东南大学几何与代数
【东南大学】《几何与代数》总复习资料
对角矩阵: diag{1, 2, …, n}, 常用表示.
对称矩阵: AT = A.
反对称矩阵: AT = A.
方阵: 行数=列数.
正交矩阵: QTQ = QQT = E.
正定矩阵: AT = A且x 有xTAx > 0.
可逆矩阵: AB = BA = E.
一. 初等阵与初等变换 (左行右列)
一次初等 A 行变换 B B PA
一次初等 A 列变换 B B AP
二. 用初等变换求逆矩阵 (A E) 初等行变换 (E A1)
三. 用初等变换解矩阵方程 (左行右列)
(A B) 初等行变换 (E A1B) 解AX=BX= A1B
b可由A的列向量组 A1, A2 , …,An线性表示 xR3时判别直线和
平面的位置关系 方阵的特征值和特
征向量 A= (≠)
方阵的相似对角化
问题 P1AP=
实对称阵正交相似对角
化Q1AQ=diag(1,…,n)
正交变换化实二次 型为标准形
直角坐标变换化二次 曲面为标准形
《几何与代数》复习要点
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
n
i为特征值
①秩
①② ③
Rnn
P可逆, s.t.
B PT AP
实对称
Ep Eq
O
东南大学级工程力学本科专业培养方案
东南大学2011级工程力学本科专业培养方案门类：工学专业代码：081701 授予学位：工学学士学制：四年制定日期：2011年6月一. 培养目标本专业培养掌握工程力学基础理论知识和工程力学理论，具有工程力学基本理论素养和进行工程设计计算及实验研究的能力的高级工程科学技术人才。
能在土木、机械、材料、能源、交通、航空、水利、化工等工程中从事科研、工程设计、测试与分析、技术开发以及力学教学工作。
二. 基本要求学生应具有扎实的数学、自然科学和工程技术的基础理论知识以及系统的专业知识并具有娴熟的实践技能，还应具有一定的人文社会科学、经济管理及相关学科的基本理论知识，能够胜任科学研究、产品开发、工程设计、教学和企业管理等多方面的工作。
三. 毕业生应具有的知识、能力、素质1、具有扎实的数学、自然科学的基本知识，掌握一种计算机语言；2、熟练掌握一门外语，能熟练阅读本专业的科技文献资料；3、掌握工程力学的基本原理和分析方法；4、掌握工程结构设计方法，具有应用工程分析软件进行设计的能力，掌握电测、光测和动态测试的基本原理和测试技术；5、具有团队合作精神、口头及书面交流能力，良好的科学精神和职业道德四. 主干学科与相近专业主干学科：工程力学、固体力学、一般力学相近专业：土木工五. 主要课程1、通识教育基础课马列课、德育课及文化素质教育类课程、大学英语、高等数学、几何与代数、程序设计与算法语言、大学物理、概率论与数理统计、计算方法等2、大类学科基础课工程力学概论、理论力学A、材料力学A、结构力学I、电工电子技术、画法几何与CAD制图等3、专业主干课弹性力学、振动力学、实验力学、计算力学、流体力六. 主要实践环节基础力学实验、固体力学实验技术、工程结构设计性研究、工程测试实习、毕业设计等七. 双语教学的课程理论力学A、材料力学A、流体力学、实验力学、结构分析软件等八. 全英文教学的课程C语言及程序设计、塑性力学九. 研究型课程工程力学概论、振动测试分析、结构分析软件、现代力学进展、基础力学实验、断裂与疲劳、随机振动、固体力学实验技术、实验力学、计算力学等十. 毕业学分要求及学士学位学分绩点要求参照东南大学学分制管理办法及学士学位授予条例，修满本专业最低计划学分要求150学分，即可毕业。
课程名称 - 东南大学-Southeast University
J4-204
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大学物理(B2)I
全校
J4-304
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几何与代数（B)
全校
J6-104
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程序设计及算法语言(非电类)Ⅱ
全校(不包括4、9、14、61、71系；11、12级5、16系)
J6-204
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工科数学分析Ⅱ
全校
J6-304
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全校
J4-304
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线性代数(A、B）
全校
J6-104
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程序设计及算法语言(电类)Ⅱ
全校(不包括4、9、14、61、71系；11、12级5、16系)
J6-204
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大学物理（B1）I、大学物理B(1)
全校
J6-304
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高等数学(A)Ⅰ、(B)Ⅰ、
工科数学分析Ⅰ
全校
J8-101
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高等数学(A)Ⅱ
东南大学线性代数几何代数历年试题
《线性代数》教学大纲32学时本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。
本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。
教学内容和基本要求一．行列式1．理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算；12．知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响；3．了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式；4．掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理；5．掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算；6．理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。
