2018年山东省高考数学试卷(理科)
18年高考真题——理科数学(全国2卷)
2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学(理)(全国II 卷)一.选择题(共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.1212i i +=-( ) (A )4355i -- (B )4355i -+ (C )3455i -- (D )3455i -+ 2.已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈,则A 中元素的个数为( )(A )9 (B )8 (C )5 (D )43.函数()2x xe ef x x--=的图像大致为( )4.已知向量,a b 满足||1a =,1a b ⋅=-,则()2a a b ⋅-=( )(A )4 (B )3 (C )2 (D )0 5.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为3,则其渐近线方程为( ) (A )2y x =± (B )3y x =± (C )22y x =± (D )3y x =± 6.在ABC ∆中,5cos 2C =,1BC =,5AC =,则AB =( ) (A )42 (B )30 (C )29 (D )257.为计算11111123499100S =-+-++-,设计了下面的程序框图,则在空白框中应填入( )(A )1i i =+(B )2i i =+(C )3i i =+(D )4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。
哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+。
在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( ) (A )112 (B )114 (C )115 (D )1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA =则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为( ) (A )15 (B(C(D10.若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数,则a 的最大值是( )(A )4π (B )2π (C )34π (D )π 11.已知()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数,满足()()11f x f x -=+。
2018年山东省高考理科数学试题及答案
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷(共50分)一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的(1)若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位,则z =(A )1+2i (B )1-2i (C )12i -+ (D )12i --(2)设集合2{|2,},{|10},x A y y x B x x ==∈=-<R 则A B =(A )(1,1)- (B )(0,1) (C )(1,)-+∞ (D )(0,)+∞(3)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30] .根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(A )56 (B )60(C )120 (D )140(4)若变量x ,y 满足2,239,0,x y x y x ì+?ïïïï-?íïï锍ïî则22x y +的最大值是(A )4 (B )9 (C )10 (D )12(5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示.则该几何体的体积为(A )1233+π(B )1233+π(C )1236+π(D )216+π (6)已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的(A )充分不必要条件(B )必要不充分条件学.科.网(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(7)函数f (x )=(3sin x +cos x )(3cos x –sin x )的最小正周期是(A )2π(B )π (C )23π(D )2π (8)已知非零向量m ,n 满足4│m │=3│n │,cos<m ,n >=13.若n ⊥(t m +n ),则实数t 的值为 (A )4 (B )–4 (C )94(D )–94(9)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时,3()1f x x =-;当11x -≤≤时,()()f x f x -=-;当12x >时,11()()22f x f x +=- .则f (6)= (A )−2(B )−1(C )0(D )2(10)若函数y =f (x )的图象上存在两点,学科.网使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y =f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是(A )y =sin x (B )y =ln x (C )y =e x (D )y =x 3第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
2018年全国(三卷)高考数学(理)试题及答案
2018年全国(三卷)高考数学(理)试题及答案绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合,,则A .B .C .D .{}|10A x x =-≥{}012B =,,AB ={}0{}1{}12,{}012,,A .10B .20C .40D .806.直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是A .B .C .D .7.函数的图像大致为8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为,各成员的支付方式相互独立,设为该20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26,[]48,232⎡⎣2232⎡⎤⎣⎦422y xx =-++p X群体的10位成员中使用移动支付的人数,,,则A .0.7B .0.6C .0.4D .0.39.的内角的对边分别为,,,若的面积为,则A .B .C .D .10.设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为A .B .C .D . 11.设是双曲线()的左,右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为A B .2 C D2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ,,a b c ABC△2224a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ,,,ABC △93D ABC -12318324354312F F ,22221x y C a b-=:00a b >>,O 2F C P 16PF OP=C 53212.设,,则A .B .C .D . 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018高考山东理科数学试题及答案解析[解析版]
2017 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)第Ⅰ卷(共 50 分)、选择题:本大题共 10小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1)【2017 年山东,理 1,5分】设函数 y 4 x 2的定义域为 A ,函数 y ln (1 x )的定义域为 B ,则 A B ( ) (A ) 1,2 (B ) (1,2 (C ) 2,1 (D ) 2,1) 答案】 D解析】由4 x 20得 2 x 2,由1 x 0得x 1,A B={x| 2 x 2} {x|x 1} {x| 2 x 1},故选 D .2)【 2017年山东,理 2, 5分】已知 a R , i 是虚数单位,若 z a 3i ,z z 4,则 a ( )设其回归直线方程为 y bx a ,10已知 x 10i 225 , yi 1600, b 4 ,该班某学生的脚i1i1长为 24,据此估计其身高为()A ) 160 (B ) 163(C )166 (D ) 170答案】 C解析】 x 22.5,y 160, a 160 4 22.5 70,y 4 24 70 166,故选 C .6)【2017 年山东,理 6,5 分】执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的 x 值为 7,第二次输入的 x 值为 9,则第一次、第二次输出的 a 值分别为( ) ( A )0,0 (B )1, 1 (C )0,1 (D )1,0 答案】 D解析】第一次 x 7,22 7,b 3,32 7,a 1;第二次 x 9,22 9,b 3,32 9,a 0 ,故选 D .7)【 2017年山东,理 7,5分】若 a b 0,且 ab 1,则下列不等式成立的是( )1b b 11 b 1 b( A ) 1 或 1 ( 答案】 A 解析】由 z a 3i, z z 4 得 3)【 2017 年山东,理 为真命题的是(( A ) p q 答案】 B 解析】由 x 0时 x 1 1,ln ( x 1) 有意义, 即 p ,q 均是真命题,故选 B .B ) 7 或 72a3, 5 分】已知命题 )3 4 ,所以 a 1 ,故选 A .B ) p q 4)【 2017 年山东,理 4,5 分】已知 x 、 B )2 D ) 3p : x 0, ln(x 1) 0;命题 q :若 a b ,C ) p qD ) 知 p 是真命题, y 满足约束条件由 2 1,2 21; 21 2,( 1) ( 2)2则 a 2 b 2 ,下列命题pq2可知 q 是假命题,(A )0 答案】 Cxy30 解析】由 3x+y 5 0 画出可行域及直线x 3 0C )5xy303x y 5 0 ,则 z x 2 y 的最大值是( x30( D )6x 2y 0如图所示,平移 x 2y 0发现,当其经过直线 3x y 5 0 与 x 3 的交点 ( 3,4) 时, z x 2y 最大为 z 3 2 4 5,故选 C .5)【 2017年山东,理 5,5 分】为了研究某班学生的脚长 x (单位:厘米)和身高 y (单位: 厘米)的关系,从该班随机抽取 10 名学生,根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系,A )aalog 2 (a b)(B ) alog 2(a b) a ( C )alog 2(a b)a( D )log 2 (a b) a ab2a 22a2 bb2b2a答案】 Bba 11 1解析】 a 1,0 b 1, a 1,log 2 (a b ) log 22 ab 1, 2 b a a b alog 2(a b ),故选 B .2 b b8)【2017 年山东, 理 8,5分】从分别标有 1,2,⋯,9的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2次,每次抽取 1 张, 则抽到在 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是( )答案】 C 解析】 2C 5C 4 5 ,故选 C .9 8 99)【2017 年山东,理 9,5 分】在 ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,若 ABC 为锐角三角形, 且满足sinB (1 2cosC ) 2sin AcosC cos Asin C ,则下列等式成立的是( )(A )a 2b (B )b 2a (C ) A 2B(D ) B 2A答案】 A 解析】 sin (A C ) 2sin BcosC 2sin AcosC cos Asin C 所以 2sin BcosC sin AcosC 2sinB sinA 2b a , 故选 A .10)【2017 年山东,理 10,5 分】已知当 x 0,1 时,函数 y (mx 1)2的图象与 y x m 的图象有且只有一个交点,则正实数 m 的取值范围是( ) (A ) 0,1 2 3,(B ) 0,1 3,( C ) 0, 2 2 3,(D ) 0, 2 3,答案】 B解析】当 0 m 1时, 1 1 , y (mx 1)2 单调递减,且 y (mx 1)2 [(m 1)2 ,1] , y x m 单调递增,且 my x m [m,1 m] ,此时有且仅有一个交点;当 m 1时, 0 1 1, y (mx 1)2 在[ 1,1] 上单调 mm 递增,所以要有且仅有一个交点,需 (m 1)2 1 m m 3 ,故选 B .第 II 卷(共 100 分)、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分11)【2017 年山东,理 11,5分】已知 (1 3x )n 的展开式中含有 x 2的系数是 54,则 n . 答案】 4解析】 r1 C r n 3x r C r n 3r x r,令r 2得:C 2n 32 54,解得 n 4.113)【2017 年山东,理 13,5 分】由一个长方体和两个 1圆柱体构成的几何体的三视图如4 图,则该几何体的体积为 .答案】 2212 解析】该几何体的体积为 V 1 121 2 2 1 1 2 . 425A)4B)5C)7D)2e 1 e 2 e 1 e 212)【2017年山东,理 12,5分】已知 e 1 、 e 2是互相垂直的单位向量,若 3e 1 e 2与e 1 e 2的夹角为 60 ,则实数 的值是 .3 2 1 2 cos60 1 2,解得: 3.32214)【 2017 年山东,理 14,5 分】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 x 2 y2 1( a 0, b 0 )的右支与焦 ab点为 F 的抛物线 x 2 2py ( p 0)交于 A 、B 两点,若 AF + BF =4 OF ,则该双曲线的渐近线方程 为. 答案】 y 2 x222 x 2 y 21 2 2 1 2 2 2 2 2 a 2 b 2 a y 2 pb y a b 0 ,x 22 py2所以 y A y B 2p 2b p a 2b 渐近线方程为 y 2 x . a215)【2017 年山东,理 15,5 分】若函数 e xf(x)(e 2.71828 是自然对数的底数)在 f(x) 的定义域上单调 f (x) 具有 M 性质。
2018年高考试题——数学理(山东卷) 精品
2018年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数 学(理)第Ⅰ卷(共60分)参考公式:球的表面积公式:S =4πr 2,其中R 是球的半径.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率: P n (k )=C kn p k (1-p )n-k (k =0,1,2,…,n ).如果事件A 、B 互斥,那么P (A +B )=P (A )+P (B ). 如果事件A 、B 相互独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a ⋂=的集合M 的个数是 (A )1 (B)2 (C)3 (D)4 解析:本题考查集合子集的概念及交集运算。
集合M 中必含有12,a a 则{}{}12124,,,M a a M a a a ==或 (2)设z 的共轭复数是z ,或z +z =4,z ·z =8,则zz等于 (A )1 (B )-i (C)±1 (D) ±i 解析:本题考查共轭复数的概念、复数的运算。
可设2z bi =+,由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±(3)函数ln cos ()22y x x ππ=-<<的图象是解析:本题考查复合函数的图象。
ln cos 22y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭是偶函数,可排除B,D;由cos x 的值域可以确定。
(4)设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线x =1对称,则a 的值为 (A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1解析:本题考查分段函数的图象。
2018年山东省高考理科数学试题word版
绝密★启用并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)*P(B)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是()A.1B.3C.5D.9(3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+,则f(-1)=()(A)-2(B)0(C)1(D)2(4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三棱柱,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为()(A)(B)(C)(D)(5)将函数y=sin(2x+φ)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为(A)(B)(C)0(D)(6)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组:2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0,所表示的区域上一动点,则直线O M斜率的最小值为(A)2(B)1(C)(D)(7)给定两个命题p,q。
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(含答案)
