函数的零点问题
函数零点问题
函数零点问题
函数零点问题，又称为函数根搜索问题，是求解一元函数或多元函数的实根的方法。
即在给定的一个区间[a,b]内求解f(x)=0的根，其中f(x)是一个连续函数。
该问题的求解最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。
二分法是一种简单而有效的求解函数零点的方法，它的基本思想是将定义域划分为两个子区间，如果函数在两个子区间的符号不同，则说明该区间存在函数零点，然后再把该区间一分为二，得到新的两个子区间，重复上述步骤，直至找到函数零点的精确位置。
牛顿迭代法是一种根据函数的导数来求函数零点的一种方法，它的基本思想是：令函数f(x)在某点x0上的切线与X轴相交于点P，然后选择P作为下一个迭代点，重复该过程，直至收敛到函数零点。
简单的零点问题
零点问题是一个在数学中常见的问题，它涉及到函数在某个区间内的零点的数量和位置。
零点是指函数图象与x轴的交点，即函数值为零的点。
在解决零点问题时，我们需要考虑函数的性质、函数的单调性、极值点等因素。
首先，我们需要了解函数的性质和特点。
对于一个函数f(x)，我们需要观察它的图像，了解它在哪些区间内是单调的，哪些区间内是凹凸的，以及它的极值点和拐点等信息。
这些信息可以帮助我们更好地理解函数的性质，为解决零点问题提供依据。
接下来，我们需要考虑函数的零点。
在解决零点问题时，我们需要观察函数在哪些点上有零点。
我们可以通过代数方法或几何方法来确定函数的零点。
代数方法是通过解方程来找到零点，而几何方法则是通过观察函数图像与x轴的位置关系来找到零点。
此外，我们还可以通过分析函数的导数或微分来找到函数的极值点和拐点，从而确定零点的位置。
在解决零点问题时，我们需要考虑多种因素，如函数的性质、函数的单调性、极值点、拐点等。
我们需要通过分析这些因素来找到函数的零点，并确定它们的位置和数量。
在某些情况下，我们还需要考虑函数的其他性质和特点，如周期性、对称性等。
这些因素可能会影响零点的位置和数量，因此我们需要认真考虑它们的重要性。
通过解决零点问题，我们可以更好地了解函数的性质和特点，从而更好地应用函数来解决实际问题。
在实际应用中，零点问题是非常常见的，例如在经济学、物理学、工程学等领域中都有涉及。
通过解决零点问题，我们可以更好地理解这些领域的实际问题，并找到更好的解决方案。
总之，零点问题是数学中的一个重要问题，需要我们认真考虑多种因素来找到函数的零点并确定它们的位置和数量。
通过解决零点问题，我们可以更好地了解函数的性质和特点，从而更好地应用函数来解决实际问题。
在未来的学习和工作中，我们应该继续探索和研究零点问题的更多方面，不断提高自己的数学素养和应用能力。
函数零点的个数问题
2x 2 x
2
2m
2x 2 x 2m2 8
0，利用换元设
t 2x 2x （ t 2 ），则问题转化为只需让方程 t2 2mt 2m2 8 0 存在大于等于 2 的解
即可，故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 g t t2 2mt 2m2 8 0 。
（1）若方程有一个解，则有相切（切点 x m 大于等于 2）或相交（其中交点在 x 2 两侧），
3：已知函数
f
x
kx ln x,
2, x x
0
0k
R
，若函数
y
f x k 有三个零点，则实数 k
的取值范围是（
）
A. k 2
B. 1 k 0
C. 2 k 1
D. k 2
思路：函数 y f x k 有三个零点，等价于方程 f x k 有三个不同实数根，进而等
价于 f x 与 y k 图像有三个不同交点，作出 f x 的图像，则 k 的正负会导致 f x 图
A．
ln 3 3
,
1 e
B.
