椭圆中的焦点三角形及求离心率问题(含答案)
专题椭圆的焦点三角形
专题椭圆的焦点三角形椭圆是一个引人注目、充满神秘感的几何图形，它具有许多令人惊叹的性质。
其中一个特殊的性质是焦点三角形。
本文将探讨专题椭圆的焦点三角形的特点和性质。
一、焦点三角形的定义在椭圆上取一点P，并绘制两条经过焦点的直线，分别交椭圆于两点A和B。
连接点P与A、B，即构成焦点三角形PAB。
二、椭圆焦点三角形的性质1. 焦点三角形是等腰三角形由于A和B分别是椭圆上的焦点，根据椭圆的对称性可知，AP和BP的长度相等，因此焦点三角形PAB是一个等腰三角形。
2. 焦点三角形的顶角等于椭圆的离心率角设椭圆的离心率为e，椭圆焦点距离为c，焦点三角形的两边长度为a和b。
根据梅涅劳斯定理可得到焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = c / e从中可以看出，焦点三角形的顶角大小与椭圆的离心率成正比。
3. 焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为e焦点三角形的周长可以表示为：周长PAB = a + b + c而椭圆的周长为：周长椭圆 = 4 * a * E(e)其中，E(e)为椭圆的椭圆积分。
归一化后，椭圆积分可以表示为E(e) = ∫[0, π/2] √[1 - e^2 sin^2Θ] dΘ。
将焦点三角形的周长除以椭圆的周长，可得到焦点三角形周长与椭圆周长比值的公式：焦点三角形周长 / 椭圆周长 = (a + b + c) / (4 * a * E(e))由此可见，焦点三角形的周长与椭圆周长的比值等于椭圆的离心率。
三、示例分析以一椭圆为例，离心率为0.6，焦点距离为5。
可根据数学计算求出椭圆参数及相关数据。
假设焦点三角形的两边长度分别为2和3，则焦点三角形的顶角P的余弦值为：cosP = 5 / 0.6 = 8.33根据arccos函数的反函数关系，可以得出焦点三角形的顶角P的角度为约31.79°。
进一步计算焦点三角形的周长与椭圆周长的比值为：焦点三角形周长 / 椭圆周长= (2 + 3 + 5) / (4 * 12.953) ≈ 0.288因此，对于该椭圆来说，焦点三角形的周长是椭圆周长的0.288倍。
第6讲 离心率(解析版)
第6讲离心率一．焦点三角形中的离心率1.椭圆（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则sin()sin sine(正弦定理)。
12122sin sin()2sin sin sin sinF Fc cea a PF PFθαβαβαβ+=====+++222121212212121221212221212212212(2)2cos =()22cos =()2(1cos ) ()2()(1cos )21=()[1(1cos )]21=()(F F PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF θθθθθ=+-+--+-++≥+-++-++12222222cos )==2111144(cos )cos (12sin )sin 222222sin2PF PF P c c a a e θθθθθθ-∴≥-≥-=--=∴≥（当且仅当取，即在短轴端点处）即2.双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()sin sine。
12122sin sin()2sin sin sin sin +=====---F F c c e a a PF PF θαβαβαβ二．双曲线的渐进线与离心率关系 直线与双曲线相交时，两个交点的位置（1）两个交点在双曲线的两支：b k e a >⇔=（2）两个交点在双曲线的同一支:b k e a <⇔=（3）两个交点在双曲线的左支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+<⎨⎪>⎪⎩（4）两个交点在双曲线的右支:12120x x 0x x 0>⎧⎪⎪+>⎨⎪>⎪⎩三．焦点弦与离心率关系λ=，则有11cos +-=λλθe (θ为直线与焦点所在轴的夹角)。
技巧1 焦点三角形中的离心率【例1】(1)．已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左、右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，12tan FMF ∠=E 的离心率为（ ） A ．B ．2CD （2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，若在椭圆E 上存在点P ，使得12PF PF ⊥，则椭圆E 的离心率的取值范围为（ ）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭ B ．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C ．,12⎫⎪⎪⎣⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】（1）C （2）A【解析】（1）不妨设(,),0M c y y ->代入双曲线方程得22,(,)b b y M c a a =∴-21212222,tan 0,c F F c F MF ac ba=∠==-= 2220ac e --=--=，()10,e e -+=∴=故答案选：C（2）12PF PF ⊥，2221212PF PF F F ∴+=()()()()222212122212121212222PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF +++=+-⋅≥+-=（当且仅当12PF PF =时取等号），()2122122PF PF F F +∴≥，由椭圆定义知：122PF PF a +=，又122F F c =，2242c a ∴≥，212e ∴≥，2e ∴≥，又1e <，∴离心率e的取值范围为,12⎫⎪⎪⎣⎭.故选：A . 【举一反三】1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P 在以12,F F 为左，右焦点的椭圆()2222:102x y C b b b+=>上，在12PF F △中，若12PF F α∠=，21PF F β∠=，则()sin sin sin αβαβ+=+（ ）A ．12BC．2D【答案】B【解析】12PF F △中，()()12121212||||||||||||sin sin sin sin sin sin PF PF F F PF PF F F αβαβαβαβ+==∴=+++ 所以()1212sin ||2sin sin ||||22F F c c PF PF a a αβαβ+=====++故选：B 2．（2020·全国高三专题练习）已知点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点，若12PF PF ⊥，21tan 2PF F ∠=，则椭圆的离心率e =（ ）AB ．13C ．23D ．12【答案】A【解析】点P 是以1F 、2F 为焦点的椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，12PF PF ⊥，1212tan 2PF PF F PF ∠==，122PF PF ∴=， 122PF PF a +=，可得143a PF =，223a PF =， 由勾股定理可得2221212PF PF F F +=，即222049a c =，2259ca ∴=，因此，该椭圆的离心率为3e =. 故选：A.3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F 、2F是椭圆的两个焦点，P 是圆上一动点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ） A ．13- B ． C ．1-D ．0【答案】A【解析】椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，即2223c a =.122PF PF a +=≥212PF PF a ⋅≤，当12PF PF a ==时等号成立.根据余弦定理：()222221211212121212122cos 22PF PF PF PF F F PF PF F F F PF PF PF PF PF +-⋅-+-∠==⋅⋅22222124444111223a c a c PF PF a --=-≥-=-⋅.故选：A .技巧2 点差法中的离心率【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点()1,2M 作直线16y x m =-+与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则该椭圆的离心率是（ ） A ．23B．3C ．1112D．6（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A ，B 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，M 是E 上不同于A ，B 的任意一点，若直线AM ，BM 的斜率之积为49-，则E 的离心率为() A．3BC ．23D【答案】（1）B （2）D【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ， 由直线AB 的斜率为16-可得121216y y x x ， 由线段AB 的中点为()1,2M 可得1212x x +=，1222y y+=， 由点,A B 在椭圆上可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，即()()121222240x x y y a b --+=，所以()212212213y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率c e a ===故选：B.（2）由题意方程可知，(,0),(,0)A a B a -，设00(,)M x y ,0000,,AM BM y y k k x a x a∴==+- 则000049y y x a x a ⋅=-+- ,，整理得：2022049y x a =--，① 又2200221x y a b+=，得2222002()b y a x a =-，即2202220y b x a a =--，② 联立①②，得2249b a -=-，即22249a c a -=，解得e =． 故选D ． 【举一反三】1．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，斜率为2的直线与双曲线C 相交于点A 、B ，且弦AB 中点坐标为()1,1，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2 BCD ．3【答案】B【解析】设11(,)A x y 、22(,)B x y ，则2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， 所以2222121222x x y y a b --=，所以2121221212y y x x b x x a y x -+=⨯-+， 又弦AB 中点坐标为()1,1，所以122x x +=，122y y +=，又12122y y x x --=，所以22222b a =⨯，即222b a=，所以双曲线的离心率c e a ======. 故选：B.2．（2020·全国高三专题）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.A ．1(0)2， B ．(02， C ．1(22， D ．1)2【答案】B【解析】∵120MF MF ⋅=，∴12MF MF ⊥，∴点M 在以12F F 为直径的圆上，又点M 在椭圆内部，∴c b <，∴2222<=-c b a c ，即222c a <，∴2212c a <，即c a <0e >，∴02e <<，故选：B.3．（2020·全国高三专题练习）若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A 1B ．3C 1D ．2【答案】C【解析】依题意可知1290F PF ∠=︒，12||2F F c =，1230PF F ∠=︒，112PF F F ∴==，21212PF F F c ==，由椭圆定义可知1221)PF PF a c +==，1ce a∴==.故选：C. 技巧3 渐近线与离心率【例3】已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．(1,2)C ．)+∞D ．(2,)+∞【答案】D【解析】由题意，圆心到直线的距离2d ==，解得k =圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有两个交点，所以b a >22214b e a=+>，所以2e >.故选：D.【举一反三】1．若双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）与直线y x =无公共点，则离心率e 的取值范围是（ ）A ．(B ．(C ．(]1,2D ．()1,2【答案】A 【解析】若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线y x =无公共点，∴等价为双曲线的渐近线b y x a =的斜率1ba，即b a ，即22b a ，即222c a a -，即222c a ， 则2ca ，则2e ，1e >，∴离心率满足12e<，即双曲线离心率的取值范围是(，故选：A ．2．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]【答案】A【解析】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a， ∴3b a，离心率22224a b e a +=，2e ∴，故选A ．3．（2020·河南新乡市·高三）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过原点O的直线交C 的右支于点A ，若1223F AF π∠=，则双曲线的离心率为（ ） AB1CD【答案】D【解析】题可知123FOA π∠=，121AFO F AF ∠=∠，112FOA F AF ∠=∠，112FOA F AF ∴△△， 所以11112FO F A F AF F =，可得1F A =.在12F AF 中，由余弦定理可得22212121222cos3F F AF AF AF AF π=+-⋅，即222220AF AF c ⋅-=，解得22AF c=.双曲线的离心率为1212F FeAF AF===-.故选：D.技巧4 焦点弦与离心率【例4】（2020·石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为12,F F，过1F作倾斜角为45的直线与椭圆交于,A B两点，且112F B AF=，则椭圆的离心率=（）A．3B．2C．2D．3【答案】D【解析】椭圆22221x ya b+=的左右焦点分别为12F F、，过1F c-（，）且斜率为1k=的直线为y x c=+联立直线与椭圆方程22221x ya by x c⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消x后，化简可得2222222220a b y cb y c b a b+++-=（）因为直线交椭圆于A，B，设1122A x yB x y（，），（，）由韦达定理可得22222121222222y y,y ycb c b a ba b a b-+=-=++且112F B AF=，可得212y y=-，代入韦达定理表达式可得2222221122222,2cb c b a by ya b a b--=--=++即222222222222cb c b a ba b a b⎛⎫--=⎪++⎝⎭化简可得229c2a=所以cea==故选：D．【举一反三】1．（2020·河南省高三月考）倾斜角为4π的直线经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F ，与椭圆交于A 、B 两点，且2AF FB =，则该椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】B【解析】设B 到右准线距离为d ，则BF ed =，因为2AF FB =，则2AF ed =，所以 A 到右准线距离为2d ，从而3AB ed= 倾斜角为4π，cos 433d e ed π∴=∴=，选B. 2．（2020·全国高三专题练习）已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的左、右焦点，过2F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A ，交另一条渐近线于点B ，且2213AF F B =，则该双曲线的离心率为（ ） A ．3或33B ．