绝密★启用前2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)考试时间:120分钟;试卷整理:微信公众号--浙江数学学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________题号一二三总分得分注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.(5分)(2018•新课标Ⅱ)=()A.iB.C.D.2.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A 中元素的个数为()A.9B.8C.5D.43.(5分)(2018•新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.4.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=()A.4B.3C.2D.05.(5分)(2018•新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x6.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.27.(5分)(2018•新课标Ⅱ)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.(5分)(2018•新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.9.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.10.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.π11.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.﹣50B.0C.2D.5012.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题)请点击修改第Ⅱ卷的文字说明评卷人得分二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)(2018•新课标Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.14.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为.15.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.16.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为.评卷人得分三.解答题(共7小题,满分80分)17.(12分)(2018•新课标Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.18.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.19.(12分)(2018•新课标Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k (k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.21.(12分)(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=e x﹣ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.22.(10分)(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.23.(10分)(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一.选择题(共12小题,满分60分,每小题5分)1.(5分)(2018•新课标Ⅱ)=()A.iB.C.D.【考点】A5:复数的运算.【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【解答】解:==+.故选:D.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基本知识的考查.2.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z),则A 中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4【考点】1A:集合中元素个数的最值.【分析】分别令x=﹣1,0,1,进行求解即可.【解答】解:当x=﹣1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,当x=0时,y2≤3,得y=﹣1,0,1,当x=1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,即集合A中元素有9个,故选:A.【点评】本题主要考查集合元素个数的判断,利用分类讨论的思想是解决本题的关键.3.(5分)(2018•新课标Ⅱ)函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;3A:函数的图象与图象的变换.【分析】判断函数的奇偶性,利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可.【解答】解:函数f(﹣x)==﹣=﹣f(x),则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,当x=1时,f(1)=e﹣>0,排除D.当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C,故选:B.【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键.4.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=()A.4B.3C.2D.0【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;91:向量的概念与向量的模.【分析】根据向量的数量积公式计算即可.【解答】解:向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=2﹣=2+1=3,故选:B.【点评】本题考查了向量的数量积公式,属于基础题5.(5分)(2018•新课标Ⅱ)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x【考点】KC:双曲线的性质.【分析】根据双曲线离心率的定义求出a,c的关系,结合双曲线a,b,c的关系进行求解即可.【解答】解:∵双曲线的离心率为e==,则=====,即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选:A.【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解,结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键.6.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.2【考点】HR:余弦定理.【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值,利用余弦定理转化求解即可.【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,BC=1,AC=5,则AB====4.故选:A.【点评】本题考查余弦定理的应用,考查三角形的解法以及计算能力.7.(5分)(2018•新课标Ⅱ)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入()A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4【考点】EH:绘制程序框图解决问题;E7:循环结构.【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T,由此知空白处应填入的条件.【解答】解:模拟程序框图的运行过程知,该程序运行后输出的是S=N﹣T=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣);累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2.故选:B.【点评】本题考查了循环程序的应用问题,是基础题.8.(5分)(2018•新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数,利用古典概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:在不超过30的素数中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有=45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种,则对应的概率P==,故选:C.【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算,求出不超过30的素数是解决本题的关键.9.(5分)(2018•新课标Ⅱ)在长方体ABCD﹣A 1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA 1=,∴A(1,0,0),D 1(0,0,),D(0,0,0),B 1(1,1,),=(﹣1,0,),=(1,1,),设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cosθ===,∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选:C.【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.10.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是()A.B.C.D.π【考点】GP:两角和与差的三角函数;H5:正弦函数的单调性.【分析】利用两角和差的正弦公式化简f(x),由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],结合已知条件即可求出a的最大值.【解答】解:f(x)=cosx﹣sinx=﹣(sinx﹣cosx)=,由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],由f(x)在[﹣a,a]是减函数,得,∴.则a的最大值是.故选:A.【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,三角函数的求值,属于基本知识的考查,是基础题.11.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.﹣50B.0C.2D.50【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4,结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可.【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,∵f(1)=2,∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,f(4)=f(0)=0,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2,故选:C.【点评】本题主要考查函数值的计算,根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键.12.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.B.C.D.【考点】K4:椭圆的性质.【分析】求得直线AP的方程:根据题意求得P点坐标,代入直线方程,即可求得椭圆的离心率.【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),直线AP的方程为:y=(x+a),由∠F 1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c,∴题意的离心率e==.故选:D.【点评】本题考查椭圆的性质,直线方程的应用,考查转化思想,属于中档题.二.填空题(共4小题,满分20分,每小题5分)13.(5分)(2018•新课标Ⅱ)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【分析】欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.【解答】解:∵y=2ln(x+1),∴y′=,当x=0时,y′=2,∴曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x.故答案为:y=2x.【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.14.(5分)(2018•新课标Ⅱ)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为9.【考点】7C:简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+y为y=﹣x+z,由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,z取得最大值,由,解得A(5,4),目标函数有最大值,为z=9.故答案为:9.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知sinα+cosβ=l,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=.【考点】GP:两角和与差的三角函数.【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,再利用两角和差的正弦公式化简为2sin(α+β)=﹣1,可得结果.【解答】解:sinα+cosβ=l,两边平方可得:sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1,①,cosα+sinβ=0,两边平方可得:cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0,②,由①+②得:2+2(sinαcosβ+cosαsinβ)=1,即2+2sin(α+β)=1,∴2sin(α+β)=﹣1.∴sin(α+β)=.故答案为:.【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,三角函数的求值,属于基本知识的考查,是基础题.16.(5分)(2018•新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为40π.【考点】MI:直线与平面所成的角.【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长,利用直线与平面所成角求解底面半径,然后求解圆锥的侧面积.【解答】解:圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,可得sin∠AMB==.△SAB的面积为5,可得sin∠AMB=5,即×=5,即SA=4.SA与圆锥底面所成角为45°,可得圆锥的底面半径为:=2.则该圆锥的侧面积:π=40π.故答案为:40π.【点评】本题考查圆锥的结构特征,母线与底面所成角,圆锥的截面面积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.三.解答题(共7小题,满分80分)17.(12分)(2018•新课标Ⅱ)记S n为等差数列{a n}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.(1)求{a n}的通项公式;(2)求S n,并求S n的最小值.【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.【分析】(1)根据a1=﹣7,S3=﹣15,可得a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,求出等差数列{a n}的公差,然后求出a n即可;(2)由a1=﹣7,d=2,a n=2n﹣9,得S n===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,由此可求出S n以及S n的最小值.【解答】解:(1)∵等差数列{a n}中,a1=﹣7,S3=﹣15,∴a1=﹣7,3a1+3d=﹣15,解得a1=﹣7,d=2,∴a n=﹣7+2(n﹣1)=2n﹣9;(2)∵a1=﹣7,d=2,a n=2n﹣9,∴S n===n2﹣8n=(n﹣4)2﹣16,∴当n=4时,前n项的和S n取得最小值为﹣16.【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式,考查了等差数列的前n项的和公式,属于中档题.18.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.【考点】BK:线性回归方程.【分析】(1)根据模型①计算t=19时的值,根据模型②计算t=9时的值即可;(2)从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的幅度比较,即可得出模型②的预测值更可靠些.【解答】解:(1)根据模型①:=﹣30.4+13.5t,计算t=19时,=﹣30.4+13.5×19=226.1;利用这个模型,求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元;根据模型②:=99+17.5t,计算t=9时,=99+17.5×9=256.5;.利用这个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元;(2)模型②得到的预测值更可靠;因为从总体数据看,该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的,而从2000年到2009年间递增的幅度较小些,从2010年到2016年间递增的幅度较大些,所以,利用模型②的预测值更可靠些.【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题,是基础题.19.(12分)(2018•新课标Ⅱ)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k (k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.【考点】KN:直线与抛物线的位置关系.【分析】(1)方法一:设直线AB的方程,代入抛物线方程,根据抛物线的焦点弦公式即可求得k的值,即可求得直线l的方程;方法二:根据抛物线的焦点弦公式|AB|=,求得直线AB的倾斜角,即可求得直线l的斜率,求得直线l的方程;(2)根据过A,B分别向准线l作垂线,根据抛物线的定义即可求得半径,根据中点坐标公式,即可求得圆心,求得圆的方程.【解答】解:(1)方法一:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),当直线的斜率不存在时,|AB|=4,不满足;设直线AB的方程为:y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2),则,整理得:k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,则x1+x2=,x1x2=1,由|AB|=x1+x2+p=+2=8,解得:k2=1,则k=1,∴直线l的方程y=x﹣1;方法二:抛物线C:y2=4x的焦点为F(1,0),设直线AB的倾斜角为θ,由抛物线的弦长公式|AB|===8,解得:sin2θ=,∴θ=,则直线的斜率k=1,∴直线l的方程y=x﹣1;(2)过A,B分别向准线x=﹣1作垂线,垂足分别为A1,B1,设AB的中点为D,过D作DD1⊥准线l,垂足为D,则|DD1|=(|AA1|+|BB1|)由抛物线的定义可知:|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,则r=|DD1|=4,以AB为直径的圆与x=﹣1相切,且该圆的圆心为AB的中点D,由(1)可知:x1+x2=6,y1+y2=x1+x2﹣2=4,则D(3,2),过点A,B且与C的准线相切的圆的方程(x﹣3)2+(y﹣2)2=16..【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,抛物线的焦点弦公式,考查圆的标准方程,考查转换思想思想,属于中档题.20.(12分)(2018•新课标Ⅱ)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.【考点】MJ:二面角的平面角及求法;LW:直线与平面垂直;MI:直线与平面所成的角.