ln 3 9
,
1 3e
C．
ln 3 9
,
1 2e
D．
ln 3 9
,
ln 3 3
思路：
f x
f 3x
f x
f
x 3
，当
x
3,
9
时，
f
x
f
x 3
ln
x 3
，所以
- 4 - / 18
ln x,1 x 3
f
x
ln
x ,3 3
x
，而 g x
9
f
区间 a,b 内至少有函数 f x 的一个零点，即至少有一点 x0 a,b ，使得 f x0 0 。 （1） f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提
高中数学-函数零点问题及例题解析
高中数学-函数零点问题及例题解析一、函数与方程基本知识点1、函数零点：（变号零点与不变号零点）（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、二分法：对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; 二、函数与方程解题技巧零点是经常考察的重点，对此部分的做题方法总结如下：（一）函数零点的存在性定理指出：“如果函数)(x f y =在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且0)()(<b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间（a,b ）内有零点，即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点（或方程在某个区间上是否有根）时，一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件：如例、函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（ ） （A ）（0，1）； （B ）（1，2）； （C ） （2，e ）； （D ）（3，4）。
分析：显然函数xx x f 2)1ln()(-+=在区间[1,2]上是连续函数，且0)1(<f ,0)2(>f ，所以由根的存在性定理可知，函数xx x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B（二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。
函数零点的题型归纳与解题技巧
函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点，即f(x)=0的解。
在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中，函数零点常见的题型有很多种，这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。
一、题型归纳1. 求解一元函数零点：例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。
2. 求解二元函数零点：例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。
3. 求解多项式方程零点：例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。
4. 求解参数方程零点：例如求解x(t) = t^2-t+2，y(t) =t^3-t^2+2t-2，求解当f(x,y)=0时对应的参数t。
5. 利用零点求解函数的性质：例如已知f(x)的零点及其性质，求解f'(x)或f''(x)的零点。
6. 证明存在或不存在零点：例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。
二、解题技巧1. 分类讨论：对于不同的函数类型，采用不同的方法求解零点。
例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等，都有相应的求解方法。
2. 利用代数方法：通过代数运算，将原方程转化为容易求解的方程。
例如将原方程化为因式分解的形式，利用韦达定理等。
3. 利用几何方法：将方程与几何图形进行关联，求解图形的相交点即为零点。
例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。
4. 利用数学分析方法：利用微积分知识，如导数、二分法、牛顿法等，求解零点。
例如，求解f'(x)=0的零点，可以找到函数的拐点；二分法则多用于求解逼近零点。
5. 利用数值方法：通过计算机进行数值逼近求解零点。
例如求解非线性方程组零点时，可以采用牛顿法、拟牛顿法等。
6. 利用泰勒展开：对于非常复杂的函数，可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开，将高次函数近似为低次函数（如线性、二次），再求解零点。
7. 利用解析几何方法：通过解析几何知识，求解平面或空间上的几何问题。
函数零点的7种问题及解法
