A BD Cαβ13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC=BA BA cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B).1、在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．2、在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，若1sin ,2A=sin 2B =，求::a b c3、在ABC 中,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边，若2sin (cos cos )3(sin sin )A B C B C +=+， （1）求A 的大小；（2）若9a b c =+=，求b 和c 的值。