二．矩阵1．理解矩阵的概念；2．理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算；3．理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质；4．理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质；5．了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵；26．了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。
三．矩阵的初等变换与Gauss消元法1．理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系，理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念；2．了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系；3．了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解；4．理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系；5．熟练掌握用矩阵的秩判断线性方程组的相容性及讨论解的情况的方法。
四．向量组的线性相关性1．理解向量的概念，理解线性组合和线性表示的概念；2．理解向量组的线性相关、线性无关的概念以及有关性质，掌握向量组的线性相关性的判别方法；3．理解向量组的秩的概念，理解向量组的秩与矩阵的秩间的关系，熟练掌握向量组的秩的性质；34．理解向量组的最大线性无关组的概念，理解向量组的最大线性无关组与向量组的秩间的关系，会求向量组的最大线性无关组；5．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，熟练掌握基础解系的求法；6．理解非齐次线性方程组有解的充要条件，理解非齐次线性方程组与相应的齐次线性方程组的解之间的关系，熟练掌握非齐次线性方程组的通解的表达式的求法；7．知道向量空间、子空间、向量空间的基及维数的概念，会判断向两空间的子集是否构成子空间，会求由一向量组生成的子空间及一齐次线性方程组的解空间的基及它们的维数；8．知道坐标变换公式，会求两组基间的过渡矩阵。
东南大学几何与代数第五六章习题解析_总复习2014
P240第11题: xT(ATA)x 正定 x≠θ, xT(ATA)x >0 <=>∨ x≠θ, (Ax)TAx >0 <=>∨ x≠θ, ||Ax||2>0 <=>∨ x≠θ, Ax ≠θ <=>∨ < = > Ax =θ没有非零解 < = > r(A) = 未知元的个数 = A的列数
(5)
0 0 0 2
1 1 0 1
总结: 假设A与B同阶 A与B等价 A与B相似 秩相等 秩相等 行列式相等 迹相等
特征值相等
A与对角阵Λ相似 k重特征值有k个线性无关的特征向量 特征值互异 A与对角阵Λ相似 A为实对称阵 A与对角阵Λ相似
实对称矩阵 A与B相似
实对称矩阵 A与B合同
特征值相同
正负惯性指数相同 正负特征值个数相同
1
M正定 1, …, s, 1, …, t > 0 A, B都正定.
10. P1-1A1P1=B1, P2-1A2P2=B2 -1 B A P P 1 1 => 1 = 1 B2 A2 P2 P2
P205 14.
1, 2 线性无关！
15. 有k (k>1)重特征值也有可能线性相关！ 只要k 重特征值对应k个线性无关的特征 向量即可！ 再次提醒：对角阵 的对角元一定要与 相似变换矩阵 P 的列向量对应！ 15. (5) 若用对角线法则计算|E-A|,易分解因式 18. P-1AP= => A = P P-1 19. 只是利用迹和行列式相同，得不到结果！ 还需利用“特征值相同”！
例 若A=(α1, α2,„,αn)是n阶正交矩阵, 则 B=α1α1T+ α2 α2T+… +αrαrT (1≤r≤n)的 特征多项式是?
东南大学级自动化本科专业培养方案
东南大学级自动化本科专业培养方案门类：工学专业代码：授予学位：工学学制：制定日期：一. 培养目标本专业的培养目标是面向各类自动化系统的工程设计与开发，培养兼具软件和硬件设计能力、弱电和强电知识、控制基础理论和自动化工程应用能力，同时在控制科学、控制工程、智能机器人、智能信息处理等专业方向领域之一具有（知识和实践动手能力的）显著专业特长的综合型工程技术人才。
本专业毕业生在毕业五年左右的预期目标：、有良好的修养和道德水准；、能够作为成员或领导，在一个团队中独立承担某一专业领域的工作；、可胜任流程工业、机器人、智能信息处理、自动化仪表、现代制造等领域的科学研究、技术开发、教育及管理工作；、在自动化及相关领域具有就业竞争力，或有能力进入研究生阶段学习；、能够通过其它学习途径拓展自己的知识和能力；、有意愿、有能力服务社会。
二. 毕业生应具有的知识、能力、素质、工程知识：具有从事自动化工程所需的数学、自然科学、工程基础和专业知识，并可灵活、综合应用这些知识。
、问题分析：能够应用数学、自然科学和工程科学的基本原理，识别、表达、并通过文献研究分析具体的复杂自动化工程问题，以获得有效结论。
、设计开发解决方案：能够针对具体的自动化工程问题，设计解决方案。
所设计的方案可满足特定的工程需求，并能够在设计环节中体现创新意识，考虑社会、健康、安全、法律、文化以及环境等因素。
、研究：能够基于相关科学原理并采用科学方法对具体自动化工程问题进行研究，包括设计实验、分析与解释数据、并通过信息综合得到合理有效的结论。
、使用现代工具：能够针对具体自动化工程问题，开发、选择与使用恰当的技术、资源、现代工程工具和信息技术工具，包括对问题的预测与模拟，并能够理解其局限性。
、工程与社会：能够基于相关背景知识进行合理分析，评价具体的工程实践和解决方案对社会、健康、安全、法律以及文化的影响，并理解应承担的责任。
、环境和可持续发展：能够理解和评价具体的自动化工程实践对环境、社会可持续发展的影响。
东南大学教务处文件
东南大学教务处文件校机教（2004）22号关于2003级学生转系、转专业类的通知各院系、各2003级学生班级：根据我校学生转系、转专业类实施细则，现将2003级学生申请转系转专业的有关事项通知如下：一、申请对象及条件：一年级考试课程平均学分绩点达2.0，行为规范综合考评在乙及以上。
