2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答
2019年浙江省高中数学竞赛试卷
因此当 t= a 2
1 ,( S ) ABC max
a
a3
a2
, 1
------------- 14 分
3
令a
27
a2 1 8
(a 3)(8a2 3a 9) 0
a 3, a 3 297 16
a2 1 2
a
a1
3 2, a
297 (不合题意，舍去 )， a 3.
16
--------- 17 分
四、附加题： （本大题共有 2 小题，每题 25 分，共 50 分。） 21. 设 D，E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB 上的点。 记
项的序号为（ 1+2+3+…+4018）+2019=809428。
------------ 17 分
19. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子 中，要求每个袋子里三种颜色球都有， 且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。 问共有多少种放法。
解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 x, y , z ，则有 1 x, y, z 9 ，且
( x 2010 1)2 2 0
x 2010 1 ，解得
12. x R, 函数 f ( x) x
解答 2 s i n 的周期为 2
x
x
2sin 3cos 的最小正周期为 12 .
2
3
x 4， 3 c o的s周期为 6 ，所以函数 f x 的周( 期) 为
3
。1 2
13. 设 P 是圆 x2 y2 36 上一动点， A 点坐标为 20,0 。当 P 在圆上运动时，线
2019 年浙江省高中数学竞赛试卷
2019年全国高中数学联赛浙江省预赛及解析
2019年全国高中数学联赛浙江省预赛注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明第II 卷（非选择题）一、填空题的线段分为x 、y 两段，再将长度为x 的线段弯成半圆周ACB ，将长度为y 的线段折成矩形ABDE 的三条边(BD 、DE 、EA )，构成闭“曲边形”ACBDEA ，则该曲边形面积的最大值为____________.2.已知集合A ={k +1，k +2，…，k +n }，k 、n 为正整数，若集合A 中所有元素之和为2019，则当n 取最大值时，集合A =________.3.设(0,)2πθ∈，则2sin cos (sin 1)(cos 1)θθθθ++的最大值为_____4.设三条不同的直线：1:23(1)0l ax by a b ++++=，2:2(1)30l bx a b y a ++++=，3:(1)230l a b x ay b ++++=，则它们相交于一点的充分必要条件为____________.5.如图，在△ABC 中，∠ABC =120°，AB =BC =2.在AC 边上取一点D (不含A 、C )，将△ABD 沿线段BD 折起，得到△PBD .当平面PBD 垂直平面ABC 时，则P 到平面ABC 距离的最大值为____________.6.如图，在ABC ∆中，,,D E F 分别为,,BC CA AB 上的点，且35CD BC =，12EC AC =，13AF AB =.设P 为四边形AEDF 内一点（P 点不在边界上），若13DP DC DE λ=-+，则实数λ的取值范围为______7.设10101009()10091010x f x x +=+，定义(1)()()f x f x =，()()()()()1,2,3,i i f x f f x i -==，则()()n fx =____________.8.设12,z z 为复数，且满足1125,2z z i z ==+(其中i 为虚数单位)，则12z z -取值为____________.9.设120x x ，数列{x n }满足21,1n n n x x x n ++=+.若1≤x 7≤2，则x 8的取值范围为____________.10.在复平面上，任取方程10010z -=的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为____________.二、解答题11.如图，椭圆21:14x C y +=，抛物线22:2(0)C x py p =>，设12,C C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）若△ABO 的外心在椭圆上，求实数p 的值； （2）若△ABO 的外接圆经过点130,2N ⎛⎫⎪⎝⎭，求实数p 的值. 12.设,0(11)i i a b i n >+，10i i b b δ+->(δ为常数).若11nii a==∑，证明：212111ni ii i ia b b b δ=+<.13.设X 是有限集，t 为正整数，F 是包含t 个子集的子集族：F ={}12,,,t A A A .如果F 中的部分子集构成的集族S 满足：对S 中任意两个不相等的集合A 、B ，,A B B A ⊂⊂均不成立，则称S 为反链.设S 1为包含集合最多的反链，S 2是任意反链.证明：存在S 2到S 1的单射f ，满足2,()A S f A A ∀∈⊂或()A f A ⊂成立.参考答案1.12(4)π+【解析】1.记圆的半径为r ，矩形的宽为h ，则有122x r x r hπ=⎧⎨-=+⎩12,12x x r h x ππ⎛⎫⇒==-- ⎪⎝⎭，所以曲边形的面积为221122122x x x S x ππππ⎛⎫=⋅+⋅--⎪⎝⎭22(4)2xx πππ+=-2224244x ππππππ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=--⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 因此，当4x ππ=+时，max 12(4)S π=+.故答案为：12(4)π+ ．2.{334，335，336，337，338，339}【解析】2. 由已知2136732k n n ++⨯=⨯. 当n =2m 时，得到(221)36733,6,333k m m m n k ++=⨯⇒===； 当n =2m +1时，得到(1)(21)36731,3k m m m n +++=⨯⇒==. 所以n 的最大值为6，此时集合{334,335,336,337,338,339}A =. 故答案为：{334,335,336,337,338,339} ．3.6-【解析】3.令sin cos t θθ+=，2(1)4=2+11t y t t -=-+ 则21sin cos 2t θθ-=，则原式可化为sin cos ),(0,)42ππθθθθ+=+∈，根据函数单调性即可求出最大值. 令sin cos t θθ+=，则21sin cos 2t θθ-=因为max26y==-，所以2(1)4=2+11tyt t-=-+原式可化为sin cos),(0,)42ππθθθθ+=+∈，2(1)4=2+11tyt t-=-+因为函数在2(1)4=2+11tyt t-=-+上是增函数，所以当t=时，13DP DC DE DM DEλλ=-+=+.4.12a b+=-【解析】4.设c=a+b+1，设三条直线相交于点(x，y)，则有230230230ax by cbx cy acx ay b++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，三式相加可得：()()()230a b c x a b c y a b c++++++++=，即：()()230a b c x y++++=，据此有：1a b cc a b++=⎧⎨=++⎩，则：11,22a b c+=-=.反之，当12a b+=-时，方程组有解，即三条直线相交于一点.故答案为：12a b+=-．5.2【解析】5.在△ABC中，因为AB=BC=2，∠ABC=120°，所以30BAD BCA︒∠=∠=.由余弦定理可得AC=设AD=x，则0x DC x<<=.在△ABD中，由余弦定理可得BD=在△PBD中，PD=AD=x，PB=BA=2，∠BPD=30°.设P 到平面ABC 的距离为d ，则11sin 22PBDSBD d PD PB BPD =⨯=⋅∠，解得d ==，由0x <<max 2d =. 故答案为：2． 6.14(,)23【解析】6.取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,则由,,P C E 可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点）,求出端点G,H 对应的λ即可求解. 取BD 中点M,过M 作MH//DE 交DF,AC 分别为G,H,如图：则由13DP DC DE DE DM λλ=+=-+可知,P 点在线段GH 上运动（不包括端点） 当P 与G 重合时，根据413389DP tDF DC tDE DE t DC λ==-=++-,可知12λ=，当P 与H 重合时,由,,P C E 共线可知113λ-+=，即43λ=，结合图形可知14(,)23λ∈. 7.()()20191201912019120191n n nnx x ++--++【解析】7. 由已知(1)()(1)1010()1009()1009()1010n n n f x fx f x --+=+()(1)()(1)()11()1()12019()1n n n n f x f x f x f x ----⇒=⋅++，以此类推，()()()111()1(2019)1n n n f x x f x x --=⋅++()()()2019120191()2019120191n nn n nx f x x ++-⇒=-++. 故答案为：()()20191201912019120191n n nnx x ++--++ ．【解析】8.由15z =，设15(cos isin )z αα=+，由122i z z =+得2(2i)(cos isin )z αα=-+，于是，12|(3)(cos isin )|z z i αα-=++=9.2113,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】9.根据已知条件，用12x x 表示出8x ，结合12,x x 的范围，利用线性规划即可求得目标式的范围.由已知得312412512,2,23x x x x x x x x x =+=+=+，61271281235,58,813x x x x x x x x x =+=+=+，因为712x ，所以121582x x +，结合120x x ，在12O x x -坐标下所围成的线性规划区域为四边形，它的四个顶点坐标分别为10,8A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11221,,,,0,131313134B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以目标函数在点11,1313B ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最小值2113，在点10,4D ⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值134，8122113813,134x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：2113,134⎡⎤⎢⎥⎣⎦．10.39200【解析】10.易知10010z -=的根在单位圆上，且相邻两根之间弧长相等，都为2100π，即将单位圆均匀分成100段小弧.首先选取任意一点A 为三角形的顶点，共有100种取法.按顺时针方向依次取顶点B 和顶点C ，设AB 弧有x 段小弧，CB 弧有y 段小弧，AC 弧有z 段小弧，则△ABC 为锐角三角形的等价条件为：1001,,49x y z x y z ++=⎧⎨⎩970,,48x y z x y z ++=⎧⇒⎨⎩① 计算方程组①的整数解个数，记1{|97,49}P x x y z x =++=，2{|97,49}P y x y z y =++=，3{|97,49}P z x y z z =++=，{(,,)|97,,,0}S x y z x y z x y z =++=，则123123||P P P S P P P ⋂⋂=-⋃⋃2991231C |i j i j P P P P P P <⎛=-++-∑⋂+ ⎝)23|P P ⋂⋂229950C 3C 1176=-=. 由于重复计算3次，所以所求锐角三角形个数为1001176392003⨯=. 故答案为：39200． 11.（12）3【解析】11.(1)由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，△AB 的外心为椭圆的上顶点M (0，1).则有MA =MB =MO =1.设()()000,0B x y x >，则有()2002200220021411x py x y x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎩，解得2005)976x y p ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩. (2)因为O 、A 、N 、B 四点共圆，设AB 与y 轴相交于()00,C y ，由相交弦定理得AC •CB =CN •CO ，即000001322y y x x py ⎛⎫-== ⎪⎝⎭， 解得01322y p =- ① 代入2002x y =，解得2013222x p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭. ② 将①、②代入椭圆方程得22134132142p p p -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得p =3. 12.证明见解析【解析】12. 记01,0kk i i i s a b s ===∑，则有1k k k ks s a b --=. 由已知1111nni i i i i i s s a b -==-==∑∑111111n n i i n ii i i i n i i s s s s b b b bb δ+==+++⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∑∑ 121211ni i i i i i i a a b b b δ=+∑(因为12iiis a a a )，即212111ni ii i ia b b b δ=+<.13.证明见解析【解析】13.记|S 1|=r ，称包含r 个元素的反链为最大反链，最大反链可能不唯一 称F 的子集P 为链，如果,,,A B P A B B A ∀∈⊂⊂之一成立. 我们证明结论：F 可以拆分为r 个链(1)i P i r 的并(即Dilworth 定理).对t 进行归纳证明.t =1时显然成立.设命题对t －1成立，先假设存在一个最大反链S ，使得F 中既有集合真包含S 中的某个集合，也有集合是S 中的某个集合的真子集.记前者的全体为F 1，后者的全体为F 2，即{1|i i F A F A =∈包含S 中的某个集合}，{2|i i F A F A =∈是S 中的某个集合的子集}，则12,F S F S ⋃⋃均是F 的真子集，从而由归纳假设可将12,F S F S ⋃⋃都可以拆成r 个链的并.1F S ⋃中的链以S 中的元素开始，2F S ⋃中的链以S 中的元素结束.将这些链“接”起来就将F 分成了r 条链.现在假设不存在这样的反链，从而每个最大反链要么满足1F =∅，要么满足2F =∅.前者意味着S 中的子集都是“极大”子集(不是另一个A i 的真子集)，后者意味着S 中的子集都是“极小”子集(不真包含另一个A i )，从而至多有两个最大反链.如果极大子集构成的反链和极小子集构成的反链均为最大反链，则任取极大子集A ，以及极小子集B A ⊂，将A 、B 都去掉用归纳假设将剩下的集合拆分成r －1条链，再加上链B A ⊂即可如果其中之一不是最大反链，不妨设极大子集构成的反链是唯一的极大反链，任意去掉一个极大子集归纳即可.结论证毕.现在将F 拆分成r 条链，则每条链中恰有一个S 1中的子集，且至多有一个S 2中的子集.将每个S 2中的子集对应到所在链中S 1的元素，就得到了从S 2到S 1满足要求的映射.。