6或3C 或D 【答案】B【解析】（1）当2213AF F B =时，设2F OA α∠=，则2AOB α∠=，设1a =，由题意可知1OA a ==，2OF c e ==，2AF b =，23BF b =，则4AB b =，tan b b a α==，4tan 24b b a α==， 代入得222tan 2tan 241tan 1bb b ααα===--，即2244b =-，解得b =2e c ====，（2）当2213F A F B =时，设2F OA α∠=，AOB β∠=，设1a =，则2F OB αβ∠=+，1()FOB παβ∠=-+， 由题意可知1OA a ==，2OF c e ==，2AF b =，23BF b =， 则2AB b =，tan b b a α==，2tan 2b b aβ==， 则1tan tan[()]tan()tan FOB παβαβα∠=-+=-+=， 则tan tan tan()tan 1tan tan αβαβααβ++==--⋅，代入得212b bb b b+=--⋅，即2321b =-，解得b =则e c === 故选：B .3．（2019·浙江高三其他模拟）已知过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F ，且与双曲线的渐近线平行的直线l 交双曲线于点A ，交双曲线的另一条渐近线于点B （A ，B 在同一象限内），满足2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）A ．43BC D ．2【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为by x a=±，如图，不妨设,A B 在第一象限，直线l 的方程为()b y x c a =--，与22221x y a b-=联立，得32A b y ac =；直线l 与by x a =联立，得2B bc y a=． 由||2||FB FA =，得2B A y y =，即3222bc b a ac=⨯， 得222c b =，即222c a =，则e =B ．1．已知倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，(4,2)M 是弦AB的中点，则双曲线的离心率为（ ） A BC ．32D 【答案】D【解析】因为倾斜角为π4的直线与双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）相交于A ，B 两点，所以直线的斜率tan14πk ==， 设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b -=①2222221x y a b-=②由①-②得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=则2121221212y y b x x k x x a y y -+==⋅-+因为(4,2)M 是弦AB 的中点，12128,4x x y y ∴+=+=因为直线的斜率为122814b a ∴=⋅即222211,22b b a a==所以2222112c a b a ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭232e ∴=，则2e =，故选：D2．设F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点.过点F 作斜率为-3的直线l 与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．)+∞D ．)+∞【答案】C【解析】因为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为b y x a=±，当过点F 且斜率为-3的直线l 与渐近线by x a=-平行时. 直线l 只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知， 当渐近线by x a =-的斜率满足3b a -<-，即3b a>时， 直线l 与双曲线左、右支均相交，所以22223910b a b a c a e >⇒>⇒>⇒>故选:C.3．（2019·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知1F ，2F 分别是椭圆22142x y +=的左、右焦点，P 是此椭圆上一点，若为12F PF △直角三角形，则这样的点P 有（ ）.A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】C【解析】由题意2,a b ==，则c =P 为椭圆短轴顶点时，122PF PF ==，12F F =2221212PF PF F F +=，即12PF PF ⊥，短轴顶点有2 个，过1F 或2F 作x 轴垂直与椭圆相交的点P 在4个，12PF F ∆都是直角三角形，因此共有6个． 故选：C.4．（2020·广东广州市）已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P 使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是A．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C．2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】设椭圆的上顶点为0A b （，），则∵椭圆上存在点P ，使12F PF ∠为钝角, 121212904511bF AF AF F tan AF F c∠>︒∴∠<︒∴∠<∴≤2220112a c e e e ∴∴∴<＜＜＜故答案为A 5．（2020·河北石家庄市）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>> ，点M,N 为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H ，使1(,0)2MH NH k k ∈- ,则离心率e 的取值范围为 A ．2 B ．2C ．D ． 【答案】A【解析】由题意00M a N a -（，），（，）． 设00H x y （，） ，则222202 ()b y a x a．=- 2222202000222220000()1,02MH NHb a x y y y b a k k x a x a x a x a a -⎛⎫∴=⋅===-∈- ⎪+---⎝⎭可得：22221 1(0)1)22c a e e a -=-∈-∴∈，， 故选A ．6．（2020·全国高三专题练习）椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，若F ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B．12CD1【答案】D【解析】设F （－c ,0＋y ＝0的对称点为A （m ，n ），则(1022nm c m c n ⎧⋅=-⎪⎪+-+=，解得m ＝2c ，n =，代入椭圆方程可得22223441c c a b +=化简可得 e 4－8e 2＋4＝0， 又0＜e ＜1，解得e1. 故选：D .7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F 1，F 2．P 是椭圆上一点．PF 1F 2为以F 2P 为底边的等腰三角形，当60°<PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．（）B ．（）C ．（）D ．（0）【答案】B 【解析】由题意可得，即，所以，又，则，所以，则，即．故答案选B ．8．（2020·广东肇庆市）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为,A B ，P 是椭圆上异于,A B的一点，若直线PA 的斜率PA k 与直线PB 的斜率PB k 乘积14PA PB k k =-，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．12C ．34D．2【答案】D【解析】依题意可知()(),0,,0A a B a -.设()00,P x y ，代入椭圆方程得2222002b y x b a=-+.代入1·4PA PBk k =-得000014y y x a x a ⋅=-+-，即22200144a y x =-+，与2222002b y x b a =-+对比后可得2214b a =，所以椭圆离心率为2c e a ====.故选D. 9．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c，直线)y x c =+与双曲线的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2D1【答案】D【解析】由题意，直线)y x c =+过左焦点1F 且倾斜角为60°，12212MF F MF F ∠=∠∴1260MF F ∠=︒，2130MF F ∠=︒，∴1290F MF ∠=︒，即12F M F M ⊥ ∴11212MF F F c ==，∴212sin 60MF F F ︒==，双曲线定义有212MF MF c a -=-=，∴离心率e 1ca==. 11．（2020·全国）若A 、B 为椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)长轴的两个端点，垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，且14AM BN k k ⋅=，则椭圆C 的离心率为______【解析】设()M x y ，、()N x y -，，因为(),0A a -，(,0)B a ， 所以2222222222214AM BNb x b y y y b a k k x a x a x a x a a ---⋅=⋅====+---， 所以22222222314c a b b e a a a -===-=，所以e =故答案为：212．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作倾斜角60°的直线l 交C 于A ，B 两点（A 在第一象限），则AF BF=________.【答案】35【解析】 因为离心率为12，所以2,a c b ==, 设直线AB的方程)y x c =-代入椭圆方程：2222143x y c c+=得：2580x cx -=，又∵点A 在第一象限，故8c 50A B x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以8|||3.||5c c AF BF -==13．（2020·全国高三专题练习）设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得122PF PF =，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是____.【答案】(]1,3【解析】由双曲线的定义可得1222222PF PF PF PF PF a -=-==， 又22PF a c a =≥-，则3c a ≤，1e >，所以，13e <≤.因此，双曲线C 的离心率e 的取值范围是(]1,3. 故答案为：(]1,3.14．（2020·台州市书生中学高三其他）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 是椭圆的下顶点，直线2AF 交椭圆于另一点P ，若1PF PA =，则椭圆的离心率为【答案】3【解析】如图，点P 在椭圆上，所以12+2PF PF a =，由1222,PF PA PF AF AF a ==+=，代入上式得，123,22a aPF PF == 在1APF △，222222111133122cos 32322a a a AF AP PF PAF a AF APa ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯，又2111cos 12sin 3PAF OAF ∠=-∠=，所以1sin 3OAF ∠=，即1sin 3c OAF e a ∠===， 15．（2020·开鲁县第一中学）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上一点，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若12(0,)3PF F π∠∈，则该椭圆的离心率的取值范围是【答案】11(,)32【解析】由题意可得 PF 2=F 1F 2=2c ，再由椭圆的定义可得 PF 1 =2a-PF 2=2a-2c ．设∠PF 2F 1 =θ，则1,1cos 32πθπθ<<∴-<<，△PF 1F 2中，由余弦定理可得 cos θ=22222ac c a c+- 由-1＜cos θ 可得 3e 2+2e-1＞0，e ＞13，由cos θ＜12，可得 2ac ＜a 2，e= 12c a <，综上1132e << 16．（2020·四川省绵阳南山中学高三）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为【答案】3【解析】222AF F B =设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B 中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x = 2124,33a a AF AF ∴== 在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a ，c e a ∴==17．（2020·河北省高三）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -，过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12//l l ，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为，则该椭圆的离心率为【解析】如图，不妨设1l ，2l 两条直线的斜率大于零时，连结OM ，由题意知2216PM MQ PM MQ ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩， 解得2PM =，MQ =PM =2MQ =（舍）2PM =，MQ =在PMQ 中，因为2OM PM PO ===，所以60BPO POM ∠=∠=︒，故此时tan 30AB k =︒=tan150OM k =︒=． 设()11,A x y ，()22,B x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=， 即2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即2213AB OM b k k a⋅=-=-， 因此离心率22222213c b e a a ==-=，所以e ． 18．（2020·广东省高三月考）已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为【解析】设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形，则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒， 所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a = 由余弦定理可得 ()()222222cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-， 即2222974444c a a a =-=，∴椭圆的离心率e ===。
妙解离心率问题(解析版)
