高考数学测试卷三角形“四心”的一种向量表示
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三角形四心嘚一种向量表示
几个记法：在△ABC 中，O 是其内部（不包括边界）一点，连结AO 并延长交BC 于D ，连结BO 并延长交CA 于E ，连结CO 并延长交AB 于F 。
记：AB AF t FB =，BC BD t DC =，CA CE t EA =；
AC AE t EC =，CB CD t DB =，AC AE t EC =；
且有：1AB BA AC CA BC CB t t t t t t ⋅=⋅=⋅= 记：A AO AD λ=，B BO BE λ=，C CO CF λ= 引理1.线段嘚定比分点嘚向量关系式 （1）111BC BC BC
t AD AB AC
t t =
+++
(1.1.1)；
111CA CA CA
t BE BC BA
t t =
+++；
(1.1.2)
111AB AB AB
t CF CA CB
t t =
+++。
(1.1.3)
（2）若AB AF AB λ=，BC BD BC λ=，CA CE CA λ=，则有：
(1)BC BC AD AB AC λλ=-+ (1.2.1)； (1)CA CA BE BC BA λλ=-+； (1.2.2) (1)AB AB CF CA CB λλ=-+。
(1.2.3)
证明：只证明（1.1.1），其它同理。 ∵BC BD t DC = ∴1BC
BC
t BD BC t =
+则有
F
D
E
C
A
B
O
图1
1()1111BC BC
BC
BC
BC BC BC
AD AB BD
t
AB BC
t t AB AC AB t t AB AC t t =+=++=+-+=
+++
引理2.11
AC AB
AB
AC AB AC t t AO AB AC t t t t =
+++++
(2.1.1)
1
AB AC
A A
B A
C t t t t λ+=
++
(2.1.2)
11
BC BA
BC
BA BC BA t t BO BC BA t t t t =
+++++
(2.2.1)
1
BC BA
B B
C BA t t t t λ+=
++
(2.2.2)
11
CA CB
CA CB CA CB t t CO CA CB t t t t =
+++++
(2.3.1)
1
CA CB
C CA CB t t t t λ+=
++
(2.3.2)
且有2A B C λλλ++=
(2.4)
证明：
∵点B 、O 、E 共线，且B BO BE λ=
∴(1)(1)1AC
B B B B AC
t AO AB AE AB AC t λλλλ=-+=-+⋅+
………………①
同理，∵点C 、O 、F 共线，且C CO CF λ= ∴(1)(1)(1)11AB AB C C C C C C AB AB
t t
AO AC AF AC AB AB AC t t λλλλλλ=-+=-+⋅
=⋅+-++ ………………②
∴1111AB B C AB AC B C AC t t t t λλλλ⎧
-=⎪+⎪⎨⎪=-+⎪⎩，解得：1111AC B AB AC AB C
AB AC t t t t t t λλ+⎧=⎪++⎪⎨+⎪=++⎪⎩
………………③
③代入①得：
11(1)111AC AC AC AB AC AB AC AC
t t t
AO AB AC t t t t t ++=-
+⋅+++++
11
AC AB
AB
AC AB AC t t AB AC t t t t =
+++++
又由引理1：111BC BC BC
t AD AB AC
t t =
+++
AO AD 与共线得：1(1)111AB
AB AC AB BC A
AB AC BC
t t t t t t t t λ+++==+++ 由塞瓦定理得：1AC
BC CA AB AB
t t t t t =
=⋅代入上式得：1AB AC A AB AC t t t t λ+=++………………④
由③④得112111AB AC AC AB
A B C AB AC AB AC AB AC
t t t t t t t t t t λλλ+++++=
++=++++++
式(2.2.1)、(2.2.2)、(2.3.1)、(2.3.2)可同理证明。 定理 1. 若O 是三角形ABC 嘚重心，则1133
AO AB AC =
+，且2
3AO AD =.
当O 为三角形ABC 嘚重心时，有1AB AC t t ==，代入引理2可得。 定理2. 若O 是三角形ABC 嘚内心，则b c AO AB AC a b c a b c
=+++++，
且b c AO AD
a b c
+=
++.
当O 为三角形ABC 嘚内心时，内三角形嘚内角平分线定理，有,AB AC b c
t t a a
==，代入引理2可得。
定理3. 若O 是三角形ABC 嘚垂心，则：
cot (cot cot )AO A C AB B AC =⋅⋅+⋅.
(3.1)
且cos sin sin A AO AD
B C
=⋅.
证明：
当三角形不为直角三角形时