等差、等比数列的公式与方法

第13讲 等差、等比数列的公式与方法（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+=3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a ②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G ,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅ ④顺次n 项和性质：1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为n 2d 的等差数列；2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=nk nn k nn k kkkaa a 121312,,则组成公差为q n 的等比数列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）⑤若}{n a 是等比数列，则顺次n 项的乘积：n n n n n n n a a a a a a a a a 3221222121,, ++++组成公比这2n q 的等比数列.⑥若}{n a 是公差为d 的等差数列,1°.若n 为奇数，则,,:(21+==-=n n a a a a S S na S 中中中偶奇中即指中项注且而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2°.若n 为偶数，则.2ndS S =-奇偶 （二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“);3,,,3(3,2,,m a m a m a m a m a m a m a a ++--+++或”④四数成等比数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.[例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c ba b a c a c b +++,,成等差数列； （2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac bac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+（Ⅱ）设数列),1(2,1,}{2-==n n n n a n S a S n a 且满足项和为的前 （1）求证：}{n a 是等差数列； （2）若数列:}{满足n b62)12(531321+=-+++++n n n a b n b b b求证：{n b }是等比数列. [解析]（1）⎩⎨⎧-+=-=++)1)(1(2)1(211n n n n a n S a n S ②－①得,1)1(1)1(211+=-⇒--+=++n n n n n na a n na a n a:,32,32,1,11321用数学归纳法证明猜想得令得令-===∴=-==n a a n a a n n1）当;,3221,3121,121结论正确时-⨯==-⨯=-==a a n 2）,32,)2(-=≥=k a k k n k 即时结论正确假设① ②)1)(12(1321)32(1)1(,121--=+-=+-=+=-+=∴+k k k k k k ka a k k n k k 时当.,3)1(212,21结论正确-+=-=∴≥+k k a k k由1）、2）知，,32,-=∈*n a N n n 时当.2}{,2,2,,26)1(4),2(2,2)12()52(2)32(2)12(2,6)32(262)2(;2}{,2)32()12(1111111的等比数列是公比为即时当也适合而时当设的等差数列是公差为即n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n b b b b N n b n b n n n T T b n n n a T a n n a a =∴=∈∴=+-⨯=≥=∴⨯-=---=-=-≥∴+-=+==---=-∴+*+-+++[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.[例2]解答下述问题：（Ⅰ）等差数列的前n 项和为),(,,Q P QPS P Q S S Q P n ≠==若 求).,(表示用Q P S Q P +[解析]选择公式""2bn an S n +=做比较好，但也可以考虑用性质完成.[解法一]设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=∴+=bQ aQ QP bP aP P Q bn an S n 222, ①－②得：,],)()[(22Q P b Q P a Q P PQP Q ≠++-=- .)(])()[(,)(,2PQQ P b Q P a Q P S PQQP b Q P a Q P Q P +-=+++=∴+-=++∴≠+①②[解法二]不妨设P Q Q Q P a a a S S QPP Q Q P +++=-=-∴>++ 21, .)(,2))((2))((211PQQ P S S QP QP a a Q P Q P Q P a a Q P Q P Q P Q P P Q +-=∴+-=++⋅+-=+-=++++（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为2128，求项数n.[解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n qa a a a a nn n n 得代入得将而（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a da a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列①②①，②[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单， 设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.《训练题》一、选择题：1．三个数,,1,,1,1,122成等比数列又成等差数列n m nm 的值为则n m n m ++22 （ ）A ．