妙解离心率问题【目录】考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题考点二：焦点三角形顶角范围与离心率考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形考点八：焦点到渐近线距离为b考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题考点十一：渐近线平行线与面积问题考点十二：数形结合转化长度角度求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I 卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1.利用曲线的范围建立不等关系．2.利用线段长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，PF 1 ∈a -c ,a +c ；F 1,F 2为双曲线x2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，PF 1 ≥c -a ．3.利用角度长度的大小建立不等关系．F 1,F 2为椭圆x 2a 2+y 2b2=1的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，若∠F 1PF 2=θ，则椭圆离心率e 的取值范围为sin θ2≤e <1．4.利用题目不等关系建立不等关系．5.利用判别式建立不等关系．6.利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7.利用基本不等式，建立不等关系．1(2023•新高考Ⅰ)设椭圆C 1:x 2a2+y 2=1(a >1)，C 2:x 24+y 2=1的离心率分别为e 1，e 2．若e 2=3e 1，则a =()A.233B.2C.3D.6【答案】A【解析】由椭圆C 2:x 24+y 2=1可得a 2=2，b 2=1，∴c 2=4-1=3，∴椭圆C 2的离心率为e 2=32，∵e 2=3e 1，∴e 1=12，∴c 1a 1=12，∴a 21=4c 21=4(a 21-b 21)=4(a 21-1)，∴a =233或a =-233(舍去)．故选：A ．2(2023•甲卷)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5，C 的一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，则|AB |=()A.55B.255C.355D.455【答案】D【解析】双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为5，可得c =5a ，所以b =2a ，所以双曲线的渐近线方程为：y =±2x ，一条渐近线与圆(x -2)2+(y -3)2=1交于A ，B 两点，圆的圆心(2,3)，半径为1，圆的圆心到直线y =2x 的距离为：|4-3|1+4=15，所以|AB |=21-15=455．故选：D ．3(2022•甲卷)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ，AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.13【答案】A【解析】已知A (-a ,0)，设P (x 0，y 0)，则Q (-x 0，y 0)，k AP =y 0x 0+a ，k AQ =y 0a -x 0，故k AP ⋅k AQ =y 0x 0+a ⋅y 0a -x 0=y 20a 2-x 20=14①，∵x 20a 2+y 20b 2=1，即y 20=b 2(a 2-x 20)a 2②，②代入①整理得：b 2a2=14，e =c a =1-b 2a 2=32．故选：A ．4(2021•甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2=60°，|PF 1|=3|PF 2|，则C 的离心率为()A.7B.13C.72D.132【答案】C【解析】设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则根据题意及余弦定理可得：m =3n12=m 2+n 2-4c22mn，解得m =67cn =27c ，∴所求离心率为2c 2a =2c m -n =2c 47c=72．故选：C ．5(2021•天津)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点与抛物线y 2=2px (p >0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |=2|AB |，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为x =-p2，由题意可得：p 2=c ，渐近线的方程为：y =±ba x ，可得A -c ,b 2a ，B -c ,-b2a ，C -c ,bc a ，D -c ,-bca，所以|AB |=2b 2a ，|CD |=2bca，由|CD |=2|AB |，解得：c =2b ，即a =b ，所以双曲线的离心率e =ca=2．故选：A ．6(2022•甲卷)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为13，A 1，A 2分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若BA 1 ⋅BA 2=-1，则C 的方程为()A.x 218+y 216=1B.x 29+y 28=1C.x 23+y 22=1D.x 22+y 2=1【答案】B【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为x 29m 2+y 28m 2=1(m >0)，则A 1(-3m ,0),A 2(3m ,0),B (0,22m )，由平面向量数量积的运算法则可得：BA 1 ⋅BA 2=(-3m ,-22m )⋅(3m ,-22m )=-9m 2+8m 2=-1，∴m 2=1，则椭圆方程为x 29+y 28=1．故选：B ．7(2022•全国)若双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与直线y =2x +1垂直，则C 的离心率为()A.5 B.5C.54D.52【答案】D【解析】由双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的方程可得渐近线方程为y =±b a x ，由题意可得b a =12，所以双曲线的离心率e =c a =1+b 2a 2=1+14=52，故选：D ．8(多选题)(2022•乙卷)双曲线C 的两个焦点为F 1，F 2，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos ∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为()A.52B.32C.132D.172【答案】AC【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)，设过F 1的切线与圆D :x 2+y 2=a 2相切于点P ，则|OP |=a ，OP ⊥PF 1，又|OF 1|=c ，所以PF 1=OF 12-OP 2=c 2-a 2=b ，过点F 2作F 2Q ⊥MN 于点Q ，所以OP ⎳F 2Q ，又O 为F 1F 2的中点，所以|F 1Q |=2|PF 1|=2b ，|QF 2|=2|OP |=2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，∠F 1NF 2<π2，所以sin ∠F 1NF 2=45，所以|NF 2|=QF 2sin ∠F 1NF 2=5a 2，则|NQ |=|NF 2|⋅cos ∠F 1NF 2=3a2，所以|NF 1|=|NQ |+|F 1Q |=3a2+2b ，由双曲线的定义可知|NF 1|-|NF 2|=2a ，所以3a 2+2b -5a 2=2a ，可得2b =3a ，即b a =32，所以C 的离心率e =c a =1+b 2a 2=1+94=132．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为A ，连接OA ，则|OA |=a ，|F 1A |=b ，过F 2作F 2B ⊥MN 于B ，则|F 2B |=2a ，因为cos ∠F 1NF 2=35，所以|NF 2|=5a 2，|NB |=3a2，|NF 2|-|NF 1|=5a 2-3a2-2b =a +2b =2a ，即a =2b ，所以e =c a =1+b 2a2=1+14=52，A 正确．故选：AC ．9(2023•新高考Ⅰ)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ，F 2A =-23F 2B，则C 的离心率为．【答案】355【解析】(法一)如图，设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，B (0,n )，设A (x ,y )，则F 2A =(x -c ,y ),F 2B=(-c ,n )，又F 2A =-23F 2B ，则x -c =23c y =-23n，可得A 53c ,-23n ，又F 1A ⊥F 1B ，且F 1A =83c ,-23n ,F 1B =(c ,n )，则F 1A ⋅F 1B =83c 2-23n 2=0，化简得n 2=4c 2．又点A 在C 上，则259c 2a 2-49n 2b 2=1，整理可得25c 29a 2-4n 29b2=1，代n 2=4c 2，可得25c 2a 2-16c 2b 2=9，即25e 2-16e 2e 2-1=9，解得e 2=95或15(舍去)，故e =355．(法二)由F 2A =-23F 2B ，得|F 2A||F 2B |=23，设|F 2A |=2t ,|F 2B |=3t ，由对称性可得|F 1B |=3t ，则|AF 1 |=2t +2a ,|AB|=5t ，设∠F 1AF 2=θ，则sin θ=3t 5t =35，所以cos θ=45=2t +2a5t，解得t =a ，所以|AF 1 |=2t +2a =4a ,|AF 2|=2a ，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ=16a 2+4a 2-4c 216a2=45，即5c 2=9a 2，则e =355．故答案为：355．10(2022•浙江)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ，过F 且斜率为b4a 的直线交双曲线于点A (x 1，y 1)，交双曲线的渐近线于点B (x 2，y 2)且x 1<0<x 2．若|FB |=3|FA |，则双曲线的离心率是．【答案】364．【解析】(法一)如图，过点A 作AA ′⊥x 轴于点A ′，过点B 作BB ′⊥x 轴于点B ′，由于B (x 2，y 2)且x 2>0，则点B 在渐近线y =b a x 上，不妨设B m ,bam ,m >0，设直线AB 的倾斜角为θ，则tan θ=b 4a ，则|BB ||FB |=b 4a ，即b am |FB|=b 4a ，则|FB ′|=4m ，∴|OF |=c =4m -m =3m ，又|AA ||BB |=|AF ||BF |=13，则|AA |=13|BB |=bm 3a =bc 9a ，又|FA ||FB|=|AF ||BF |=13，则|FA |=13|FB |=4m 3，则|x 1|=3m -4m 3=5m 3=5c 9，∴点A 的坐标为-5c 9,bc9a ，∴25c 281a 2-b 2c 281a 2b 2=1，即c 2a2=8124=278，∴e =c a =364．(法二)由y =b 4a (x +c )y =b a x，解得B c 3,bc 3a，又|FB |=3|FA |，所以点A 的纵坐标为y 1=bc9a，代入方程y =b 4a (x +c )中，解得x 1=-5c 9，所以A -5c 9,bc 9a ，代入双曲线方程中，可得c 2a 2=278，所以e =c a =364．故答案为：364．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：e =1sin α+cos α=12sin α+π4，根据α范围求解值域．双曲线：e =1cos α−sin α=12cos α+π4，根据α范围求解值域．1(2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π3，则该椭圆的离心率e 的取值范围是()A.22,3-1B.22,63C.3-1,63D.63,62【答案】B【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为F ，连接AF ,BF ，则四边形AFBF 为矩形，则AB =FF =2c ,AF =BF ，所以BF +BF =BF +AF =2a ，在Rt △ABF 中，由∠ABF =α，得AF =AB sin α=2c sin α,BF =AB cos α=2c cos α，所以2c sin α+2c cos α=2a ，所以c a =1sin α+cos α=12sin α+π4，因为α∈π12,π3，所以α+π4∈π3,7π12，所以2sin α+π4∈62,2 ，所以e =c a ∈22,63.故选：B .1(2024·高三单元测试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.3-1,63 B.3-1,32C.64,63D.0,63【答案】A【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ′，BF ′．则四边形AFBF ′为矩形．因此|AB =|FF ′|=2c ．|AF |+|BF |=2a ．所以|AF |=2c sin α，|BF |=2c cos α．∴2c sin α+2c cos α=2a ．∴e =1sin α+cos α=12sin α+π4，∵α∈π12,π6，∴α+π4∈π3,5π12，∴sin α+π4 ∈32,2+64，其中sin 5π12=sin π6+π4 =sin π6cos π4+cos π6sin π4=12×22+32×22=2+64，∴2sin α+π4 ∈62,1+32．∴e ∈3-1,63．故选：A ．2(2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF =α，且α∈π12,π4，则该椭圆的离心率e 的取值范围为()A.22,63 B.3-12,32C.3-1,63D.22,32【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ，BF ，可知四边形AFBF 为矩形，从而可知AB =FF =2c ，且AF +BF =2a ，由∠ABF =α，可得AF =2c sin α，BF =2c cos α，结合2c sin α+2c cos α=2a ，可得ca=1sin α+cos α，根据α∈π12,π4 ，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为F ′，连接AF ，BF，则四边形AFBF 为矩形，所以AB =FF =2c ，AF +BF =AF +AF=2a ，由∠ABF =α，可得AF =AB ⋅sin α=2c sin α，BF =AB ⋅cos α=2c cos α，∴2c sin α+2c cos α=2a ，即c a =1sin α+cos α=12sin α+π4，∵α∈π12,π4，∴α+π4 ∈π3,π2 ，∴sin α+π4 ∈32,1 ，∴2sin α+π4 ∈62,2 ，∴e =c a ∈22,63.故选：A .3(2024·河南驻马店·高三统考期末)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2(a >b >0)右支上非顶点的一点A 关于原点O 的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⋅BF =0，设∠BAF =θ且θ∈π4,5π12，则双曲线C 离心率的取值范围是()A.(2,2] B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.(2,+∞)【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F ，连接AF ,BF ，因为AF ⋅BF=0，所以四边形AFBF 为矩形，所以AB =FF =2c ，因为AF =2c cos θ，BF =2c sin θ，AF -AF =2a ，所以2c sin θ-2c cos θ=2a ，所以e =1sin θ-cos θ=12sin θ-π4，∵θ∈π4,5π12 ，∴θ-π4∈0,π6 ，2sin θ-π4 ∈0,22 ，∴e ∈2,+∞ ，故选：C考点二：焦点三角形顶角范围与离心率F 1,F 2是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2=θ，则cos θ≥1−2e 2(当且仅当动点为短轴端点时取等号)．1(2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是椭圆上的一个动点，若使得满足ΔPF 1F 2是直角三角形的动点P 恰好有6个，则该椭圆的离心率为()A.12B.32C.22D.33【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为900，所以b =c ，所以a =2c ，所以e =c a =22=22，故选：C ．1(2024·江西抚州·高三统考期末)设F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点p ,使∠F 1PF 2=120°,则椭圆离心率的取值范围是()A.0,32B.0,32C.32,1D.32,1【答案】D【解析】F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，c >0，设P x 1,y 1 ，则|PF 1|=a +ex 1，|PF 2|=a -ex 1．