2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案
∴|������������1 + ������������2|2 = (������������1 + ������������2)(��������������1��+����������������2�) = ������������1�������������1 + ������������2�������������2 + �������������1������������2 + ������������1�������������2 = 2 ∴|������������1 + ������������2| = √2
答案： 1
提示：tan 15o
+
2√2 sin
15o
=
sin 15o cos 15o
+
2√2 sin 15o
=
sin 15o+√2 sin 30o cos 15o
=
sin 15o+√2 sin(45o−15o) cos 15o
=
sin 15o+√2(sin 45o cos 15o−cos 45o cos 15o
Hale Waihona Puke sin 15o)=
1.
4.已知向量������⃗������，�������⃗������，������⃗������满足|������⃗������| ∶ ��������⃗������� ∶ |������⃗������| = 1 ∶ ������������ ∶ 3(������������ ∈ ������������+)，且�������⃗������ − ������⃗������ = 2(������⃗������ − �������⃗������)，若������������为������⃗������，������⃗������的
2019 年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含解析PDF
2019年浙江省1月学业水平统一考试数学解析一、选择题（每题3分，共18题，总计54分）1．已知集合{}5,3,1=A ，{}7,5,3=B ，则=B A A ．{}7,5,3,1B ．{}7,1C ．{}5,3D ．{}5【答案】C2．函数)1(log )(5-=x x f 的定义域是A ．),1()1,(+∞-∞ B ．)1,0[C ．),1[+∞D ．),1(+∞【答案】D3．圆9)2(22=-+y x 的半径是A ．3B ．2C ．9D ．6【答案】A4．一元二次不等式072<-x x 的解集是A ．{}70<<x x B ．{}70><x x x 或C ．{}07<<-x x D ．{}7>-<x x x 或【答案】A5．双曲线22194x y -=的渐近线方程是A ．32y x =±B ．23y x =±C ．94y x =±D ．49y x =±【答案】B6．已知空间向量(1,0,3),(3,2,)a b x =-=-，若a b ⊥ ，则实数x 的值是A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 7．cos15cos 75=A ．2B ．12C ．4D ．14【答案】D8．若实数,x y 满足不等式组10,0,3,x y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最大值是A ．9-B ．1-C ．3D ．7【答案】C9．若直线l 不平行于平面α，且l α⊄，则下列结论成立的是A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交【答案】B10．函数2()22x xx f x -=+的图象大致是【答案】A11.若两条直线1l ：260x y +-=与2l ：70x ay +-=平行，则1l 与2l 之间的距离是B.C.2D.5【答案】D12.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A.π B.2πC.3π D.4π【答案】B13.已知,a b 是实数，则“||a b >”是“22a b >”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A(第12题图)14.已知数列{}n a是正项等比数列，且3723+a a =，则5a 的值不可能是A.2 B.4C.85D.83【答案】C15.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A B CD ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 和四边形11A B CD 都是正方形，则直线1BD 与平面11A B CD 所成角的正切值是A.2B.2【答案】C16.如图所示，椭圆的内接矩形和外切矩形的对角线所在的直线重合，且椭圆的两焦点在内接矩形的边上，则该椭圆的离心率是（）A ．2B ．3C ．2D ．3（编辑与解析提供：浙江绍兴徐浙虞）【答案】A【解析】如图建立直角坐标系，易求2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用相似可知AF bOF a=，即b c =，所以2e =，故选A.17.数列{}n a ，{}n b 用图像表示如下，记数列{}n n a b 的前n 项和为n S ，则（）(第15题图)浙江高中数学解题交流群出品：385405149A ．141011,S S S S ><B ．451013,S S S S ><C ．141011,S S S S <>D ．451013,S S S S <>【答案】B【解析】由图可知，当4n ≤时，0n a <，当5n ≥时，0n a >；当10n ≤时，0n b <，当11n ≥时，0n b >.令n n n c a b =，可得当4n ≤时，0n c >，当510n ≤≤时，0n c <，当11n ≥时，0n c >，故n S 在14n ≤≤上单调递增，510n ≤≤上单调递减，11n ≥上单调递增，所以选B.18.如图，线段AB 是圆的直径，圆内一条动弦CD 与AB 交于点M ，且MB=2AM=2，现将半圆ACB 沿直径AB 翻折，则三棱锥C-ABD 体积的最大值是（）A ．23B ．13C ．3D ．1【答案】D【解析】记翻折后CM 与平面ABD 所成角为α，则三棱锥ABD C -的高为αsin CM 所以CM DM AB CM DMA DM AB V ABD C ⨯⨯≤⨯∠⨯⨯=-61sin )sin 21(31α,又2,3=⨯=⨯=BM AM CM DM AB ,所以体积的最大值为1二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）19.已知等差数列{}n a 中，131,5a a ==，则公差d =__________，5a =__________【答案】2，920.若平面向量,a b 满足||6,||4a b == ，a 与b 的夹角为060，则()a a b -= _________【答案】2421.如图，某市在进行城市环境建设中，要把一个四边形ABCD 区域改造成公园，经过测量得到km AD km CD km BC km AB 4,3,2,1====，且120=∠ABC ,则这个区域的面积是_________2km .【答案】2733+【解析】7cos 2222=∠⋅-+=ABC BC AB BC AB AC ,所以有222AD CD AC =+,即090=∠ACD ,所以区域面积为2733+=+∆∆ACD ABC S S 22.已知函数2212)(a x a x x x f ---+=，当[)+∞∈,1x 时，0)(≥x f 恒成立，则实数a 的取值范围是.【答案】]1,2[-【解析】方法一：设[1,)=+∞t ，则212+=t x ，则()0≥f x 等价于：222211022⎛⎫+++--≥ ⎪⎝⎭t t at a ，即42243440(1)++--≥≥t t at a t .一方面，由于当1=t 时，不等式28440--≥a a 成立，从而21-≤≤a .另一方面，设422()4344(1)=++--≥f t t t at a t ，则3'()48448440=+-≥+-≥>f t t t a a ，因此()f t 在[1,)+∞上单调递增，因此2()(1)8440≥=--≥f t f a a ，从而21-≤≤a .综合上述，所求的实数a 的范围为[2,1]-.方法二：必要性探路+主参换位首先进行必要性探路：0)1(≥f ，解得]1,2[-∈a ，再证明充分性，令12-=x t ，代入变形可知，只需证明04434224≥--++a at t t 在),1[+∞∈t 时恒成立即可，此时进行主参换位，把主元t 看成参数，a 看成变量，设3444)(242+++--=t t ta a a g ，即证明0)(≥a g ，]1,2[-∈a 恒成立，此时的),1[+∞∈t ；由二次函数可知=)1(g 0)135)(1(1442324≥+++-=--+t t t t t t t 1384)2(24-++=-t t t g 0)135)(1(23≥+++-=t t t t （此处关于四次式的因式分解，可通过试根再进行因式分解的方法进行操作；）所以对于任意的t ，]1,2[-∈a ，有0)(≥a g 成立综合上述，所求的实数a 的范围为[2,1]-.三、解答题（本大题共3小题，共31分）23.（本题满分10分）已知函数R x x x x x f ∈+-++=.cos 6sin()6sin()(ππ（1）求)0(f 的值.（2）求函数)(x f 的最小正周期（3）求函数)(x f 的最大值.解：由于()2sin cos cos cos 2sin()66=+=+=+f x x x x x x ππ.（1）(0)2sin16==f π.（2）()f x 的最小正周期为221==T ππ.（3）()f x 的的最大值为2，且当2,3=+∈x k k Z ππ时取最大值.24.如图，已知抛物线21:4C x y =和抛物线22:C x y =-的焦点分别为F 和F '，N 是抛物线1C 上一点，过N 且与1C 相切的直线l 交2C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点（1）求FF '；（2）若点F 在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程【答案】（1）'5=4FF ；（2）233y x =±-解：（1）由题意的：()'10,10,4F F -⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以'5=4FF （2）设直线l 的方程：y kx m =+，联立方程组24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，消去y ，得2440x kx m --=因为直线l 与:C 相切，所以216160k m ∆=+=，得2m k =-且的坐标为()22.k k 联立方程组22y kx kx y⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，消去y ，得220x kx k +-=设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则21212,x x k x x k +=-=- ，所以2120003,222x x k x y kx m k +-==-=+=因为点F 在线段MN 为直径的圆上，所以0FM FN = ，即，解得223k =故直线l的方程：233y x =±-25.设a R ∈，已知函数()2211f x x x ax x x=++-+（1）当0a =时，判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()46f x x ≥-恒成立，求a 的取值范围；（3）设b R ∈，若关于x 的方程()8f x b =-有实数解，求22a b +的最小值【答案】（1）偶函数；（2）44a -≤≤+；（3）48【解析】（1）当0a =时，2211()=+-f x x x x x+，定义域为()(),00,-∞+∞ 且()()f x f x -=所以()f x 为偶函数;（2）由已知得222,12,01()2,102,1x ax x ax x xf x ax x x x ax x ⎧+≥⎪⎪+<<⎪=⎨⎪-+-<<⎪⎪+≤-⎩222261,24624422601,46422610,461261,2462+444x x ax x a x a xx ax x a a x x x x ax x a a x x xx x ax x a x a x ≥+≥-⇒≥--⇒≥-<<+≥-⇒≥--⇒≥--<<-+≥-⇒≤-⇒≥≤-+≥-⇒≤--⇒≤+综上可得44a -≤≤+（3）设0x 的方程()=8f x b -的根，则0()=8f x b -1.当01x ≥，22000028280x ax b ax b x +=-⇒-++=22≥=≥202x =取等2.当001x <<，000022880ax b ax b x x +=-⇒-++=≥≥>≥ ，当且仅当202x =取等即()22min48a b+=。