【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明PO⊥AC,PO⊥OB即可;(2)根据二面角的大小求出平面PAM的法向量,利用向量法即可得到结论.【解答】解:(1)证明:∵AB=BC=2,O是AC的中点,∴BO⊥AC,且BO=2,又PA=PC=PB=AC=2,∴PO⊥AC,PO=2,则PB2=PO2+BO2,则PO⊥OB,∵OB∩AC=O,∴PO⊥平面ABC;(2)建立以O坐标原点,OB,OC,OP分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:A(0,﹣2,0),P(0,0,2),C(0,2,0),B(2,0,0),=(﹣2,2,0),设=λ=(﹣2λ,2λ,0),0<λ<1则=﹣=(﹣2λ,2λ,0)﹣(﹣2,﹣2,0)=(2﹣2λ,2λ+2,0),则平面PAC的法向量为=(1,0,0),设平面MPA的法向量为=(x,y,z),则=(0,﹣2,﹣2),则•=﹣2y﹣2z=0,•=(2﹣2λ)x+(2λ+2)y=0令z=1,则y=﹣,x=,即=(,﹣,1),∵二面角M﹣PA﹣C为30°,∴cos30°=|=,即=,解得λ=或λ=3(舍),则平面MPA的法向量=(2,﹣,1),=(0,2,﹣2),PC与平面PAM所成角的正弦值sinθ=|cos<,>|=||==.【点评】本题主要考查空间直线和平面的位置关系的应用以及二面角,线面角的求解,建立坐标系求出点的坐标,利用向量法是解决本题的关键.21.(12分)(2018•新课标Ⅱ)已知函数f(x)=e x﹣ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.【考点】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】(1)通过两次求导,利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明,(2)分离参数可得a=在(0,+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.结合图象即可求得a.【解答】证明:(1)当a=1时,函数f(x)=e x﹣x2.则f′(x)=e x﹣2x,令g(x)=e x﹣2x,则g′(x)=e x﹣2,令g′(x)=0,得x=ln2.当∈(0,ln2)时,h′(x)<0,当∈(ln2,+∞)时,h′(x)>0,∴h(x)≥h(ln2)=e ln2﹣2•ln2=2﹣2ln2>0,∴f(x)在[0,+∞)单调递增,∴f(x)≥f(0)=1,解:(2),f(x)在(0,+∞)只有一个零点⇔方程e x﹣ax2=0在(0,+∞)只有一个根,⇔a=在(0,+∞)只有一个根,即函数y=a与G(x)=的图象在(0,+∞)只有一个交点.G,当x∈(0,2)时,G′(x)<0,当∈(2,+∞)时,G′(x)>0,∴G(x)在(0,2)递减,在(2,+∞)递增,当→0时,G(x)→+∞,当→+∞时,G(x)→+∞,∴f(x)在(0,+∞)只有一个零点时,a=G(2)=.【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性,以及函数零点问题,考查了转化思想、数形结合思想,属于中档题.22.(10分)(2018•新课标Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.【考点】QH:参数方程化成普通方程.【分析】(1)直接利用转换关系,把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化.(2)利用直线和曲线的位置关系,在利用中点坐标求出结果.【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),转换为直角坐标方程为:.直线l的参数方程为(t为参数).转换为直角坐标方程为:sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0.(2)把直线的参数方程代入椭圆的方程得到:+=1整理得:(4cos2α+sin2α)t2+(8cosα+4sinα)t﹣8=0,则:,由于(1,2)为中点坐标,所以:,则:8cosα+4sinα=0,解得:tanα=﹣2,即:直线l的斜率为﹣2.【点评】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线和曲线的位置关系的应用,中点坐标的应用.23.(10分)(2018•新课标Ⅱ)设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.【分析】(1)去绝对值,化为分段函数,求出不等式的解集即可,(2)由题意可得|x+a|+|x﹣2|≥4,根据据绝对值的几何意义即可求出【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=5﹣|x+1|﹣|x﹣2|=.当x≤﹣1时,f(x)=2x+4≥0,解得﹣2≤x≤1,当﹣1<x<2时,f(x)=2≥0恒成立,即﹣1<x<2,当x≥2时,f(x)=﹣2x+6≥0,解得2≤x≤3,综上所述不等式f(x)≥0的解集为[﹣2,3],(2)∵f(x)≤1,∴5﹣|x+a|﹣|x﹣2|≤1,∴|x+a|+|x﹣2|≥4,∴|x+a|+|x﹣2|=|x+a|+|2﹣x|≥|x+a+2﹣x|=|a+2|,∴|a+2|≥4,解得a≤﹣6或a≥2,故a的取值范围(﹣∞,﹣6]∪[2,+∞).【点评】本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义,属于中档题。
2018年山东省高考理科数学试卷及答案
2018年高考山东卷理科数学真题及参考答案一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,选择符合题目要求的选项。
1.已知i R b a ,,∈是虚数单位,若i a -与bi +2互为共轭复数,则=+2)(bi a (A )i 45- (B) i 45+ (C) i 43- (D) i 43+答案:D2.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A(A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)答案:C3.函数1)(log 1)(22-=x x f 的定义域为 (A))210(, (B) )2(∞+, (C) ),2()210(+∞ , (D) )2[]210(∞+,, 答案:C4. 用反证法证明命题“设,,R b a ∈则方程02=++b ax x 至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程02=++b ax x 没有实根 (B)方程02=++b ax x 至多有一个实根(C)方程02=++b ax x 至多有两个实根 (D)方程02=++b ax x 恰好有两个实根 答案:A5.已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ,则下列关系式恒成立的是 (A)111122+>+y x (B) )1ln()1ln(22+>+y x (C) y x sin sin > (D) 33y x > 答案:D6.直线x y 4=与曲线2x y =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 (A )22(B )24(C )2(D )4答案:D7.为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa )的分。
2018年山东省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)
2018年山东省高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅰ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设z =1−i1+i +2i ,则|z|=( ) A.12 B.0 C.√2 D.12. 已知集合A ={x|x 2−x −2>0},则∁R A =( ) A.{x|−1≤x ≤2}B.{x|−1<x <2}C.{x|x ≤−1}∪{x|x ≥2}D.{x|x <−1}∪{x|x >2}3. 某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上B.新农村建设后,种植收入减少C.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半D.新农村建设后,养殖收入增加了一倍4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若3S 3=S 2+S 4,a 1=2,则a 5=( ) A.−10 B.−12 C.12 D.105. 设函数f(x)=x 3+(a −1)x 2+ax .若f(x)为奇函数,则曲线y =f(x)在点(0, 0)处的切线方程为( ) A.y =−x B.y =−2x C.y =x D.y =2x6. 在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB →=( )A.14AB →−34AC →B.34AB →−14AC →C.14AB →+34AC →D.34AB →+14AC →7. 某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A.2√5B.2√17C.2D.38. 设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ,过点(−2, 0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM →⋅FN →=( )A.6B.5C.8D.79. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0,ln x,x >0,g(x)=f(x)+x +a ,若g(x)存在2个零点,则a 的取值范围是( )A.[0, +∞)B.[−1, 0)C.[1, +∞)D.[−1, +∞)10. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则( )A.p 1=p 3B.p 1=p 2C.p 1=p 2+p 3D.p 2=p 311. 已知双曲线C:x 23−y 2=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=()A.3B.32C.4D.2√312. 已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.2√33B.3√34C.√32D.3√24二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)理科数学注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设121iz i i-=++,则z =( ) A .0B .12C .1D .22.已知集合{}2|20A x x x =-->,则A =R( )A .{}|12x x -<<B .{}|12x x -≤≤C .{}{}|1|2x x x x <->D .{}{}|1|2x x x x -≤≥3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( ) A .新农村建设后,种植收入减少B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+,12a =,则3a =( ) A .12-B .10-C .10D .125.设函数()()321f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点()00,处的切线方程为( ) A .2y x =-B .y x =-C .2y x =D .y x =6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =( ) A .3144AB AC - B .1344AB AC - C .3144AB AC +D .1344AB AC + 7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图所示,圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( ) A .217B .25C .3D .28.设抛物线24C y x =:的焦点为F ,过点()20-,且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ⋅=( ) A .5B .6C .7D .89.已知函数()0ln 0x e x f x x x ⎧=⎨>⎩,≤,,()()g x f x x a =++,若()g x 存在2个零点,则a 的取值范围是( ) A .[)10-,B .[)0+∞,C .[)1-+∞,D .[)1+∞,10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC ,ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为1p ,2p ,3p ,则( )A .12p p =B .13p p =C .23p p =D .123p p p =+11.已知双曲线2213x C y -=:,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ,N .若OMN △为直角三角形,则MN =( ) A .32B .3C .23D .412.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A 334B 233C 324D 32二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.若x y ,满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤,则32z x y =+的最大值为________.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若21n n S a =+,则6S =________.15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有________种.(用数字填写答案)16.已知函数()2sin sin 2f x x x =+,则()f x 的最小值是________.三、解答题(共70分。
【新课标II卷】2018年高考数学试题(理)(Word全部解析版)
绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.12i12i+=- A .43i 55-- B .43i 55-+C .34i 55--D .34i 55-+【解析】54341441)21)(21()21)(21(2121ii i i i i i i +-=+-+=+-++=-+ 【D 】 2.已知集合(){}223A x y x y x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为A .9B .8C .5D .4【解析】如右图所示,符合条件的整点个数为9个 【A 】3.函数()2e e x xf x x --=的图像大致为【解析】设x x e e x g --=)(,2)(x x q =,则)(x g 为奇函数,)(x q 为偶函数且不过x =0点。
所以,由复合函数的奇偶性知函数)(x f 为奇函数,排除A 。
2)1(1>-=-ee f 所以 【B 】4. 己知向量a , b 满足|a | = l ,a•b =-l,则a •(2a -b )= A. 4 B. 3 C. 2 D. 0【解析】a •(2a -b )=2a 2-a•b =2|a|2-(-1)=2+1=3 【B 】5. 双曲线12222=-by a x (a >0,b >0)的离心率为3则其渐近线方程为A. x y 2±=B. x y 3±=C. x y 22±= D.x y 23±= 【解析】3==ace ,223b a a c +==,2223b a a += 所以a b 2= 所以渐近线方程为x aby 2±=±= 【A 】6. 在△ABC 中,552cos=C ,BC = l, AC = 5,则AB = A. 24 B.30 C.29 D. 52【解析】53155212cos 2cos 22-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=C C C BC AC BC AC AB cos 222⋅-+==)53(1521522-⨯⨯⨯-+=24【A 】7. 为计算10019914131211-++-+-= S ,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入 A. 1+=i i B. 2+=i i C. 3+=i i D. 4+=i i 【解析】奇数项为正,偶数项为负,规律是差2个。
推荐-山东省2018高考数学样卷(文理各一套) 精品