在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos120°=-12=a +ex 1 2+a -ex 1 2-4c 22a +ex 1 a -ex 1，解得x 21=4c 2-3a 2e 2．∵x 21∈0,a 2，∴0≤4c 2-3a 2e 2<a 2，即4c 2-3a 2≥0．且e 2<1∴e =c a ≥32．故椭圆离心率的取范围是e ∈32,1 2(2024·宁夏·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆的离心率的取值范围为()A.12，22B.22，1 C.0，22D.12，22【答案】B【解析】若椭圆C 上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，即以F 1F 2为直径的圆与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)有交点，设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，x 2+y 2=c 2x 2a 2+y 2b 2=1，解得x 2=(2c 2-a 2)⋅a 2c 2≥0，即2c 2-a 2≥0，e ≥22，又0<e <1，故e ∈22，1.故选：B .3(2024·高三课时练习)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，若椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是()A.0,22B.22,1C.0,12D.12,1【答案】B【解析】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角∠F 1PF 2渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点P 0处时，张角∠F 1PF 2达到最大值．∵椭圆上存在点P 使得∠F 1PF 2是钝角，∴△F 1P 0F 2中，∠F 1P 0F 2>90°，∴Rt △OP 0F 2中，∠OP 0F 2>45°，∴b <c ，∴a 2-c 2<c 2，∴a 2<2c 2，∴e >22，∵0<e <1，∴22<e <1．椭圆离心率的取值范围是22,1，故选B ．考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题sin 2α2e 椭2+cos 2α2e 双2=1，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围1(2024·全国·高三专题练习)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，且∠F 1PF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则当1e 1e 2取最大值时，e 1，e 2的值分别是()A.22，62B.12，52C.33，6 D.24，3【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，c =a 2-b 2，x 2a 21-y 2b 21=1，c =a 21+b 21．设PF 1 =m ，PF 2 =n ．m >n ．则m +n =2a ，m -n =2a 1，∴m =a +a 1，n =a -a 1．因为∠F 1PF 2=π3，所以cos π3=m 2+n 2-2c 22mn =12，即a +a 1 2+a -a 1 2-4c 2=a +a 1 a -a 1 ．∴a 2+3a 21-4c 2=0，∴1e 21+3e 22=4，∴4≥21e 21×3e 22，则1e 1e 2≤23，当且仅当e 1=22，e 2=62时取等号．故选：A ．1(2024·湖南·高三校联考期末)已知椭圆和双曲线有共同的焦点F 1，F 2，P ，Q 分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且QF 2⊥F 2P ，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则4e 21+e 22最小值等于．【答案】92【解析】设椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，P 为两曲线在第一象限的交点，Q 为两曲线在第三象限的交点，如图，由椭圆和双曲线定义与对称性知PF 1 +PF 2 =2a 1，PF 1 -PF 2 =2a 2，四边形PF 1QF 2为平行四边形，QF 2 =PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，而QF 2⊥F 2P ，则PF 1⊥F 2P ，因此F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2，即4c 2=a 1+a 2 2+a 1-a 2 2=2a 21+2a 22，于是有2c 2=a 21+a 22，则2=a 21c 2+a 22c 2，1e 21+1e 22=2，所以4e 21+e 22=12(4e 21+e 22)1e 21+1e 22=125+e 22e 21+4e 21e 22≥125+2e 22e 21⋅4e 21e 22=92，当且仅当e 21=34，e 22=32时取等号．故答案为：922(2024·湖北咸宁·校考模拟预测)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1,F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1 =24，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2，则3e 1e 2的取值范围是()A.19,+∞B.1,+∞C.13,+∞D.12,+∞【答案】B 【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆长半轴为a 1，双曲线实半轴为a 2，PF 1 =r 1，PF 2 =r 2，∵△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，点P 在第一象限内，∴PF 2 =F 1F 2 ,PF 1 >PF 2 ,PF 2 +F 1F 2 >PF 1 ，即r 1=24，r 2=2c ，且r 1>r 2，2r 2>r 1，2c <24，4c >24，解得：6<c <12．在双曲线中，PF 1 -PF 2 =2a 2，∴e 2=c a 2=2c 2a 2=2c r 1-r 2=2c 24-2c =c12-c ；在椭圆中，PF 1 +PF 2 =2a 1，∴e 1=c a 1=2c 2a 1=2c r 1+r 2=2c 24+2c =c12+c；∴e 1e 2=c 12+c ⋅c 12-c =1144c2-1；∵6<c <12，∴36<c 2<144，则1<144c 2<4，∴0<144c 2-1<3，可得：1144c2-1>13，∴3e 1e 2的取值范围为1,+∞ .故选：B .考点四：椭圆与双曲线的4a 通径体椭圆与双曲线的4a 通径体如图，若AF 2⊥F 1F 2，易知AF 2 =b 2a ，若AF 1 =λF 1B (λ>1)，则一定有AF 1 =λ+12⋅b 2a，根据AF 1 +AF 2 =2a 可得λ+32⋅b 2a =2a ，即λ+34⋅(1-e 2)=1⇒e =λ-1λ+31(2024·河南新乡·高三统考期末)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1的直线交双曲线C 的左支于M 、N 两点，若MF 2 =F 1F 2 ，且2MF 1 =NF 1 ，则双曲线C 的离心率是()A.43B.53C.52D.32【答案】B【解析】如下图所示：MF 2 =F 1F 2 =2c ，由双曲线的定义可得MF 1 =MF 2 -2a =2c -2a ，所以，NF 1 =2MF 1 =4c -4a ，则NF 2 =NF 1 +2a =4c -2a ，由余弦定理可得cos ∠MF 1F 2=MF 12+F 1F 2 2-MF 2 22MF 1 ⋅F 1F 2=c -a2c ，cos ∠NF 1F 2=NF 12+F 1F 2 2-NF 2 22NF 1 ⋅F 1F 2=c -3a4c ，因为cos ∠NF 1F 2=cos π-∠MF 1F 2 =-cos ∠MF 1F 2，故c -3a 4c =-c -a 2c ，整理可得3c =5a ，故该双曲线的离心率为e =c a =53.故选：B .1(2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆C 于M ，N 两点.若MN +NF 2 =2MF 2 ，且MF 2⊥NF 2，则椭圆C 的离心率为()A.33B.55C.22D.66【答案】B【解析】因为MN +NF 2 =2MF 2 ，所以可设NF 2 =m -d ，MF 2 =m ，MN =m +d m >0,d >0 ，因为MF 2⊥NF 2，所以m -d 2+m 2=m +d 2，解得m =4d ，因为NF 2 +MF 2 +MN =4a =3m ，所以NF 2 =a ，MF 2 =43a ，MN =53a ，所以cos ∠F 2MN =MF 2 MN=45，在△MF 1F 2中，F 1F 2 =2c ，MF 1 =2-MF 2 =23a ，由cos ∠F 2MF 1=23a 2+43a 2-(2c )22×23a ×43a =45，可得a 2=5c 2，即椭圆C 的离心率为55.故选：B .2(2024·湖南衡阳·校联考模拟预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左､右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，∠MF 2N =90°，且4F 2N =3F 2M ，则椭圆的离心率为()A.13B.12C.33D.55【答案】D【解析】如图所示，设F 1F 2 =2c ，∵4F 2N =3F 2M ，设F 2N =3t ，则F 2M =4t ，在Rt △F 2MN 中，MN =NF 22+MF 2 2=5t ，由椭圆定义可知F 1N =2a -3t ，F 1M =2a -4t ，F 1N +F 1M =MN =4a -7t =5t ，解得a =3t ，所以F 1N =2a -3t =3t =F 2N ，F 1M =2a -4t =2t ，在△F 1NF 2中，可得cos ∠NF 1F 2=c3t，在△F 1MF 2中，由余弦定理可得cos ∠MF 1F 2=c 2-3t 22ct，∵∠NF 1F 2+∠MF 1F 2=π，∴cos ∠NF 1F 2+cos ∠MF 1F 2=0，即c 3t +c 2-3t 22ct=0，解得c =35t 5，所以椭圆离心率e =c a =55.故选：D .考点五：椭圆与双曲线的4a 直角体如左图，若AF 2⊥AB ，AB 过原点，且AF 1=λF 1B ，∠AF 1F 2=α，则e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．如右图，若BF 2⊥AC ，AB 过原点，且AF 2=λF 2C(0<λ<1)，通过补全矩形，可得AF 1⊥AC ，AF 2 =λ+12⋅b 2a ，借助公式e cos α=λ−1 λ+1可得离心率．1(2024·山东济南·校联考)设F 1，F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且AF 1 ⋅AF 2 =0，AF 2 =2F 2B，则椭圆E 的离心率为()A.23B.34C.53D.74【答案】C【解析】因为AF 2 =2F 2B ，不妨令AF 2 =2F 2B =2m m >0 ，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，由椭圆的定义可得，AF 1 +AF 2 =2a ，BF 1 +BF 2 =2a ，则BF 1 =2a -m ，AF 1 =2a -2m ，又AF 1 ⋅AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，则△AF 1F 2和△AF 1B 都是直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2，即2a -2m 2+9m 2=2a -m 2，解得m =a3，所以AF 1 =43a ，AF 2 =23a ，又F 1F 2 =2c ，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2，所以169a 2+49a 2=4c 2，因此c 2a2=59，所以椭圆E 的离心率为c a =53.故选：C .1(2024·安徽池州·高三统考期末)设F 1、F 2分别是椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1-c ,0 的直线交椭圆E 于A ,B 两点，若AF 1=3 F 1B ，且AB ⊥AF 2，则椭圆E 的离心率是()A.12B.52C.32D.22【答案】D【解析】设FB 1=k (k 0 ⇒ AF 1=3k ,AB =4k ⇒ AF 2=2a -3k , BF 2|=2a -k ，再由BF 2|2= AF 2|2+|AB |2⇒AF 2 =3k ⇒ΔAF 1F 2是等腰直角三角形⇒c =22a ⇒e =22，故选D ,2(2024·湖北黄冈·高三统考期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，AF 2 =λF 2B ，且AF 1 ⋅AF 2 =0，椭圆C 的离心率为22，则实数λ=()A.23B.2C.13D.3【答案】D【解析】因为AF 2 =λF 2B ，设AF 2 =λF 2B =t (t >0)，由椭圆的定义可得：AF 1 +AF 2 =2a ，则AF 1 =2a -t ，因为AF 1 ⋅AF 2=0，所以AF 1⊥AF 2，所以AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2，即(2a -t )2+t 2=4c 2，又因为椭圆C 的离心率为22，所以a =2c ，则有(2a -t )2+t 2=4c 2=2a 2，所以t =a ，则λF 2B =a ，则F 2B =aλ，由BF 1 +BF 2 =2a ，所以BF 1 =2a -aλ，因为AF 1 ⋅AF 2 =0，所以AF 1⊥AF 2，所以AF 1 2+AB 2=BF 1 2，即a 2+a 21+1λ 2=2a -a λ2，解得：λ=3，故选：D .考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题同角余弦定理使用两次1已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若│AF 2 =2F 2B ，AB │=BF 1 ，则C 的方程为()A.x 22+y 2=1B.x 23+y 22=1C.x 24+y 23=1D.x 25+y 24=1【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设F 2B =n ，则AF 2 =2n ,BF 1 =AB =3n ，由椭圆的定义有2a =BF 1 +BF 2 =4n ,∴AF 1 =2a -AF 2 =2n ．在△AF 1B 中，由余弦定理推论得cos ∠F 1AB =4n 2+9n 2-9n 22⋅2n ⋅3n =13．在△AF 1F 2中，由余弦定理得4n 2+4n 2-2⋅2n ⋅2n ⋅13=4，解得n =32．∴2a =4n =23,∴a =3,∴b 2=a 2-c 2=3-1=2,∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1，故选B ．法二：由已知可设F 2B =n ，则AF 2 =2n ,BF 1 =AB =3n ，由椭圆的定义有2a =BF 1 +BF 2 =4n ,∴AF 1 =2a -AF 2 =2n ．在△AF 1F 2和△BF 1F 2中，由余弦定理得4n 2+4-2⋅2n ⋅2⋅cos ∠AF 2F 1=4n 2,n 2+4-2⋅n ⋅2⋅cos ∠BF 2F 1=9n 2 ，又∠AF 2F 1,∠BF 2F 1互补，∴cos ∠AF 2F 1+cos ∠BF 2F 1=0，两式消去cos ∠AF 2F 1,cos ∠BF 2F 1，得3n 2+6=11n 2，解得n =32．∴2a =4n =23,∴a =3,∴b 2=a 2-c 2=3-1=2,∴所求椭圆方程为x 23+y 22=1，故选B ．1(2024·江西九江·高三九江一中校考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=2F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.7B.2C.213D.3【答案】C【解析】由题意QF 1 -QF 2 =PQ -QF 2 =PF 2 =2a ，又PF 2=2F 2Q ，所以QF 2 =a ，从而QF 1 =3a ，PF 1 =4a ，PQ =3a ，△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=(4a )2+(2a )2-(2c )22×4a ×2a =5a 2-c 24a 2，△PF 1Q 中．