函数零点的7种问题及解法1．若x0是方程lgx＋x＝2的解，则x0属于区间()a．(0,1) b．(1,1.25)c．(1.25,1.75) d．(1.75,2)解析：设f(x)＝lg x ＋x－2，则f(1.75)＝f74＝lg 74－，f(2)＝lg 20.答案：d2．函数f(x)＝x2＋2x－3，x0，－2＋lnx，x0的零点个数为()a．0个 b．1个 c．2个 d．3个解析：：x0时由x2＋2x－3＝0x＝－3；x0时由－2＋lnx＝0x＝e2.答案：c3．设函数f(x)＝x2－x＋a(a0)，若f(m)0，则()a．f(m－1)0b．f(m－1)0c．f(m－1)＝0d．f(m－1)与0的'大小不能确定解析：融合图象极易推论．答案：a4．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间就是()a．(－2，－1) b. (－1,0)c. (0,1) d．(1,2)解析：因为f(0)＝－10，f(1)＝e－10，所以零点在区间(0,1)上，选c.答案：c5．函数f(x)＝4x－2x＋1－3的零点是________解析：由4x－2x＋1－3＝0(2x＋1)(2x－3)＝02x＝3, x＝log23.答案：log236．函数f(x)＝(x－1)(x2－3x＋1)的零点就是__________．解析：利用定义可求解．答案：1，7．若函数y＝x2－ax＋2有一个零点为1，则a等于__________．解析：由零点定义可以解．答案：38．未知函数f(x)＝logax＋x－b(a0且a1)，当时，函数f(x)的零点为x0(n，n＋1)(nn*)，则n＝________.解析：根据f(2)＝loga2＋2－blogaa＋2－3＝0，f(3)＝loga3＋3－blogaa＋3－4＝0，x0(2,3)，故n＝2.答案：29．证明：方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．证明：令f(x)＝x2x－1，则f(x)在区间(－，＋)上的图象是一条连续不断的曲线．当x＝0时，f(x)＝－10.当x＝1时，f(x)＝10.f(0)f(1)0，故在(0,1)内至少有一个x0，当x＝x0时，f(x)＝0.即至少有一个x0，满足01，且f(x0)＝0，故方程x2x＝1至少有一个小于1的正根．。
专题13 函数的零点的问题(解析版)
专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。
例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。
函数零点问题的几种常见求解方法
Ａ． ４个
【 例１ 】 函数 ’ （ ） Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ ． Ｚ ＂ 在区间［ ０ ， ４ ］ 上零 点 的
） ．
Ｂ ． ３个
Ｃ ． ２个 Ｄ １个
分析 ： 求方程 Ｘ Ｃ Ｏ Ｓ ｏ Ｔ 。 一０ 在 区间［ ０ ， ４ ］ 上解的个 数 ， ｚ 一０ 为一个解 ； ∈（ ０ ， ４ ］ 时， ∈（ Ｏ ， ｌ ６ ］ ， 由Ｃ Ｏ Ｓ ， Ｚ 一０得
方法二 ： 利 用 零 点存 在 性 定 理 法． 如 果 函 数 Ｙ＝
【 例 ５ 】 函数 厂 （ ｚ ） 一ｚ 。 一８ ｘ ＋６ １ ｎ ｘ 十ｍ 有三 个零 点， 求 实数 的取值 范围． 分析 ： 函数有三个零点等价于 图象 与 ３ ７ 轴有三 个不
同 的交 点 ．
（ ） 一２ ｘ－ －８ ＋一 ６
故 由零点存在性定理 ， 函数有零点．
结合二分法， ｇ （ 一÷ ） ＜０ ，
ｇ （ ＿ 。 黄 ） ＞ｏ，
３ ４ 中学 教学参考
ｍ Ｉ
年 １月 总第 期 ２ ０ １ ３ １ ４ ６
中学 教 学 参考
解题 方 法ｓ技 巧 ……
函 数 零 点 问题 的 几 种 常 见 求 解 方 法
湖 北十堰 市第 一 中￣（ ４ ４ ２ ０ ０ ０ ） 卢
函数零点是函数与导数部分 的重要知识 ， 它涉及 函 数 的图像 与性 质等 基本 知识 ， 渗 透着转化 与化 归 、 数形 结合 、 分类讨论 、 函数与方程等重要 思想 ， 体 现对学 生综 合能力 的考查． 下面对常见的几种 函数零点解 决办法作
解得 ７ ＜ｍ ＜１ ５ —６ １ ｎ ３ ．
浅谈高中数学零点问题
浅谈⾼中数学零点问题 函数的零点是考纲上要求的基本内容，也是⾼中新课程标准新增内容之⼀，是函数的重要性质。
接下来店铺为你整理了浅谈⾼中数学零点问题，⼀起来看看吧。
浅谈⾼中数学零点问题篇⼀ ⼀、求函数的零点 例1求函数y=x2-(x<0)2x-1(x≥0)的零点。
解：令x2-1=0(x<0)，解得x=1， 2x-1=0(x≥0)，解得x=。
所以原函数的零点为和-1和。
点评：求函数f(x)的零点，转化为⽅程f(x)=0，通过因式分解把⽅程转化为⼀(⼆)次⽅程求解。
⼆、判断函数零点个数 例2求f(x)=x-的零点个数。
解：函数的定义域(-∞，0)∪(0，+∞)。
令f(x)=0即x-=0， 解得：x=2或x=-2。
所以原函数有2个零点。
点评：转化为⽅程直接求出函数零点，注意函数的定义域。
三、根据函数零点反求参数 例3若⽅程ax-x-a=0有两个解,求a的取值范围。
析：⽅程ax-x-a=0转化为ax=x+a。
由题知，⽅程ax-x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=ax与y=a+x 有两个不同的交点，如图所⽰。
(1)0此种情况不符合题意。
(2)a>1。
直线y=x+a 在y轴上的截距⼤于1时，函数y=ax与函数y=a+x 有两个不同的交点。
所以a<0与0 点评：采⽤分类讨论与⽤数形结合的思想。
四、⽤⼆分法近似求解零点 例4求函数f(x)=x3+x2-2x-2的⼀个正数零点(精确到0.1)。
解：(1)第⼀步确定零点所在的⼤致区间(a，b)，可利⽤函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定⼀个长度为1的区间。