二、申请程序及时间安排：5月25日——5月30日：学生在网上提交转系申请；6月10日：教务科按院系返回报名学生名单；6月25日之前：院系对申请人的现实表现进行审核并返回审核意见；6月底：院系成绩登录到位后，教务处进行平均学分绩点的审核；7月初：教务处网上公布资格审核结果；通过资格审核的学生请提前到校，8月18日到校区教务办公室交纳考试费（50元）；8月20日：教务处公布转系考试日程安排；8月21-22日：转系考试；8月30日：公布转系考试成绩；9月6日：公布录取名单；9月8~15日：学生办理转系手续；9月20日：学生到新专业学习（学生转入建筑系、医学院学习、或从医学院转入理工科专业学习需从一年级学起；非工科专业转入工科专业一般从一年级学起，具体由学生和转入系商定）。
三、录取条件及原则：转系考试成绩合格以上，按规定次序录满名额为止，具体录取分数线待考试后公布。
四、本次可转专业、接受人数、考核课程及院系要求详见附表。
五、按学校《关于2003级“土木工程专业”管理的若干意见》精神，2003年按大类招生的“土木工程专业”的全部学生在第一学年第三学期均可自由申请选择土木学院的“土木工程专业”或交通学院的“交通工程专业”。
具体程序为：学生填写专业选择志愿表——家长签署意见——院系领导签署意见——教务处、学生处审核——学生按选择专业进入二年级学习。
2003级土木工程专业学生也可申请转校内其他专业，但需按本通知一至五条规定执行。
教务处2004年5月10日。
线性代数与解析几何__东南大学(1)--线性代数测验题1
④ 1, 3, , 2 = (2, 2)T, 3 = (1, 2)T, 4 = (3, 4)T 的一个极大线性无关组是[ ].
① 1, 2.
② 2, 3, 4.
③ 1, 2, 3. ④ 1, 3.
5.设1, 2, 3 为 3 维列向量, A = (1, 2, 3), 则下列条件中除了[
四. (20 分)用 Schimidt 正交化方法求与1 = (0, 1, 1)T, 2 = (1, 1, 2)T 等价的标准正交向量组.
二. 选择(每题 3 分)
1.设 A, B 为 n 阶方阵, 则下列结论一定正确的是[ ]. ① A + B = B + A. ② AB = BA. ③ |A + B| = |A| + |B|.
④ |3A| = 3|A|.
2.设 A, B 为 n 阶方阵, O 为 n 阶零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵, 则下列结论正确的是[ ].
2013-2014 学年第 3 学期《线性代数》期中测验
学号______________姓名_______________得分______________
一. 填空(每空 3 分)
1.设 = (1, 0, 1)T, = (2, 3, 1)T, 则T =_____________, T = _____________, ( )T 2014 =_______________.
① 秩(1, 2, 3) = 3.
② 矩阵 A 可逆.
③ 向量组1, 2, 3 线性相关. ④ 行列式|A| 0.
]以外, 其它三个条件相互等价.
�1 0 2 � �1 0 �
三. (20 分)设 A = � � �00
0 1
东南大学高等数学用的啥教材
东南大学高等数学用的啥教材东南大学高等数学用的是《高等数学（下册）》教材。
高等数学是大学理工科学生学习数学的一门基础课程，对于培养学生的数学思维和解决实际问题的能力具有重要作用。
而东南大学作为一所享有盛誉的高等学府，对于教材的选择也非常慎重。
《高等数学（下册）》是东南大学高等数学课程的教材之一，该教材的编写团队力求理论与实践相结合，以培养学生的数学素养和解决问题的能力为目标。
下面将为大家详细介绍一下该教材的主要特点。
首先，该教材注重理论与实践的结合。
在教学内容的安排上，既注重基本概念和定理的讲解，又注重将数学应用于实际问题的解决上。
通过丰富的例题和习题，学生能够更好地理解数学理论，并将其应用于实际问题的求解，提高数学的实用性。
其次，该教材的难度适中。
在编写过程中，教材编写团队充分考虑了学生的学习能力和理解难度，将复杂的数学概念和定理以简明易懂的方式呈现给学生。
同时，教材还设置了大量的习题和例题，供学生进行巩固和练习，提高数学的应用能力。
此外，该教材还注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
在教学过程中，教师将引导学生进行思维训练，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
同时，教材中还加入了一些实际问题和综合性例题，帮助学生将数学理论与实际问题相结合，培养学生解决实际问题的能力。
总的来说，《高等数学（下册）》作为东南大学高等数学课程的教材，具有内容丰富、注重理论与实践结合、难度适中以及培养学生数学思维能力的特点。
通过系统的学习和实践，学生能够掌握高等数学的基本理论和方法，提高数学分析与解决问题的能力。
因此，该教材在东南大学的教学实践中发挥了重要作用，受到师生们的普遍认可和好评。
在今后的学习中，希望同学们能够认真学习《高等数学（下册）》这一教材，通过理论与实践的结合，提高自己的数学素养和解决问题的能力。
相信在这样的努力下，大家一定能够轻松应对高等数学这门学科，并在各自领域中取得优异的成绩。
东南大学线性代数试题及答案
03-04学年第二学期《空间解析几何与线性代数》期终试题解答一 (24%) 填空题:1. 若向量k j a i -+=α, k j i b ++=β,k =γ共面, 则参数a , b 满足ab = 1.2. 过点P (1, 2, 1)且包含x 轴的平面方程为y - 2z = 0.3. 已知矩阵A 满足A 2 + 2A - 3I = O , 其中I 表示单位矩阵, 则A 的逆矩阵A -1 = )2(31I A +. 4. 设矩阵A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡031130021, B =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡700650432, 则行列式|A 2B -1| = 1/70 . 5. 设向量组α1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡321, α2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡123, α3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-11k , 则当参数k =0时, α1, α2, α3线性相关. 6. 向量空间R 2中向量η = (2, 3)在R 2的基,与α = (1, 1) β = (0, 1)下的坐标为(2, 1).7. 