3 分形理论及其应用解析

Fractal（分形）一词的由来
据曼德勃罗教授自己说，fractal一词是1975年 夏天的一个夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他儿子 的拉丁文字典时，突然想到的。
取拉丁词fractus之头，撷英文fractional之尾， 就得到了fractal一词。本意是不规则的、破碎的、 分数的。
曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几 里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何 对象。例如，弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山 脉，粗糙不堪的断面，变幻无常的浮云，九曲回 肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花僚乱的满 天繁星等。它们的特点是，极不规则或极不光滑。 直观而粗略地说，这些对象都是分形。
分形人物－ Mandelbrot
分形理论创始人－ 美籍法国数学家 Mandelbrot。
Mandelbrot • 美国IBM（国际商业机器）公司沃特森研
究中心自然科学部高级研究员
• 哈佛大学应用数学兼职教授 • 美国国家科学院院士 • 美国艺术与科学研究员成员 • 欧洲艺术、科学和人文研究院院士。
• 那么，这和分维有什么联系呢？
• 像相对论发展了传统力学一样，分维是对传统维 数概念的进一步发展。它并不和你所了解的分维 知识相冲突，而是一种发展！
一般情况下，分维是一个分数。它反映了一个 分形体的不规则程度，分形维数越大，则分形体 越不规则。
这里我们介绍比较常用的三种分形维数： ➢ 相似维数 ➢ hausdorff 维数 ➢ 盒子维数
• 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是 “不可名状的”或“病态的”，从而很容
易被人们忽视了。显然传统的数学已经无
法来描述它们，从而使经典数学陷入了危 机，于是分形几何学（fractal geometry） 便应运而生。
• 分形几何学是一门以非规则几何形态为研 究对象的几何学。由于不规则现象在自然 界是普遍存在的，因此分形几何又称为
纹身
• 火凤凰的诞生
over
主要内容
• 分形的产生背景？ • 谁是分形理论的创始人？ • 什么是分形？特征？ • 分形可以应用于哪些领域？
合肥工业大学 图像信息处理研究室 Tel:2901393 地址：逸夫楼709 Email:images@ /organ/images
• 问题似乎解决了，但Mandelbrot发现：当 测量单位变小时，所得的长度是无限增大 的。他认为海岸线的长度是不确定的，或 者说，在一定意义上海岸线是无限长的。 为什么？
• 答案也许在于海岸线的极不规则和极不光 滑。此时，长度也许已不能正确概括海岸 线这类不规则图形的特征 。
几种典型的分形图案 KOCH曲线
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
海岸线有多长？
按照传统的科学方法来考虑，这是一个及其简 单的问题，然而曼德勃罗教授在其名为《英国海 岸线有多长？》的文章中作出了令人惊诧的答案：
“英国海岸线的长度是不确定的!其原因在于海 岸线的长度依赖于测量时所使用的尺度。”
• 以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度 将短于1km的迂回曲折都忽略掉了，若以 1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回 曲折，长度将变大，测量单位进一步变小， 测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的 长度将趋近于一个确定值，这个极限值就 是海岸线的长度。
分形的产生背景
• 在经典的欧几里德几何学中，我们可以用 直线、立方体、圆锥、球等这一类规则的 形状去描述诸如道路、建筑物、车轮等等 人造物体，这是极自然的事情。
• 然而在自然界中，却存在着许许多多极其 复杂的形状，如，山不是锥，云不是球， 闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等， 再如宇宙中的点点繁星所构成集合更非经 典集合所能描述的，它们不再具有我们早 已熟知的数学分析中的连续、光滑（可导） 这一基本性质了。
• 你是否听说过世界上存在2.8126维的物体？
• 是的！ • 尽管听起来似乎比较荒诞，但这是事实。
在这个概念的基础上才有分形学的发展。
• 让我们先作一个类比。
• 牛顿的运动学定律可以使人们预测运动物体的运 动情况。但是，当运动物体的速度接近光速时， 这个定理就变得极不准确。
• 于是，在1900初，爱因斯坦发明了相对论。这个 成果发展了牛顿定律。如果你去检验相对论，你 会发现，在低速的情况下，相对论的结果等同于 牛顿定律。
• 相似维数（Similarity Dimension）：
如果某图形是由把全体缩小为1／a的b个相似图形构成的， 那么相似维数Ds可以由下式给出：
DS lnb / ln a
例如，对于koch曲线，可以分成四个部分，每个部分都为 原来的1/3大小，而每一部分又可以同样的细分，则它的相 似维数