山东省2018年高考样题数学(理工类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A 或B )用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束后,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}{}6,4,3,2,12≤+==x x x Q P ,则Q P ⋂等于 A.{1,2} B. {3,4} C.{1} D. {-2,-1,0,1,2} 本小题主要考查不等式的解法及集合的基本运算,考查实数、集合的运算能力. 解答:A2.一粒骰子,抛掷一次,得到奇数的概率是A.21 B. 61 C.32 D. 43 本题主要考查互斥事件的概率. 解答:A3.下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A.x x f sin )(= B.1)(+-=x x f C.()x x a a x f -+=21)( D.xxx f +-=22ln )( 本小题主要考查基本函数及其复合函数的奇偶性与单调性,考查函数基本性质的应用. 解答:D4.如果直线l 将圆04222=--+y x y x 平分且不通过第四象限,那么l 的斜率的取值范围是A .⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0B .[]1,0C .[]2,0D .⎪⎭⎫⎢⎣⎡21,0本小题主要考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的能力. 解答:C5.已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈0,2πx ,()54cos -=-x π,则=x 2tanA .247 B .247- C .724 D .724- 本小题主要考查利用同角三角函数关系式与二倍角公式求值,考查运算能力. 解答:D6.已知向量b a ,,且b a BC b a AB 65,2+-=+=,b a CD 27-=,则一定共线的三点是A. A 、B 、DB. A 、B 、CC. B 、C 、DD. A 、C 、D 本小题主要考查平面向量的运算与共线向量的概念,考查运算能力. 解答:A7.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为①;在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查为②.则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A .分层抽样法,系统抽样法 B .分层抽样法,简单随机抽样法 C .系统抽样法,分层抽样法D .简单随机抽样法,分层抽样法本小题主要考查随机抽样的三种抽样方法. 解答:B8.已知实数a , b 满足等式ba ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121,下列五个关系式①0<b<a②a<b<0③0<a<b④b<a<0⑤a=b其中不可能成立的关系式有( )A .1个B .2个C .3个D .4个本小题主要考查指数式、指对互化以及分类讨论数学思想方法. 解答:B9.在x y x y x y y x 2cos ,,log ,222====这四个函数中,当1021<<<x x 时,使()()222121x f x f x x f +>⎪⎭⎫ ⎝⎛+恒成立的函数的个数是 A .0B .1C .2D .3本题主要考查函数的凹凸性,看上去好像超纲,但结合函数的图像准确理解凹凸的含义,不难作出答案. 解答:B10.在△ABC 中,若CcB b A a cos cos cos ==,则ABC ∆是 A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形本题主要考查解三角形的知识,要求对正弦、余弦定理灵活掌握. 解答:B11. 变量y x ,满足下列条件:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≥+≥+0,024*********y x y x y x y x ,则使y x z 23+=的值最小的()y x ,是A. ( 4.5 ,3 )B. ( 3,6 )C. ( 9, 2 )D. ( 6, 4 )本小题主要考查一元二次不等式组与平面区域问题以及简单的线性规划问题,考查数形结合的能力. 解答:A12.若122=+b a ,222=+c b ,222=+a c ,则ca bc ab ++的最小值为A .213-B .321- C .321--D .321+本小题主要考查对代数式的认识,考查综合运用条件解决问题的能力. 解答:B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷共7页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2.答卷前,将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 13.()()=-+++-221111i ii i.本小题主要考查复数的代数运算,考查运算能力. 解答:-114.求满足100005312222<++++n 的最大整数解的程序框图A 处应为 .本小题主要考查学生对于基本框图逻辑结构的理解,同时考查学生对于数列求和以及不等式等实际数学问题的具体分析的能力.解答:n -215.已知两个圆:122=+y x ①与()1322=-+y x ②,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程,将上述命题在曲线仍为圆()()222r b y a x =-+-和()()222r d y c x =-+-的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为__________.本小题主要考查圆的方程、圆的公共弦方程的概念,考查抽象思维能力和归纳推广数学命题的能力.解答:()()0222222=--++-+-d c b a y b d x a c .16.已知m 、n 是不同的直线,α、β是不重合的平面, 命题p :若βαβα⊂⊂n m ,,//,则n m // 命题q :若n m n m //,,βα⊥⊥,则βα//下面的命题中,真命题的序号是 (写出所有真命题的序号). ①“p 或q ”为真;②“p 且q ”为真; ③p 真q 假 ; ④“p ⌝”为真 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系以及命题的判断,考查逻辑推理能力和空间想象能力. 解答:①④三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写文字说明;证明过程或演算步骤)(17)(本小题满分12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.本小题主要考查概率统计的基础知识,运用数学知识解决问题的能力. 解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ的概率分布如下:甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. (Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ,则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+,P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立, 方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.(18)(本小题满分12分)已知向量()x x m cos ,sin 2=,)cos 2,cos 3(x x n =,定义函数()()1log -⋅=n m x f a ()1,0≠>a a(I )求函数()x f 的最小正周期; (II )确定函数()x f 的单调递增区间.本小题主要考查平面向量与三角函数的综合运用.解:(I )因为12cos 2sin 3cos 2cos sin 322++=+=⋅x x x x x所以()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2log πx x f a ,故ππ==22T (II )令()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx x g ,则()x g 的单调递增的正值区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,6,12ππππ,()x g 的单调递减的正值区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,125,6ππππ当10<<a 时,函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,125,6ππππ当1>a 时,函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,6,12ππππ(19) (本小题满分12分)如图,在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E 是棱BC 的中点,点F 是棱CD 上的动点.(Ⅰ)试确定点F 的位置,使得F D 1⊥平面AB 1F ;(Ⅱ)当D 1E ⊥平面AB 1F 时,求二面角C 1―EF ―A 的余弦值; (III )求异面直线D 1E 与BC 1所成的角.本小题主要考查线面关系和正方体等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.利用两平面的法向量求也可.解:(Ⅰ)连结A 1B ,则A 1B 是D 1E 在面ABE 1A 1上的射影. ∵AB 1⊥A 1B ,∴D 1E ⊥AB 1于是D 1E ⊥平面AB 1F , D 1E ⊥AF .连接DE ,则DE 是D 1ED 底面ABCD 内的射影. ∴D 1E ⊥AF ,DE ⊥AF .∵ABCD 是正方形,E 是BC 的中点, ∴当且仅当F 是CD 的中点时,DE ⊥AF , 既当点F 是CD 的中点时,D 1F ⊥平面AB 1F .(Ⅱ)当D 1E ⊥平面AB 1F 时,由(Ⅰ)知点F 是CD 的中点. 又已知点E 是BC 的中点,连结EF ,则EF ∥BD .连接AC ;设AC 与EF 交于点H ,则CH ⊥EF .连结C 1H ,则CH 是C 1H 在底面ABCD 内的影.∴C 1H ⊥EF ,既∠C 1HC 上二面角C 1-EF -C 的平面角.在Rt △C1CH 中,∵C 1C =1,CH =41,AC =42.∴22421tan 11===∠CH C C HC C . ∴cos ∠C 1HC =31故二面角C 1-EF -A 的余弦值为31(III )连结1BC ,取11D A 的中点G ,连接BG ,因为 B E //1GD ,BE =1GD , 则BG //D 1E ,则直线BG 与BC 1所成的角,即为异面直线D 1E 与BC 1所成的角 在△BC 1G 中,由余弦定理得22cos 1=∠GBC ,则所求角为ο45. (20)(本小题满分12分)(I )已知椭圆C 的方程是()012222>>=+b a by a x ,设斜率为k 的直线l ,交椭圆C于A 、B 两点,AB 的中点为M . 证明:当直线l 平行移动时,动点M 在一条过原点的定直线上;(Ⅱ)利用(I )所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心. 本题主要考查直线与椭圆的位置关系,学生的作图能力.解:(I )设直线l 的方程为m kx y +=,与椭圆C 的交点()11,y x A 、()22,y x B ,则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=12222b y ax mkx y , 解得 02)(222222222=-+++b a m a kmx a x k a b ,∵ 0>∆,∴ 2222k a b m +<,即 222222k a b m k a b +<<+-.则 222221212222212,2ka b mb m kx m kx y y ka b kma x x +=+++=++-=+, ∴ AB 中点M 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-22222222,k a b m b k a b kma .∴ 线段AB 的中点M 在过原点的直线 022=+y k a x b 上. (Ⅱ)如图,作两条平行直线分别交椭圆于A 、B 和C 、D ,并分别取AB 、CD 的中点M 、N ,连接直线MN ;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于A 1、B 1和C 1、D 1,并分别取A 1B 1、C 1D 1的中点M 1、N 1,连接直线M 1N 1,那么直线MN 和M 1N 1的交点O 即为椭圆中心.21.(本小题满分12分)已知函数()()0,,ln 2≠+-==a bx ax x g x x f(Ⅰ)若2=b ,且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间,求a 的取值范围; (Ⅱ)设函数()x f 的图象C 1与函数()x g 图象C 1交于点P 、Q ,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1,C 2于点M 、N ,证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.本题综合考察导数在解决函数单调性,函数曲线的切线等问题中的作用.解:(I )x ax x x h b 221ln )(,22--==时,则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()x h 存在单调递减区间,所以0)(<'x h 有解. 又因为0>x 时,则0122>-+x ax 有0>x 的解.①当0>a 时,122-+=x ax y 为开口向上的抛物线,0122>-+x ax 总有0>x 的解;②当0<a 时,122-+=x ax y 为开口向下的抛物线,而0122>-+x ax 总有0>x 的解;则044>+=∆a ,且方程0122=-+x ax 至少有一正根.此时,01<<-a 综上所述,a 的取值范围为()()+∞⋃-,00,1.(II )证法一 设点P 、Q 的坐标分别是()11,y x P ,()22,y x Q ,210x x <<, 则点M 、N 的横坐标为,221x x x +=在C 1点M 处的切线斜率为,2|1212121x x x k x x x +==+= 在C 2点N 处的切线斜率为b x x a b ax k x x x ++=+=+=2)(|212221 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行,则21k k = 即b x x a x x ++=+2)(22121,则 )2()(2)()(2)(21212221221222112bx x abx x a x x b x x a x x x x +-+=-+-=+-=1212ln ln x x y y -=-所以1212121)1(2ln x x x x x x +-= 设12x xt =则1,1)1(2ln >+-=t t t t ① 令1,1)1(2ln )(>+--=t t t t t r ,则22214(1)(),(1)(1)t r t t t t t -'=-=++ 因为1>t 时,0)(>'t r ,所以)(t r 在),1[+∞上单调递增. 故.0)1()(=>r t r 则tt t +->1)1(2ln . 这与①矛盾,假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 证法二:同证法一得)(2)ln )(ln (121212x x x x x x -=-+ 因为01>x ,所以)1(2ln )1(121212-=+x xx x x x 令12x x t =,得1),1(2ln )1(>-=+t t t t ② 令11ln )(,1),1(2ln )1()(-+='>--+=tt t r t t t t t r 则因为22111)1(ln tt t t t t -=-='+,所以1>t 时,0)1(ln >'+t t故t t 1ln +在[)+∞,1上单调递增.从而011ln >-+tt ,即0)(>'t r于是)(t r 在[)+∞,1上单调递增.故0)1()(=>r t r 即)1(2ln )1(->+t t t 这与②矛盾,假设不成立. 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行. 22.(本小题满分14分)已知数列{}n b 是等差数列,100,1103211=+++=b b b b b , (Ⅰ)求数列{}n b 的通项n b ;(Ⅱ)设数列{}n a 的通项⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n ba 11lg ,记n S 是数列{}n a 的前n 项和,试比较n S与1lg 21+n b 的大小,并证明你的结论. 本题是综合题,主要考查等差数列、数学归纳法、对数函数的性质等基本知识,以及归纳猜想,等价转化和代数式恒等变形的能力,相比之下,对能力的考查,远远高于对知识的考查.解:(Ⅰ)设数列{}n b 的公差为d ,由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=1002)110(1010,111d b b 解得⎩⎨⎧==211d b ∴12-=n b n(Ⅱ)由12-=n b n ,知()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=1211lg 311lg 11lg n S n()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=121131111lg n ,12lg lg 211+=+n b n .因此要比较n S 与1lg 21+n b 的大小,可先比较与12+n 的大小.取1=n ,有()11+>112+⋅,取2=n ,有(1+1)(1+31)>122+⋅,……由此推测(1+1)(1+31)…(1+121-n )>12+n . ①若①式成立,则由对数函数性质可断定:1lg 21+>n n b S下面用数学归纳法证明①式. (i )当1=n 时已验证①式成立.(ii )假设当k n =()Z k k ∈≥,1时,①式成立,即(1+1)(1+31)…(1+121-k )>12+k .那么,当1+=k n 时,(1+1)(1+31)…(1+121-k )[1+1)1(21-+k ]>12+k (1+121+k )=1212++k k ()22+k , ∵()2221212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++k k k -2)32(+k=012112)384(48422>+=+++-++k k k k k k ,∴2)21k k +>=+. 因而 .1)1(2)1211)(1211()311)(11(++>++-+++k k k 这就是说①式当1+=k n 时也成立.由(i ),(ii )知①式对任何正整数n 都成立. 由此证得:1lg 21+>n n b S山东省2018年高考样题数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A 或B )用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上. 3.考试结束后,监考人将本试卷和答题卡一并收回.一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的) 1.设P、Q 为两个非空实数集合,定义集合},5,2,0{},,|{=∈∈+=+P Q b P a b a Q P 若}6,2,1{=Q ,则Q P +中元素的个数是A .9B .8C .7D .6本题主要考查集合概念的理解,以及对知识的迁移能力,对基本知识的掌握要准确、牢固.解答:B2.一粒骰子,抛掷一次,得到奇数的概率是A.21 B.61 C.32 D. 43 本题主要考查考生对于古典概型的理解、运用,互斥事件的概率加法公式. 解答:A3.若b a c b a +===,2,1,且a c ⊥,则向量a与b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°本题主要考查向量的内积及运算,向量的内积是解决夹角与距离的工具,应灵活掌握. 解答:C4. 为了得到函数)62s i n (π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象( )A .向右平移6π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度C .向左平移6π个单位长度D .向左平移3π个单位长度本题 综合考查三角函数诱导公式,三角函数图象变换的知识,以及逻辑分析能力和直觉思维能力. 答案;B5. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 A.若β⊂l 且βα⊥,则α⊥l B.若β⊥l 且βα//,则α⊥l .C.若β⊥l 且βα⊥,则α//lD. 若m =⋂βα且m l //,则α//l . 本题主要考查立体几何初步的有关知识,包括直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的知识,要求学生有很好的空间想象能力. 解答:B6.某初级中学有学生270人,其中一年级118人,二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,118,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270; 关于上述样本的下列结论中,正确的是 A .②、③都不能为系统抽样 B .②、④都不能为分层抽样C .①、④都可能为系统抽样D .①、③都可能为分层抽样本题主要考查统计中的抽样方法的有关知识,新课程把这部分只是放到了必修内容里,也就是说对于现代公民应必备的知识,反映了我们整个国家的进步,此类题型应该给予重视. 解答:D7. 若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点,则k 的取值范围是A.50<<kB.05<<-kC. 130<<kD.50<<k 本题主要考查平面解析几何初步知识,包括圆的一般方程、圆的标准方程、直线与圆的交点等知识,但此题考察的解题方法是数形结合的思想方法. 解答:A8 . 