【优质模拟题】浙江省杭州市2019年高考选考命题比赛数学试题含答案 (5)
2019年数学模拟卷双向细目表2019年高考模拟试卷数学卷考试时间：120分钟 满分值：150分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（原创）设全集=U R ，集合{}2≤=x x A ，{}0432<--=x x x B ，则B A ⋂=（ ）A ．{}42<≤-x x B ．{}2≤1-x x < C ．{}2≤≤2-x xD ．{}2≤≤1-x x2.（原创）已知复数i a 2z 1+=，i z -=22，若21z z 为实数，则实数a 的值为（ ） A ．2 B ．—2C ．4D ．4-3.（原创）已知条件p ：53<<x ，q ：2ln <x ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.（教材改编）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. π420+B. π320+C. π424+D. π324+5.（教材改编）在等比数列 中， =2，前n 项和为 ，若数列 也是等比数列，则 等于（ ） A.B.3nC.2nD.6.（教材改编）设x ，y 满足约束条件，则133++x y 的最大值是（ ） A.15 B.8 C.6D.107.（改编）函数xexx x f 252)(2+=的大致图象是( )（改编于杭州地区七校共同体2018学年第一学期期末复习卷第7题）正视图侧视图俯视图8.已知a ，b ，c 和d 为空间中的4个单位向量，且a ＋b ＋c ＝0，则｜a -d ｜+｜b -d ｜+｜c -d ｜=0不可能等于（ ）A. 3 C.4 9.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线渐近线C 上一点，,P Q 均位于第一象限，且2122,0QP PF QF QF →→→→=⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）1 12210.已知11()(3)(,),[,3]3f x a x b a b R x x =++-∈∈，记()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值是（ ）A.13B.23C.43D.53二、填空题：本题共7道小题,多空题每题每空6分，单空题每题4分，共36分.11.（教材改编）双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，离心率为3，则双曲线的标准方程为 ，渐近线方程为 .12.（教材改编）已知)(x f 在R 上是偶函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,3)(x x f =,则=)3-(f ；=)27(f .13.（教材改编）随机变量X 的分布列如右表所示，若1()3E X =， 则ab = ；(32)D X -= .14.（教材改编）在△ABC 中，D 是AC 边的中点，∠BAC=3π， cos ∠BDC=72-，△ABC 的面积为6 ，则AC= ；sin ∠ABD= . 15.（教材改编）有3所高校欲通过三位一体招收21名学生，要求每所高校至少招收一名且认识各不相同，则不同的招收方法有 种. 16.在ABC ∆中，16,7,cos ,5AC BC A O ABC ===∆是的内心，若OP xOA yOB =+，01,01x y ≤≤≤≤其中，则动点P 的轨迹所覆盖的面积为 .17.已知向量a ，b 满足 =3， =2 ，若 恒成立，则实数t 的取值范围为 .三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18.（教材改编）（本题满分14分）已知向量(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )a x x b x x ==. （1）若,2x k k Z ππ≠+∈，且b a ⊥，求222sin cos x x -的值；（2）定义函数1)(+•=b a x f，求函数)(x f 的单调递减区间；并求当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域.19.（本题满分 15 分） 在三棱锥 D - ABC 中，AD ⊥DC ，AC ⊥CB ，AB ＝2AD ＝2DC ＝2，且平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，E 为 AC 的中点． （1）证明： AD ⊥ BC ；（2）求直线 DE 与平面 ABD 所成的角的正弦值．20.（本题满分15分）已知在数列{}n a 中，1a +22a +33a +…+n n a =n (2n +1) (n N *∈)（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .21.（本题满分15分）已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b+=>>，不经过原点O 的直线 :(0)l y kx m k =+>与椭圆E 相交于不同的两点A 、B ,直线,,OA AB OB 的斜率依次构成等比数列.（1）求,,a b k 的关系式.（2）若离心率12e =且=AB ，当m 为何值时，椭圆的焦距取得最小值？22.（本小题满分15分）设函数431()4f x x x =-，x ∈R ． （1）求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）若对任意的实数x ，不等式()2f x a x ≥-恒成立，求实数a 的最大值；（3）设0m ≠，若对任意的实数k ，关于x 的方程()f x kx m =+有且只有两个不同的实根，求实数m 的取值范围．2019年高考模拟试卷数学参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.18-422=y x ，x y 2±= ；12. 1，81 ；13. 61 ，5 ；14. 12，14213 ；15. 352 ；16.3；17. 313≥-≤t t 或三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.解：（1）因为b a ⊥，所以0cos 2sin 322=+x x ， 因为,2x k k Z ππ≠+∈，所以cos 0x ≠，即33tan -=x ， 所以411tan 1tan 2cos sin 22222-=+-=-x x x x ． .………7分 （2）22cos 2sin 31cos 2cos sin 321-)(2++=++=+=x x x x x x f =2)6π2sin(2++x ， .………9分令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，所以函数)(x f 的单调递减区间是2[,],63k k k Z ππππ++∈． .………11分因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈，1sin(2)[,1]62x π+∈-，所以当[0,]2x π∈时，函数)(x f 的值域[1,4]．.………14分19．解：（I ）法一：过C 做CH BD ⊥，（其中H 与B D ,都不重合，否则，若H 与B 重合，则CB BD ⊥与1CD CB =<=H 与D 重合，则1AD BD ==，与2AB =矛盾）面ABD ⊥面BCD ∴CH ⊥面BCD∴CH ⊥AD ，又 AD ⊥CD ∴AD ⊥面BCD∴AD ⊥BC.………7分法二：参见第（II ）问的法三（II ）法一：做EQ AH ⊥，则//EQ CH ，由（1）知：EQ ⊥面ADB∴EDQ ∠即DE 与面ABD所成角，且DE EQ ==∴sin 3QE EDQ ED ∠==.………15分法二：由（I）知：,AD BD BD ⊥=AC BC ==记AB 的中点为F ，AF 的中点为M E 是AC 的中点，∴AB EM ⊥，AB DM ⊥∴AB ⊥面DEM ∴面ABD ⊥面DEM∴EDM ∠即DE 与面ABD所成角，且1,2ME MD ED ===∴sin ME EDM MD ∠==.………15分法三：由（I ）知AD ⊥平面BCD ，AD BD ∴⊥，以D 为原点，分别以射线,DB DA 为x 轴，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -由题意知：(0,0,0),(0,1,0),D A F C∴12E，12DE ∴= ∵平面ABD 的法向量为(0,0,1)n =， 设DE 与面ABD 所成角为θ ∴3sin |cos ,|||||||n DE DE n n DE θ⋅===⋅ .………15分法四：以D 为坐标原点，,DC DA 为,x y 轴，建立空间直角坐标系D xyz -则()()1,0,0,0,1,0C A ，设(),,B a b c ，面ABD 的法向量为1n ，面BCD 的法向量为2n，AA则12200AB AC BC n n =⎧⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩，即()()()22212141,1,01,,00a b c a b c n n ⎧+-+=⎪⎪-⋅---=⎨⎪⋅=⎪⎩，则10a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴0AD BC ⋅=，∴AD ⊥BC ∴113sin 3DE n DE n θ⋅==⋅，即DE 与面ABD .………15分20.（1）2n ≥时，1a +22a +33a +…+（n -1）1n a -=（n -1）(2n -1)，41n na n ∴=-，14n a n =-，当1n =时，13a =满足上式，∴14n a n =-()n N *∈. .………7分 （2）记2n n n na b =，则412n nn b -=, .………9分233711412222n n n T -∴=++++,2341137114122222n n n T +-=++++, .………12分两式相减，得11747222n n n T ++=-，4772n nn T +∴=-. .………15分21. 解：（Ⅰ）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意得21212OA OBy y k k k x x =⋅=由22221y x a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得222222222()20b a k x a kmx a m a b +++-= 故222222222(2)4()()0a km b a k a m a b ∆=-+-> ，即22220bm a k -+>1122222222222222()()a kmx x b a k a m a b x x b a k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪⋅=⎪+⎩，2221212121212()y y k x x km x x m k x x x x +++== .……3分即212()0km x x m ++=，222222220()a k m mb a k -+=+ 又直线不经过原点，所以0m ≠ 所以222ba k = 即b ak =.………7分（Ⅱ）若12e =，则2,a c b ==，234k =，又0k >，得k =.………9分112222222222222222()223()a km x x b a k a m a b x x m c b a k ⎧+=-=⎪+⎪⎨-⎪⋅==-⎪+⎩.………11分2AB x =-====化简得222123=+≥m c m （0∆>恒成立） ……14分 当=m 时，焦距最小.………15分22.（Ⅰ）解：32()3f x x x '=-，'(1)2f =-. .………1分且3(1)4f =-，所以在1x =处的切线方程为524y x =-+. ………3分 （Ⅱ）证明：因为对任意的实数x ，不等式()2f x a x ≥-恒成立.所以4324x a x x ≤-+恒成立. .………4分 设43()24x g x x x =-+， 则32'()32g x x x =-+2(1)(22)x x x =---(1)(11x x x =--- 所以()g x在()1-，()+∞单调递增，在(,1-∞-，(单调递减. ………6分所以min ()min{(1(1g x g g =，因为1222=0x x --的两根.所以430000()24x g x x x =-+20000(22)(22)24x x x x +=-++ 2200(1)2x x =+-20021x x =-++1=-.（其中01x =） 所以a 的最大值为1-. ………9分 （Ⅲ）解:若对任意的实数k ，关于x 的方程()f x kx m =+有且只有两个不同的实根， 当0x =，得0m =，与已知矛盾.所以43444x x m k x --=有两根，即43444x x my x --=与y k =有两个交点. …10分令4344()4x x m h x x --=，则432384'()4x x mh x x-+=. 令43()384p x x x m =-+，2'()12(2)p x x x =-，则()p x 在(,2)-∞单调递减，(2,)+∞单调递增，所以min ()(2)416p x p m ==-. …11分（ⅰ）当4160m -≥时，即4m ≥时，则'()0h x ≥，即()h x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递增，且当x →-∞时，()h x →-∞；当0x -→时，()h x →+∞；当0x +→时，()h x →-∞；当x →+∞时，()h x →+∞.此时对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解. ………12分 （ⅱ）当04m <<时，()p x 有两个非负根1x ，2x ，所以()h x 在(,0)-∞，1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，12(,)x x 单调递减，所以当21((),())k h x h x ∈时有4个交点，1=()k h x 或2=()k h x 有3个交点，均与题意不合，舍去. ………13分（ⅲ）当0m <时，则()p x 有两个异号的零点1x ，2x ，不妨设120x x <<，则()h x 在1(,)x -∞，2(,)x +∞单调递增；()h x 在1(,0)x ，2(0,)x 单调递减.又x →-∞时，()h x →-∞；当0x -→时，()h x →-∞；当0x +→时，()h x →+∞；当x →+∞时，()h x →+∞.所以当12()()h x h x =时，对任意的实数k ，原方程恒有且只有两个不同的解.所以有43113840x x m -+=，43223840x x m -+=，得2222121212123()()8()x x x x x x x x ++=++.由12()()h x h x =，得3232112233x x x x -=-，即221212123()x x x x x x ++=+. 所以22128x x +=，122x x =-，122x x +=. 故3344121288()3()m x x x x =+-+22222212112212128()()3[()2()]x x x x x x x x x x =+-+-+-8=-.所以1m =-.所以当4m ≥或1m =-时，原方程对任意实数k 均有且只有两个解.………15分。
