2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答

2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案

一、填空题(每小题8分，共64分)

1.设A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{|,,}B x y x y A x y =+∈≠，若222{log 6,log 10,log 15}B =，则集合A =________. 答案：22{1,log 3,log 5}

提示：设222{log ,log ,log }A a b c =，其中0.a b c <<<

则6,10,15.ab bc ad ===解得2,3,5a b c ===，从而22{1,log 3,log 5}A =。

2.函数 的最小值为 ，最大值为 ，则

________.

答案：

提示：设 ,则 且 ，∴ .

，令

， . 令 得 ， ， ， ∴ ， ，∴

.

3. ________. 答案：

提示：

.

4.已知向量 ， ， 满足 ，且 ，若 为 ， 的

夹角，则 ________. 答案：

提示：∵ ∴ ∴ ∵ ∴

又∵ ∴ ∴

.

5.已知复数 ， ， 使得

为纯虚数， ， ，则 的最小

值是________.

1

提示：设 ，则 ，由已知

∴

∴ ∴ ∴ 。 当

1232

1,,(1)2

z z i z i ===

+时，最小值能取到。

6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________. 答案：

提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为 ，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球， 且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为 ，所以正四面体的高

, 得

7. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，对任意0x >有4()f x x >-，4

(())3f f x x

+=，则(8)f = . 答案：

7

2

提示：由题意存在00x >使0()3f x =。又因()f x 是(0,)+∞上的单调函数，这样的00

x >是唯一的，再由004

(())3f f x x +

=得000

44()3x f x x x

=+=+

解得04x =或01x =-（舍）。所以4()4f x x =-，47(8)482

f =-=。 8.已知 为椭圆

的内接三角形，且 过点 ，则 的面积的最大

值为________. 答案：

提示：经伸缩变换

得 内接于圆 ， 过点

，

，设 距 的距离为 ，则

， ， ，易知当

时， 有最大值为

，∴ 的最大值为

.

二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分)

9.已知过点斜率为的直线交双曲线：右支于、两点，为双曲线的右焦点，且，求的值.

解：设，，则直线：.离心率。......4分

联立得

∴...........8分

∴ .......12分

∴. ........ 16分。

10.数列满足，，.

（1）证明：数列是正整数数列；

（2）是否存在，使得，并说明理由.

证明：（1）已知，∴

相减得

∴为常数数列。.......... 5分

∴

∴，又∵∴

又∵，∴ ....... 10分

（2）∵，假设有，则。..... 15分

法一：由，，

得

∴∴

法二：∵∴

由费马小定理得，矛盾.

所以不存在，使得，得证. ......20分

11.已知，，求证.

注：可直接应用以下结论

（1）；（2）。

证明：设，，则，.

只要证，因为, 所以只要证明：对满足的，有。..... 5分

令得，

此时

，......... 10分

∴

. ........ 15分

∵∴

，不等式成立，得证. ........ 20分