满足下述三个条件的一个向量组为(-2, 1, 0), (1, 0, -1), 这三个条件是: ①它们是线性无关的; ②其中的每个向量均与α = (1, 2, 1)正交; ③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8. 已知2×2矩阵A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a , 若对任意的2维列向量η有ηT A η = 0, 则abcd 满足条件 a = d = 0, b = -c .二 (12%) 假设矩阵A , B 满足A - B = AB , 其中A =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020, 求B . 解: (法一) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. A +I 的行列式|A +I | = 1, 伴随矩阵(A +I )* = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 因而(A +I )-1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021. 于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--101011021⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---021021020 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. (注意B 未必等于A (A +I ) -1 !)(法二) 由A - B = AB 得 (A +I )B = A , 其中I 表示单位矩阵. A +I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡---121011021. [A +I , A ] =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------021021020 121011021 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022 100010001= [I , (A +I ) -1A ] 初等行变换于是B = (A +I ) -1A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--001001022. 三 (15%) 设向量α1 = (a , 2, 10)T , α2 = (-2, 1, 5)T , α3 = (-1, 2, 4)T , β = (2, b , c )T , 问当参数a , b ,c 满足什么条件时1. β能用α1, α2, α3唯一线性表示?2. β不能用α1, α2, α3线性表示?3. β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一? 求这时β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式.解: 令A = [α3, α2, α1] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--105421221a , (注: 这里把α3放在第一列纯粹是为了方便) [A , β] = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--c b a 2 105421221 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-+-++--442 2800223021b c b a a a = ]~ ,~[βA 1. 当参数a ≠ -4时, 秩(A ) = 3, 此时β能用α1, α2, α3唯一线性表示.2. 当参数a = -4, 而b - c ≠ 4时, 秩(A ) =2, 秩(A , β) = 3, 此时β不能用α1, α2, α3线性表示.3. 当参数a = -4, 且b - c = 4时, 秩(A ) = 秩(A , β) = 2, 此时β能用α1, α2, α3线性表示, 但表示方法不唯一.这时]~ ,~[βA = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---042 000630421b ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-03/)1(22 000210001b 由此可得Ax = β的通解⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=333213/)1(222x x b x x x , 其中x 3为自由未知量.因而β用α1, α2, α3线性表示的一般表达式为β = t α1 + [-2t + 2(b +1)/3]α2 -2α3其中t 为任意数.四 (8%) 设实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz . 问: 实数a 满足什么条件时, 方程f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面?解: 实二次型f (x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2axy + 2ayz 的矩阵A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡10101a a a a . A 的顺序主子式a 11 = 1 > 0; 22211211a a a a = 1 - a 2; |A | = 1 - 2a 2. f (x , y , z ) = 1表示直角坐标系中的椭球面当且仅当A 正定, 当且仅当A 的顺序主子式全为正数, 即a 2 < 1/2.五 (12%) 设3阶方阵A 的特征值为2, -2, 1, 矩阵B = aA 3 - 4aA + I .1. 求参数a 的值, 使得矩阵B 不可逆.2. 问矩阵B 是否相似于对角阵? 请说明你的理由.解: 1. 因为3阶方阵A 有3个不同的特征值2, -2, 1, 所以存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-100020002. 