cos ∠F 1PF 2=12PF 1PQ =2a 3a =23，所以5a 2-c 24a 2=23，7a 2=3c 2，所以e =c a =213，故选：C ．2(2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)左右焦点为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于P ，Q 两点，且PF 2=3F 2Q，若△PQF 1为以Q 为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为()A.3 B.2C.2D.3【答案】C【解析】由题意QF 1 -QF 2 =PQ -QF 2 =PF 2 =2a ，又PF 2=3F 2Q ，所以QF 2 =23a ，从而QF 1 =83a ，PF 1 =4a ，PQ =83a ，△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=(4a )2+(2a )2-(2c )22×4a ×2a =5a 2-c 24a2，△PF 1Q 中．cos ∠F 1PF 2=12PF 1PQ =2a 83a =34，所以5a 2-c 24a 2=34，2a 2=c 2，所以e =c a =2，故选：C ．考点七：双曲线的4a 底边等腰三角形当F 2A =F 2B 或者AB =4a 时，令∠AF 1F 2=α,则一定存在①F 1M =F 2B ，②e =1cos2α1(2024·河南·高三校联考阶段练习)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点，直线l ：x -3y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.153B.53C.13D.52【答案】D【解析】设双曲线C 的左焦点为F 1，如图，取线段MN 的中点H ，连接HF 2，则F 2M +F 2N =2F 2H．因为MN ⋅F 2M +F 2N =0，所以MN ⋅F 2H =0，即MN ⊥F 2H ，则MF 2 =NF 2 ．设MF 2 =NF 2 =m ．因为MF 2 -MF 1 =NF 1 -NF 2 =2a ，所以NF 1 -NF 2 +MF 2 -MF 1 =NF 1 -MF 1 =MN =4a ，则MH =NH =2a ，从而HF 1 =m ，故HF 2 =4c 2-m 2=m 2-4a 2，解得m 2=2a 2+2c 2．因为直线l 的斜率为13，所以tan ∠HF 1F 2=HF 2 HF 1=2c 2-2a 22a 2+2c2=13，整理得c 2-a 2a 2+c 2=19，即5a 2=4c 2⇒e =52，故选：D ．1(2024·贵州·校联考模拟预测)设F 2为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点，直线l ：x -2y +c =0(其中c 为双曲线C 的半焦距)与双曲线C 的左、右两支分别交于M ，N 两点，若MN ⋅F 2M +F 2N=0，则双曲线C 的离心率是()A.53B.43C.153D.233【答案】C【解析】设双曲线C 的左焦点为F 1，如图，取线段MN 的中点H ，连接HF 2，则F 2M +F 2N =2F 2H ．因为MN ⋅F 2M +F 2 N =0，所以MN ⋅F 2H =0，即MN ⊥F 2H ，则MF 2 =NF 2 ．设MF 2 =NF 2 =m ．因为MF 2 -MF 1 =NF 1 -NF 2 =2a ，所以|NF 1|-|NF 2|+|MF 2|-|MF 1|=NF 1∣-MF 1 = MN |=4a ，则|MH |=|NH |=2a ，从而|HF 1|=m ，故HF 2 =4c 2-m 2=m 2-4a 2，解得m 2=2a 2+2c 2．因为直线l 的斜率为12，所以tan ∠HF 1F 2=HF 2 HF 1 =2c 2-2a 22a 2+2c 2=12，整理得c 2-a 2a 2+c 2=14，即3c 2=5a 2，则c 2a 2=53，故e =c 2a 2=153．故选：C2(2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试)设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左､右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1作斜率为33的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于M ,N 两点，且F 2M +F 2N ⋅MN =0，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.5D.2【答案】A【解析】如图，设D 为MN 的中点，连接F 2D .易知F 2M +F 2N =2F 2D ，所以F 2M +F 2N ⋅MN =2F 2D ⋅MN =0，所以F 2D ⊥MN .因为D 为MN 的中点，所以F 2M =F 2N .设F 2M =F 2N =t ，因为MF 2 -MF 1 =2a ，所以MF 1 =t -2a .因为NF 1 -NF 2 =2a ，所以NF 1 =t +2a .所以MN =NF 1 -MF 1 =4a .因为D 是MN 的中点，F 1D =F 1M +MD ，所以MD =ND =2a ,F 1D =t .在Rt △F 1F 2D 中，F 2D =4c 2-t 2；在Rt △MF 2D 中，F 2D =t 2-4a 2.所以4c 2-t 2=t 2-4a 2，解得t 2=2a 2+2c 2.所以F 2D =2c 2-2a 2,F 1D =t =2a 2+2c 2.因为直线l 的斜率为33，所以tan ∠DF 1F 2=F 2D F 1D =2c 2-2a 22a 2+2c2=33，所以c 2-a 2a 2+c 2=13,c 2=2a 2，c =2a ，所以离心率为ca= 2.故选：A3(2024·全国·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，连接AF 2，BF 2，在△ABF 2中，sin ∠ABF 22=14，AB =BF 2 ，则双曲线C 的离心率为()A.3 B.2C.3D.2【答案】D【解析】设BF 1 =m ，则由双曲线定义可得BF 2 =2a +m ，AF 1 =2a ，AF 2 =4a ，由sin ∠ABF 22=14可得m =6a ，再在△BF 1F 2中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设BF 1 =m ，则由双曲线定义可得BF 2=2a +m ，AF 1 =AB -BF 1 =BF 2 -m =2a ，则AF 2 =4a ，则sin∠ABF 22=2a 2a +m =14，解得m =6a ，从而BF 2 =8a .在△BF 1F 2中，F 1F 2 2=BF 1 2+BF 2 2-2BF 1 ⋅BF 2 cos ∠F 1BF 2，即4c 2=36a 2+64a 2-2×6a ×8a ×1-2sin 2∠ABF 22 ，解得e =ca =2.故选：D .考点八：焦点到渐近线距离为b双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线l1:y=bax，l2:y=-bax，过右焦点作FM⊥l1，FN⊥l2，由于渐近线方程为y=±bax，故MF2OM=NF2ON=ba，且斜边OF2=c，故MF2OF2=NF2OF2=bc，故OM=ON=a，MF2=NF2=b.1(2024·河南新乡·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线l，垂足为H，直线l与双曲线C的左支交于E点，且H恰为线段EF2的中点，则双曲线C的离心率为()A.2B.3C.2D.5【答案】D【解析】连结EF1，因为点O,H分别为F1F2和EF2的中点，所以OH⎳EF1，且EF1⊥EF2设点F2c,0到一条渐近线y=bax的距离d=bca2+b2=b，所以EF2=2b，又EF2-EF1=2a，所以EF1=2b-2a，Rt△EF1F2中，满足2b-2a2+4b2=4c2，整理为：b=2a，双曲线的离心率e=ca=a2+b2a2=5.故选：D1(2024·吉林白山·高三校联考阶段练习)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2⎳OP则该双曲线的离心率为()A.2B.3C.52D.6【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为y=-bax，因为MF2⎳OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，将直线OM，MF1的方程联立y=-baxy=ab(x+c)，可得M-a2c,abc，又F 1-c ,0 ，所以P -c +-a 2c 2,ab 2c 即P -a 2+c 22c ,ab 2c，又P 点在双曲线上，所以a 2+c 224a 2c 2-a 24c2=1，解得ca =2，所以该双曲线的离心率为2，故选：A .2(2024·山西运城·高三统考期末)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，若线段MF 1交双曲线于点P ，且PF 2 =5PF 1 ，则双曲线的离心率为()A.264B.344C.2D.3【答案】C【解析】根据题意，不妨取点M 在第二象限，题中条件，得到k MF 1=ab，记∠MF 1F 2=∠PF 1F 2=θ，求出cos θ=b c ，根据双曲线定义，得到PF 2 =5a 2，PF 1 =a 2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，即可得出结果.因为以OF 1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，不妨取点M 在第二象限，所以MF 1⊥OM ，则k MF 1⋅k OM =-1，因为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为y =±b a x ，则k OM =-b a ，所以k MF 1=a b ；记∠MF 1F 2=∠PF 1F 2=θ，则tan θ=a b ，由tan θ=a b sin 2θ+cos 2θ=1解得cos θ=b c ，因为PF 2 =5PF 1 ，由双曲线的定义可得PF 2 -PF 1 =2a ，所以PF 2 =5a 2，PF 1 =a2，由余弦定理可得：cos θ=bc =PF 1 2+F 1F 2 2-PF 2 22PF 1 ×F 1F 2=a 24+4c 2-25a242×a 2×2c，则2c 2-3a 2=ab ，所以2a 2+b 2 -3a 2=ab ，整理得2b 2-ab -a 2=0，解得b =a ，所以双曲线的离心率为e =c 2a 2=b 2+a 2a 2= 2.故选：C .3(2024·辽宁·统考模拟预测)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一个焦点为F ，过F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A .若△OFA (O 为坐标原点)的面积等于14c 2(c 为双曲线C 的半焦距)，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3 C.2 D.5【答案】A【解析】设双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)，双曲线C 的一条渐近线方程设为bx +ay =0，可得AF =bc a 2+b 2=b ，OA =c 2-b 2=a ，△OAF 的面积为14c 2，即有12ab =14c 2，化为4a 2(c 2-a 2)=c 4，e 4-4e 2+4=0，解得e = 2.故选：A .4(2024·广西南宁·统考)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点为F 1，过点F 1的直线与两条渐近线的交点分别为M 、N 两点(点F 1位于点M 与点N 之间)，且MF 1 =2F 1N，又过点F 1作F 1P ⊥OM 于P (点O 为坐标原点)，且|ON |=|OP |，则双曲线E 的离心率e =()A.5B.3C.233D.62【答案】C【解析】不妨设M 在第二象限，N 在第三象限，如下图所示：因为ON =OP ，∠F 1OP =∠F 1ON ，所以△F 1OP ≅△F 1ON ，所以∠F 1PO =∠F 1NO =90°，F 1P =F 1N ，又l OM :y =-bax ,F 1-c ,0 ，所以F 1P =F 1N =-bca1+b 2a 2=b ，所以ON =OP =c 2-b 2=a ，所以MF 1 =2F 1N =2b ，因为tan ∠F 1OP =b a ,tan ∠MON =tan2∠F 1OP =3b a ，所以2ba 1-b 2a 2=3b a ，所以b 2a 2=c 2-a 2a2=e 2-1=13，所以e =233.故选：C .考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形利用几何法转化1(2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习)F 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左焦点，过点F 作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为A ，交另一条渐近线于点B ．若3FA =FB，则此双曲线的离心率为()A.2 B.53C.233D.3【答案】D【解析】由题意得：F -c ,0 ，双曲线渐近线方程为：y =±b ax若A 为直线FA 与y =-b a x 交点，B 为直线FA 与y =bax 交点则k FA =a b ∴直线FA 方程为：y =a bx +c ，与y =-b a x 联立可得：x A =-a 2c 直线FA 方程与y =b a x 联立可得：x B =a 2cb 2-a2由3FA =FB 得：3-a 2c +c =a 2c b 2-a 2+c ，即-3a 2+2c 2=a 2c 2c 2-2a 2∴-3+2e 2=e 2e 2-2，即e 4-4e 2+3=0，解得：e 2=3或1(舍)∴e =3由双曲线对称性可知，当A 为直线FA 与y =b a x 交点，B 为直线FA 与y =-bax 交点时，结论一致故选：D 1(2024·广西玉林·校考模拟预测)过双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的右焦点F 引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.(2，+∞) B.(3，+∞)C.(2，+∞)D.(3，+∞)【答案】A【解析】由题意双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1的渐近线y =±b a x ，右焦点F (c ,0)，不妨设过右焦点F (c ,0)与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为y =-ab(x -c )与y =-b a x 联立得-b a x =-a b (x -c )，所以x =a 2c a 2-b 2，y =-abc a 2-b 2，所以交点坐标为a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，因为交点在第二象限，所以-abca 2-b 2>0a 2c a 2-b 2<0，因为a >0，b >0，c >0，所以a 2c >0，abc >0，所以a 2-b 2<0，即a<b ，因为c =a 2+b 2>a 2+a 2=2a ，所以e =ca>2aa=2，即e ∈2,+∞ 故选：A2(2024·江西新余·统考)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，过右焦点F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为点A ，l 与C 的另一条渐近线交于点B ，若AF =25AB，则C 的离心率为()A.305B.2C.233D.52【答案】A【解析】如下图所示：双曲线的渐近线方程为y =±b ax ，即bx ±ay =0，所以，AF =bc b 2+a 2=b ，则OA =OF 2-AF 2=c 2-b 2=a ，因为AF =25AB ，则AB =52b ，设∠AOF =α，则∠BOF =α，所以，∠AOB =2α，tan α=AF OA =b a ，tan2α=AB OA=5b2a ，由二倍角的正切公式可得tan2α=2tan α1-tan 2α，即2ba1-b a 2=5b 2a ，可得b 2a 2=15，因此，e =c a =1+b 2a2=1+15=305.故选：A .考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题以F 1F 2为直径作圆，交一条渐近线y =bax 于点B ，BF 1交另一条渐近线于点A ，则令∠BOF 2=α,则∠BF 1F 2=α2，e =1+tan 2α1(2024·全国·校联考)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 及其一条渐近线在第一象限分别交于A ,B 两点，且OF =2OA -OB(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率是()A.2. B.3 C.322D.233【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为c ，由x =cx 2a 2-y 2b2=1得到A c ,b 2a ，由y =b a x x =c 得到B c ,bca ，而F (c ,0)，OF =2OA -OB ⇔OA =OF +OB2，即点A 是线段FB 的中点，所以bc a =2b 2a ,c =2b ，所以e =c a =2b c 2-b 2=233.故选：D1(2024·山西晋城·统考)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与直线bx -ay =0在第一象限交于点A ，若tan ∠AF 2O =2，则双曲线C 的离心率为()A.53B.32C.3D.2【答案】A【解析】由题意可得|AO |=|OF 2|=c ，即有△AOF 2为等腰三角形，设∠OAF 2=∠AF 2O =α，则∠AOF 2=π-2α，所以tan ∠AOF 2=tan π-2α =-tan2α=2tan αtan 2α-1=2×222-1=43即为b a =43，所以e =c a =1+b 2a2=1+169=53，故选：A 2(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，若以F 1F 2为直径的圆和曲线C 在第一象限交于点P ，且△POF 2恰好为正三角形，则双。
