高中数学函数与导数综合题型分类总结

函数综合题分类复习

题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令

0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知；

不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：

第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征

)()(x g x f >恒成立

0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立；参考例4；

例1.已知函数32

1()23

f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．

（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2

2()3

f x a ->恒成立，求a 的取值范围．

例2.已知函数b ax ax x x f +++=2

3)(的图象过点)2,0(P .

（1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2

2(),1

x f x x =

+()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；

（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数

32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32

6()(1)3(0)2

t g x x x t x t -=+-++>

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；

（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。

例5.已知定义在R 上的函数

32()2f x ax ax b =-+）

（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.

例6.已知函数

2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m

例7.已知函数23)(a

x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为

510

2，函数33)()(2

2

+-=a

bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；

（2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42

x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．

答案： 1、解：（Ⅰ）

'2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点，

∴2x =是方程2

220x bx -+=的一个根，解得32

b =.

令'()0f x >，则2

320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞.

（Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时

'()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >，

∴

()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2

(2)3

f a =

+. 若当[1, 3]x ∈时，要使

22()3f x a ->

恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2

2233

a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2． 由题意知⎩⎨⎧=+-=-'==6

23)1(2)0(a a f b f ，得 ⎩⎨⎧=-=23

b a ．

∴

233)(23+--=x x x x f ．

（Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵3>a ，∴01242

>-=∆a a ．

由0)(>'x f 解得332a a a x ---<或3

32a

a a x -+->，

由0)(<'x f 解得3

33322a

a a x a a a -+-<<---． (10)

∴)(x f 的单调增区间为：)33,(2a a a ----∞和),3

3(2+∞-+-a

a a ；

)(x f 的单调减区间为：)3

3,33(

22a

a a a a a -+----．……12分 3、解：(1)法一:(导数法)2222

4(1)224()0(1)(1)x x x x x

f x x x +-+'=

=≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。

法二:220,022(),(0,1]111

x x f x x x x x

=⎧⎪⎪

==⎨∈+⎪+⎪⎩, 复合函数求值域.

法三:2222(1)4(1)22

()2(1)4111

x x x f x x x x x +-++=

==++-+++用双勾函数求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --.

由条件,只须[0,1][52,5]a a ⊆--，∴5205

451

2a a a -≤⎧⇒≤≤⎨-≥⎩.

特别说明：要深刻理解本题的题意及子区间的解题思路，联想2008年全国一卷第21题，那是单调区间的子区间问题；

4、解：（Ⅰ）/

2

()32f x x ax =+∴/(1)31f b a

⎧=-⎨=+⎩， 解得3

2a b =-⎧⎨=-⎩

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在[1,0]-上单调递增，在[0,2]上单调递减，在[2,4]上单调递减又min max (1)4,(0)0,{()}(2)4,{()}(4)16f f f x f f x f -=-===-== ∴()f x 的值域是[4,16]-

（Ⅲ）令2

()()()(1)3[1,4]2

t h x f x g x x t x x =-=-++-∈

∴要使()()f x g x ≤恒成立，只需()0h x ≤，即2

(2)26t x x x -≥-

（1）当[1,2)x ∈时2

26

,2x t x x

-≤- 解得1t ≤-； （2）当2x =时 t R ∈；

（3）当(2,4]x ∈时226

2x t x x

-≥-解得8t ≥；综上所述所求t 的范围是(,1][8,)-∞-+∞

特别说明：分类与整合，千万别忘了整合即最后要写“综上可知”，分类一定要序号化；

5、解：（Ⅰ）

32'2()2,()34(34)f x ax ax b f x ax ax ax x =-+∴=-=-

令'

()f x =0,得[]1240,2,13

x x ==∉-