(2)列表如下： 零点所在区间中点函数值区间长度 (1，2)f(1.5) >0 1 (1，1.5) f(1.25) <00.5 (1.25,1.5) f(1.375) <00.25 (1.375,1.5) f(1.438)>0 0.125 (1.375,1.438) f(1.4065)>0 0.0625 可知区间(1.375，1.438)长度⼩于0.1，故可在(1.375，1.438)内取1.4065作为函数f(x)正数的零点的近似值。
数学中的零点问题及其应用
数学中的零点问题及其应用数学中的零点问题是指寻找函数的根或解的过程，即求解方程f(x)=0的问题。
解决零点问题在数学和实际应用中具有重要的意义。
本文将介绍数学中的零点问题及其应用，并且给出一些实际例子来说明这些应用。
一、零点问题的定义在数学中，零点问题是指寻找一个函数在定义域内使函数值等于零的解，或者说求解方程f(x)=0的过程。
根据函数的不同类型，零点问题可以分为代数方程的零点问题和连续函数的零点问题。
对于代数方程的零点问题，我们通常使用代数方法进行求解，例如二次方程可以使用求根公式，三次方程可以使用卡丹公式等。
而对于高次方程，一般需要借助数值方法进行求解，如二分法、牛顿迭代法等。
对于连续函数的零点问题，我们通常使用数值方法进行求解，如二分法、牛顿迭代法、割线法等。
这些方法可以通过逼近的方式来寻找函数的零点。
二、零点问题的应用数学中的零点问题在实际应用中有许多重要的应用。
下面我们分别介绍一些常见的应用。
1. 物理学中的零点问题物理学中的许多问题可以转化为数学中的零点问题来求解。
例如，质点在重力作用下的运动可以通过求解质点的运动方程来得到。
而质点的运动方程通常可以表示为一个函数，通过求解这个函数的零点，我们可以得到质点的运动过程中的关键时刻和位置。
2. 经济学中的零点问题经济学中的许多问题也可以转化为数学中的零点问题来求解。
例如，经济学家常常使用需求曲线和供给曲线来描述市场的供需关系。
通过求解供需曲线的交点，我们可以得到市场均衡时的价格和数量。
3. 工程学中的零点问题工程学中的许多问题也需要求解函数的零点来得到解。
例如，电路工程中常常需要求解电路中电流和电压的关系。
通过求解电路方程的零点，我们可以得到电路中的稳定工作状态。
4. 计算机科学中的零点问题在计算机科学中，零点问题也有广泛的应用。
例如，图像处理中的图像分割问题可以转化为求解某种特定函数的零点来实现。
另一个例子是机器学习中的参数估计问题，通过求解似然函数的零点，我们可以得到模型的最优参数。
高中数学-函数的零点问题及例题分析
高中数学-函数的零点问题及例题分析1. 引言函数是数学中一个非常重要的概念，它在数学和实际问题中发挥着重要的作用。
函数的零点问题是函数中一个常见且重要的问题，它与方程的解有着紧密的联系。
本文将介绍函数的零点问题，并通过一些例题分析来加深理解。
2. 函数的定义与性质回顾函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
函数通常用符号表示，如$f(x)$，其中$x$是自变量，$f(x)$是对应的函数值。
函数的零点指的是函数取零值的点，即满足$f(x)=0$的$x$值。
函数的零点问题与方程的解问题紧密相关。
对于一元函数，函数的零点就是方程$f(x)=0$的解。
因此，解方程可以转化为求函数的零点。
函数的零点可以通过图像、图表或数值计算等方法来确定。
下面将通过几个例题来进一步分析。
3. 例题分析3.1 例题一已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$，求函数$f(x)$的零点。
解析：要求函数$f(x)$的零点，即求解方程$2x^2-3x+1=0$。
我们可以使用配方法、求根公式或因式分解等方法来解这个二次方程，最终可以得到$x=1$和$x=\frac{1}{2}$两个解。
3.2 例题二已知函数$g(x)=\sqrt{x+3}-2$，求函数$g(x)$的零点。
解析：要求函数$g(x)$的零点，即求解方程$\sqrt{x+3}-2=0$。
为了消除平方根，我们可以将方程两边平方，得到$x+3=4$，然后解得$x=1$。
因此，函数$g(x)$的零点为$x=1$。
3.3 例题三已知函数$h(x)=\frac{1}{x-2}$，求函数$h(x)$的零点。
解析：函数$h(x)$在$x=2$处不存在定义，因此不存在零点。
4. 总结本文介绍了函数的零点问题及其与方程的解之间的联系。
函数的零点是函数取零值的点，可以通过解相应的方程来求得。
通过例题分析，我们进一步了解了求函数零点的具体方法。
在实际问题中，函数的零点问题有时对于确定某个变量的取值非常重要，因此对于函数的零点问题的理解和掌握是非常有益的。
指数函数与对数函数的零点问题
指数函数与对数函数的零点问题指数函数和对数函数是高中数学中常见的函数类型，它们在解决实际问题中具有重要的应用价值。
其中，指数函数与对数函数的零点问题是一个比较常见且具有一定难度的问题。
本文将围绕指数函数和对数函数零点问题展开讨论。
一、指数函数的零点问题指数函数通常可以表示为f(x)=a^x（a>0, a≠1）的形式，其中a被称为底数。
当指数函数的底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当0<a<1时，函数呈现衰减趋势。
指数函数的零点问题即是要找出满足f(x)=0的解x。
在解决指数函数零点问题时，常用的方法是对数运算法。
由于指数运算和对数运算是互逆的，因此我们可以通过对指数函数进行对数运算，将指数函数的零点问题转化为对数函数的求解问题。
举个例子来说明，假设有一个指数函数f(x)=2^x，要求解f(x)=0的解x。
我们可以将指数函数转化为对数形式，即2^x=0转化为log2(y)=x，其中y=0。
这样，我们就将求解指数函数的零点问题转化为了对数函数log2(y)的求解问题。