椭圆——焦点三角形
的两个焦点为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点，若|AB|=6， ） A．10 B．8 C．16 D．12
则|AF2|+|BF2|的值为（
3.已知 M 是椭圆 + =1 上一点，F1，F2 是椭圆的左，右焦点，点 I 是△MF1F2 的内心，延 长 MI 交线段 F1F2 于 N，则 A． B．
2018 高三一轮复习——解析几何
椭圆——定义与焦点三角形
记忆知识点：已知椭圆 E :
x2 y2 1 a2 b2
（1） 则 AF1 F2 周长为__________ ABF2 的周长为________ （2） 若 F1 AF2 ， 则三角形 AF1 F2 的面积为__________. （3）若 AF1 F2 , AF2 F1 ，则椭圆的离心率为____________（用 , 表示） ； （4）以焦半径 AF1 为直径的圆与以长轴为直径的圆位置关系为____________. （5）点 I 为 PF1 F2 的内切圆圆心， PI 延长线交 x 轴于 Q 点，则
=1 的左、右焦点，点 P 在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=2，则△
7 ．已知 F1、F2 是椭圆 C： + =1 （a＞ b＞ 0）的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 ⊥ A．1 8．已知 F1，F2 是椭圆 ，若△PF1F2 的面积为 9，则 b 的值为（ B．2 C．3 ） D．4
⊥PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是（ A．
9．已知 F1，F2 是两个定点，点 P 是以 F1 和 F2 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点， 并且 PF1⊥PF2，e1 和 e2 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（ A． + =4 B． + =2 C．e12+e22=4 D．e12+e22=2 ）
椭圆离心率问题
一、椭恻离心率的1.运川几何图形中线段的几何意义。
基础题目：如图• 0为椭圆的中心，F为焦点• A为顶点，准线L交0A于B. P、Q在椭恻上• PD丄L于D.QFIAD于F,设椭圆的离心率为e.则（!）*晋卞②^罟禺算④*+|吕厂、I F0 I⑤ *1757评：AQP为椭圆上的点•根据椭圆的第一定义得，V I A0 I =a, I OF I =c,・••有⑤：Tl AO I =aU BO I =辛.••有③。
题目1：椭圆务+^l（a>b>0）的两焦点为F, . F2 •以F1F2为边作正三角形.若椭圆恰好平分正三角形的两边.则椭圆的离心率e思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B.连接8F_把已知条件放在椭圆内•构造△RBF2分析三角形的^^^边长及关系。
解：V I F1F2 I =2c I BF1 I =c I BFz I =©C c-K/3c=2a Ae= yjs-l*2 u2变形椭圆农+h=lSb>0）的两儘点为F1、F2 •点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形•求椭恻离心解：连接 PF2测 I OF2 I = I OFJ = I OP I ,ZF I PF2 =90^ 图形如上图，y2变形2:椭圆农+^i(a>b>0)的两焦点为F 八Fz . AB 为椭恻的顶点.P 是椭圆上一点•且PF 】丄X 轴.tP•■TP Fl I = — I Fa Fl I =2c I OB I =b I OA I =a "AB •■- I F X' I ■夕 又"b=毎疋•'•a2=5c2 e=¥ 点评：以上题目，构造焦点三角形・通过#边的几何总义及关系，推寻有关a 与C 的方程式，推导离心率。
一、运用正余弦定理解决图形中的三角形y2 \i2题目2：椭圆+^l(a>b>0), A 是左顶点.F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点.ZA8F=90" ■求ePF2 〃 AB,求椭圆离心率解: PF2根据和比性质:I FiP I + I PF2 I sinFiFzP+sin PF1F22c ZPFiFa =75 * Z PF2Fi=15「 5in9(r V e* sin75“ +5inl5' " 3点评：在焦点三角形中・使用第一定义和正弦定理可知X2 v2变形 h 椭圆+^l(a>b>O)rrj 两焦点为 Fl (-C. 0)、F2 (c,0), P 是椭圆上一点，且ZFiPF ； =60 .求 e 的取值范ra解 S I AO I =3 I OF I =C I BF I =a I AB I 而 a^b^+a^ =(a+c)2 =$2+2合c+c2 aJ ：2・ac=0 两边同除以 aPe^+e-l=0 e=—e - '-护(舍去)变形:椭+^l{a>b>0). e=2号E A 是左顶点，F 是右焦点.B 是短轴的一个顶点，求ZABF 点评: 此题是上一题的条件与结论的互换•解题中分析各边.由余弦定理解决角的问題。
离心率寻根焦点三角形——两个离心率公式及其应用
因此双曲线的方程为瓦３９２一丢＝１．
例３设点Ｐ是双曲线２，叫２＝２上一点，Ｆ１、Ｆ２为双曲
线的两个焦点，且／－Ｆ。ＰＦ２＝６０。，求￡Ｐ—Ｒ和［矾一的大
小．
ＣＯＳ——Ｌ
其他条件不变，则由椭圆的离心率公式ｅ＝——三二－得
ｄ—Ｄ
Ｏｔ十８
ＣＯＳｌ。。。。。。。。。。。！ｏ
解析：双曲线２严咄２＝２的标准方程是产要＝１，焦点在
可以得到，
忙ｊ毒得至ｌｊｅ＝３０。而Ｚ，２而ＣＯＳ ＯＵ－一２‘万２
∞８—产，。
ＣＯＳ——上一
∞８——＿一
ＣＯＳ——＿＝—一
ｓｉｎ［ａ一６０。Ｉ＝—：１－，ａ一６０。＝±３０。，ａ＝９０。或仅＝３０ ｏ．
６０ｎ
１
２
’
。
因此厶眠Ｒ和／ＰＦｚＦ。分别为９０。、３０。或３０。、９０。．
变式：若将例３中的双曲线改为椭圆奴２＋严＝２，其他条
ｓｉｎ（ｎ弗）
ｓｉｎ ａ—ｓｉｎ
，、２ｓｉｎ堂ｃｏｓ堂ｓｉｎ ａ＋ｆ１． ｆｌ ａ＋ｆｌ ｓｉｎ堂ｓｉｎ ａ－ｆ１．
２ ２ ２ ２ｃｏｓ ２ ２ ２
＝：３～＝一 ｊ——＝——
。ｓｉｎ卢
ｓｉｎａ
ｓｉｎ（ｄ弗）
．Ｉ魍Ｉ＋Ｉ腹Ｊ
ｓｉｎｆｌ＋ｓｉｎ
２ａ
ａ
当点Ｐ是双曲线右支上除顶点外的任一点时，同理
Ｓ１ｎ—————二一
二、双曲线的离心率公式
由椭圆联想到双曲线，类比椭圆的离心率公式，猜想
似，充分体现了两种曲线内在规律的统一性、和谐性．
三、两个公式的应用举例
上述两个公式反映了两种曲线的离心率与它们的焦
双曲线的离心率ｅ＝三与它的焦点三角形中的两个角也
ａ
ＩＩＩ薯Ｉ＿蠢中・？毒ｉ：・７高中版
焦点三角形问题(解析版)
第一篇圆锥曲线专题01焦点三角形问题焦点三角形的边角关系如下：三条边：122F F c =122PF PF a+==22a c +三角形周长ce a=222a b c =+三个角：随着动点P 的移动，三个角都在变化，可能为锐角，直角和钝角，这里我们只研究顶角P ∠，利用余弦定理，P ∠又和三边a,b,c 的大小有关系三角形的面积：12S ah =底为定值，面积最大时高最大1sin 2S ab c =面积和三边长有关系一、与焦点三角形边长有关的问题焦点三角形中三边长涉及a,c ，因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围，前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长，则若能够构成三角形，则需满足1a c PF a c-≤≤+例1椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在一点P ，满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.例2.已知12,F F 是椭圆22221x y a b+=的左右焦点，若在其右准线上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】求离心率的范围问题，需要根据条件列出不等式，在含有动点的题目中，需要找出动态的量和常量之间的大小关系。
题目中：2122PF F F c==因为点P 在右准线上下移动，2PF 虽然是常量，但由于不知道a,b,c 的关系，因此还是相对的变量。
本题的定值为22a F H c c=-在2RT PHF 中，222,2a PF F H c c c >≥-解得：313e ≤<例3.设12,F F 是双曲线2214x y -=的左右焦点，点P 在双曲线上，且满足1290F PF ︒∠=，则12PF F ∆的面积是________.方法一：方法二：此题目有更简单的做法，方法一只是为了巩固焦半径的知识，设12,PF x PF y ==则有：4x y -=，又因为2220x y +=解得：2xy =，因此面积等于1.上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题，在焦点三角形中两腰长之和为2a ，底边为2c ，因此三边之间暗含离心率的关系，因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系，通过这个关系可以求出离心率。
椭圆专题三 椭圆中焦点三角形问题(含答案)
椭圆专题三 椭圆中“焦点三角形”班级__________ 姓名：__________证明结论：1.焦点三角形的面积：如果焦距所对的角的大小为θ，那么此焦点三角形的面积大小为2tan 2b θ，特别地，当PF 1⊥PF 2时12F PF ∆的面积为2b 。
证明结论：2. 12,F F 是椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点，P 是椭圆上的一点，对于焦点三角形12F PF ∆，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大。
1.设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|:|PF 2|＝2:1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于____4____．2．设F 1、F 2为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF 1｜＞｜PF 2｜，则||||21PF PF 的值为 72或 2 . 3．椭圆x 2 a 2 +y 2b 2 =1(a>b >0)的两焦点为F 1 （-c ，0）、F 2 (c,0)，满足→MF 1·→MF 2 =0的点M 总在椭圆内部，则e 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭ .4．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b >0)的两焦点为 F 1(-c,0)、F 2(c,0)，P 为右准线L 上一点，F 1P 的 垂直平分线恰过F 2点，则e 的取值范围为⎣5.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P 使1221sin sin a c PF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 )1,1 ． 6．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( B ) A.54 B.53 C. 52 D. 51 7．已知长方形ABCD ，4AB =,3BC =,则以A B 、为焦点，且过C D 、两点的椭圆的离心率为 12 .8．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，点P 在椭圆上，使△OPF 1为正三角形，求椭1 .9．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1、F 2，AB 为椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB,椭圆离心率为5 . 10．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，→OA +→OB 与→ a =(3,-1)共线，则椭圆的离心率e 为3 . 11．椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2=1(a>b>0)的两焦点为F 1(-c ，0)、F 2(c,0)，P 是以｜F 1F 2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2 =5∠PF 2F 1，则椭圆的离心率e 为 3. 12．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为___23π___.13．已知动点P 与两个定点12(F F 距离之和为定值，且12cos F PF ∠的最小值为19-，则动点P 的轨迹方程为___22194x y +=____.。
椭圆中的焦点三角形问题
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
例
2、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 900 ，求△F1PF2 的面积 x
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
变式、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 600 ，求△F1PF2 的面积 x
2.焦点三角形的面积问题
. y P
.
.
F1 0
F2
例
2、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2 是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 900 ，求△F1PF2 的面积 x
答案为9
变式、已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2
是椭圆的两个焦点，
答案为 3 3 且 F1PF2 600 ，求△F1PF2 的面积
猜想：已知
P
在椭圆
C：x2
25
y2 9
1 上，F1 和
F2
是椭圆的两个焦点，
且 F1PF2 ，则△F1PF2 的面积为多少？
此问题可以推广到一般情况为：
若
P
是椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1（ a
b
0 ）上一点，
.