2019学年浙江省高中数学竞赛
2019学年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a=3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为4. 设R y x ∈,，且1)sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=⋅→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为10. 已知()⎩⎨⎧≥-<-=0,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a=二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上11. 设.,2,1,)(316)(,32)(2121 =+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的实数解。
重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(B卷)及答案(WORD版)
DCBAA重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B卷）（含解答提示）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(a2b-,a4bac42-)，对称轴公式为x=a2b-.一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1.5的绝对值是（）A、5；B、-5；C、51；D、51-.2.如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（））A、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为2︰3；B、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为4︰9；C、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为2︰3；D、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为4︰9.4.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为（）A、60°；B、50°；C、40°；D、30°.5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（）A、直线x=2；B、直线x=-2；C、直线x=1；D、直线x=-1.6.某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A、13；B、14；C、15；D、16.7.估计1025⨯+的值应在（）A、5和6之间；B、6和7之间；C、7和8之间；D、8和9之间.8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是-2，若输入x 的值是-8，则输出yA、5；B、10；C、19；D、21.9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A(10,0)，sin∠COA=54.若反比例函数)0x,0k(xky>>=经过点C，则k的值等于（）A、10；B、24；C、48；D、50.F ED CBA G F ED C B A FED CBA 10.如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC ，在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 的高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1︰2.4，那么建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A 、65.8米；B 、71.8米；C 、73.8米；D 、119.8米.11.若数a 使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->--≤-)x 1(5a 2x 6)7x (4123x有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程3y1a1y y 21-=----的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A 、-3；B 、-2；C 、-1；D 、1.12.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1，连接DE ，将△AED 沿直线沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得到△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为（ ）A 、8；B 、24；C 、422+；D 、223+.二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 13.计算：10)21()13(-+-= .14.2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市党员“学习强国”APP 注册人数约1180000，参学覆盖率达71%，稳居全国前列.将数据1180000用科学记数法表示为 .15.一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是 .16.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4，AD=22，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是 .17.一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学FE D CBA书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速度的45快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）.两人之间相距的路程y(米)与小明从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米.18.某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的43和38.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是 .三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19.计算：（1）(a+b)2+a(a-2b)（2）3m 2m 29m 6m 21m 2++÷--+-20.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D. （1）若∠C=42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F.求证：AE=FE.(注:每组数据包括左端值，不包括右端值)活动前被测查学生视力频数分布直方图4127b 215.0≤x<5.24.8≤x<5.04.6≤x<4.84.4≤x<4.64.2≤x<4.44.0≤x<4.2频数分组活动后被测查学生视力频数分布表21.为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动.活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力.两次相关数据记录如下： 活动前被测查学生视力数据：4.0，4.1，4.1，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6 4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1 活动后被测查学生视力数据：4.0，4.2，4.3，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8 4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1，5.1根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a= ，b= ，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，活动后被测查学生视力样本数据的众数是 ；（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？ （3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果.22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”. 定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n 为“纯数”. 例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位. （1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.23.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索.的图象如下图所示.（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A，B的坐标和函数y=-2|x+2|的对称轴.（2）探索思考：平移函数y=-2|x|的图象可以得到函数y=-2|x|+2和y=-2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离.（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-3|+1的图象.若点(x1,y1)和(x2,y2)在该函数图象上，且x，y的大小.图1E D C B A K答图1E D C B A HN MGFE DC B A 答图2HG F E D C BA 图224.某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费.（1）菜市场每月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？ （2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋抵扣管理费”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，每个摊位的管理费将会减少%a 103；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少%a 41，这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少%a 185，求a 的值.25.在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E. （1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE 的面积；（2）如图2，过点A 作AF ⊥DC ，交DC 的延长线于点F ，分别交BE ，BC 于点G ，H ，且AB=AF.求证：ED-AG=FC.答图1图1四、解答题（本大题1个小题，共8分）26.在平面直角坐标系中，抛物线y=32x 23x 432++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q.（1）如图1，连接AC ，BC.若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G.点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK.当△PEF 的周长最大时，求PH+HK+23KG 的最小值及点H 的坐标. （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记为D /，N 为直线DQ 上一点，连接点D /，C ，N ，△D /CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由.参考答案1-5 ADBBC 6-10 CBCCB 11-12 AD13 提示：根据零指数幂、负整数指数幂的意义.答案3. 14. 提示：根据科学记数法的意义.