二、对数函数的零点问题对数函数通常可以表示为f(x)=loga(x)（a>0, a≠1）的形式，其中a 被称为底数。
对数函数的定义是y=loga(x)等价于a^y=x，其中y被称为指数。
对于对数函数的零点问题，即是要找出满足f(x)=0的解x。
与指数函数类似，我们可以通过指数运算的逆运算对数运算来解决对数函数的零点问题。
举个例子来说明，假设有一个对数函数f(x)=log2(x)，要求解f(x)=0的解x。
我们可以将对数函数转化为指数形式，即2^0=x。
根据指数运算的性质可知，任何数的0次幂都等于1，因此x=1。
这样，我们就找到了对数函数f(x)=log2(x)的零点x=1。
三、指数函数与对数函数的关系指数函数和对数函数是互为反函数的关系。
即对于任意的a>0，a≠1和x，有a^(loga(x))=x，loga(a^x)=x。
函数零点问题的题型归类及解题策略
函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。
根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。
对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。
2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。
对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。
3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。
对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。
4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。
对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。
二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。
例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。
2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。
函数的零点与解析问题及例题分析
函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点，即满足$f(x) = 0$的$x$值。
求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。
求函数的零点方法很多，常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。
下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。
例题1：：已知函数$f(x) = \sin(x)$，求$f(x)$的零点。
解析过程如下：1. 首先确定一个区间$[a, b]$，使得$f(a)$和$f(b)$异号。
2. 将区间中点记作$c$，计算$f(c)$的值。
3. 如果$f(c)$为零，则$c$是$f(x)$的零点；否则，根据$f(c)$和$f(a)$（或$f(b)$）的符号确定新的区间。
4. 重复步骤2和3，直到找到一个足够接近零点的解。
2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况，如分母为零、根号内为负数等。
解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。
解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。
以下是一些常见的例子：- 分母为零：当函数中出现分母为零的情况时，其解析问题是分母为零的$x$值，并且在该点处函数无法取值。
- 根号内为负数：当函数中出现根号内为负数的情况时，其解析问题是根号内为负数的$x$值，并且在该点处函数无法计算。
解析问题在数学问题的解决中需要注意，可以通过数值计算的方法来规避这些问题。
3. 例题分析例题2：：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$，求$f(x)$的定义域。
解析过程如下：由于分母为$x^2 - 4$，我们需要排除使分母为零的情况。
即解方程$x^2 - 4 = 0$，求得$x = \pm 2$。
因此，函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。
以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。
希望对您有所帮助！。
函数的零点个数问题-含答案