向高为H 的水瓶中注水, 注满为止. 如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如右图所示, 那么水瓶的形状是( )解答:B9 . 在△ABC 中,若CcB b A a cos cos cos ==,则△ABC 是 A.直角三角形. B.等边三角形.hABCDC.钝角三角形.D.等腰直角三角形.本题主要考查解三角形的知识, 要求对正弦、余弦定理灵活掌握. 解答:B10.已知实数b a ,满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式①a b <<0 ②0<<b a ③b a <<0 ④0<<a b⑤b a =其中不可能...成立的关系式有A .1个B .2个C .3个D .4个本小题综合考查指数式、指数式与对数式互化以及指数函数的有关知识,分类讨论数学思想方法. 解答:B11.在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立,则A .11<<-aB .20<<aC .2321<<-a D .2123<<-a 本题以一元二次不等式的有关知识为载体,综合考查考生利用已经获取的信息,处理并解决新问题的能力. 解答:C12.在直角坐标系xoy 中,已知A O B ∆三边所在直线方程分别为3032,0,0=+==y x y x则AOB ∆内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是A .95B .91C .88D .75本题主要考查了解析几何必修内容的线性规划. 解答:B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷共7页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中. 2.答卷前,将密封线内的项目填写清楚.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上) 13.复数),,,(,R d c b a di c bi a ∈++的积为实数的充要条件是 . 本题主要考查复数和常用逻辑用语的知识. 解答:0=+bc ad14.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了1671人,经过计算得63.272=K ,根据这一数据分析,我们有理由认为打鼾与患心脏病是 的(有关,无关)本题主要考查统计案例的有关知识,对828.102>K 就有99.9%理由认为两个量是有关系的. 解答:有关.15. 已知n 次多项式()n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110 ,如果在一种算法中,计算kx 0()n k ,4,3,2=的值需要1-k 次乘法,计算()03x P 的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算()010x P 的值共需要 次运算. 下面给出一种减少运算次数的算法:()()()1100,+++==k k k a x xP x P a x P ,(=k 0, 1,2,…,1-n ).利用该算法,计算()03x P 的值共需要6次运算,计算()010x P 的值共需要 次运算.本题涉及算法的知识,但重在考查考生的合情推理能力和创造性思维能力. 解答:65,2016. 以下四个关于圆锥曲线的命题中:①设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,||||PA PB k -=,则动点P 的轨迹为双曲线;②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ,O 为坐标原点,若1(),2OP OA OB =+则动点P 的轨迹为椭圆; ③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点.其中真命题的序号为 (写出所有真命题的序号).本题通过多选的开放形势,综合考查椭圆和双曲线的概念、简单几何性质,并结合平面向量的知识,考查学生处理简单轨迹问题的能力 . 解答: ③④三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)已知232,534cos παππα<≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛+.求⎪⎭⎫ ⎝⎛+42cos πα的值.本小题考查两角和正、余弦公式,倍角的正弦、余弦公式,同角三角函数的基本关系式以及诱导公式等基础知识,考查基本运算能力.解:……3分47443ππαπ<+≤且0)4cos(>+πα,∴47423ππαπ<+≤………………………………6分从而 ,……………8分…………………………10分………………………………12分18.(本题满分12分)某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示;西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示.(I )写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P =f (t ); 写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q =g (t );(II )认定市场售价减去种植成本为纯收益,问何时上市的西红柿纯收益最大?300(注:市场售价和种植成本的单位:元/210kg,时间单位:天)本题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题,考查运用所学知识解决实际问题的能力.解:(I)由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为即当0≤t≤200时,配方整理得当200< t ≤300时,配方整理得综上,由100>87.5可知,h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100,此时t=50,即从二月一日开始的第50天时,上市的西红柿纯收益最大.19.(本小题满分12分)如图, 在直三棱柱111C B A ABC -中,3=AC ,5AB =,4=BC ,41=AA ,点D 是AB 的中点,(I )求证:1BC AC ⊥; (II )求证:11//CDB AC 平面.本题考察学生对空间图形中直线与直线,直线与平面相互关系的识别能力,综合考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.证明:(I )直三棱柱111C B A ABC -,底面三边长3=AC ,5=AB ,4=BC∴ BC AC ⊥,又ABC CC 平面⊥1,∴1BC 在平面ABC 内的射影为BC ∴1BC AC ⊥;(II )设1CB 与B C 1的交点为E ,连结DE ,∵ D 是AB 的中点,E 是1BC 的中点,∴ 1//AC DE , ∵ 1CDB DE 平面⊂,11CDB AC 平面⊄,∴11//CDB AC 平面 . 20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前项和为22n S n =,{}n b 为等比数列,且11b a =, ()1122b a a b =-, (Ⅰ)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)设nnn b a c =,求数列{}n c 的前n 项和n T . 本题主要考查等差数列、等比数列基本知识和数列求和的基本方法以及运算能力.解:(Ⅰ)因为当1=n 时,211==S a ,当2≥n 时, ()24122221-=--=-=-n n n S S a n n n ,故{}n a 的通项公式为24-=n a n ,设{}n b 的公比为q ,则11b qd b =,4=d ,所以41=q 故111412--⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==n n n q b b ,即{}n b 的通项公式为142-=n n b(Ⅱ)∵()114124224---=-==n n nn n n n b a c ,∴121214)12(...45431...--++⨯+⨯+=+++=n n n n c c c T ,n n n n n T 4)12(4)32(...4543414132⨯-+⨯-++⨯+⨯+⨯=-,两式相减得()()]54)56[(314124...4442131321+-=-+++++--=-n n n n n n T ,∴]54)56[(91+-=n n n T .21.(本小题共12分) 已知函数()a x x x x f +++-=9323, (I )求()x f 的单调递减区间;(II )若()x f 在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值. 本题主要考查导数在研究函数中的应用,会用导数求函数的单调区间、最值. 解:(I )()9632++-='x x x f ,令()0<'x f ,解得1-<x 或3>x , 所以函数()x f 的单调递减区间为(-∞,-1),(3,+∞).(II )因为()a a f +=+-+=-2181282,()a a f +=+++-=22181282, 所以()()22->f f ,因为在(-1,3)上()0>'x f ,所以()x f 在[-1, 2]上单调递增,又由于()x f 在[-2,-1]上单调递减,因此()2f 和()1-f 分别是()x f 在区间[-2,2]上的最大值和最小值,于是有 2022=+a ,解得 2-=a , 故()29323-++-=x x x x f ,因此72931)1(-=--+=-f , 即函数()x f 在区间[-2,2]上的最小值为-7.22.(本题满分14分)已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,A 是抛物线上横坐标为4,且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B ,OB 的中点为M ,(I )求抛物线方程;(II )过M 作FA MN ⊥,垂足为N ,求点N 的坐标;(Ⅲ)以M 为圆心,MB 为半径作圆M ,当)0,(m K 是x 轴上一动点时,讨论直线AK 与圆M 的位置关系.本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质,直线的方程,直线与抛物线、圆的位置关系,以及点到直线的距离公式的等基本知识,综合考查学生运用解析法处理几何问题的能力.解:(I )抛物线2,524,222=∴=+-==p p p x px y 于是的准线为. ∴抛物线方程为x y 42=.(II )∵点A 的坐标是(4,4), 由题意得()4,0B ,()2,0M ,又∵()0,1F , ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为()134-=x y ,MN 的方程为x y 432-=-, 解方程组)54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得. (Ⅲ)由题意得,圆M 的圆心是点(0,2),半径为2.当4=m 时,直线AK 的方程为4=x ,此时,直线AK 与圆M 相离,当4≠m 时,直线AK 的方程为),(44m x my --=即为04)4(4=---m y m x , 圆心()2,0M 到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ,令1,2>>m d 解得.1>∴m 当时,直线AK 与圆M 相离; 当1=m 时,直线AK 与圆M 相切;当1<m 时,直线AK 与圆M 相交.。
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)[2]
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)(word版可编辑修改)编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)(word版可编辑修改))的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。
本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案)(word版可编辑修改)的全部内容。
2018年高考数学理科试卷(江苏卷)数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.........1.已知集合{}8,2,1,0B,那么==A,{}8,6,1,1-=A.⋂B2.若复数z满足i1+⋅,其中i是虚数单位,则z的实部为.=zi23.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为.4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为.5.函数()1log 2-=x x f 的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-+=222sin ππϕx x y 的图象关于直线3π=x 对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为c 23,则其离心率的值是 . 9.函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上,()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x xx f π, 则()()15f f 的值为 .10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数()()R a ax x x f ∈+-=1223在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点,()0,5B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0=⋅,则点A 的横坐标为 .13.在ABC ∆中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、, 120=∠ABC ,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1=BD ,则c a +4的最小值为 .14.已知集合{}*∈-==N n n x x A ,12|,{}*∈==N n x x B n ,2|.将B A ⋃的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡...指.定区域...内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1111,AA AB AB B C =⊥. 求证:(1)11AB A B C 平面∥; (2)111ABB A A BC ⊥平面平面.16.(本小题满分14分)已知,αβ为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=. (1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值.17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△,要求,A B均在线段MN上,,C D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和CDP△的面积,并确定sinθ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 过点1)2,焦点12(F F ,圆O 的直径为12F F .(1)求椭圆C 及圆O 的方程;(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标;②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.19.(本小题满分16分)记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(1)证明:函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”; (2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值;(3)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列. (1)设110,1,2a b q ===,若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围;(2)若*110,,a b m q =>∈∈N ,证明:存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围(用1,,b m q 表示).数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作....................答..若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A .[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,圆O 的半径为2,AB 为圆O 的直径,P 为AB 延长线上一点,过P 作圆O 的切线,切点为C .若23PC =,求 BC 的长.B .[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A . (1)求A 的逆矩阵1-A ;(2)若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P ',求点P 的坐标. C .[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.D .[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)若x ,y ,z 为实数,且x +2y +2z =6,求222x y z ++的最小值.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.学科#网22.(本小题满分10分)如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.23.(本小题满分10分)设*n ∈N ,对1,2,···,n 的一个排列12n i i i ,如果当s 〈t 时,有s t i i >,则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序,排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记()n f k 为1,2,···,n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数.(1)求34(2),(2)f f 的值;(2)求(2)(5)n f n 的表达式(用n 表示).数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.1.{1,8}2.2 3.90 4.85.[2,+∞)6.3107.π6-8.29.210.4311.–3 12.313.9 14.27二、解答题15.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明:(1)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,AB∥A1B1.因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,所以AB∥平面A1B1C.