一元二次方程的根的判别式

【学习课题】 九上 补充内容 一元二次方程的根的判别式

【学习目标】 1、经历探索一元二次方程的根的判别式的过程，进一步理解根的判别式；

2、能利用判别式判定根的情况以及在已知根的情况时，能求出未知系数的

值。

【学习重点】 能准确地使用判别式解决相关问题。

【学习难点】已知根的情况时，能求出未知系数的值。

【学习过程】

学习准备：

复习：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求解方法有①_________法②________法，

③_________法,④_________法。

(2) 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式为____________( )

(3) 用配方法解下列方程：① x 2+6x+8=0 ② 3x 2-1=6x

解读教材：

方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)经配方可变形为：（x+ ）2=2244a

ac b -,因为a ≠0，所以， 4a 2＞0，于是有：

（1） 当b 2-4ac ＞0时，方程右边是一个___数，则：x 1=________；x 2=_______

即方程有两个不相等的实数根。

（2） 当b 2-4ac=0时，方程右边是_____,则有：x 1= x 2=_________；即方程有两个相等

的实数根。

（3） 当b 2-4ac ＜0时，方程右边是一个___数，而方程左边的（x+ ）2 ___0

不可能是___数。所以，方程没有实数根。

由上可知：一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况可由b 2-4ac 来判定。所以，把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的判别式。用符号“△”来表示。（“△”是希腊字母，读作delta ）

特别地：a 、c 异号时方程一定有两个不相等的实数根。想一想：为什么？

挖掘教材：

1、 不解方程，判别方程根的情况：

例1：不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）2x 2+3x-4=0 (2) 16y 2+9=24y (3) 5(x 2+1)-7x=0

分析：根据△的大小，利用一元二次方程根的判别式作出判断。

解：（1）∵△=32-4×2×(-4)=__________（ ）0

∴原方程__________________

（2）∵△=_______________=_____________( ) 0

∴原方程__________________

(3) ∵△=________________=______________( ) 0

∴原方程__________________

即时练习：不解方程，判别下列方程根的情况：

(1)2y 2+5=6y (2) 4p(p-1)-3=0 (3) x 2+5=25x

2、已知方程的根的情况，求未知系数的值。

例2、k取何值时，方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0 （1）有两个不相等的实数根

（2）有两个相等的实数根（3）方程没有实数根

分析：用△列出方程或不等式解题。

解：a=__________; b=__________;c=__________

△=b2-4ac=［］2-4×2×（）=_____________

（1）∵方程有两个不相等的实数根。

∴△_____0 ; 即_____________0 解之得：k______

（2）∵方程有两个相等的实数根。

∴△____0；即____________0；解之得：k______

（3）∵方程没有实数根

∴△_____0；即____________0；解之得：k______

即时练习：1、m取何值时，方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0 有两个实数根。

2、m为何值时，关于x的方程(m2-4)x2+2(m+1)x+1=0有实根

提示：题设中的方程未指明是一元二次方程还是一元一次方程，所以应分m2-4=0 和m2-4≠0

3、应用判别式证明方程的根的情况

例3 求证：方程x(x+2a)+4(a-1)=0一定有实数根。

分析：列出△的代数式，证其恒大于零。

证明：原方程可化为：x2+2ax+4(a-1)=0

∵△=(2a)2-4×1×4(a-1)=4a2-16a+16=4(a2-4a+4)=4(a-2)2≥0

∴原方程一定有实数根。

即时练习：求证：不论m为何值时，方程2x2-6x+m2+7=0没有实数根

反思拓展：

一元二次方程的解的情况（有无根？有几个根？根相等否？）与它的判别式（△=b2-4ac）的关系，这是中考的必考内容。它主要有以下几方面的应用：

（1）_______________________________________________________；

（2）_______________________________________________________；

（3）________________________________________________________。

解此类型题，关键是要弄清一元二次方程根的情况与判别式的关系，既要弄清方程的根的情况与判别式的值的关系，又要弄清判别式的值对方程的根的影响，两方面要逆、顺学习，融会贯通，做到举一反三。

特别提醒：当二次项系数为参数是，一定要首先考虑这个参数是否为零。

【达标测评】

. 1、（2007年.眉山）一元二次方程x 2+x+2=0的根的情况为（ ）

A 、有两个不相等的正根。

B 、没有实数根。

C 、有两个不相等的负根

D 、有两个相等的实数根。

2、关于x 的方程x 2-2mx-m-1=0实根的情况是（ ）

A 、有两个不相等的实数根；

B 、有两个相等的实数根；

C 、没有实数根；

D 、不能确定。

3、关于x 的方程ax 2-2x+1=0中，a<0，方程实根的情况是（ ）。

A ．有两个相等的实数根；

B ．有两个不相等的实数根；

C ．没有实数根；

D ．不能确定。

4、在一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中,若a 与c 异号,则方程（ ）

A 、有两个不相等的实数根

B 、有两个相等的实数根

C 、没有实数根

D 、根的情况无法确定 、

5、(2007年.资阳)若关于x 的方程x 2+2（k-1）x+k 2=0有实数根，则k 的取值范围是：（ ）

A 、k<21

B 、k ≤21

C 、k ＞21

D 、k ≥2

1 6、（2007年.成都）下列关于x 的方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）

A 、x 2+4=0

B 4x 2-4x+1=0

C x 2+x+3=0

D x 2+2x-1=0

7、（2007年.怀化）已知方程x 2-3x+k=0有两个相等的实数根，则k= 。

8、（2007年.自贡）请写出一个值k=____,使一元二次方程x 2-7x+k=0 有两个不相等的非0实

数根（答案不唯一）

9、已知：关于x 的一元二次方程kx 2+2x+1=0有两个实数根，试求k 的取值范围。

10、（2005年.巴中）当m 取何值时关于x 的方程mx 2+2（m-1）x+m-3=0有两个实数根?

11、若关于x 的一元二次方程mx 2-2(m+2)x+m+5=0没有实根，试确定关于x 的方程

（m-5）x 2+2（m+2）x+m=0的根的情况。

12、（2006年.荆门）已知关于x 的方程x 2-(k+2)x+2l=0

(1) 求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根

（2）若等腰三角形ABC 的一边a=1，另两边b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC

的周长。