答案1.18×106.15. 提示：由树状图知总共有36种，符合条件的有3种.答案：121. 16. 提示：连AE ，易得∠EAD=45°.答案828-. 17.提示：设小明原速度为x 米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x 米/分钟，家校距离为11x+(23-11)×1.25x=26x.设爸爸行进速度为y 米/分钟，由题意及图形得： 11x=(16-11)y 且(16-11)(1.25x+y)=1380.解得：x=80，y=176.答案2080.18. 提示：设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x 个，则第五车间每天生产的产品为x 43个，第六五车间每天生产的产品为x 38个，每个车间原有成品均为m 个.甲组有检验员a 人，乙组有检验员b 人，每个检验员的检验速度为c 个/天.由题意得： 6(x+x+x+)+3m=6ac ，bc 2m 2)x 43x (2=++，bc 4m x 38)42(=+∙+由后两式可得m=3x ，代入前两式可求得.答案18︰19.19(1) 解：原式=a 2+2ab+b 2+a 2-2ab =2a 2+b 2.(2) 解：原式=)1m (23m )3m )(3m ()3m (21m ++∙-+-+- =1m 11m ++- =1m m 2+20. 解与证：（1）∵AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ∴∠BAD=∠CAD ，∠ADC=90°，又∠C=42°. ∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. （2）∵AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD=∠CAD ∵EF ∥AC ， ∴∠F=∠CAD∴∠BAD=∠F ，∴AE=FE. 21. 解：（1）a=5，b=4，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是4.65，活动后被测查学生视力样本数据的众数是4.8； （2）16÷30×600=320.所以七年级600名学生活动后视力达标的人数有320人.（3）活动前的中位数是4.65，活动后的中位数是4.8，因此，活动后的视力好于活动前的视力.说明学校开展视力保健活动的效果突出. 22. 解：（1）显然1949至1999都不是“纯数”因为在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时要产生进位.在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义.所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012. （2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下： 因为个位不超过2，二位不超过3时，才符合“纯数”的定义.所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100.共13个. 23. 解：（1）A(0,2)，B(-2,0)，函数y=-2|x+2|的对称轴为x=-2.（2）将函数y=-2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y=-2|x|+2的图象. 将函数y=-2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y=-2|x+2|的图象.（3）将函数y=-2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y=-2|x-3|+1的图象.所画图象如图所示，当x 2>x 1>3时，y 1>y 2. 24. 解：（1）设4平方米的摊位有x 个，则2.5平方米的摊位有2x 个，由题意得： 20×2.5×2x+20×4×x=4500，解得：x=25. 答：4平方米的摊位有25个.（2）设原有2.5平方米的摊位2m 个，4平方米的摊位m 个.则5月活动一中：2.5平方米摊位有2m ×40%个，4平方米摊位有m ×20%个. 6月活动二中：2.5平方米摊位有2m ×40%(1+2a%)个，管理费为20×(1-%a 103)元/个 4平方米摊位有m ×20%(1+6a%)个，管理费为20×(1-%a 41)元/个. 所以参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费为： 2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 41)×4元 这部分商户按原方式共缴纳的管理费为：20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)元 由题意得：2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 41)×4 =[20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)]×(1-%a 185). 令a%=t ，方程整理得2t 2-t=0，t 1=0（舍），t 2=0.5 ∴a=50.即a 的值为50.25. 提示：（1）过B 作边AD 所在直线的垂线，交DA 延长于K ，如图，易求得BK=26.答案1.5.（2）要证ED-AG=FC.只要证ED=AG+FC ，为此延长CF 至FM ，使FM=AG ，连AM 交BE 于N 如图，则只要证ED=FM+CF=CM ，又AE=AB=CD ，所以只要证AD=MD ，即证∠M=∠DAM.又易证△AFM ≌△BAG ，则∠M=∠AGB ，∠MAF=∠GBA=∠AEN. 26. 提示：（1）易求A(-2,0)，B(4,0)，C(0,32)，D(1,439)，△PEF ∽△BOC. ∴当PE 最大时，△PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y=32x 23+- 设P(x, 32x 23x 432++-)，则E(x, 32x 23+-)∴PE=32x 23x 432++--(32x 23+-)=x 3x 432+- ∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 32)，此时如图，将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ，过点P 作PM ⊥l 于点M ，过点K 作KM /⊥l 于M /. 则PH+HK+23KG= PH+HK+KM /≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上.易得PM=10，H(1,3)（2）易得直线AC 的解析式为y=32x 3+，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y=435x 3+，所以可设D /(m, 435m 3+)，平移后的抛物线y 1=435m 3)m x (432++--.将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5,4325). 设N(1,n)，又C(0,32)，D /(5,4325). 所以NC 2=1+(n-32)2，D /C 2=22)324325(5-+=161267，D /N 2=22)n 4325()15-+-（. 分NC 2= D /C 2；D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1,4139338+)，N 2(1, 4139338-)，N 3(1,41011325+)，N 4(1, 41011325-)，N 5(1,1363641).。
2019年高中数学竞赛试题及答案及答案
高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号填在答题卡的相应位置．）1．集合{0,4,}A a =，4{1,}B a =，若{0,1,2,4,16}A B ⋃=，则a 的值为A ．0B ．1C ．2D ．2．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能．．． 是．①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3．设0.50.320.5,log 0.4,cos3a b c π-===，则A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b c a <<4. 平面上三条直线210,10,0x y x x ky -+=-=-=，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的值为A . 1B . 2C . 0或2D . 0，1或2 5．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,||2A πϕ><）的图象如图所示，为了得到()cos 2g x x =的图像，则只要将()f x 的图像A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度6. 在棱长为1的正四面体1234A A A A 中，记12(,1,2,3,4,)i j i j a A A A A i j i j =⋅=≠，则i j a 不同取值的个数为A ．6B ．5C ．3D ．2二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答 案填在答题卡相应题的横线上．） 7．已知)1,(-=m a ，)2,1(-=b ，若)()(b a b a -⊥+，则m = .8．如图，执行右图的程序框图，输出的T= . 9. 已知奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 则不等式0)()1(<⋅-x f x 的解集为 ．10.求值：=+250sin 3170cos 1 ． 11．对任意实数y x ,，函数)(x f 都满足等式)(2)()(22y f x f y x f +=+，且0)1(≠f ，则（第5题图）（第8题图）3侧视图正视图2222=)2011(f .12.在坐标平面内，对任意非零实数m ，不在抛物线()()22132y mx m x m =++-+上但在直线1y x =-+ 上的点的坐标为 .答 题 卡一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）7． 8． 9． 10． 11． 12．三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.（本小题满分12分）为预防(若疫苗有效已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率是0.375. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，问应在C 组中抽取多少个？ （3）已知465≥y ,25≥z ,求该疫苗不能通过测试的概率.已知函数x x x f 2sin )12(cos 2)(2++=π．（1）求)(x f 的最小正周期及单调增区间； （2）若),0(,1)(παα∈=f ，求α的值． 15．（本题满分13分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21===AA BC AC ，︒=∠90ACB ，G F E ,,分别是AB AA AC ,,1的中点．（1）求证：//11C B 平面EFG ； （2）求证：1AC FG ⊥；（3）求三棱锥EFG B -1的体积.ACBB 1A 1C 1FGE已知函数t t x x x f 32)(22+--=.当∈x ),[∞+t 时，记)(x f 的最小值为)(t q . (1)求)(t q 的表达式；(2)是否存在0<t ，使得)1()(tq t q =？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由.已知圆22:228810M x y x y +---=和直线:90l x y +-=，点C 在圆M 上，过直线l 上一点A 作MAC ∆.（1）当点A 的横坐标为4且45=∠MAC 时，求直线AC 的方程； （2）求存在点C 使得45=∠MAC 成立的点A 的横坐标的取值范围.18．（本题满分14分）在区间D 上，若函数)(x g y =为增函数，而函数)(1x g xy =为减函数，则称函数)(x g y =为区间D 上的“弱增”函数．已知函数()1f x =-． （1）判断函数()f x 在区间(0,1]上是否为“弱增”函数，并说明理由； （2）设[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，证明21211()()2f x f x x x -<-； （3）当[]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案一、选择题：C B A D D C二、填空题：7. 2± 8．29 9. ),2()1,0()2,(+∞--∞10.3 11．2201112. 31(,),(1,0),(3,4)22-- 三、解答题：13. （本题满分12分） 解：（1）因为在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组的概率0.375，所以375.0200090=+x ， ………………2分 即660x =. ………………3分（2）C 组样本个数为y ＋z ＝2000－（673＋77＋660＋90）＝500， ………………4分 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取360个，则应在C 组中抽取个数为360500902000⨯=个. ………………7分 （3）设事件“疫苗不能通过测试”为事件M.