函数的零点问题

函数零点问题的求解

【教学目标】

知识与技能：

1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.

2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法.

3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.

过程与方法：

1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决.

2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用.

情感、态度与价值观:

1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；

2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.

【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】

一、引例

（1）．函数()e 2x

f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）．

A.()2,1--

B.()1,0-

C.()0,1

D.()1,2 解法一:代数解法

解：(1)．因为()0

0e 0210f =+-=-<，()1

1e 12e 10f =+-=->，

所以函数()e 2x

f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C.

二、 基础知识回顾

1．函数零点概念

对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．

2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有

()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，

这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题1:函数()1f x x =

,有()()11

20,2022

f f -=-<=>,那么在[]2,2-上函数()1

f x x

=

有零点吗? 问题2:函数2

()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法

(1). ()

e 2x

f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x

y e =和2y x =-+的图象，可观察得出C 正确.

函数零点、方程的根与函数图像的关系

函数()()()y F x f x g x ==-有零点 方程 ()()()0F x f x g x =-=有实数根

1.例

变式2：若函数为()lg cos f x x x =-，则有 个零点.

解:由()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,画出lg y x =和cos y x =的图像,可得

解1:设2

,y a x y x a ==+,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程

2a x x a =+有两个不同的实数根. x a y 2=与a x y +=的图像，当1=a 时，在第一象

限平行，第二象限有一个交点，当1a 时有两个交点，故1a >.

解2:设211,y x y x a a

==

+,分别画两函数的图像,,两图像有两个不同的交点即方程2a x x a =+有两个不同的实数根.只有当a x a

y 1

12+=的斜率小于1时有两个交点，即

2.利用零点性质求参数的取值范围

探究：32

()69f x x x x a =-++在x R ∈上有三个零点，求a 的取值范围. 解：由2

()3129f x x x '=-+令()0f x '>，得3x >或得13x <<

()f x ∴在(,1)-∞，(3,)+∞(1,3)上单调递减

()=(1)4f x f a ∴=+>极大值()=(3)0f x f a =<极小值

40a ∴-<<.

变式1：方程3

2

69x x x a -++解，求a 的取值范围.

解：由方程3

2

69x x x a -++解，即3269x x x a -+=-

由()3

2

69f x x x x =-+

变式2：3290x ax x -+=在[]2,4上有实数解，求a 的取值范围.

解1：由32

99

,[2,4]x x a x x x x

+==+∈，13[6,]2a ∈. 变式3：若不等式3290x ax x -+≥在[]2,4上恒成立，求a 的取值范围.

解：转化为[]9(),1,3a x x x ≤+∈恒成立问题，即[]min 9(),1,3a x x x

≤+∈得](

,6a ∈-∞.

四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.