【知识要点】一、方程的根与函数的零点（1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.（2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.（3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f ，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点，即存在(,c a b ∈）使得()0f c =，这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决. 二、二分法（1）二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断，且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下： 第一步：确定区间[,]a b ，验证0)()(<⋅b f a f ，给定精确度ε. 第二步：求区间(,)a b 的中点1x .第三步：计算1()f x ：①若1()f x =0，则1x 就是函数的零点；②若1()()0f a f x <，则令1b x = （此时零点01(,)x a x ∈）③若1()()0f x f b <，则令1a x =（此时零点01(,)x x b ∈）第四步：判断是否达到精确度ε即若a b ε-<，则得到零点值a 或b ，否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组： （1）a 的符号； （2）对称轴2bx a=-的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程，再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点，求实数a 的取值范围.【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ． 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】（2017全国高考新课标I理科数学）已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()f x有两个零点，求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由（1）知()f x至多有一个零点.②若0a>，由（1）知当lnx a=-时，()f x取得最小值，1(ln)1lnf a aa-=-+.（i）当1a=时，(ln)f a-=0，故()f x只有一个零点.（ii）当(1,)a∈+∞时，由于11ln aa-+>0，即(ln)0f a->，故()f x没有零点.（iii）当0,1a∈（）时，11ln0aa-+<，即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在（-lna,+)有一个零点.综上所述，a的取值范围为（0,1）.【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈（）时，要先判断(,ln)a-∞的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，(ln)0f a-<，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->，这里利用了放缩法，丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈（）时，要判断(ln,)a-+∞上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该区间找一个函数值为正的值，它就是03ln(1)n a>-，再放缩证明0()f n >0. （4）由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. （Ⅰ）求a ；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，求b 的取值范围.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，()f x 在()1,1-内单调增加，在()1,3内单调减少，在()3,+∞上单调增加，且当1x =或3x =时，()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-，极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点，当且仅当()()31f b f <<，因此，b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问，由于函数()f x 中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值； (2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；。
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函数零点问题的求解
【教学目标】
知识与技能：
1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间.
2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法.
3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围.
过程与方法：
1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决.
2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用.
情感、态度与价值观:
1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质；
2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.