由（2）知 500y z +=，且,y z N ∈,所以C 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有： （465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个. ……………… 9分 由于疫苗有效的概率小于90%时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有9.02000660673<++y， …………………10分即1800660673<++y ， 解得467<y ，所以事件M 包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）共2个. …………………11分所以112)(=M P ， 故该疫苗不能通过测试的概率为211. …………………12分14. （本小题满分12分） 解：x x x f 2sin )62cos(1)(+++=π…………………1分x x x 2sin 6sin2sin 6cos 2cos 1+-+=ππx x 2sin 212cos 231++= ………………… 2分 1)32sin(++=πx . …………………4分（1）)(x f 的最小正周期为ππ==22T ； …………………5分 又由]22,22[32πππππ+-∈+k k x ， …………………6分得)](12,125[Z k k k x ∈+-∈ππππ， …………………7分 从而)(x f 的单调增区间为)](12,125[Z k k k ∈+-ππππ． …………………8分 （2）由11)32sin()(=++=πααf 得0)32sin(=+πα， …………………9分所以ππαk =+32，62ππα-=k )(Z k ∈． …………………10分又因为),0(πα∈，所以3πα=或65π． …………………12分15. （本题满分13分） 解：（1）因为E G 、分别是AC AB 、的中点，所以BC GE //；……1分 又BC C B //11，所以GE C B //11； …………2分又⊆GE 平面EFG ，⊄11C B 平面EFG ，所以//11C B 平面EFG ． …………3分 （2）直三棱柱111C B A ABC -中，因为︒=∠90ACB ，所以⊥BC 平面C C AA 11； ……………4分 又BC GE //，所以⊥GE 平面C C AA 11，即1AC GE ⊥； ……………5分 又因为21==AA AC ，所以四边形11A ACC 是正方形，即11AC C A ⊥； ……………6分 又F E ,分别是1,AA AC 的中点，所以C A EF 1//，从而有1AC EF ⊥， ……………7分 由E GE EF =⋂，所以⊥1AC 平面EFG ，即1AC FG ⊥． ……………8分 （3）因为//11C B 平面EFG ，所以111EFC G EFG C EFG B V V V ---==． ……………10分由于⊥GE 平面C C AA 11，所以GE S V EFC EFC G ⋅=∆-1131，且121==BC GE ．…………11分 又由于2321114111111=---=---=∆∆∆∆ECC FC A AEF A ACC EFC S S S S S 正方形，……………12分所以21123313111=⋅⋅=⋅=∆-GE S V EFC EFC G ，即211=-EFG B V ． ……………13分16. （本题满分13分）解：（1）t t x x x f 32)(22+--=13)1(22-+--=t t x ． ……………1分①当1≥t 时，)(x f 在∈x ),[∞+t 时为增函数，所以)(x f 在∈x ),[∞+t 时的最小值为t t f t q ==)()(；……………3分②当1<t 时，13)1()(2-+-==t t f t q ； ……………5分 综上所述，2(1)()31(1)t t q t t t t ≥⎧=⎨-+-<⎩． ……………6分ACBB 1A 1C 1FGE（2）由（1）知，当0<t 时，13)(2-+-=t t t q ，所以当0<t 时，131)1(2-+-=tt tq ． ……………7分 由)1()(t q t q =得：1311322-+-=-+-tt t t ， ……………8分即013334=-+-t t t ， ……………9分 整理得0)13)(1(22=+--t t t ， ……………11分解得：1±=t 或253±=t . ……………12分 又因为0<t ，所以1-=t .即存在1-=t ，使得)1()(tq t q =成立. ……………13分17. （本题满分14分）解：（1）圆M 的方程可化为：2217(2)(2)2x y -+-=，所以圆心M （2，2），半径r=2. ……1分由于点A 的横坐标为4，所以点A 的坐标为（4，5），即AM =……………2分 若直线AC 的斜率不存在，很显然直线AM 与AC 夹角不是45，不合题意，故直线AC 的斜率一定存在，可设AC 直线的斜率为k ，则AC 的直线方程为5(4)y k x -=-，即540kx y k -+-=. ……………3分由于45=∠MAC 所以M 到直线AC 的距离为226||22==AM d ，此时r d <，即这样的点C 存在. ……………4分2=，2=，解得15 5k k =-=或. ……………5分 所以所求直线AC 的方程为0255=-+y x 或0215=+-y x . ……………6分 (2)当r AM 2||=时，过点A 的圆M 的两条切线成直角，从而存在圆上的点C （切点）使得45=∠MAC . ……………7分设点A 的坐标为),(y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅=-+-09172342)2()2(22y x y x ， ……………8分解得⎩⎨⎧==63y x 或⎩⎨⎧==36y x . ……………9分记点)6,3(为P ，点)3,6(为Q ，显然当点A 在 线段PQ 上时，过A 的圆的两条切线成钝角，从而必存在圆上的一点C 使得45=∠MAC ；……当点A 在线段PQ 的延长线或反向延长线上时，过A 的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的点C 使得45=∠MAC ， …………所以满足条件的点A 为线段PQ 上的点，即满足条件的点的横坐标取值范围是.……14分18．（本题满分14分） 解：（1）由()1f x =-可以看出，在区间(0,1]上，()f x 为增函数. ………………1分 又11()(1f x x x ===3分 显然)(1x f x在区间(0,1]∴ ()f x 在区间(0,1]为“弱增”函数. ………………4分（2）21()()f x f x -===.…6分[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠,∴111≥+x ，112≥+x ，21121>+++x x ，即2>，………………8分21()()f x f x ∴-2112x x <-. ………………9分 （3）当0x =时,不等式xax +≥-111显然成立. ………………10分“当(]0,1x ∈时，不等式xax +≥-111恒成立”等价于“ 当(]0,1x ∈时，不等式)111(1xx a +-≤即)(1x f x a ≤恒成立” . ………………11分也就等价于:“ 当(]0,1x ∈时， min )](1[x f xa ≤成立” . ………………12分 由(1)知1()f x x 在区间(0,1]上为减函数, 所以有221)1()](1[min -==f x f x . ……………13分 ∴221-≤a ，即221-≤a 时，不等式xax +≥-111对[]0,1x ∈恒成立. ……………14分。
2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ=。
正确答案为D 。
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）A. 2B.C. 2±D. ±42a =⇒=±。
正确答案为C 。
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。
正确答案为B 。
4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ）A.B. C. 3 D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,33x x x x AB -=⇒==⇒==。
正确答案为C 。
5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。
正确答案为A 。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+52πB. 4+32πC. 4+2π D. 4+π解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。
浙江省2019年高中数学竞赛模拟试题及答案解析
浙江省2019年高中数学竞赛模拟试题及答案解析一、选择题1、在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.2、若集合，，，则集合（）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，，．由，知；，知或．所以，或，即．故选D；3、若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．故选A；4、如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，设 (在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；5、已知函数，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为故选D．6、记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号) 故选B．二、填空题7、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．【答案】小乐，小强，小明．【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．8、省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．故结果为42．9、已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．故结果为．点睛：双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；再看成x的函数求最值．10、已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．11、已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．点睛：方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；根据图像得到结果．12、已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．【答案】;【解析】极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．13、方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．【答案】;【解析】．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．14、一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．【答案】5;【解析】一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数．矛盾．故结果为5．三、解答题15、已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：3极小值∴，故“在上恒成立”只需，即 ．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.16、（12分）如图，椭圆（）的离心率，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1 B1F2 B2的内切圆半径为（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，交直线于点P，设，，试证为定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B1B2的切点为G，连接OG，则|OG|=由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b， |OF2|=c， |B2F2|=a，得bc= a又∵e=解得a=2，b=故椭圆方程为：（2）设直线MN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=又P（-4，-3k），F2（-1，0）由，得，∴∵∴为定值考点：本题考查椭圆的几何性质向量共线点评：解决本题的关键是利用向量共线，求出即可17、已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）点的坐标为；点在上，则（2）方程的根转化为图像的交点；（3）裂项求和．（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴，．点睛：主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；再就是数列裂项求和问题．。
2019年8月浙江省学考选考名校协作体高三期初数学考试试题及参考答案
2019年协作体高三期初考试参考答案命题学校：镇海中学桐乡高级中学审题学校：缙云中学一、选择题：1.C 2.A 3.D 4.D 5.C 6.D 7.B 8.A 9.C 10.A二、填空题:11.2;212.0;⎦⎤⎢⎣⎡+-6k 2,67k 2ππππZ k ∈13.22;()863+π14.6;615.2019416.17817.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,219三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18：（Ⅰ）由sin sin sin c a C B c b A -+=-得到c a c b c b a-+=-------------------3分即222a c b ac+-=所以1cos 2B =，从而3B π=------------------7分（Ⅱ231sin cos (cos 1)sin 22222C A A C A -+-3123cos sin()2232313cos sin 44213cos()262C C C C C ππ=--+=-+=++------------------10分因为5666C πππ<+<------------------12分所以33cos()262C π-<+<所以2sin cos 42224C A A <-<--------------14分19.（I ）取DN 的中点E ，连接BE PE ,。
