大角度单摆运动的计算机模拟

2006年6月

重庆文理学院学报(自然科学版)J un 1,2006 第5卷 第2期J ournal of Chongqing Universi ty of Arts and Sciences (Nature Sciences Edi ti on)Vol 15 No 12

大角度单摆运动的计算机模拟

龙晓霞

(重庆文理学院 物理与信息工程系,重庆 永川 402160)

[摘 要]大角度单摆问题属于非线性问题,很难用解析的方法求其运动.本文利用MATLAB 软件对大角度单摆在无阻力无驱动、有阻力无驱动、有阻力有驱动3种情况下的运动进行了计算机模拟,并对运动情况进行了分析.

[关键词]单摆;计算机模拟;MATLAB

[中图分类号]O4-39 [文献标识码]A [文章编号]1671-7538(2006)02-0028-04

1 引言

MATLAB 数学软件是欧美十分流行的通用性很强的数学软件,占据了数学软件市场的主导地位.它可以对非线性微分方程进行数值求解.

当单摆的摆角小于5b 的时候,单摆的运动微分方程为线性方程,可以解析求解.但当单摆做大摆角运动时,其运动微分方程为非线性方程,很难用解析的方法讨论其运动.利用MATLAB 软件可以对单摆运动进行数值求解,模拟不同情况下大角度单摆的运动,其结果非常直观、形象.

2 大角度单摆运动的模拟

2.1 大角度单摆的运动微分方程

单摆在做大摆角运动的情况下,考虑到空气阻力和驱动力的影响,其运动微分方程为

[1]:

d 2H d t 2+X 2sin H +2b d H d t =f cos pt 1其中,b 为阻尼因数,由阻力大小决定,f 和p 由驱动力决定,X 2=g l 由系统本身决定.2.2 无阻力、无驱动下大角度单摆的运动

2.2.1

微分方程

图1根据大角度单摆的运动微分方程,在无阻力无驱动时,

也就是b =0和f =0时,其运动微分方程为:

d 2

H d t 2+X 2sin H =012.2.2 相图及其分析

由图1可以看出:

(1)E <2mgl 时,摆锤在-P -P 的势阱中作周期运

动,其相轨迹为一闭合曲线.

(2)E >2mgl 时,摆锤在势场中作定向运动,且H 可以

趋向?],其相轨迹为两条不相交的曲线,对应两个不同的X [收稿日期]2005-09-27

[作者简介]龙晓霞(1965-),女,重庆荣昌人,副教授,主要从事力学教学及研究1

[基金项目]重庆文理学院2005-2006年教育教学研究项目(05015)1

运动方向.

(3)E =2mgl 时,摆锤运动处于临界状态.当其H 对应势能曲线的极大值时,摆锤速度为零.下一时刻的运动具有不确定性,摆锤既可能沿原运动方向运动,也可能改变运动方向.

2.2.3 摆角对周期的影响

单摆在摆角小于5b 的情况下,单摆周期和摆角无关,但在大摆角运动的情况下,周期为[2]:

T =2P l g 1+14sin 2H 02+1#32#42sin 4H 02

+,1 由公式可以看出,周期随摆角的增大而增大.从周期与摆角的关系曲线(图2)以及初始摆角不同的位移曲线(图3)可以非常直观地看出这个结论.

图2 图32.3 有阻力、无驱动下大角度单摆的运动

2.3.1 微分方程

根据大角度单摆的运动微分方程,在有阻力无驱动时,也就是b X 0和f =0时,其微分方程为:

d 2H d t

2+X 2sin H +2b d H d t =01 2.3.2 弱阻尼状态的位移时间图像和相图

在弱阻尼状态下,由位移和时间图像(图4)可以看出,摆角随着时间的增加逐渐衰减,经历了多个往复过程停下来;由相图(图5)可以看出,相轨迹是对数螺线,最后终结于平衡位置.

图4 图5

2.3.3 临界阻尼状态的位移时间图像和相图

在临界阻尼状态下,由位移和时间图像(见下页图6)可以看出,单摆没有在平衡位置附近往复运动,而是很快回到了平衡位置;从相图(见下页图7)可以看出,由最开始的具有较大摆角、角速度为零的状态,直接回到了平衡位置.

2.3.4 过阻尼状态的位移时间图像和相图

在过阻尼状态下,由位移和时间图像(见下页图8)可以看出,单摆也没有在平衡位置附近往复运

动,但和临界阻尼状态相比,经历了更长时间才回到平衡位置1从相图(图9)可以看出,单摆由最开始的具有较大摆角、角速度为零的状态,直接回到了平衡位置,和临界阻尼状态相比,其振动速度更小.

图6 图7

图8 图9

2.4 有阻力、有驱动下大角度单摆的运动

2.4.1 微分方程

根据大角度单摆的一般运动微分方程,在有阻力无驱动时,也就是b X 0和f X 0时,其微分方程为:

d 2

H d t 2+X 2sin H +2b d H d t =f cos pt 1 2.4.2 相同阻尼不同驱动力的位移时间曲线和相图

图10 图11

图12图13

图14图15

图10、图12、图14分别表示阻力相同、驱动力不同情况下的位移时间图像和相图.图10表示驱动力频率和系统的固有频率接近的情况,可以看出,系统的振幅最大,发生了共振现象;图12、图14表示驱动力频率和系统的固有频率相差较大的情况,系统的振幅较小1从相图反映的情况看,受迫振动在做等幅振动之前运动情况是相当复杂的,但它们经过一段时间以后均做等幅振动,相图为一闭合的椭圆.另外还可以看出,受迫振动的频率与驱动力频率相同.

3结语

本文运用MATLAB对无阻力无驱动、有阻力无驱动、有阻力有驱动情况下的大角度单摆的位移时间图像、周期与摆角的关系以及相图进行了分析,分析结果和理论上所得到的结果是一致的1这种方法可以非常直观、形象地反映单摆的运动情况,避免了求解复杂的方程.

[参考文献]

[1]漆安慎,杜婵英.力学[M].北京:高等教育出版社,2000.

[2]韦得泉,王秋芳.单摆的角振幅对其周期的影响[J].洛阳大学学报,2003,18(2):103.

[3]胡静,彭芳麟,管靖,卢圣治.理论力学的计算机模拟[M].北京:清华大学出版社,2002.

[4]陈怀琛.MATLAB及其在理工课程中的应用指南[M].西安:西安电子科技大学出版社,2000.

C omputer Simulation for the Motion of a Single Pendulum in Large Angle

LONG Xiao-xia

(Dept.of Phys i cs and Information Engi neering,Chongqing University of Arts and Sci e nces,Yongchuan Chongqing402160,China) Abstract:A single pendulum in a large angle region involves nonlinearlity,which cannot be solved analytically. The simulations on the motion of a single pendulum in a large angle re gion are carried out by using MATLAB under three conditions that there are no resistance and no driving;resistance and no driving;resistance and driving,and the motions are discussed.

Key words:single pendulum;computer simulation;MATLAB