概率论与数理统计(海南大学)五六章习题详解

所以 D(Xi ) E(Xi ) E (Xi )
2 2

91 49 6 4
因此
35 ， i 1,2,,6 12 6 7 E(X) E(Xi ) 6 21 2 i1
35 D(X) D(Xi ) 6 12 i1
6

35 2
故由切比雪夫不等式得：
P|5 X 27 P14 X 28 P7 X 21 7 P| X E(X)| 7
k k 100k
所以 P X k C 100 0.2 0.8
7
k 0,1,2,,100
E(X) np 20 ， D(X) np(1 p) 16
（2） P| 4 X 30
1420 X 20 3020 P 16 16 16
E(Xi ) xdx 0
0.5
0.5
4
D(Xi ) x2dx
2 0.5
0.5
1 12
1200
（1） 因 n 1200 很大， 由独立同分布中心极限定理对该误差总和
X ，
i1 i
1200 P Xi 15 i1
1200 Xi 15 i1 P 1200 1200 12 12
1、设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布， X 1 , X 2 , X n , 相互独 立，且都与 X 的分布相同，求当 n 时，Yn 限 .（答案： ） 2、设 X 1 , X 2 , X n , 相互独立，且分布相同， E ( X ik ) k (k 1, 2,3, 4) 存在， 则根据独立同分布的中心极限定理， 当 n 充分大时，Z n 近似服从正态分布，求分布参数. （答案： 2 ,
则X
X ，且 X , X ,..., X 独立同分布，
i1 i
6
1
2
6
分布律为：
1
1 2 6 1 1 1 ，于是 6 6 6
1 7 E(Xi ) k 6 2 k1 1 91 E(X ) k2 6 6 k 1
2 i 6 6
10.97725 0.02275 .
6. 用电子计算机做加法时，对每个加数依四舍五入原则取整，设所 有取整的舍入误差是相互独立的，且均服从 0.5,0.5 上的均匀分布. （1）若有 1200个数相加，则其误差总和的绝对值超过 15的概率是多 少？ （2）最多可有多少个数相加，使得误差总和的绝对值小于 10的概率 达到 90%以上. 解： 设 Xi 为第 i 个加数的取整舍入误差， 则 Xi 为相互独立的随机变量序列， 且均服从 0.5,0.5 上的均匀分布，则
1 P| X E(X)| 7
1 1
2
D(X) 72
1 35 5 9 1 . 49 2 14 14
即 6 颗骰子出现点数之和在 15 27 之间的概率大于等于
9 . 14
4. 对敌阵地进行 1000 次炮击，每次炮击中。炮弹的命中颗数的期望 为 0.4 ，方差为 3.6，求在 1000次炮击中，有 380颗到 420 颗炮弹击中目 标的概率. 解： 以 Xi 表示第 i 次炮击击中的颗数 (i 1,2,,1000) 有 E(Xi ) 0.4 ， D(Xi ) 3.6 据 定理：
由中心极限定理：
n n P Xi 10 P Xi i1 i1
2(10
n n 10 12 12
n ) 1 0.9 . 12
5
即 (10
n ) 0.95 12 n 1.64 12
查正态分布得 10
10 2 12( ) 446.16 n 即 1.64
1000 P 380 X 420 i 则 i1
(
420400 380400 ) ( ) 3600 3600
1 1 ( ) ( ) 3 3 1 2( ) 1 3
20.62931 0.2586 .
已知该型号的螺丝钉的重量是一个 5. 一盒同型号螺丝钉共有 100个， 随机变量，期望值是 100g ，标准差是 10g . 求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg 的概率. 解： 设 Xi 为第 i 个螺丝钉的重量， i 1,2,,100 ， 且它们之间独立同分布，
E(X) 0.9n， D(X) 0.09n
则 P X 100 1 P X 100
1000.9n 1( ) 0.95 0.3 n
所以
1000.9n 1.65 0.3 n
解得 n 117 ， 即每盒至少装 117 只才能以 95%的概率保证一盒内有 100 只正品。 11. 某电站供应一万户用电，设用电高峰时，每户用电的概率为 0.9 ， 利用 中心极限定理：
100009000 90309000 P(X) 9030 P 900 900
100 ( ) (1) 3 10.8413 0.1587
（2） 设电站至少具有 x 瓦发电量，才能 0.95的概率保证供电，则因 为要：
x P200X x PX 200
3
于是一盒螺丝钉的重量 X
X ，
i1 i
100
且由 E(Xi ) 100， D(Xi ) 10知
E(X) 100E(Xi ) 10000， D(X) 100 ，
由中心极限定理有：
X 10000 1020010000 P(X 10200) P 100 10 X 10000 P 2 100 X 10000 1 P 2 100 1(2)
k 2 2 2
(k 1,2,3,4;
i 1,2,, n)
2
2 4 2 2 有 E(Xi ) 2 ， D(Xi ) E(Xi E(Xi
2 4 2
1 n E(Zn ) E(Xi2 ) 2 n i1 1 n 2 D(Zn ) 2 D(Xi2 ) (4 2 )n n i1
P| X | 3
D( X )
2
，
有
2 1 P| X | 3 . (3 )2 9
利用切比雪夫不等式估计 6 颗骰子出现点数之 3. 随机地掷 6 颗骰子， 和在 15 27 之间的概率. 解： 设 X 为 6 颗骰子所出现的点数之和；
Xi 为第 i 颗骰子出现的点数， i 1,2,,6，
10
P(X i)
i
i!
e
(i 0,1, )
求：样本 X1, X2 ,..., Xn 的联合分布律为： 解：
Hale Waihona Puke Baidu
P X1 i1, X2 i2 ,..., Xn in
P X ik
k1
n