MN BE AN PE //,//，BE PE ,是平面AMN 外两条相交直线，所以平面//PBE 平面AMN ，所以//BP 平面AMN 。
-----------6分（II ）作AC BG ⊥于G ，在平面DAC 内作GC GH ⊥交AD A B CD M N PGH I于H ，因为AB AD 2=，所以H 为AD 的中点，得△BGH 是正三角形。
------------------9分易得平面BGH ⊥平面DAC ，作GH BI ⊥于I ，则I 为GH 的中点，连接PI ，则BPI ∠是BP 与平面ACD 所成角。
重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(B卷)(含解析).doc
DCBAA 重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B卷）（含解析）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(a2b-,a4bac42-)，对称轴公式为x=a2b-.一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1.5的绝对值是（）A、5；B、-5；C、51；D、51-.提示：根据绝对值的概念.答案A.2.如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）提示：根据主视图的概念.答案D.3.下列命题是真命题的是（）A、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为2︰3；B、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为4︰9；C、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为2︰3；D、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为4︰9.提示：根据相似三角形的性质.答案B.4.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40则∠B的度数为（）A、60°；B、50°；C、40°；D、30°.提示：利用圆的切线性质.答案B.5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（）A、直线x=2；B、直线x=-2；C、直线x=1；D、直线x=-1.提示：根据试卷提供的参考公式.答案C.6.某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（ ） A 、13；B 、14；C 、15；D 、16. 提示：用验证法.答案C.7.估计1025⨯+的值应在（ ）A 、5和6之间；B 、6和7之间；C 、7和8之间；D 、8和9之间. 提示：化简得53.答案B.8.根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入x 的值是7，则输出y 的值是-2，若输入x 的值是-8，则输出A 、5；B 、10；C 、19；D 、21. 提示：先求出b.答案C.9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点A(10,0)，sin ∠COA=54.若反比例函数)0x ,0k (x ky >>=经过点C ，则k 的值等于（ ）A 、10；B 、24；C 、48；D 、50.提示：因为OC=OA=10，过点C 作OA 的垂线，记垂足为D ，解直角三角形OCD.答案C.F EDCBA GF EDCBA10.如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC ，在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 的高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1︰2.4，那么建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A 、65.8米；B 、71.8米；C 、73.8米；D 、119.8米.提示：作DG ⊥BC 于G ，延长EF 交AB 于H.因为DC=BC=52，i =1︰2.4，易得DG=20，CG=48，所以BH=DE+DG=20.8，EH=BC+CG=100，所以AH=51.答案B.11.若数a 使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->--≤-)x 1(5a 2x 6)7x (4123x有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程3y1a1y y 21-=----的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A 、-3；B 、-2；C 、-1；D 、1.提示：由不等式组的条件得：-2.5≤a<3.由分式方程的条件得：a<2且a ≠1.综上所述，整数a 为-2，-1，0.答案A.12.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1，连接DE ，将△AED 沿直线沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得到△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G .则四边形DFEG 的周长为（ ）FED CBAA 、8；B 、24；C 、422+；D 、223+.提示：易证△AED ≌△AEF ≌△BGD ，得ED=EF=GD ，∠DGE=45°，进而得∠BGD=∠AED=∠AEF=135°，易得△DEG 和△DEF 都是等腰直角三角形，设DG=x ，则EG=2x ，注意AB=3，BG=AE=1，∠AEB=90°，可解得x=222-.答案D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分） 13.计算：10)21()13(-+-= .提示：根据零指数幂、负整数指数幂的意义.答案3.14.2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市党员“学习强国”APP 注册人数约1180000，参学覆盖率达71%，稳居全国前列.将数据1180000用科学记数法表示为 .提示：根据科学记数法的意义.答案1.18×106.15.一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是 . 提示：由树状图知总共有36种，符合条件的有3种.答案：121. 16.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4，AD=22，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是 .提示：连AE ，易得∠EAD=45°.答案828-.17.一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速度的45快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）.两人之间相距的路程y(米)与小明从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米.提示：设小明原速度为x 米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x 米/分钟，家校距离为11x+(23-11)×1.25x=26x.设爸爸行进速度为y 米/分钟，由题意及图形得： 11x=(16-11)y 且(16-11)(1.25x+y)=1380.解得：x=80，y=176.答案2080.18.某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的43和38.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是 .提示：设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x 个，则第五车间每天生产的产品为x 43个，第六五车间每天生产的产品为x 38个，每个车间原有成品均为m 个.甲组有检验员a 人，乙组有检验员b 人，每个检验员的检验速度为c 个/天.由题意得： 6(x+x+x+)+3m=6ac ，bc 2m 2)x 43x (2=++，bc 4m x 38)42(=+∙+由后两式可得m=3x ，代入前两式可求得.答案18︰19.三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19.计算：FED CB A（1）(a+b)2+a(a-2b) 解：原式=a 2+2ab+b 2+a 2-2ab =2a 2+b 2. （2）3m 2m 29m 6m 21m 2++÷--+- 解：原式=)1m (23m )3m )(3m ()3m (21m ++∙-+-+- =1m 11m ++- =1m m 2+20.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D.（1）若∠C=42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F.求证：AE=FE.解与证：（1）∵AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ∴∠BAD=∠CAD ，∠ADC=90°，又∠C=42°. ∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. （2）∵AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD=∠CAD ∵EF ∥AC ， ∴∠F=∠CAD∴∠BAD=∠F ，∴AE=FE.21.为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动.活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力.两次相关数据记录如下： 活动前被测查学生视力数据：4.0，4.1，4.1，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6(注:每组数据包括左端值，不包括右端值)活动前被测查学生视力频数分布直方图4127b 215.0≤x<5.24.8≤x<5.04.6≤x<4.84.4≤x<4.64.2≤x<4.44.0≤x<4.2频数分组活动后被测查学生视力频数分布表4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1 活动后被测查学生视力数据：4.0，4.2，4.3，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8 4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1，5.1根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a= ，b= ，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，活动后被测查学生视力样本数据的众数是 ；（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？ （3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果.解：（1）a=5，b=4，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 4.65，活动后被测查学生视力样本数据的众数是4.8； （2）16÷30×600=320.所以七年级600名学生活动后视力达标的人数有320人.（3）活动前的中位数是4.65，活动后的中位数是4.8，因此，活动后的视力好于活动前的视力.说明学校开展视力保健活动的效果突出.22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”.定义：对于自然数n，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n为“纯数”.例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位.（1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由.解：（1）显然1949至1999都不是“纯数”因为在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时要产生进位.在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义.所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012.（2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下：因为个位不超过2，二位不超过3时，才符合“纯数”的定义.所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100.共13个.23.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数y=-2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如下图所示；经历同样的过程画函数y=-2|x|+2和y=-2|x+2|的图象如下图所示.