初等行变换 初等行变换于是P -1BP = P -1(aA 3 - 4aA + I )P = a (P -1AP )3 - 4a (P -1AP ) + I = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-a 3100010001. 因而矩阵B 不可逆当且仅当|B | = 0, 而|B | = |P -1BP | = 1 -3a .所以当a = 1/3时, 矩阵B 不可逆.2. 由1可知矩阵B 相似于对角阵. 六 (12%) 已知二次曲面S 1的方程为z = 3x 2 + y 2, S 2的方程为z = 1 - x 2.1. 问: S 1与S 2分别属于哪一类二次曲面?2. 求S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程;3. 画出由S 1与S 2所围成的立体的草图.解: 1. S 1与S 2分别属于椭圆抛物面和抛物柱面.2. 由z = 3x 2 + y 2和z = 1 - x 2消去z 得S 1与S 2的交线在xOy 平面上的投影曲线方程:⎩⎨⎧==+01422z y x 3. 由S 1与S 2所围成的立体的草图如右图所示: 七 (10%) 设3×3实对称矩阵A 的秩为2, 并且AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011. 求A 的所有特征值及相应的特征向量; 并求矩阵A 及A 9999.解: 因为A 是3阶矩阵, 且秩为2, 所以|A | = 0, 因而有一个特征值为0.又因为AB = C , 其中B = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011与C =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-110011, 令p 1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-101, p 2 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡101, 则Ap 1 = -p 1, Ap 2 = p 2, 可见p 1, p 2分别是A 的对应于λ = -1和λ = 1的特征向量. 由于A 是3×3的实对称矩阵, 所以对应于特征值0的特征向量与p 1, p 2正交,由此可得对应于特征值0的一个特征向量p 3 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡010. 令P = [p 1, p 2, p 3], 则P -1AP = Λ = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001. 故A = P ΛP -1 = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-011100011⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-000010001⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-0102/102/12/102/1= ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. A 9999 = (P ΛP -1)9999 = P Λ9999P -1 = P ΛP -1 = A = ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡001000100. 八 (7%) 证明题:1. 设η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量. 证明: β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 也线性无关.证明: 因为η1, η2, …, ηt 是齐次线性方程组Ax = θ的线性无关的解向量, β不是其解向量.所以β, η1, η2, …, ηt 线性无关, 否则β能由η1, η2, …, ηt 线性表示, 从而是线性方程组Ax = θ的解, 矛盾!假若k 1β + k 2(β+η1) + k 3(β+η2) + … + k t +1(β+ηt )= θ,则(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1)β + k 2η1 + k 3η2 + … + k t +1ηt = θ. 于是(k 1 + k 2 + k 3 + … + k t +1) = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0,即k 1 = k 2 = k 3 = … = k t +1 = 0.所以β, β+η1, β+η2, …, β+ηt 线性无关.2. 设A 是n 阶正定矩阵, 证明: |I +A | > 1, 其中I 是n 阶单位矩阵. 证明: 因为A 是n 阶正定矩阵, 所以A 的特征值λ1, λ2, …, λn 都是正数.于是存在可逆矩阵P , 使得P -1AP = Λ = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ 00000021. 因而|I +A | = |P -1||I +A ||P | = |P -1(I +A )P | = |I + P -1AP | = nλλλ+++1000100121 = (1+λ1)(1+λ2)…(1+λn ) > 1.生活的辩证法就是这样：当苦难压来时，只有具备善良的愿望，坚定信念的人；只有不计回报，只求奉献的人；只有坚强不屈，不折不挠的人，才有希望趟过苦难，收获甘甜。
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证1：若P –1AP = B，则A = PBP–1 =E=B。 矛盾!
证2： 若A B, 则 A E B E。但r(AE) r(BE)
矛盾!
特征多项式相同是相似的必要而非充分的条件。
注3. 方阵A与B相似 特征多项式和特征值相同
1
解. 由A ~ B |A| = |B| b = 1 tr(A) = tr(B) a = 0
2 0 0
1
例4.
设矩阵
A
2
x
2
:
B
2
，求x、y
3 1 1
y x = 0, y = -2
解1. 由A ~ B |A| = |B| -2(x – 2) = -2y 方程相 tr(A) = tr(B) x – 1 = y + 1 同!!!