(2)在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1⊥A1B.又因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,所以AB1⊥BC.又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,所以AB 1⊥平面A 1BC . 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC .16.本小题主要考查同角三角函数关系、两角和(差)及二倍角的三角函数,考查运算求解能力.满分14分.解:(1)因为4tan 3α=,sin tan cos ααα=,所以4sin cos 3αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29cos 25α=, 因此,27cos22cos 125αα=-=-. (2)因为,αβ为锐角,所以(0,π)αβ+∈. 又因为5cos()αβ+=-,所以225sin()1cos ()αβαβ+=-+=, 因此tan()2αβ+=-. 因为4tan 3α=,所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--, 因此,tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+.17.本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分. 解:(1)连结PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH =10. 过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE =θ, 故OE =40cos θ,EC =40sin θ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为12×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=14,θ0∈(0,π6).当θ∈[θ0,π2)时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是[14,1).答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[14,1).(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,π2).设f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,π2),则222()cos sin sin(2sin sin1)(2sin1)(sin1)fθθθθθθθθ=--=-+-=--+′.令()=0fθ′,得θ=π6,当θ∈(θ0,π6)时,()>0fθ′,所以f(θ)为增函数;当θ∈(π6,π2)时,()<0fθ′,所以f(θ)为减函数,因此,当θ=π6时,f(θ)取到最大值.答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力.满分16分. 解:(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -,可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>.又点1)2在椭圆C 上,所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩,解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此,椭圆C 的方程为2214x y +=.因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=.(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>,则22003x y +=, 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+,即0003x y x y y =-+. 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=.(*)因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=. 因为00,0x y >,所以001x y =. 因此,点P的坐标为.②因为三角形OAB 的面积为26,所以2126AB OP ⋅=,从而42AB =. 设1122,,()(),A x y B x y ,由(*)得22000001,22448(2)x y x x ±-=,所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+. 因为22003x y +=,所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+,即42002451000x x -+=,解得22005(202x x ==舍去),则2012y =,因此P 的坐标为102(,). 综上,直线l 的方程为532y x =-+.19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:(1)函数f (x )=x ,g (x )=x 2+2x -2,则f ′(x )=1,g ′(x )=2x +2. 由f (x )=g (x )且f ′(x )= g ′(x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩,此方程组无解, 因此,f (x )与g (x )不存在“S ”点.(2)函数21f x ax =-(),()ln g x x =, 则12f x ax g x x'='=(),().设x 0为f (x )与g (x )的“S "点,由f (x 0)与g (x 0)且f ′(x 0)与g ′(x 0),得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,(*)得01ln 2x =-,即120e x -=,则1221e 22(e )a -==. 当e2a =时,120e x -=满足方程组(*),即0x 为f (x )与g (x )的“S ”点.因此,a 的值为e 2.(3)对任意a >0,设32()3h x x x ax a =--+.因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<,,且h (x )的图象是不间断的,所以存在0x ∈(0,1),使得0()0h x =,令03002e (1)x x b x =-,则b 〉0.函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=,,则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′,′. 由f (x )与g (x )且f ′(x )与g ′(x ),得22e e (1)2xx b x a xb x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩,即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(**) 此时,0x 满足方程组(**),即0x 是函数f (x )与g (x )在区间(0,1)内的一个“S 点”. 因此,对任意a 〉0,存在b 〉0,使函数f (x )与g (x )在区间(0,+∞)内存在“S 点”. 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.满分16分. 解:(1)由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=. 因为1||n n a b b -≤对n =1,2,3,4均成立, 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1,2,3,4均成立,即1≤1,1≤d ≤3,3≤2d ≤5,7≤3d ≤9,得7532d ≤≤. 因此,d 的取值范围为75[,]32.(2)由条件知:111(1),n n n a b n d b b q -=+-=.若存在d ,使得1||n n a b b -≤(n =2,3,···,m +1)成立,即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+, 即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--.因为q ∈,则112n m q q -<≤≤,从而11201n q b n --≤-,1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立.因此,取d =0时,1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立.下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值(2,3,,1n m =+). ①当2n m ≤≤时,111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---, 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤,从而1() 20n n n n q q q ---+>.因此,当21n m ≤≤+时,数列12{}1n q n ---单调递增,故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-. ②设()()21x f x x =-,当x 〉0时,ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<, 所以()f x 单调递减,从而()f x 〈f (0)=1.当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-, 因此,当21n m ≤≤+时,数列1{}1n q n --单调递减,故数列1{}1n q n --的最小值为mq m. 因此,d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A .[选修4—1:几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分10分. 证明:连结OC .因为PC 与圆O 相切,所以OC ⊥PC . 又因为PC =OC =2,所以OP .又因为OB =2,从而B 为Rt△OCP 斜边的中点,所以BC =2. B .[选修4—2:矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.解:(1)因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ,det()221310=⨯-⨯=≠A ,所以A 可逆, 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦.(2)设P (x ,y ),则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A , 因此,点P 的坐标为(3,–1). C .[选修4—4:坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分. 解:因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ,所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆. 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=, 则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6, 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点. 设另一个交点为B ,则∠OAB =π6.连结OB ,因为OA 为直径,从而∠OBA =π2, 所以π4cos 6AB ==.因此,直线l 被曲线C 截得的弦长为 D .[选修4—5:不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.满分10分. 证明:由柯西不等式,得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++. 因为22=6x y z ++,所以2224x y z ++≥,当且仅当122xy z ==时,不等式取等号,此时244333x y z ===,,, 所以222x y z ++的最小值为4.22.【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.学科%网解:如图,在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,设AC ,A 1C 1的中点分别为O ,O 1,则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ,OO 1⊥OB ,以1,{},OB OC OO 为基底,建立空间直角坐标系O −xyz .因为AB =AA 1=2,所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --.(1)因为P 为A 1B 1的中点,所以31(,2)2P -,从而131(,,2)(0,2,22),BP AC ==--,故111||310|cos ,|||||522BP AC BP AC BP AC ⋅==⋅⨯.因此,异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为310.(2)因为Q 为BC 的中点,所以31(,0)2Q ,因此33(,0)2AQ =,11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==.设n =(x ,y ,z )为平面AQC 1的一个法向量,则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,2220.y y z ⎧+=⎪⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ,设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ,则111||sin |cos |,|||CCCC CC |θ==⋅⋅==n n n ,所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为.23.【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分10分.解:(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数,对1,2,3的所有排列,有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ,,,,,,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===,.对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=.(2)对一般的n (n ≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n ,所以(0)1n f =. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以(1)1n f n =-.为计算1(2)n f +,当1,2,…,n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列,n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置. 因此,1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+.当n ≥5时,112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=, 因此,n ≥5时,(2)n f =222n n --.绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分。
2018年山东省高考理科数学试题及答案
2018年山东省高考理科数学试题及答案1.删除文章中的考试注意事项,因为这些内容不影响文章的理解和改写。
2.改写每段话如下:一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的。
1)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=。
答案:B=1-2i。
2)设集合A={y|y=2,x∈R},B={x|x-1<0},则。
答案:A=(-1,1),B=(0,1)。
3)某高校调查了200名学生每周的自时间(单位:小时),并制成了频率分布直方图。
其中自时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30]。
根据直方图,这200名学生中每周的自时间不少于22.5小时的人数是。
答案:D=140.4)若变量x,y满足2x+y≤2,2x-3y≤9,x≥0,y≥0,则x+y的最大值是。
答案:C=10.5)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示。
则该几何体的体积为。
答案:B=1212+π/3.6)已知直线a,b分别在两个不同的平面α,β内。
则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的必要条件。
答案:不需要选择。
I)证明:设FC的中点为I,连接GI,HI。
在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI//EF;又因为EF//OB,所以GI//OB。
在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI//BC;又因为HI∩GI=I,所以平面GHI//平面ABC。
因为GH∥平面GHI,所以XXX。
II)解法一:连接OO',则OO'⊥平面ABC。
又因为AB=BC,且AC是圆O的直径,所以BO⊥AC。
以O为坐标原点。
由题意得B(0,2/3,0),C(-2/3,0,0),过点F作FM垂直OB于点M,所以FM=√(FB²-BM²)=√3.可得F(0,2/3,2/3),故BC=(-2/3,-2/3,0),BF=(0,-2/3,2/3)。
2018届山东省高考压轴卷理科数学试题及答案精品推荐
