椭圆中的焦点三角形及求离心率问题(含答案)

椭圆中的焦点三角形及求离心率问题

1、若椭圆方程为x 24＋y 23＝1，∠PF 1F 2＝90°，试求△PF 1F 2的面积．

【解】 椭圆方程x 24＋y 23＝1，知a ＝2，c ＝1，由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝4，且|F 1F 2|＝2，在

△PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝90°.∴|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2.从而(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4，则|PF 1|＝32，

因此S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 1|＝32.故所求△PF 1F 2的面积为32.

2、设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( B ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．1

【解】 由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|

＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12

×4×2＝4，故选B.

3、过椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．

【解】由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝

2c 3.即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c 3

.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3

＝2a ，即e ＝c a ＝33. 4、已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→

＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________．

【解】 ∵AF 1→·AF 2→

＝0，∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°.设|F 1F 2|＝2c ，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .由椭圆

3c ＋c ＝2a 即(3＋1)c ＝2a .∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 5、椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A )

A.12

B.13

C.14

D.22

6、设椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P 在椭圆上，且∠OP A ＝120°，求椭圆的离心率．

【解】设A (a,0)，点P 在第一象限，由题意，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OP A ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan ∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝(3b )2－b 23b

＝223. 7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点，恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率．

【解】 如图，设椭圆两焦点为F 1，F 2，与正六边形

其中两个交点为A ，B ，并设正六边形边长为m ，则根据正六边形的性质有：∠F AB ＝120°，|OF 1|＝m ，根据余弦定理F 1B 2＝m 2＋m 2－2m ·m ·cos 120°＝3m 2，∴F 1B ＝3m ，又2a ＝F 1B ＋BF 2＝3m ＋m ，

∴a ＝3＋12m ，又c ＝m ，∴c a ＝m 3＋1

2m

＝3－1，即椭圆的离心率为3－1. 8、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，

BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( B ) A.35 B.57 C.45 D.67

【解】 在△ABF 中，|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |·cos ∠ABF ＝102＋82－2×10×8×45＝36，则|AF |

＝6.由|AB |2＝|AF |2＋|BF |2可知，△ABF 是直角三角形，OF 为斜边AB 的中线，c ＝|OF |＝|AB |2＝5.设椭

圆的另一焦点为F 1，因为点O 平分AB ，且平分FF 1，所以四边形AFBF 1为平行四边形，所以|BF |＝

|AF 1|＝8.由椭圆的性质可知|AF |＋|AF 1|＝14＝2a ⇒a ＝7，则e ＝c a ＝57.