推论5.4. Ann有n个互异特征值1,…,n A ~。
12 3
10 0
例5. 0 4 5 ~ 0 4 0
006
006
axy 例6. 设A = 0 a z 相似于对角矩阵
00a
|EA| = (a)3
则(aEA)x = 有3个线性无关的解,
故3 r(aEA) = 3, 即r(aEA) = O 0 x y
解2. 1 = -1，2 = 2，3 = y
由|-E - A| = 0求x；tr(A) = tr(B)求y。
解3. A有特征值2 = -2，则B也有，y = -2；
二. 方阵与对角矩阵相似的充要条件
1相. 定似理关5系.3下. n的阶最方简阵形A为与？对？角？矩？阵？相似 A有n个线性无关的特征向量。
注1. 相似是等价的特例：相似必等价，反之不然。
学时包括-东南大学艺术学院
3
概率统计与随机过程
二年级
3.5
64
高等数学，线性代数，
概率论与数理统计
4．数学建模与数学实验：2.5学分32（建模）+16（实验）+16（上机），先修课程为：高等数学，线性代数，概率论与数理统计
5．其他数学课程：
计算方法2学分32学时+16机时
数学物理方法3学分48学时
64
80
32
16
4
4
微积分、级数、常微分方程、复变函数、数学实验
电类各专业、非电类需要复变函数的专业
3
高等数学（B）
一（上）一（下）
4.5+5
64
80
32
16
4
4
微积分、级数、常微分方程、空间解析几何、数学实验
非电类不需要复变函数的专业
4
高等数学（D）
一（上）一（下）
3.5+4
64
64
一元函数微积分及其在经济学中的应用、常微分方程、级数、多元函数微分学、二重积分
4
线性代数(B)
一（下）
（2*16）
2
32
0
0
0
线性方程组、矩阵、特征值和特征向量、实对称矩阵，二次型
旅游管理、医学院
3.随机数学类课程
序
号
课程
名称
开课
学期
学
分
学时
先修课程
讲
课
习
题
课
实
验
课
课
外
机
时
1
概率论与数理统计(A)
二年级
2.5
《几何与代数》科学出版社第四章n维向量
但表示方式不唯一
Ax=b无解 b不能由A1,…,An 线性表示
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
Ax=b 唯一解 b能由A1,…,An唯一线性表示 有解 无穷多解b能由A1,…,An线性表示
解析几何与线性代数中向量的联系与区别
向量
解析几何(n3)
线性代数
既有大小又有方向的量 坐 有次序的实数组成的数组
几何形象：可随意平
标
代数形象：向量的
行移动的有向线段
系
坐标表示式
(a1, a2,L , an )T
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
解析几何与线性代数中向量空间的联系与区别
解析几何
3k1k1204kk2 211 k2 1
此时方程组无解。
不能用 与
线性表示
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
§4.1 n维向量空间 一. n维向量的概念 二. n维向量的线性运算 三. 线性组合与线性表示 四. Rn的子空间
第四章 n维向量
一. n维向量的概念
§4.1 n维向量空间
定义 n 个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第i个数ai 称为第i个分量 .
几何与代数
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
第四章 n维向量
教学内容和学时分配 教学内容
§4.1 n维向量空间 §4.2 向量组的线性相关性 §4.3 子空间的基和维数 §4.4 向量的内积 §4.5 线性方程组的解的结构 §4.7 用Matlab解题
2019年东南大学数学学院硕士研究生拟录取名单公示
院系考试代码方式7数学学院1.02869E+14刘葳25200应用统计(专业学位)经济金融统计推免7数学学院1.02869E+14刘香男25200应用统计(专业学位)经济金融统计推免7数学学院1.02869E+14宋美忻25200应用统计(专业学位)经济金融统计推免7数学学院1.02869E+14余敏25200应用统计(专业学位)经济金融统计推免7数学学院1.02869E+14林龙章25200应用统计(专业学位)经济金融统计统考7数学学院1.02869E+14汪童25200应用统计(专业学位)经济金融统计统考7数学学院1.02869E+14王鼎健25200应用统计(专业学位)经济金融统计统考7数学学院1.02869E+14徐建秋25200应用统计(专业学位)经济金融统计统考7数学学院1.02869E+14林青25200应用统计(专业学位)经济金融统计统考7数学学院1.02869E+14叶胜25200应用统计(专业学位)抽样统计统考7数学学院1.02869E+14张英男25200应用统计(专业学位)统计诊断技术推免7数学学院1.02869E+14郭雨葭25200应用统计(专业学位)生物医药统计推免7数学学院1.02869E+14魏敏娴25200应用统计(专业学位)生物医药统计统考7数学学院1.02869E+14陈雨70100数学环论与同调代数推免7数学学院1.02869E+14龙韬略70100数学环论与同调代数推免院系名称考生编号考生姓名专业代码专业名称研究方向7数学学院1.02869E+14朱海洋70100数学环论与推免同调代数7数学学院1.02869E+14盖伯通70100数学环论与统考同调代数7数学学院1.02869E+14秦兆媛70100数学环论与统考同调代数7数学学院1.02869E+14周清蓉70100数学量子群与统考李理论7数学学院1.02869E+14朱国梁70100数学泛函分析统考7数学学院1.02869E+14沈章贤70100数学微分几何推免7数学学院1.02869E+14邓楠70100数学微分方程推免数值解7数学学院1.02869E+14齐韧钧70100数学微分方程推免数值解7数学学院1.02869E+14王艳艳70100数学微分方程统考数值解7数学学院1.02869E+14杨冉70100数学微分方程统考数值解7数学学院1.02869E+14李倩70100数学可计算建推免模与介质成像7数学学院1.02869E+14潘李铮70100数学可计算建推免模与介质成像7数学学院1.02869E+14杨远韬70100数学可计算建推