2018届山东省高考压轴卷理科数学试题及答案精品推荐2018山东省高考压轴卷理科数学一、选择题:本大题共18小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={0,1,2},B={x|x=2a ,a ∈A},则A ∩B 中元素的个数为()A.0B.1C.2D.3 2. 复数21i z ()i=-,则复数1z +在复平面上对应的点位于A .第一象限B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 3.已知直线l ⊥平面α,直线m ∥平面β,则“//αβ”是“l m ⊥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,a 3=5,S k+2﹣S k =36,则k 的值为()5.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为()6.一个算法的程序框图如图所示,如果输入的x的值为2018,则输出的i的结果为()7.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)的部分图象如图所示,其中A,B两点之间的距离为5,则f(x)的递增区间是()A.[6K-1,6K+2](K∈Z)B. [6k-4,6k-1] (K∈Z)C.[3k-1,3k+2] (K∈Z)D.[3k-4,3k-1] (K∈Z)8. .在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好落在正方形与曲线围成的区域内(阴影部分)的概率为().B.D.9.已知抛物线22(0)y px p=>的焦点F与双曲22145x y-=的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且AK=,则A点的横坐标为(A)18.已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x+6)+f(x)=2f(3),y=f (x﹣1)的图象关于点(1,0)对称,则f(2018)=()A.18B.-5C.5D.0二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.18.(3x+)6的展开式中常数项为(用数字作答).18. 若等边△ABC的边长为1,平面内一点M满足,则= .18. 设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为18,则+的最小值为().18.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意x∈[a,a+2],不等式f(x+a)≥f(3x+1)恒成立,则实数a 的取值范围是________ .18. 已知集合A={f(x)|f2(x)﹣f2(y)=f(x+y)?f(x﹣y),x、y∈R},有下列命题:①若f(x)=,则f(x)∈A;②若f(x)=kx,则f(x)∈A;③若f (x )∈A ,则y=f (x )可为奇函数;④若f (x )∈A ,则对任意不等实数x 1,x 2,总有成立.其中所有正确命题的序号是______ .(填上所有正确命题的序号)三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.18.在△ABC 中,已知A=4π,cos B =. (I)求cosC 的值;(Ⅱ)若D 为AB 的中点,求CD 的长.18.如图,已知PA ⊥平面ABC ,等腰直角三角形ABC 中,AB=BC=2,AB ⊥BC ,AD ⊥PB 于D ,AE ⊥PC 于E .(Ⅰ)求证:PC ⊥DE ;(Ⅱ)若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为,求PA 的值.18. 在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球记1分,白球记2分,黄球记3分.现从这个盒子中,有放回地先后摸出两球,所得分数分别记为x 、y ,设O 为坐标原点,点P 的坐标为(2,)x x y --,记2OP ξ=.(I )求随机变量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;(Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和数学期望.19. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)n n a S 在直线312y x =-上. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)在n a 与1n a +之间插入n 个数,使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列,求数列1n d ??的前n 项和n T ,并求使-184055327n n n T +≤?成立的正整数n的最大值.20. 给定椭圆C:,称圆心在坐标原点O,半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”,已知椭圆C的两个焦点分别是.||+||=4,求椭圆C及其“伴(1)若椭圆C上一动点M随圆”的方程;(2)在(1)的条件下,过点P(0,t)(t<0)作直线l与椭圆C只有一个交点,且截椭圆C的“伴随圆”所得弦长为2,求P点的坐标;(3)已知m+n=﹣(0,π)),是否存在a,b,使椭圆C的“伴随圆”上的点到过两点(m,m2),(n,n2)的直线的最短距离.若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.21.已知函数f(x)=ax2﹣(2a+1)x+2lnx(a>0).(Ⅰ)若a≠,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当<a<1时,判断函数f(x)在区间[1,2]上有无零点?写出推理过程.2018山东省高考压轴卷理科数学参考答案1.【答案】C【解析】:由A={0,1,2},B={x|x=2a ,a ∈A}={0,2,4},所以A ∩B={0,1,2}∩{0,2,4}={0,2}.所以A ∩B 中元素的个数为2.故选C . 2. 【答案】D【解析】因为22211()1(1)22i i z i i i i -====----,所以1112z i +=-,所以复数1z +在复平面上对应的点位于第四象限.3. 【答案】A.【解析】当//αβ时,由l ⊥平面α得,l β⊥,又直线m ∥平面β,所以l m ⊥。
2018年山东省高考数学试卷(理科)word版试卷及解析
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国一卷)理科数学一、选择题:(本题有12小题,每小题5分,共60分。
) 1、设z=,则∣z ∣=( )A.0B. 12 C.1 D. √2 2、已知集合A={x|x 2-x-2>0},则C R A =( ) A 、{x|-1<x<2} B 、{x|-1≤x ≤2}C 、{x|x<-1}∪{x|x>2}D 、{x|x ≤-1}∪{x|x ≥2}3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:则下面结论中不正确的是( )A. 新农村建设后,种植收入减少B. 新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后,养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4、记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若3S 3 = S 2+ S 4,a 1 =2,则a 5 =( ) A 、-12 B 、-10 C 、10 D 、125、设函数f (x )=x ³+(a-1)x ²+ax .若f (x )为奇函数,则曲线y= f (x )在点(0,0)处的切线方程为( )A.y= -2xB.y= -xC.y=2xD.y=x6、在∆ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB→ =( ) A. 34 AB → - 14 AC → B. 14 AB → - 34 AC → C. 34 AB → + 14 AC → D. 14 AB → + 34 AC→建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图。
圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为( )A. 2√17B. 2√5C. 3D. 28.设抛物线C :y ²=4x 的焦点为F ,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ,N 两点,则FM → ·FN→ =( ) A.5 B.6 C.7 D.8 9.已知函数f (x )= g (x )=f (x )+x+a ,若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是( )A. [-1,0)B. [0,+∞)C. [-1,+∞)D. [1,+∞)10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。
2018年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅲ)(含答案及解析)
2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.(5分)已知集合A={x|x﹣1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2} 2.(5分)(1+i)(2﹣i)=()A.﹣3﹣i B.﹣3+i C.3﹣i D.3+i3.(5分)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A.B.C.D.4.(5分)若sinα=,则cos2α=()A.B.C.﹣D.﹣5.(5分)(x2+)5的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.806.(5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x﹣2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]7.(5分)函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为()A.B.C.D.8.(5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(x=4)<P(X=6),则p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.39.(5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.10.(5分)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且面积为9,则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为()A.12B.18C.24D.5411.(5分)设F1,F2是双曲线C:﹣=1(a>0.b>0)的左,右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若|PF1|=|OP|,则C的离心率为()A.B.2C.D.12.(5分)设a=log0.20.3,b=log20.3,则()A.a+b<ab<0B.ab<a+b<0C.a+b<0<ab D.ab<0<a+b二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2018年山东省高考数学试卷(理科)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i2.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)3.(5分)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需要将函数y=sin4x的图象()个单位.A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移4.(5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.﹣a2B.﹣a2C.a2 D.a25.(5分)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2的解集是()A.(﹣∞,4)B.(﹣∞,1)C.(1,4) D.(1,5)6.(5分)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣37.(5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.2π8.(5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.﹣或﹣B.﹣或﹣C.﹣或﹣D.﹣或﹣10.(5分)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是()A.[,1]B.[0,1]C.[,+∞)D.[1,+∞)二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)观察下列各式:C=40;C+C=41;C+C+C=42;C+C+C+C=43;…照此规律,当n∈N*时,C+C+C+…+C= .12.(5分)若“?x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为.13.(5分)执行右边的程序框图,输出的T的值为.14.(5分)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b= .15.(5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.三、解答题16.(12分)设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.17.(12分)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD 所成的角(锐角)的大小.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知2S n=3n+3.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n},满足a n b n=log3a n,求{b n}的前n项和T n.19.(12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.20.(13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m 交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求||的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.21.(14分)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.2018年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.(5分)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=()A.1﹣i B.1+i C.﹣1﹣i D.﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可.【解答】解:=i,则=i(1﹣i)=1+i,可得z=1﹣i.故选:A.【点评】本题考查复数的基本运算,基本知识的考查.2.(5分)已知集合A={x|x2﹣4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B=()A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)【分析】求出集合A,然后求出两个集合的交集.【解答】解:集合A={x|x2﹣4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2<x<4},则A∩B={x|2<x<3}=(2,3).故选:C.【点评】本题考查集合的交集的求法,考查计算能力.3.(5分)要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需要将函数y=sin4x的图象()个单位.A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.【解答】解:因为函数y=sin(4x﹣)=sin[4(x﹣)],要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位.故选:B.【点评】本题考查三角函数的图象的平移,值域平移变换中x的系数是易错点.4.(5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.﹣a2B.﹣a2C.a2 D.a2【分析】由已知可求,,根据=()?=代入可求【解答】解:∵菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,∴=a2,=a×a×cos60°=,则=()?==故选:D.【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算,属于基础试题5.(5分)不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|<2的解集是()A.(﹣∞,4)B.(﹣∞,1)C.(1,4) D.(1,5)【分析】运用零点分区间,求出零点为1,5,讨论①当x<1,②当1≤x≤5,③当x>5,分别去掉绝对值,解不等式,最后求并集即可.【解答】解:①当x<1,不等式即为﹣x+1+x﹣5<2,即﹣4<2成立,故x<1;②当1≤x≤5,不等式即为x﹣1+x﹣5<2,得x<4,故1≤x<4;③当x>5,x﹣1﹣x+5<2,即4<2不成立,故x∈?.综上知解集为(﹣∞,4).故选:A.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,主要考查运用零点分区间的方法,考查运算能力,属于中档题.6.(5分)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).则A(2,0),B(1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2,故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题7.(5分)在梯形ABCD中,∠ABC=,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2,将梯形ABCD 绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D.2π【分析】画出几何体的直观图,利用已知条件,求解几何体的体积即可.【解答】解:由题意可知几何体的直观图如图:旋转体是底面半径为1,高为2的圆柱,挖去一个相同底面高为1的倒圆锥,几何体的体积为:=.故选:C.【点评】本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.画出几何体的直观图是解题的关键.8.(5分)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机抽取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%)A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74%【分析】由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,可得P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%),即可得出结论.【解答】解:由题意P(﹣3<ξ<3)=68.26%,P(﹣6<ξ<6)=95.44%,所以P(3<ξ<6)=(95.44%﹣68.26%)=13.59%.【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量μ和σ的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.9.