课时跟踪检测(十一) 指数函数及其性质

课时跟踪检测（十一） 指数函数及其性质

层级一 学业水平达标

1．下列函数中，指数函数的个数为( ) ①y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1

；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x

； ④y ＝⎝⎛⎭⎫122x －1.

A ．0个

B ．1个

C ．3个

D ．4个

解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象可能是( )

答案：C

3．函数y ＝2x －1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)

D ．(0，＋∞)

解析：选C 由2x －1≥0，得2x ≥20，∴x ≥0.

4．若函数y ＝(2a －1)x (x 是自变量)是指数函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．[0,1)∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)

D.⎣⎡⎭

⎫1

2，＋∞ 解析：选C 依题意得2a －1>0，且2a －1≠1，解得a >1

2，且a ≠1，故选C.

5．若指数函数y ＝(3a －1)x 在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，23 B.⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫13，23

D ．(0，＋∞)

解析：选B 由题意3a －1＞1，即a ＞23

.

6．函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(2,4)，则f (－3)的值是________． 解析：据题意a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，∴a ＝2，

∴f (x )＝2x ，∴f (－3)＝2－3＝1

8.

答案：1

8

7．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－1

的定义域为________，值域为________． 解析：设u ＝x 2－1，

则u 的取值范围是[－1，＋∞)， x 的取值范围是R ，

∴y ＝⎝⎛⎭⎫12u 的取值范围是(0,2]． 答案：R (0,2]

8．把⎝⎛⎭

⎫122

3，21

3-

，21

3从小到大排列为________． 解析：∵21

3

-＝⎝⎛⎭⎫121

3，而0＜12＜1且13＜2

3

， ∴⎝⎛⎭⎫122

3＜⎝⎛⎭⎫121

3＜⎝⎛⎭⎫120＝1.

又∵2

1

3

＞20＝1，∴

⎝⎛⎭

⎫122

3＜21

3-＜21

3. 答案：⎝⎛⎭⎫122

3＜21

3-

＜21

3 9．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝21

x

－1；(2)y ＝⎝⎛⎭

⎫132x 2－2

. 解：(1)要使y ＝21x －1有意义，需x ≠0，则21x ＞0且21x ≠1，故21x －1＞－1且21x

－1≠0，故函数y ＝21

x

－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．

(2)函数y ＝⎝⎛⎭⎫132x 2－2的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝⎛⎭⎫132x 2－2≤9，所以函数y ＝⎝⎛⎭

⎫132x 2－2的值域为(0,9]．

10．已知函数f (x )＝a x －

1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，其中a >0且a ≠1. (1)求a 的值；

(2)求函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域．

解：(1)因为函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，12，所以a 2－1＝a ＝12

.

(2)由(1)得f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1

(x ≥0)，则函数f (x )为减函数，当x ＝0时，取最大值2，故f (x )的值域是(0,2]，

所以函数y ＝f (x )＋1＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋1(x ≥0)的值域是(1,3]．

层级二 应试能力达标

1．函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)

D ．(0,4)

解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x ≥0.又因为4x ＞0，∴0≤16－4x ＜16，即函数y ＝

16－4x 的值域为[0,4)．

2．函数y ＝21

x x

-－1的定义域、值域分别是( )

A ．R ，(0，＋∞)

B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}

C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}

D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝21

x x

-－1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1

x

，

则可知

u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝21

x x -－1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2

1

x x

-－1的定义域为

{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．

3．函数f (x )＝πx 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx

的图象关于( ) A ．原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称

D ．直线y ＝－x 对称

解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx 的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x

＝⎝⎛⎭⎫1πx

的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx

与g (x )＝⎝⎛⎭⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.

4．若0＜n ＜m ＜1，则下列不等式中，成立的是( ) A ．n

－m

＜m

－m

B ．n n ＜m n

C ．m m ＜n m

D ．n

－m

＜m －

n

解析：选B 设f (x )＝n x ，g (x )＝m x ，