变式2：F1, F2是椭圆C :
高中数学圆锥曲线系统讲解第11讲《椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式》练习及答案
第11讲 椭圆、双曲线焦点三角形下的离心率公式知识与方法1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比. 公式：1212121221sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF PF PF F PF F ∠====+∠+∠ 2.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出12PF F 的三边长之比或内角正弦值之比. 公式：1212122112sin 22sin sin F F F PF c ce a a PF F PF F PF PF ∠====∠−∠−.典型例题【例1】（2018·新课标Ⅱ卷）已知1F 、2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是椭圆C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为（ ）A.12−B.2−C.12−1 【解析】解法1：如图，12PF PF ⊥， 2160PF F ∠=︒，故可设122F F =，则1PF =，21PF =， 所以C的离心率12121F F e PF PF =−+.解法2：如图，2112126030PF F PF F PF PF ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 901sin sin sin 30sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===∠+∠︒+︒.【答案】D变式1 设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 在C 上且1PF x ⊥轴，若1230F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，1230F PF ∠=︒且1PF x ⊥，故可设22PF =，则1PF ，121F F =， 所以椭圆C的离心率12122F F e PF PF ===+.解法2：如图，12211123060F PF PF F PF F F ∠=︒⎧⇒∠=︒⎨⊥⎩121221sin sin 302sin sin sin 90sin 60F PF e PF F PF F ∠︒⇒===−∠+∠︒+︒【答案】2变式2 在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，不妨设3AB =，1AC =，则BC =4BC e AB AC ==+. 解法2：如图，1tan sin sin 3ABC ABC ACB ∠=⇒∠=⇒∠sin sin sin BAC e ABC ACB ∠⇒==∠+∠.【答案】4变式3 过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若2ABF 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒也是等腰直角三角形， 不妨设1121AF F F ==，则2AF所以椭圆的离心率12121F F e AF AF ===+.解法2：如图，由题意，121245F AF F F A ∠=∠=︒，所以椭圆的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.1变式4 过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，椭圆的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则椭圆的离心率为_______.【解析】解法1：如图，122212121211cos cos 212sin sin 88AF AF B AF F AF F AF F AF ∠=∠=⇒−∠=⇒∠∠=，不妨设1AF =24AF =，则123F F =，所以121243F F e AF AF ===+.解法2：如图，2211cos cos 28AF B AF F ∠=∠=22121112sin sin 8AF F AF F ⇒−∠=⇒∠=12213sin cos 4F AF AF F ⇒∠=∠=1212213sin sin sin F AF e AF F AF F ∠∠===∠+∠.【答案】43变式5 在ABC 中，2AB =，1BC =，且6090ABC ︒≤∠≤︒，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率的取值范围为_______. 【解析】解析：如图，设()6090ABC θθ∠=︒≤≤︒ 则2222cos 54cos AC AB BC AB BC ABC θ=+−⋅⋅∠=−，160900cos 2AC θθ︒≤≤︒⇒≤≤⇒≤≤，而12BC e AB AC AC==++22e ≤≤.【答案】2,2【反思】从上面几道题可以看出，焦点三角形下求椭圆的离心率，要么研究焦点三角形的三边长之比，要么研究焦点三角形的内角正弦值之比.【例2】已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，点P 在C 上，12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设21PF =，则1PF =，122F F =，所以12121F FePF PF===−.解法2：如图，由题意，2160PF F∠=︒，1290F PF∠=︒，所以121221sin1sin sinF PFePF F PF F∠==+∠−∠.1+变式1 （2016·新课标Ⅱ卷）已知1F、2F是双曲线2222:1x yEa b−=的左、右焦点，点M在E上，1MF与x轴垂直，211sin3MF F∠=，则E的离心率为（）B.32CD.2【解析】解法1：如图，不妨设11MF=，23MF=，则12F F=1212F FePF PF===−.解法2：21121sin sin33MF F F MF∠=⇒∠=121221sin31sin sin13F MFeMF F MF F∠⇒===∠−∠−.【答案】A变式2 已知1F、2F是双曲线2222:1x yCa b−=的左、右焦点，过1F且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若2ABF是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒也是等腰直角三角形， 不妨设1121AF F F ==，则2AF 双曲线C的离心率12211F F e AF AF ==+−.解法2：2ABF 是等腰直角三角形12AF F ⇒也是等腰直角三角形，所以121221sin sin 451sin sin sin 90sin 45F AF e AF F AF F ∠︒===+∠−∠︒−︒.1变式3 在ABC 中，AB AC ⊥，1tan 3ABC ∠=，则以B 、C 为焦点，且经过点A 的双曲线的离心率为_______.【解析】如图，不妨设1AC =，则3AB =，BC =所以双曲线的离心率BC e AB AC ===−.【答案】2变式4 已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，点P 在C 上，1230PF F ∠=︒，212PF F F =，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，121230PF F F PF ∠=∠=︒，12120F PF ∠=︒，所以121221sin 1sin sin 2F PF e PF F PF F ∠==∠−∠.【答案】12强化训练1.（★★★）在PAB 中，PA AB ⊥，12tan PBA ∠=，则以A 、B 为焦点，且经过点P 的椭圆的离心率为_______.【解析】如图，由题意，不妨设1PA =，则2AB =，PB =，所以AB e PA PB===+2.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在C 上，且1245PF F ∠=︒，214cos 5PF F ∠=，则椭圆C 的离心率为_______. 【解析】如图，212143cos sin 55PF F PF F ∠=⇒∠=， 12122121180135F PF PF F PF F PF F ∠=︒−∠−∠=︒−∠，所以()12212121sin sin 135sin135cos cos135sin F PF PF F PF F PF F ∠=︒−∠=︒∠−︒∠=故121221sin 5sin sin F PF e PF F PF F ∠==−∠+∠【答案】5−3.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，点P 在C 上，1PF x ⊥轴，且211tan 2PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为_______. 【解析】如图，不妨设11PF =，122F F =，则2PF = 双曲线C的离心率1221F F e PF PF ===−.4.（★★★）在ABC 中，30ABC ∠=︒，AB ，1BC =，若以B 、C 为焦点的椭圆经过点A ，则该椭圆的离心率为_______.【解析】2222cos 1AC AB BC AB BC ABC =+−⋅⋅∠= 1AC ⇒=⇒椭圆的离心率12BC e AB AC −==+.5.（★★★）过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A 、B 两点，若ABO 是等腰直角三角形，则椭圆C 的离心率为_______.【解析】如图，设椭圆C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒也是等腰直角三角形，不妨设1AF OF ==，则12FF =，1AF =， 所以椭圆C的离心率121F F e AF AF ==+.解法2：ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒也是等腰直角三角形， ⇒22b AF OF c b ac a=⇒=⇒=2222210102a c ac c ac a e e e −⇒−=⇒+−=⇒+−=⇒=.【答案】126.（★★★）已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b−=的左、右焦点，过1F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 交于A 、B 两点，若2ABF 是正三角形，则双曲线C 的离心率为_______. 【解析】解法1：如图，2ABF 是正三角形，不妨设11AF =，则22AF =，12F F =离心率1221F F e AF AF ==−.解法2：如图，2ABF 是正三角形1260F AF ⇒∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290AF F ∠=︒， 所以双曲线C的离心率121221sin sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠−∠.7.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b −=的左焦点1F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，C 的右焦点为2F ，若21cos 8AF B ∠=，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，2221211cos cos 22cos 18AF B AF F AF F ∠=∠=∠−=1221233cos 44F F AF F AF ⇒∠=⇒=， 不妨设123F F =，24AF =，则1AF ==所以离心率1221F F e AF AF ==−.8.（★★★）过双曲线2222:1x y C a b−=的左焦点F 作x 轴的垂线交C 于A 、B 两点，若ABO是等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为_______.【解析】如图，设双曲线C 的右焦点为1F ，ABO 是等腰直角三角形AFO ⇒也是等腰直角三角形，不妨设1AF FO ==，则12FF =，1AF ， 所以C的离心率11FF e AF AF==−.9.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过1F线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，212AF F F ⊥，则椭圆C 的离心率为_______. 【解析】解法l ：如图，直线AB1260AF F ∠=︒，又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒， 不妨设121F F =，则12AF =，2AF =， 所以椭圆C的离心率12122F F e AF AF ==+.解法2：如图，直线AB1260AF F ⇒∠=︒， 又212AF F F ⊥，所以2190AF F ∠=︒，1230F AF ∠=︒， 故椭圆C的离心率121221sin 2sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠【答案】210.（★★★）设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆的4个交点和1F 、2F 恰好构成一个正六边形，则椭圆E 的离心率为_______.【解析】如图，由题意，21ABF CDF 是正六边形，所以1260AF F ∠=︒，2130AF F ∠=︒，1290F AF ∠=︒，故椭圆E的离心率121221sin 1sin sin F AF e AF F AF F ∠==∠+∠.111.（★★★★）已知P 、Q 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 在第一象限，1F 、2F 是椭圆C 的左、右焦点，2OP OF =，若11QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为_______.【解析】如图，2121212OP OF OP F F PF PF =⇒=⇒⊥ 显然四边形12PF QF 是矩形，所以12QF PF =，由题意，11QF PF ≥，所以21PF PF 设12PF F α∠=，则21tan PF PF α=≥30α≥︒， 又点P 在第一象限，所以21PF PF <， 故tan 1α<，即45α<︒，所以3045α︒≤<︒， 椭圆C 的离心率 ()121221sin 11sin sin sin sin 90sin cos F PF e PF F PF F αααα∠====∠+∠+︒−+ 由3045α︒≤<︒可得754590α︒≤+︒<︒，()sin 451α≤+︒<，故12e <≤.【答案】1⎤⎥⎝⎦。
专题：椭圆的焦点三角形
椭圆的焦点三角形一 知识梳理定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点三角形叫焦点直角三角形。
性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。
所以周长为定值2a+2c性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆.证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：2(cos 2212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan 221θb S PF F =∴∆性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a b y a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.2112cos 222e ab -=-≥θ并且点P 在y 轴上是张角最大。
证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：1244242)(2cos 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ.21121)2(22222212e a b r r b -=-=-+≥当切仅当21r r =，即点P 在y 轴是θcos 取的最小值，而角θ取得最大值。
椭圆中的焦点三角形及求离心率问题有答案
椭圆中的焦点三角形及求离心率问题2 21、假设椭圆方程为xr+2=1, /PF I F2=90°,试求aPF i F2的面积. 4 32 2X V【解】椭圆万程7+与=1,知a=2, c=1,由椭圆定义,得|PF i|+|PF2|=2a = 4,且|F i F2|4 3=2,在△PF1F2 中,/PF1F2=90°.；|PF2|2=|PF1|2+ |F1F2|2从而(4—|PF1|)2=|PF1|2+4,那么|PF1|3=二2,…一 .1 3 …一、一一一3因此、匕PF1F2=2 |F1F2| |PF1|=2.故所求^ PF1F2的面积为2.2、设F1, F2是椭圆X + Vr=1的两个焦点,p是椭圆上的点,且|PF1| ： |PF2|=2 ： 1,那么9 4 △ F1PF2的面积等于(B ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 1【解】由椭圆方程,得a = 3, b=2, c=@,,|PF1|十|PF2| = 2a= 6,又|PF1| ： |PF2|二2 ：1, 二|PF1| = 4, |PF2|=2,由22+42 = (2书)2可知,△ F1PF2 是直角三角形,故^ F1PF2 的面1 1积为2|PF1| |PF2| = 2X4X 2=4,应选B.2 2...... .... X V3、过椭圆孑+ 1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线父椭圆于点P, F2为右焦点,假设/F1PF2 = 60°,那么椭圆的离心率为 .【解】由题意,△ PF1F2为直角三角形,且/ F1PF2 = 60°,所以|PF2|=2|PF1|.设|PF1|=X,那么|PF1|十|PF2| = 2a,所以23+j3=2a,即e=c=|PF2|=2X,|F1F2|=[3X,又|FF2|=2C,所以 x =即|PF1|= 毒1P因嗡 .由椭圆的定义知,4、椭圆的两焦点为F1、F2, A为椭圆上一点,且AF1AF2=0, /AF2F1 = 60°,那么该椭圆的离心率为.【解】. AF1 AF2=0, • - AF1 _L AF2,且/ AF2F1 = 60 .设|F1F2|= 2c, . . |AF1| =/3c, |AF2|=c.由椭圆定义知：屹c+c=2a 即(陋+ 1)c=2a.「♦3='=^：[=/—1.5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形,那么它的离心率为(A )A 1c 1 c 1 c 2 A . 2 B .§ c.4 D .£x 2 y 26、设椭圆孑+事=1(a>b>0)与x 轴父于点A,以OA 为边作等腰二角形OAP,其顶点 P 在椭圆上,且/ OPA=120°,求椭圆的离心率.a a【解】设A(a,0),点P 在第一象限,由题意,点P 的横坐标是少设Pa, y ,由点P 在椭圆02 2上,得a + *= 1, y 2=4b 2,即 Pa, a b 4 2 _J b _ POA=-2—=噂,所以 a=3b,所以 e=c= a 3 a 27、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆,交椭圆于四个不同的点,顺次连结这四个点与两焦点,恰好组成一个正六边形,求这个椭圆的离心率.【解】 如图,设椭圆两焦点为F1, F2,与正六边形其中两个交点为 A, B,并设正六边形边长为 m,那么根据正六边形的性质有：/ FAB = 120°, |OF 1|=m,根据余弦定理 F 1B 2 = m 2+m 2 —2mm cos 120°=3m 2, • . F 1B=43m,又 2a =F1B+ BF 2=V 3m+ m,• .a= -32%,又 c=m, 'A ；?3T = ^T,即椭圆的离心率为 3—1.-2^m2 28、椭圆C:今十七=1(a>b>0)的左焦点为F, C 与过原点的直线相交于A, B 两点, a b 连结 AF, BF.假设|AB| = 10, |BF|=8, cos/ ABF =4,那么 C 的离心率为〔B 〕 5【解】 在AABF 中,|AF|2= AB|2+|BF|2—2AB| |BF| cos/ABF = 102+ 82-2X 10X8X4536,那么AF| = 6.由|AB|2= AF 『 + |BF|2可知,△ ABF 是直角三角形,OF 为斜边AB 的中线, = |OF =臂=5.设椭圆的另一焦点为F 1,由于点O 平分AB,且平分FF 1,所以四边形AFBF I为平行四边形,所以|BF|=|AF 1| = 8.由椭圆的性质可知AF|+AF 1|=14=2a?a=7,那么㊀土二刍 a / ,又/OPA=120°,所以/ POA=30°,故 tan/y[^^ V 3b 2-b 2 述 3bA .3B .5。
椭圆离心率50道题训练含详解
（2）设椭圆 ： ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于A， 两点，且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点，如图．当 在椭圆 上移动时，四边形 的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】
由椭圆 ，可得 ，所以 ，
所以椭圆的离心率为 .