(5分)一条光线从点(﹣2,﹣3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为()A.﹣或﹣B.﹣或﹣C.﹣或﹣D.﹣或﹣【分析】点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),利用直线与圆相切的性质即可得出.【解答】解:点A(﹣2,﹣3)关于y轴的对称点为A′(2,﹣3),故可设反射光线所在直线的方程为:y+3=k(x﹣2),化为kx﹣y﹣2k﹣3=0.∵反射光线与圆(x+3)2+(y﹣2)2=1相切,∴圆心(﹣3,2)到直线的距离d==1,化为24k2+50k+24=0,∴k=或﹣.故选:D.【点评】本题考查了反射光线的性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、点斜式、对称点,考查了计算能力,属于中档题.10.(5分)设函数f(x)=,则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是()A.[,1]B.[0,1]C.[,+∞)D.[1,+∞)【分析】令f(a)=t,则f(t)=2t,讨论t<1,运用导数判断单调性,进而得到方程无解,讨论t≥1时,以及a<1,a≥1,由分段函数的解析式,解不等式即可得到所求范围.【解答】解:令f(a)=t,则f(t)=2t,当t<1时,3t﹣1=2t,由g(t)=3t﹣1﹣2t的导数为g′(t)=3﹣2t ln2,在t<1时,g′(t)>0,g(t)在(﹣∞,1)递增,即有g(t)<g(1)=0,则方程3t﹣1=2t无解;当t≥1时,2t=2t成立,由f(a)≥1,即3a﹣1≥1,解得a≥,且a<1;或a≥1,2a≥1解得a≥0,即为a≥1.综上可得a的范围是a≥.故选:C.【点评】本题考查分段函数的运用,主要考查函数的单调性的运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.(5分)观察下列各式:C=40;C+C=41;C+C+C=42;C+C+C+C=43;…照此规律,当n∈N*时,C+C+C+…+C= 4n﹣1.【分析】仔细观察已知条件,找出规律,即可得到结果.【解答】解:因为C=40;C+C=41;C+C+C=42;C+C+C+C=43;…照此规律,可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的幂指数相同,可得:当n∈N*时,C+C+C+…+C=4n﹣1;故答案为:4n﹣1.【点评】本题考查归纳推理的应用,找出规律是解题的关键.12.(5分)若“?x∈[0,],tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为 1 .【分析】求出正切函数的最大值,即可得到m的范围.【解答】解:“?x∈[0,],tanx≤m”是真命题,可得tanx≤1,所以,m≥1,实数m的最小值为:1.故答案为:1.【点评】本题考查函数的最值的应用,命题的真假的应用,考查计算能力.13.(5分)执行右边的程序框图,输出的T的值为.【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【解答】解:赋值:n=1,T=1,判断1<3,执行T=1+=1+=1+,n=2;判断2<3,执行T=+==,n=3;判断3<3不成立,算法结束,输出T=.故答案为:.【点评】本题考查程序框图,考查定积分的求法,是基础题.14.(5分)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[﹣1,0],则a+b= .【分析】对a进行分类讨论,分别题意和指数函数的单调性列出方程组,解得答案.【解答】解:当a>1时,函数f(x)=a x+b在定义域上是增函数,所以,解得b=﹣1,=0不符合题意舍去;当0<a<1时,函数f(x)=a x+b在定义域上是减函数,所以,解得b=﹣2,a=,综上a+b=,故答案为:【点评】本题考查指数函数的单调性的应用,以及分类讨论思想,属于中档题.15.(5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B,若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.【分析】求出A的坐标,可得=,利用△OAB的垂心为C2的焦点,可得×(﹣)=﹣1,由此可求C1的离心率.【解答】解:双曲线C1:﹣=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,与抛物线C2:x2=2py联立,可得x=0或x=±,取A(,),设垂心H(0,),则k AH==,∵△OAB的垂心为C2的焦点,∴×(﹣)=﹣1,∴5a2=4b2,∴5a2=4(c2﹣a2)∴e==.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的性质,考查学生的计算能力,确定A的坐标是关键.三、解答题16.(12分)设f(x)=sinxcosx﹣cos2(x+).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f()=0,a=1,求△ABC面积的最大值.【分析】(Ⅰ)由三角函数恒等变换化简解析式可得f(x)=sin2x﹣,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得f(x)的单调递增区间,由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得单调递减区间.(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA,cosA,由余弦定理可得:bc,且当b=c时等号成立,从而可求bcsinA≤,从而得解.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,f(x)=sin2x﹣=sin2x﹣=sin2x﹣由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;由2k≤2x≤2k,k∈Z可解得:k≤x≤k,k∈Z;所以f(x)的单调递增区间是[k,k],(k∈Z);单调递减区间是:[k,k],(k∈Z);(Ⅱ)由f()=sinA﹣=0,可得sinA=,由题意知A为锐角,所以cosA=,由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:1+bc=b2+c2≥2bc,即bc,且当b=c时等号成立.因此S=bcsinA≤,所以△ABC面积的最大值为.【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质,余弦定理,基本不等式的应用,属于基本知识的考查.17.(12分)如图,在三棱台DEF﹣ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.(Ⅰ)求证:BD∥平面FGH;(Ⅱ)若CF⊥平面ABC,AB⊥BC,CF=DE,∠BAC=45°,求平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.【分析】(Ⅰ)根据AB=2DE便可得到BC=2EF,从而可以得出四边形EFHB为平行四边形,从而得到BE∥HF,便有BE∥平面FGH,再证明DE∥平面FGH,从而得到平面BDE∥平面FGH,从而BD∥平面FGH;(Ⅱ)连接HE,根据条件能够说明HC,HG,HE三直线两两垂直,从而分别以这三直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,然后求出一些点的坐标.连接BG,可说明为平面ACFD的一条法向量,设平面FGH的法向量为,根据即可求出法向量,设平面FGH与平面ACFD所成的角为θ,根据cosθ=即可求出平面FGH与平面ACFD所成的角的大小.【解答】解:(Ⅰ)证明:根据已知条件,DF∥AC,EF∥BC,DE∥AB;△DEF∽△ABC,又AB=2DE,∴BC=2EF=2BH,∴四边形EFHB为平行四边形;∴BE∥HF,HF?平面FGH,BE?平面FGH;∴BE∥平面FGH;同样,因为GH为△ABC中位线,∴GH∥AB;又DE∥AB;∴DE∥GH;∴DE∥平面FGH,DE∩BE=E;∴平面BDE∥平面FGH,BD?平面BDE;∴BD∥平面FGH;(Ⅱ)连接HE,则HE∥CF;∵CF⊥平面ABC;∴HE⊥平面ABC,并且HG⊥HC;∴HC,HG,HE三直线两两垂直,分别以这三直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设HC=1,则:H(0,0,0),G(0,1,0),F(1,0,1),B(﹣1,0,0);连接BG,根据已知条件BA=BC,G为AC中点;∴BG⊥AC;又CF⊥平面ABC,BG?平面ABC;∴BG⊥CF,AC∩CF=C;∴BG⊥平面ACFD;∴向量为平面ACFD的法向量;设平面FGH的法向量为,则:,取z=1,则:;设平面FGH和平面ACFD所成的锐二面角为θ,则:|cos|=;cosθ=∴平面FGH与平面ACFD所成的角为60°.【点评】考查棱台的定义,平行四边形的定义,线面平行的判定定理,面面平行的判定定理及其性质,线面垂直的性质及线面垂直的判定定理,以及建立空间直角坐标系,利用空间向量求二面角的方法,平面法向量的概念及求法,向量垂直的充要条件,向量夹角余弦的坐标公式,平面和平面所成角的定义.18.(12分)设数列{a n}的前n项和为S n,已知2S n=3n+3.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)若数列{b n},满足a n b n=log3a n,求{b n}的前n项和T n.【分析】(Ⅰ)利用2S n=3n+3,可求得a1=3;当n>1时,2S n﹣1=3n﹣1+3,两式相减2a n=2S n﹣2S n﹣1,可求得a n=3n﹣1,从而可得{a n}的通项公式;(Ⅱ)依题意,a n b n=log3a n,可得b1=,当n>1时,b n=31﹣n?log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,于是可求得T1=b1=;当n>1时,T n=b1+b2+…+b n=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),利用错位相减法可求得{b n}的前n项和T n.【解答】解:(Ⅰ)因为2S n=3n+3,所以2a1=31+3=6,故a1=3,当n>1时,2S n﹣1=3n﹣1+3,此时,2a n=2S n﹣2S n﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1,即a n=3n﹣1,所以a n=.(Ⅱ)因为a n b n=log3a n,所以b1=,当n>1时,b n=31﹣n?log33n﹣1=(n﹣1)×31﹣n,所以T1=b1=;当n>1时,T n=b1+b2+…+b n=+(1×3﹣1+2×3﹣2+…+(n﹣1)×31﹣n),所以3T n=1+(1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+(n﹣1)×32﹣n),两式相减得:2T n=+(30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣(n﹣1)×31﹣n)=+﹣(n ﹣1)×31﹣n=﹣,所以T n=﹣,经检验,n=1时也适合,综上可得T n=﹣.【点评】本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考查“错位相减法”求和,考查分析、运算能力,属于中档题.19.(12分)若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次,得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分,若能被5整除,但不能被10整除,得﹣1分,若能被10整除,得1分.(Ⅰ)写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX.【分析】(Ⅰ)根据“三位递增数”的定义,即可写出所有个位数字是5的“三位递增数”;(Ⅱ)随机变量X的取值为:0,﹣1,1分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.【解答】解:(Ⅰ)根据定义个位数字是5的“三位递增数”有:125,135,145,235,245,345;(Ⅱ)由题意知,全部“三位递增数”的个数为,随机变量X的取值为:0,﹣1,1,当X=0时,可以选择除去5以外的剩下8个数字中选择3个进行组合,即;当X=﹣1时,首先选择5,由于不能被10整除,因此不能选择数字2,4,6,8,可以从1,3,7,9中选择两个数字和5进行组合,即;当X=1时,有两种组合方式,第一种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择2个数字和5进行组合,即;第二种方案:首先选5,然后从2,4,6,8中选择1个数字,再从1,3,7,9中选择1个数字,最后把3个数字进行组合,即.则P(X=0)==,P(X=﹣1)==,P(X=1)==,X0﹣11PEX=0×+(﹣1)×+1×=.【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算,求出对应的概率是解决本题的关键.20.(13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.(i)求||的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.【分析】(Ⅰ)运用椭圆的离心率公式和a,b,c的关系,计算即可得到b,进而得到椭圆C的方程;(Ⅱ)求得椭圆E的方程,(i)设P(x0,y0),||=λ,求得Q的坐标,分别代入椭圆C,E的方程,化简整理,即可得到所求值;(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,运用韦达定理,三角形的面积公式,将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,由判别式大于0,可得t的范围,结合二次函数的最值,又△ABQ的面积为3S,即可得到所求的最大值.【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,PF1+PF2=2a=4,可得a=2,又=,a2﹣c2=b2,可得b=1,即有椭圆C的方程为+y2=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆E的方程为+=1,(i)设P(x0,y0),||=λ,由题意可知,Q(﹣λx0,﹣λy0),由于+y02=1,又+=1,即(+y02)=1,所以λ=2,即||=2;(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣16=0,由△>0,可得m2<4+16k2,①则有x1+x2=﹣,x1x2=,所以|x1﹣x2|=,由直线y=kx+m与y轴交于(0,m),则△AOB的面积为S=|m|?|x1﹣x2|=|m|?=2,设=t,则S=2,将直线y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,由△≥0可得m2≤1+4k2,②由①②可得0<t≤1,则S=2在(0,1]递增,即有t=1取得最大值,即有S,即m2=1+4k2,取得最大值2,由(i)知,△ABQ的面积为3S,即△ABQ面积的最大值为6.【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理,同时考查三角形的面积公式和二次函数的最值,属于中档题.21.(14分)设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,(Ⅰ)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;(Ⅱ)若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.【分析】(I)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).=.令g(x)=2ax2+ax﹣a+1.对a与△分类讨论可得:(1)当a=0时,此时f′(x)>0,即可得出函数的单调性与极值的情况.(2)当a>0时,△=a(9a﹣8).①当时,△≤0,②当a时,△>0,即可得出函数的单调性与极值的情况.(3)当a<0时,△>0.即可得出函数的单调性与极值的情况.(II)由(I)可知:(1)当0≤a时,可得函数f(x)在(0,+∞)上单调性,即可判断出.(2)当<a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调性,即可判断出.(3)当1<a时,由g(0)<0,可得x2>0,利用x∈(0,x2)时函数f(x)单调性,即可判断出;(4)当a<0时,设h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),研究其单调性,即可判断出【解答】解:(I)函数f(x)=ln(x+1)+a(x2﹣x),其中a∈R,x∈(﹣1,+∞).=.令g(x)=2ax2+ax﹣a+1.(1)当a=0时,g(x)=1,此时f′(x)>0,函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值点.(2)当a>0时,△=a2﹣8a(1﹣a)=a(9a﹣8).①当时,△≤0,g(x)≥0,f′(x)≥0,函数f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增,无极值点.②当a时,△>0,设方程2ax2+ax﹣a+1=0的两个实数根分别为x1,x2,x1<x2.∵x1+x2=,∴,.由g(﹣1)>0,可得﹣1<x1.∴当x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.(3)当a<0时,△>0.由g(﹣1)=1>0,可得x1<﹣1<x2.∴当x∈(﹣1,x2)时,g(x)>0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;当x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.因此函数f(x)有一个极值点.综上所述:当a<0时,函数f(x)有一个极值点;当0≤a时,函数f(x)无极值点;当a时,函数f(x)有两个极值点.(II)由(I)可知:(1)当0≤a时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.∵f(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.(2)当<a≤1时,由g(0)≥0,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)>0,符合题意.(3)当1<a时,由g(0)<0,可得x2>0,∴x∈(0,x2)时,函数f(x)单调递减.又f(0)=0,∴x∈(0,x2)时,f(x)<0,不符合题意,舍去;(4)当a<0时,设h(x)=x﹣ln(x+1),x∈(0,+∞),h′(x)=>0.∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.因此x∈(0,+∞)时,h(x)>h(0)=0,即ln(x+1)<x,可得:f(x)<x+a(x2﹣x)=ax2+(1﹣a)x,当x>时,ax2+(1﹣a)x<0,此时f(x)<0,不合题意,舍去.综上所述,a的取值范围为[0,1].【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数研究函数的单调性极值,考查了分析问题与解决问题的能力,考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力,属于难题.。