免模与介质成像7数学学院1.02869E+14诸葛晓婷70100数学可计算建推免模与介质成像7数学学院1.02869E+14李勇超70100数学可计算建统考模与介质成像7数学学院1.02869E+14孙师伟70100数学可计算建统考模与介质成像7数学学院1.02869E+14纪欣芮70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14李元元70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14李卓轩70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14刘照辉70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14栾萌70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14邵其70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14宋玉文70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14汪洋70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14王东明70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14张亚婕70100数学复杂网络推免与复杂系统7数学学院1.02869E+14岳园园70100数学复杂网络统考与复杂系统7数学学院1.02869E+14战琛祥70100数学复杂网络统考与复杂系统7数学学院1.02869E+14周飞龙70100数学复杂网络统考与复杂系统7数学学院1.02869E+14屈茹70100数学动力系统推免与微分方程7数学学院1.02869E+14王俊鑫70100数学动力系统推免与微分方程7数学学院1.02869E+14赵惠敏70100数学动力系统推免与微分方程7数学学院1.0287E+14吕茜70100数学动力系统统考与微分方程7数学学院1.02869E+14李路70100数学偏微分方推免程7数学学院1.02869E+14吕春彦70100数学偏微分方推免程7数学学院1.02869E+14王文静70100数学偏微分方推免程7数学学院1.02869E+14王亚萍70100数学偏微分方推免程7数学学院1.02869E+14余丽伶70100数学偏微分方推免程7数学学院1.02869E+14谢天宇70100数学偏微分方统考程7数学学院1.02869E+14张闰苏70100数学偏微分方统考程7数学学院1.02869E+14林宇权70100数学运筹与控推免制7数学学院1.02869E+14王晨70100数学运筹与控推免制7数学学院1.02869E+14嵇爽71400统计学统计模型推免分析及金融统计7数学学院1.02869E+14姜岱玮71400统计学统计模型推免分析及金融统计7数学学院1.02869E+14张艺轩71400统计学统计模型统考分析及金融统计7数学学院1.02869E+14弓俊71400统计学应用统计统考备注录取学习类别方式非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制退役大学生计划非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制非定向全日制。
东南大学专业代码
导师以姓氏拼音的首字母为序专业代码专业名称导师姓名070101基础数学陈建龙王栓宏周建华潮小李薛星美张小向等070102计算数学刘继军孙志忠吴宏伟曹婉容等070104应用数学曹进德徐君祥张福保管平李玉祥刘其林石佩虎陈文彦王峰梁金玲李慧玲卢剑权虞文武张东峰等070105运筹学与控制论林文松关秀翠刘淑君等参考书目科目代码科目名称参考书目601数学分析数学分析陈纪修等编高教出版社432统计学统计学贾俊平等编著中国人民大学出版社933高等代数高等代数第二版北京大学编高教出版社550统计学基础统计学基础茆诗松主编华东师范大学出版社551数学基础综合实变函数近世代数常微分方程计算方法概率论常微分方程叶彦谦或丁同仁编高教出版社
01环论与同调代数
02 Hopf代数
03李代数
04微分几何
05泛函分析
1101思想政治理论②201英语一③601
2数学分析④933高等代数
复试科目:551数学基础综合
（实变函数、近世代数、常微分方程、
计算方法、概率论）
070102计算数学
01偏微分方程数值解法
02微分方程反问题及介质成像
03微分方程及计算机模拟
导师姓名
070101
基础数学
陈建龙,王栓宏,周建华,潮小李,薛星美,张小向等
070102
计算数学
刘继军,孙志忠,吴宏伟,曹婉容等
线性代数schmidt正交化方程组求解
c1n c2n … crn 0 0 … 1
2 = ,
nr = .
(1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 有基础解系, 且 dimK(A) = n – r.
1,
s = s
<s, 1>
<1, 1>
1 …
<s, s1>
<s1, s1>
s1
再将1, 2, …, s单位化得:
1 =
1
||1||
,
2 =
2
||2||
, …,
s =
s
||s||
.
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
第四章 n维向量
另外，从上述构造可总结： 设1, 2, …, s线性无关(s2), 则存 在一个正交向量组1, 2, …, s使得 1, 2, …, t与1, 2, …, t等价 (1 t s).
初等行变换
3 2 1 1 -2 0 -1 0 -4 1 11 0 0 -4 3 0 9
初等行变换
0 0 -19/2 4 71/2 0 1 0 4 -1 -11 0 0 1 -3/4 0 -9/4
第四章 n维向量
第4节 向量的内积
二. 正交向量组和Schmidt正交化方法
正交向量组
标准正交向量组
正交基
标准正交基
1. 概念
第四章 n维向量
§4.4 向量的内积
发现的结论 设1, 2, …, s是标准正交向量组, 且 = k11+k22+…+kss, 则ki = <, i>, i = 1, 2, …, s.