15．已知椭圆 ： 的离心率为 ，则 的值可能是（）
A． B． C． D．
16．椭圆的中心在原点，离心率为 ，则该椭圆的方程可能为（）
A． B．
C． D．
17．已知曲线 ： ，其中 为非零常数，则下列结论中正确的是（）
A．当 时，则曲线 是一个圆
B．当 时，则曲线 是一个椭圆
C．若 时，则曲线 是焦点为 的椭圆
A．椭圆的离心率是 B．线段AB长度的取值范围是
C． 面积的最大值是 D． 的周长存在最大值
22．如图，椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点，且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心．设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为 和 ，半焦距分别为 和 ，离心率分别为 和 ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
34．椭圆 ： 的左右焦点分别为 ， ，过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点，已知 ， ，则椭圆 的离心率为___________.
35．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为__________.
36．设 , 分别是椭圆 的左､右焦点，过点 的直线交椭圆 于 两点， ，若 ，则椭圆 的离心率为___________.
四、解答题
44．已知椭圆的焦点为 和 ， 是椭圆上的一点，且 是 与 的等差中项.
秒杀题型 离心率(椭圆与双曲线)(详细解析版)
秒杀题型一：利用焦点三角形求离心率。
秒杀思路：利用定义，求出ac e 22=。
秒杀公式：椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为α、β，则sin()sin sin e αβαβ+=+(正弦定理)。
双曲线：利用焦点三角形两底角,αβ来表示:sin()sin sin e αβαβ+=-。
1.(高考题)在平面直角坐标系xOy 中,已知ABC ∆顶点(4,0)A -和(4,0)C ,顶点B 在椭圆221259x y +=上,则sin sin sin A C B+= . 【解析】：秒杀公式：sin sin sin A C B+=451=e 。
2.(2013年新课标全国卷II)设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ⊥,1230PF F ∠=o,则C 的离心率为 ( )B.13C.12 【解析】：设t PF =2，t PF 21=，则t F F 321=，即t a 32=，t c 32=，3322==a c e ，选D 。
秒杀公式：()3330sin 90sin 3090sin =︒+︒︒+︒=e ，选D 。
3.(高考题)已知12,F F 是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于AB 两2ABF ∆点,若是正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( ) A.33 B.32 C.22 D.23 【解析】：21F AF ∆与上题完全相同，选A 。
4.(高考题)双曲线22221x y a b -=(0a >,0b >)的左、右焦点分别是12,F F ,过1F 作倾斜角为︒30的直线交双曲。
椭圆中焦点三角形的性质(含答案)
专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为ab 22证明：性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan 221θb S PF F =∆.证明：性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by a x 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ例1. 若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ， 求△21PF F 的面积.例2.已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 21||||2121=⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ） A. 33 B. 32 C. 3 D. 33例3.已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A. 59B. 779C. 49D. 49或779例 4. 已知1F 、2F 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，椭圆上一点P 使︒=∠9021PF F ，求椭圆离心率e 的取值范围。
练习题：1. 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 242. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 63. 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积 最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-4．已知椭圆1222=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1 B ．31C ．34 D ．32 5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上， 直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35， 求椭圆的标准方程.专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.53D.632．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.153．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．4.已知A 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的一个动点，直线AB 、AC 分别过焦点F 1、 F 2，且与椭圆交于B 、C 两点，若当AC 垂直于x 轴时，恰好有|AF 1|∶|AF 2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率．5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）性质二证明：记2211||,||r PF r PF ==，由椭圆的第一定义得.4)(,2222121a r r a r r =+∴=+在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ 即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ.cos 12cos 1)(222221θθ+=+-=∴b c a r r由任意三角形的面积公式得：2tan 2cos 22cos2sin2cos 1sin sin 2122222121θθθθθθθ⋅=⋅=+⋅==∆b b b r r S PF F ..2tan221θb S PF F =∴∆同理可证，在椭圆12222=+bx a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.性质三证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r ca r r c r r r r r r F F r r θ.2112221)2(222222222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。
离心率问题的7种题型15种方法
离心率问题的7种题型15种方法求离心率常用公式题型一 椭圆离心率的求值方法一 定义法求离心率1. 已知椭圆C 14222=+y a x 的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为（ ） A .31 B .21 C .22 D .322 【解析】 14222=+y a x ，∵ a 2−4=4⇒a =2√2 ，则 e =c a =2√2=√22 ，选C2. 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【解析】由直角三角形的面积关系得bc =124⨯12c e a ==，选B3. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A .45 B .35 C .25D . 15【解析】设长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ，则2222.a c b +=⨯ 即22222()44()a c b a c b a c +=⇒+==-. 整理得：2225230,5230c ac a e e +-=+-=，选B4. 椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2．若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为【解析】椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，所以（a﹣c）（a+c）=4c2，即a2=5c2，所以e=55方法二运用通径求离心率5.设椭圆C2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A，B两点，F1B与y轴相交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于【解析】不妨假设椭圆中的a=1，则F1（﹣c，0），F2（c，0），当x=c时，由2222x ya b+=1得y=ab2=b2，即A（c，b2），B（c，﹣b2），设D（0，m），∵F1，D，B三点共线，∴，得m=﹣2b2，即D（0，﹣2b2），∴若AD⊥F1B，在，即=﹣1，即3b4=4c2，则3b2=2c=3（1﹣c2）=2c，即3c2+2c﹣3=0，解得c==，则c=，∵a=1，∴离心率e=ac=336.从椭圆22221x ya b+=(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥O P(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是【解析】由题意知A(a,0)，B(0，b)，P2,bca⎛⎫-⎪⎝⎭∵AB∥O P，∴2b bac a-=-.∴b＝c；又∵a2＝b2＋c2，∴22212cea==.∴2e=7.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是【解法一】设1(,0)F c-，2(,0)F c，由题意易知，21212,PF F F c PF===，1212212F Fcea PF PF∴====+【解法二】由题意易知，2122,PF FF c ==由通径得22=a b PF ，故22c=ab ，解得e 1方法三 运用e =e = 8. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且FD BF 2=，则C 的离心率为【解】 如图，，作DD 1⊥y 轴于点D 1，则由，得，所以，，即，由椭圆的第二定义得又由|BF |=2|FD |，得，a 2=3c 2，解得e ==33，9. 经过椭圆2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A ，B两点，若||||AF BF 112=，求椭圆的离心率。
离心率的求法(解析版)
第一篇圆锥曲线专题05离心率的求法一、求离心率值的问题求离心率的值需要构造一个含有,,a b c 或数字的等式，而等式关系如何构造，只能依照题目中给出的条件结合几何形状见招拆招，没套路可言。
1、基本方法：从定义出发，特别注意第一定义中的焦点三角形问题，以椭圆为例，在焦点三角形中三条边中蕴含了,a c 的关系，因此如果能找出三条边的关系也就可以求出离心率的值。
例1：如图，12,F F 是椭圆221:14x C y +=和双曲线2C 的公共焦点，若四边形12AF BF 为矩形，则双曲线的离心率为____________.【解析】关于共焦点的问题，c 相等，在椭圆里面1224AF AF a +==在12RT AF F ∆中满足2221212+=AF AF F F ，解得12AF AF则在双曲线中a c ==62e =例2：设椭圆的两个焦点分别是12,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_________.2、几何法，几何方法不是方法，而是分析几何图形的能力，根据题目中给出的或隐含的条件找出等量关系即可，比如题目中给出的等腰，中垂线，垂直等条件都可能是破解题目的入手点。
例3：已知,A B 为双曲线E 的左右顶点，点M 在E 上，ABM ∆为等腰三角形且顶角为120︒，则E 的离心率为_________.上图中A,B 两点不是焦点，2AB a =,且条件中没有b 和c 的量，因此无法构成等量关系，但是注意双曲线的方程本身就是包含,a b 的等式，因此题目的关键不是构造等式而是求出点M 的坐标，代入到双曲线的方程中即可求出离心率。
【解析】从M 点作x 轴的垂线，垂足为C ，因为2,60BM a MBC ︒=∠=所以,BC a MC ==，所以点M 的坐标为(2)a 代入到双曲线中得2222(2)(3)1a a b -=整理得e =例4：设12,F F 分别是椭圆2222:1x y E a b+=的左右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于A,B 两点，11||3||AF BF =，若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率。
离心率寻根焦点三角形——两个离心率公式及其应用
，其 中点 Ｐ 是
离 心率 由焦点 三角形 中任 意的两个 角确定．
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ＣＯＳ— — — — ＝ 一
Ｃ Ｏ Ｓ— — — — ～
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椭 圆上除长轴 上两个顶点外 的任一 点． 也就是 说 ， 椭 圆的
公 式ｅ
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与公式ｅ ＿＿ ＿ 『
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离心率 由焦点三角形 中任意 的两个角确定．
２
一
两种 曲线形状 的主要标尺之一 ，而椭 圆和双 曲线 的焦点 三角形 中的三边 又与两种 曲线方程 中的ａ ， ｂ ， ｃ 密切相关 ， 这就 自然引发我们 的思 考 ： 两种 曲线 的离心率ｅ ： 与焦
ａ
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１（ ａ ＞ Ｏ ， ｂ ＞ Ｏ ） ， 、 是左
图 ２
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２ ０ １ ３年 ６月
案例 点评
材 法
点三角形的角之间的本质联系 ，这就为求解某些 与离心 率和焦点三角形有关 的椭 圆、 双 曲线 问题提供 了新思路 、 新 途径 、 新方 法． 灵活运 用这两 个公式 ， 往往 能 收到事 半
ｓ ｉ ｎ （ ＋ ）
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对 于焦 点在Ｙ 轴 上 的双 曲线 ， 以上 两式 也成立 ． 于是
一
２
“Hale Waihona Puke —．Ｏ ／ ＋ ８
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椭圆中的焦点三角形及求离心率问题
1、若椭圆方程为x 24＋y 23＝1，∠PF 1F 2＝90°，试求△PF 1F 2的面积．
【解】 椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在
△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，
因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.
2、设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( B ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1
【解】 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|
＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12
×4×2＝4，故选B.
3、过椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．
【解】由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝
2c 3.即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3
.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3
＝2a ，即e ＝c a ＝33. 4、已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→
＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________．
【解】 ∵AF 1→·AF 2→
＝0，∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°.设|F 1F 2|＝2c ，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .由椭圆
3c ＋c ＝2a 即(3＋1)c ＝2a .∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A )
A.12
B.13
C.14
D.22
6、设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．
【解】设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OP A ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝(3b )2－b 23b
＝223. 7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率．
【解】 如图，设椭圆两焦点为F 1，F 2，与正六边形
其中两个交点为A ，B ，并设正六边形边长为m ，则根据正六边形的性质有：∠F AB ＝120°，|OF 1|＝m ，根据余弦定理F 1B 2＝m 2＋m 2－2m ·m ·cos 120°＝3m 2，∴F 1B ＝3m ，又2a ＝F 1B ＋BF 2＝3m ＋m ，
∴a ＝3＋12m ，又c ＝m ，∴c a ＝m 3＋1
2m
＝3－1，即椭圆的离心率为3－1. 8、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，
BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( B ) A.35 B.57 C.45 D.67
【解】 在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |
＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭
圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝
|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.。