【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】
一、引例
（1）．函数()e 2x
f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）．
A.()2,1--
B.()1,0-
C.()0,1
D.()1,2 解法一:代数解法
解：(1)．因为()0
0e 0210f =+-=-<，()1
1e 12e 10f =+-=->，
所以函数()e 2x
f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C.
二、 基础知识回顾
1．函数零点概念
对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．
2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，
这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题1:函数()1f x x =
,有()()11
20,2022
f f -=-<=>,那么在[]2,2-上函数()1
f x x
=
有零点吗? 问题2:函数2
()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法
(1). ()
e 2x
f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x
y e =和2y x =-+的图象，可观察得出C 正确.
函数零点、方程的根与函数图像的关系
函数()()()y F x f x g x ==-有零点 方程 ()()()0F x f x g x =-=有实数根
1.例
变式2：若函数为()lg cos f x x x =-，则有 个零点.
解:由()lg cos 0f x x x =-=,可化为lg cos x x =,画出lg y x =和cos y x =的图像,可得
解1:设2
,y a x y x a ==+,分别画两函数的图像,两图像有两个不同的交点即方程
2a x x a =+有两个不同的实数根. x a y 2=与a x y +=的图像，当1=a 时，在第一象
限平行，第二象限有一个交点，当1<a 时只有一个交点在第二象限，当1>a 时有两个交点，故1a >.
解2:设211,y x y x a a
==
+,分别画两函数的图像,,两图像有两个不同的交点即方程2a x x a =+有两个不同的实数根.只有当a x a
y 1
12+=的斜率小于1时有两个交点，即
2.利用零点性质求参数的取值范围
探究：32
()69f x x x x a =-++在x R ∈上有三个零点，求a 的取值范围. 解：由2
()3129f x x x '=-+令()0f x '>，得3x >或得13x <<
()f x ∴在(,1)-∞，(3,)+∞(1,3)上单调递减
()=(1)4f x f a ∴=+>极大值()=(3)0f x f a =<极小值
40a ∴-<<.
变式1：方程3
2
69x x x a -++解，求a 的取值范围.
解：由方程3
2
69x x x a -++解，即3269x x x a -+=-
由()3
2
69f x x x x =-+
变式2：3290x ax x -+=在[]2,4上有实数解，求a 的取值范围.
解1：由32
99
,[2,4]x x a x x x x
+==+∈，13[6,]2a ∈. 变式3：若不等式3290x ax x -+≥在[]2,4上恒成立，求a 的取值范围.
解：转化为[]9(),1,3a x x x ≤+∈恒成立问题，即[]min 9(),1,3a x x x
≤+∈得](
,6a ∈-∞.
四、课堂小结 解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判断;根据函数零点的性质求解参数的取值范围主要有分类讨论、数形结合、等价转换等方法，注重导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以有效解决和零点相关的问题.
课后练习:
1. 已知函数()y f x =的周期为2，当[]1,1x ∈-时()2
f x x =，那么函数()y f x = 的图
象与函数lg y x =的图象的交点共有 （ ） A ．10 个 B ．9 个 C ．8 个 D ．1 个
2． 已知函数210
(),(1)
(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨
->⎩若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )
(A)（-∞，0］ (B)(-∞,1) (C)［0,1］ (D)［0,+∞)
3.若函数3
()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是
（ ） A.()2,2- B. []2,2- C.(),1-∞- D.()
1,+∞
4．若x 1满足2x+2x =5,x 2满足2x+2log 2(x-1)=5,则x 1+x 2=( )
（A ）
52 （B ）3 （C ）7
2
（D ）4 5. 已知a 是实数，函数()a x ax x f --+=3222
，如果函数()x f y =在区间[]1,1-上有零
点，求a 的取值范围.
6. 已知3x =是函数2
()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点．
（Ⅰ）求a ；
（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅲ）若直线y b =与函数()y f x =的图像有3个交点，求b 的取值范围．
7.设a 为实数，函数3
2
()f x x x x a =--+．
（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．
8.已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax =+-=--，其中()'
f
x 是的导函数.
（Ⅰ）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围； （Ⅱ）设2
a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点。