如何学好几何与代数_陈建龙
原因(二)：基本概念不清，重要定理(性 质，公式)记忆不牢 解决办法：
(1) 搞清概念的含义； (2) 定理(性质，公式) 的条件，结论
(4) 如何避免或减少答题中的错误
(i) 认真审题：如用正交变换化简二次型不能同配方法或 初等变换法
(ii) 旧错不犯：如 矩阵左乘，右乘不同；非零矩阵未必可 逆；基础解系不能从非齐次线性方程组中求
线性代数是大学阶段三门主要数学课程之一。
三门主要课程：
（1）高等数学 中学基础：数列，函数（指数、对数、三角函 数），二次曲线，导数，积分等。
（2）线性代数 中学基础：矩阵和变换（二阶行列式、二阶 矩阵、二元方程组、特征值和特征向量）， 江苏版选修课程，附加题。
（3）概率统计 中学基础：古典概率，统计初步（方差、回归 等）。
出A=0或B=0 不同
左乘-----排成一行------初等行变换 右乘-----排成一列------初等列变换
(ii) 与中学(矩阵与变换)的联系
中学：二阶矩阵；二阶行列式；二元 线性方程组；2维分量的内积(数量 积)，长度；
大学：m x n矩阵；n阶行列式；m x n 线性方程组；n维向量的内积(数量 积)，长度。
选(A)。
(6) 如何开展研究型学习
(i) 善于提问，掌握解题方法
(a) 面对的问题从哪里来？ (b) 用以前学到的知识能否解决？ (c) 别人是怎么去解决问题的(提出了什么概念，采用了何 种方法，解决到哪一步，还剩下什么问题)? (d) 能否在别人的基础之上有所改进或创新？
• 结论：经过思考而得到的知识更易吸收，更有效 提高解题能力。
（3）Google搜索引擎； （4）足球循环比赛的名次确定； （5）交通流量的预测； （6）图象压缩等技术。
东南大学教务处
东南大学教务处校机教〔2014〕140号关于落实2014级本科生按院（系）或专业类招生培养工作的通知各院（系）、各有关单位：为切实贯彻落实东南大学《关于进一步做好本科生按院（系）或专业类招生培养的实施意见》【校通知（2010）130号】文件精神，要求各有关院（系）在2014级学生进行分流时，须严格执行“依据学生志愿和学生在截至分流时点所修读课程的首修平均学分绩点排序进行分流”的规定。
现将各院（系）专业分流工作组、专业分流计划（人数）与时间、专业分流时所学课程及对应的学分数明确如下：—１—一、各院系专业分流工作组1、机械工程学院专业分流工作组：组长：贾民平副组长：张志胜成员：汤文成钱瑞明幸研田梦倩肖锋史红叶秘书：李晓燕2、能源与环境学院专业分流工作组：组长：王明春副组长：李舒宏、司凤琪组员：王明春、李舒宏、司凤琪、周克毅、钟兆平、吕剑虹、沈来红、陈振乾秘书：樊昭群3、土木工程学院专业分流工作组：组长：童小东副组长：陈镭组员：孟少平李启明龚维明孙越张华秘书：王建梅4、电子科学与工程学院专业分流工作组组长：汤勇明副组长：宋晓燕组员：陆生礼朱为仲雪飞朱利宋竞刘旭朱萍秘书：舒春玲5、数学系专业分流工作组：—２—组长：林金官副组长：曹海燕组员：刘继军林金官曹海燕曹进德陈建龙孙志忠徐亮王峰秘书：庞小莉6、物理系专业分流工作组：组长：倪振华副组长：潘勇涛组员：徐明祥董帅王艳玲罗正位秘书：许克7、生物科学与医学工程学院专业分流工作组：组长：谢建明副组长：程斌谭逸斌组员：赵兴群孙啸李志勇秘书：林海音8、人文学院专业分流工作组：组长：高晓红副组长：何熠组员：季玉群李林艳贾鸿雁乔光辉田海平高明黄前英陆珈怡秘书：许丹9、经济管理学院专业分流工作组：组长：张玉林副组长：祝虹—３—组员：侯合银、花俊、朱志坚、吴斌、朱涛、吴利华、张建军、李四杰秘书：赵志远、李珣、张丹丹10、化学化工学院专业分流工作组：组长：林保平副组长：肖健刘松琴陆娟组员：林保平肖健刘松琴陆娟梅振宇秘书：胡爱江蒋伟11、交通学院专业分流工作组：组长：程建川副组长：陈一梅陈怡陈峻组员：杨敏毛海军戚浩平耿艳芬郑天栋高英吴文清石名磊秘书：张立朱宇昊12、艺术学院专业分流工作组：组长：李轶南副组长：徐进组员：李倍雷张志贤孙菁许继峰方跃武秘书：唐泉泉13、医学院专业分流工作组：组长：王立新副组长：张俊琴组员：王美美周家华邓刚谢波秘书：何道伟—４—二、各专业分流计划与时间—５——６—三、各院系纳入平均学分绩点计算的课程名称及学分数1、机械工程学院—７—2、能源与环境学院—８—3、土木工程学院—９—4、电子科学与工程学院—１０——１１—5、数学系—１２—6、物理系7、生物科学与医学工程学院—１３—8、人文学院备注：分流时数学类选课按照高等数学（文）学分计算。