Ds(koch) ln 4/ ln 3 1.2619
其实，远远不止这些。从心脏的跳动、 变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象 都具有分形特性。这正是研究分形的意义 所在。
➢标度不变性 scale invariance
指在分形上任选一局部区域，对它进行放大， 这是得到的放大图又会显出原图的形态特性。 因此，对于分形，不论将其放大或缩小，它的 形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会 发生变化，所以标度不变性又称为伸缩不变性。
分形植物
Mandelbrot集
分形维数
• 维数是几何学和空间理论的基本概念。例如一维 的直线，二维的平面，三维的普通空间，都是人 们熟知的。但如果想知道雪花、云彩、山脉、树 枝以及烟圈等等复杂自然结构的维数是多少，用 传统的数学是难以回答的，至多是定性的描述。 而分形理论则给出定量的分析，即可用分维（分 形维数、分数维）加以表征。它不是通常欧氏维 数的简单扩充，而是赋予了许多崭新的内涵。
指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度 或时间尺度来看都是相似的或者某系统或结构的 局域性质或局域结构与整体相似。它不但包括严 格的几何相似性，而且包括通过大量的统计而呈 现出的自相似性。
分形植物
Koch 雪花
Sierpinski 三角形
如果你是个有心人，你一定会发现在自然界 中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相 似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其 它部分都十分形似。
N (r) A/ r2 ~ r2
同样，可以用半径为r的小球来填满一块体积V球体，所需小球的数目 比例于：
V / r3
对于任何严格有确定维数的集合体，若用与它具有相 同维数的“尺”去量度，则可以得到一确定的数值N，若 用低于它维数的“尺”去量它，结果为无穷大；若用高于 它维数的“尺”去量它，结果为零。其数学表达式为
分形应用领域
• 图像处理方面 图像分割 目标识别 图像压缩 图像边缘检测 图像分析、合成
图像分割
灰值图像，尤其是基于自然景观的灰值图像， 可能是由多类具有不同分形性质的物质组成的。 所以我们在对图像提取分数维时一般是按图像 分块进行的，即设定一个窗口，尺寸大小一般 选成8×8或16×16等，提取的是窗口区域的分 数维，窗口的移动是从左向右，从上向下移动。 由分形理论我们可以知道：同一分形物质在不 同区域一般具有相同的维数。所以当我们在同 一图像的不同区域求得分数维以后，就可以基 于此进行分类、分割。
图像压缩
1988年Barnsley采用迭代函数系统IFS和递归迭代函数 系统RIFS方法，对几幅图像进行压缩编码．获得了高达 10000:1的压缩比。
199ft Encarta”。在这张仅能容纳 600M字节的光盘中，收集了一部美国地图册、一本字典、 一段七小时的音响、100个动画节目、800张可以缩放的彩 色地图册，还有7000多张高质量的照片――鲜花、植物、 人物、云、名胜，应有尽有。因而人们形象地称其为“多 媒体百科全书”。Encarta上的所有信息都是通过分形压 缩技术存储的。在海湾战争中，美军使用了分形技术，用 于军事地图的缩放、攻击目标的匹配追踪等。
N (r ) ~ r DH
对上式两边取自然对数，可得：
DH ln N(r) / ln(1/ r)
式中的DH就称为 Hausdorff 维数，它可以是整数，也可以 是分数。它是最古老的也是最重要的一种维数，它对任何 集都有意义。然而，计算 Hausdorff 维数是相当困难的。
• 盒子维数
定义：设 A Rn ，在欧氏距离下，用边长为 1/ 2n
目标识别
人们把分数维与传统方法结合起来来处理自然 背景下的人造物体的识别，例如隐藏在树林山峦 间的坦克、炮车等等。传统的匹配检测方法包括 相似度量，匹配点搜索等步骤，这在计算上有很 大的时间复杂度。现在使用分数维的方法，一般 选择窗口的大小同被检测物体的尺寸大致相等， 这一般是可预知的，一旦某些窗口出现了异常的 分数维，比如低于一定的拓扑维数或不同于大多 数区域的分数维等等，它们才被送入下一步进行 精搜索。这里分数维主要起着可疑区域判定的作 用。
的小盒子紧邻地去包含A，设 Nn (A)为表示包含A所需
的最小盒子数，则：
D

lim
n
ln
N ln
n ( A) 2n
即为集合A的盒子维。
计算：逐渐增大n，分别计算出 Nn ( A) 相应的值， 这样就得到一组(ln 2n , ln Nn ( A))的数据对，再利用线性 回归等方法求出 ln Nn (A) 相对于 ln 2n的斜率，即为所要 求的盒子维。
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Sierpinski三角形
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形定义
分形：是一种具有自相似特性的现象、图
像或者物理过程。也就是说，在分形中， 每一组成部分都在特征上和整体相似，只 仅仅是变小了一些而已。
什么是分形？
•实例 •定义 •分形特征
分形特征
➢ 自相似性 self－similarity
房 间 装 饰 二
房 间 装 饰 三
房 间 装 饰 四
自然景物模拟
分形艺术
• 分形音乐