ik
k1
n
(ik )!
k1
n
en i 0,1,2,, k
（1）计算同时用电户数在 9030户以上的概率？ （2） 若每户用电 200 瓦， 问： 电站至少应具有多大发电量， 才能以 0.95
8
的概率保证供电？ 解 以 X 表示用电高峰时同时用电的户数
（1）依题意， X B(10000,0.9) ，又 E(X) 9000 ， D(X) 900， 于是据 定理：
习题五 1 . 已 知 E( X ) 1 ， D( X ) 4 ， 利 用 切 比 雪 夫 不 等 式 估 计 概 率
P X 1 2.5 .
解： 据切比雪夫不等式
2 P X 1 2
P X 1 2.5 1 4 2.52

9 . 25
2
2．设随机变量 X 的数学期望 E( X ) ，方程 D( X ) ，利用切比 雪夫不等式估计 P| X | 3 . 解：令 3 ，则由切比雪夫不等式
12 1200 2P 1.5 X i 1200 1 i 2(1(1.5))
0.1336 .
即误差总和的绝对值超过 15的概率达到 13.36% . (2) 依题意，设最多可有 n 个数相加，则应求出最大的 n ，
n P X 10 0.9 使得 k k1
6
E(Xik ) k
(k 1,2,3,4;
i 1,2,, n) .
1n 2 证明：当 n 充分大时，随机变量 Zn Xi 近似服从正态分布. n i1
证明：由于 X1, X2 ,..., Xn 独立同分布，则 X1 , X2 ,..., Xn 也独立同分布 由 E(Xi ) k
习题六 1.设 X1, X2 ,, X8 是来自 (0, ) 上均匀分布的样本， 0 末知，求样 本的联合密度函数 解:
1 8 0 x1, x2 ,, x8 f (x1, x2 ,, x8 ) 其他 0
2. 设总体 X 服从参数为 的泊松分布，其概率分布律为：
(2.5) (1.5) (2.5) (1.5) 1
0.9940.9331 0.927 .
10 . 某厂生产的产品次品率为 p 0.1 ，为了确保销售，该厂向顾 客承诺每盒中有 100 只以上正品的概率达到 95%，问：该厂需要在一 盒中装多少只产品？ 解：设每盒中装 n 只产品，合格品数 X ~ B(n,0.9) ，
2 4 2
1 n 2 X i 依概率收敛的极 n i 1
1 2
1 n 2 Xi n i 1
n
）
3、某生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是一个随机变量， 其平均值为 50kg， 标准差为 5kg. 若用最大载重量为 5 吨的卡车承运， 利用中心极限定理说明， 每辆车最多可装多少箱才能保证不超载的概 率大于 0.977((2) 0.977) ？（答案： 98 ）
x 9000 X 9000 200 P 30 30 (
x 1800000 1.65 查表得： 6000
得 x 1809900 即电站具有 1809900瓦发电量，才能以 0.95的概率保证供电 . （B）
9
x 1800000 ) 0.95 6000
P保险公司亏本 P2000X 30000
P X 15
其概率为
P X 15 1(
1530000.001 ) 30000.0010.999
1(6.932)
0 .
即保险公司亏本的概率几乎为 0 . 8. 假设 X1, X2 ,..., Xn 是独立同分布的随机变量，已知
取 n 446 ，最多可有 446 个数相加 . 7. 在人寿保险公司是有 3000 个同一年龄的人参加人寿保险， 在1年 参加保险的人在 1年第 1天交付保险费 10 中， 每人的的死亡率为 0.1%， 元， 死亡时家属可以从保险公司领取 2000 元， 求保险公司在一年的这 项保险中亏本的概率. 解 以 X 表示 1年死亡的人数 依题意， X B(3000,0.001) 注意到
因此，根据中心极限定理：
Un
Zn 2 (4 ) n
2 2
N(0,1)
2
即当 n充分大时， Zn 近似服从 N(2,(4 2 ) n) . 9. 某保险公司多年的统计资料表明： 在索赔户中被盗索赔户占 20%， 以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户 数. （1）写出 X 的概率分布； （2）利用德莫弗-位普拉斯中心极限定理. 求：被盗索赔户不少于 14户，且不多于 30户的概率. 解 （1） X B(100,0.2) ，