－1或3B ．－3或1C ．1或3D ．－3或－1 2．在等比数列1020144117,5,6,}{a a a a a a a n 则中=+=⋅=（ ）A ．2332或B ．2332--或 C ．515--或 D ．2131-或 3．等比数列===302010,10,20,}{M M M M n a n n 则若项乘积记为前 （ ）A ．1000B ．40C ．425 D ．81 4．已知等差数列5，8，11，…与3，7，11，…都有100项，则它们相同项的个数 （ ） A ．25 B ．26 C ．33 D ．345．已知一个等差数列的前5项的和是120，最后5项的和是180，又所有项的和为360，则此数列的项数为 （ ） A ．12项 B ．13项 C ．14项 D ．15项 6．若两个等差数列)(27417,}{},{+∈++=N n n n B A B A n b a n n n n n n 且满足和项和分别为的前 则的值是1111b a（ ）A ．47 B ．23 C ．34 D ．7178 二、填空题：7．在等比数列543211245,4,108,}{a a a a a a a a a a n ++++=-=-则中的值为 . 8．若a 、b 、c 成等比数列，a 、x 、b 成等差数列，b 、y 、c 成等差数列，则=+ycx a . 9．数列}{n a 是公差不为零的等差数列，它的第4，8，17项恰是另一等比数列}{n b 的第6，8，10项，则}{n b 的公比是 .10．在等差数列===+q p q p n a p a q a a 则中,,,}{ .在各项为正的等比数列===-+m n m n m n a q a p a a 则中,,,}{ . 三、解答题：11．设等差数列,324),6(144,36,}{66=>==-n n n n S n S S S n a 已知项和为的前求a n 的值. 12．设等比数列的各项为正数，前n 项的和为2，这n 项后面的2n 项的和为12，求上述3n项后面的3n 项之和. 13．已知等差数列,,0},{461S S a a n =<且（Ⅰ）当n 为何值时，S n 最小？（Ⅱ）当n 为何值时，?0?0?0<>=n n n S S S（Ⅲ）.2609}{,7287≤≤-=+n n a a a a 中有多少项满足问若14．有五个整数成等比数列，且第一个数为正数，若这五个整数的和为205，而它们的倒数之和为256205，求此五数. 15．数列,0,,}{≠n n n a n S n a 对任意的正整数项和为的前.?}{),1|(|11说明理由是否为等比数列问数列若n n n n a k ka S S >=+++《答案与解析》一、1．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C 二、7.242 8.2, 9.32± 10.0,pq 11．216)(6,180361651621=+⎩⎨⎧=-=+++=+++---n n n n n n a a S S a a a a a a 得.35,1)1(,2144126,18036181181413621==∴==⇒=⨯⎩⎨⎧=+++=+++∴a a a d d a a a a a a n 得代入两式相减得 12．（1）),1(1)1(,11-=--=≠n n n q a q q a S q 时当 ,2,2,14)1(2)1(3==⎪⎩⎪⎨⎧=-=-∴a q q a q a n nn得代入得;112,126)1(3666=-∴=-=∴n n n n S S q a S（2）当q=1时，有na 1=2及2na 1=12，矛盾； 综上，所求前3n 项后面的3n 项的和为112. （另解）设公比为,,,,,615621211∑∑∑+=+=====nn k nn k k nk ak Wak W a W q 且.112)(,212)(2122,,,,5431654211321621=++=++=∴=⇒⎩⎨⎧=+=⇒⎩⎨⎧=+=∴n n n nnn n q q q W W W W s q q q W W W W W q W W W 所求和的等比数列成公比为13．（Ⅰ）,0029146>⇒<-=⇒=d d a S S ;5],25)5[(25222最小时当n n S n n dnd n d S =∴--=-=∴①②①+② ①②①②①（Ⅱ）.0101;010;010),10(2<<≤>>==∴-=n n n n S n S n S n n n dS 时当时当时当 （Ⅲ）,18,4142,727,72141487=⨯⨯=⨯=∴=+d dS S a a 得而.15,19526099189,9918项满足条件共有∴≤≤⇒≤-≤-∴-=∴n n n a n14．设五数为,,,,,22aq aq a qaq a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++∈>∴*256205)11(1205)11(,0,,,,2222q q q q aq q q q a N a a 由条件得且五项同号三且第一首项为正数.256,64,16,4,1,4;1,4,16,64,256,41,44104174,417)2(;,,04134,413)1(,41741302211616,1,16221)1()1(1618911,16,0,2562222222---=---=-=-=⇒=++-==+-=-==⇒=-+=+=+++⇒=+++=∴>=得所求五数为时得所求五数为时或则若不合方程无有理解则若或得令得代入得q q q q q q x q q x x x x x x q q q q q q q q qq a a a15．111112,,+++++=-=+n n n n n n n S a S S ka S S 得而,,11211,}{,12,11,01,)1()1()1()1(222,)1(12212111111矛盾则为等比数列若而=⇒-=-+-=⇒=+-+=∴≠-+=-⇒+-+-=∴+=++++++k k k k a k a a ka S S k k a a k a k a k a k a k S S a a k n n n n n n n n n n n①②① ②① ① ② ①+②11 故.,0,,}{,).(}{213122222131232311矛盾得由则为等比若另不是等比数列故=⋅⋅=+=⇒=∴=++a a a a a a a a a a a S S a a S S a a a n n n n n n① ② ①，②。