（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A，B的坐标和函数y=-2|x+2|的对称轴.（2）探索思考：平移函数y=-2|x|的图象可以得到函数y=-2|x|+2和y=-2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离.（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-3|+1的图象.若点(x1,y1)和(x2,y2)解：（1）A(0,2)，B(-2,0)，函数y=-2|x+2|的对称轴为x=-2.（2）将函数y=-2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y=-2|x|+2的图象. 将函数y=-2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y=-2|x+2|的图象.（3）将函数y=-2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y=-2|x-3|+1的图象.所画图象如图所示，当x 2>x 1>3时，y 1>y 2.24.某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费.（1）菜市场每月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？ （2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋抵扣管理费”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，每个摊位的管理费将会减少%a 103；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少%a 41，这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的E DA GEDA管理费将减少%a 185，求a 的值. 解：（1）设4平方米的摊位有x 个，则2.5平方米的摊位有2x 个，由题意得： 20×2.5×2x+20×4×x=4500，解得：x=25. 答：4平方米的摊位有25个.（2）设原有2.5平方米的摊位2m 个，4平方米的摊位m 个.则5月活动一中：2.5平方米摊位有2m ×40%个，4平方米摊位有m ×20%个. 6月活动二中：2.5平方米摊位有2m ×40%(1+2a%)个，管理费为20×(1-%a 103)元/个 4平方米摊位有m ×20%(1+6a%)个，管理费为20×(1-%a 41)元/个. 所以参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费为： 2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 41)×4元 这部分商户按原方式共缴纳的管理费为：20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)元 由题意得：2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 41)×4 =[20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)]×(1-%a 185). 令a%=t ，方程整理得2t 2-t=0，t 1=0（舍），t 2=0.5 ∴a=50.即a 的值为50.25.在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E. （1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE 的面积；（2）如图2，过点A 作AF ⊥DC ，交DC 的延长线于点F ，分别交BE ，BC 于点G ，H ，且AB=AF.求证：ED-AG=FC.K答图1EDCBAHN M GFEDC BA 答图2提示：（1）过B 作边AD 所在直线的垂线，交DA 延长于K ，如图，易求得BK=26.答案1.5.（2）要证ED-AG=FC.只要证ED=AG+FC ，为此延长CF 至FM ，使FM=AG ，连AM 交BE 于N 如图，则只要证ED=FM+CF=CM ，又AE=AB=CD ，所以只要证AD=MD ，即证∠M=∠DAM.又易证△AFM ≌△BAG ，则∠M=∠AGB ，∠MAF=∠GBA=∠AEN. 四、解答题（本大题1个小题，共8分） 26.在平面直角坐标系中，抛物线y=32x 23x 432++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q.（1）如图1，连接AC ，BC.若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G.点H ，K 分别在对称轴和y 轴上运动，连接PH ，HK.当△PEF 的周长最大时，求PH+HK+23KG 的最小值及点H 的坐标.（2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物答图1图1线顶点记为D /，N 为直线DQ 上一点，连接点D /，C ，N ，△D /CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由.提示：（1）易求A(-2,0)，B(4,0)，C(0,32)，D(1,439)，△PEF ∽△BOC. ∴当PE 最大时，△PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y=32x 23+-设P(x, 32x 23x 432++-)，则E(x, 32x 23+-) ∴PE=32x 23x 432++--(32x 23+-)=x 3x 432+-∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 32)，此时 如图，将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ， 过点P 作PM ⊥l 于点M ，过点K 作KM /⊥l 于M /. 则PH+HK+23KG= PH+HK+KM /≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上. 易得PM=10，H(1,3)（2）易得直线AC 的解析式为y=32x 3+，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y=435x 3+，所以可设D /(m,435m 3+)，平移后的抛物线y 1=435m 3)m x (432++--.将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5,4325). 设N(1,n)，又C(0,32)，D /(5,4325). 所以NC 2=1+(n-32)2，D /C 2=22)324325(5-+=161267，D /N 2=22)n 4325()15-+-（. 分NC 2= D /C 2；D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1,4139338+)，N 2(1, 4139338-)，N 3(1,41011325+)，N 4(1, 41011325-)，N 5(1,1363641).。
2019年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题
年高中数学联赛浙江赛区初赛试题
阳泉十一中：杨翔鹏整理（说明：本试卷满分分，共题，道填空题，道解答题。
填空题的答案和解答题的解答过程写在答题纸上。
）
一、填空题（每题分，共分）
如图，将长度为的线段分为两段，再将长度为的线
段弯成半圆周，将长度为的线段折成矩形
三条边，构成闭“曲边形”，则
该曲边形面积的最大值为 .
已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为
则当取最大值时，集合 .
设，则的最大值为 .
设三条不同的直线：
则它们相交于一点的充分必要条件为 .
如图，在中，.在
边上取一点，将沿线段折
起，得到，当平面垂直平面时，则
到平面的距离最大值为 .
如图，在中，分别为上的点，且
.设为四边形
内一点.若则实数的
取值范围为 .
设，定义则 .
设为复数，且满足，，则取值
为 .
设，数列满足，.若，则的取值范围为 .
在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为 .
二、解答题（第题分，第题各分）
如图，椭圆，抛物线.
设相交于两点，为坐标原点.
若的外心在椭圆上，求实数的值；
若的外接圆经过点，求实数的值.
设.若，证明：
设是有限集，为正整数，是包含.如果中的部分子集构成的集族满足：对中任意两个不相等的集合，
均不成立，则称为反链.设为包含集合最多的反链，是任意反链.证明存在到的单射成立.。
重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题(B卷)(word版,含答案)
DCBAA重庆市2019年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B卷）（含解答提示）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）参考公式：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(a2b-,a4bac42-)，对称轴公式为x=a2b-.一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1.5的绝对值是（）A、5；B、-5；C、51；D、51-.提示：根据绝对值的概念.答案A.2.如图是一个由5个相同正方体组成的立体图形，它的主视图是（）.答案D.3.下列命题是真命题的是（）A、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为2︰3；B、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的周长比为4︰9；C、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为2︰3；D、如果两个三角形相似，相似比为4︰9，那么这两个三角形的面积比为4︰9.提示：根据相似三角形的性质.答案B.4.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C=40°，则∠B的度数为（）A、60°；B、50°；C、40°；D、30°.提示：利用圆的切线性质.答案B.5.抛物线y=-3x2+6x+2的对称轴是（）A、直线x=2；B、直线x=-2；C、直线x=1；D、直线x=-1.提示：根据试卷提供的参考公式.答案C.6.某次知识竞赛共有20题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小华得分要超过120分，他至少要答对的题的个数为（）A、13；B、14；C、15；D、16.提示：用验证法.答案C.7.估计1025⨯+的值应在（）A、5和6之间；B、6和7之间；C、7和8之间；D、8和9之间.提示：化简得53.答案B.8.根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是-2，若输入x 的值是-8，则输出yA、5；B、10；C、提示：先求出b.答案C.F ED CB A G F ED C B A 9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边OA 在x 轴上，点A(10,0)，sin ∠COA=54.若反比例函数)0x ,0k (x ky >>=经过点C ，则k 的值等于（ ）A 、10；B 、24；C 、48；D 、50.提示：因为OC=OA=10，过点C 作OA 的垂线，记垂足为D ，解直角三角形OCD.答案C. 10.如图，AB 是垂直于水平面的建筑物，为测量AB 的高度，小红从建筑底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC=BC ，在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 的高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF 为27°（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）.斜坡CD 的坡度（或坡比）i =1︰2.4，那么建筑物AB 的高度约为（ ）（参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A 、65.8米；B 、71.8米；C 、73.8米；D 、119.8米.提示：作DG ⊥BC 于G ，延长EF 交AB 于H.因为DC=BC=52，i =1︰2.4，易得DG=20，CG=48，所以BH=DE+DG=20.8，EH=BC+CG=100，所以AH=51.答案B.11.若数a 使关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->--≤-)x 1(5a 2x 6)7x (4123x有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程3y1a1y y 21-=----的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A 、-3；B 、-2；C 、-1；D 、1.提示：由不等式组的条件得：-2.5≤a<3.由分式方程的条件得：a<2且a ≠1.综上所述，整数a 为-2，-1，0.答案A.12.如图，在△ABC 中，∠ABC=45°，AB=3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AE=1，连接DE ，将△AED 沿直线沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面内，得到△AEF ，连接DF ，过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为（ ）A 、8；B 、24；C 、422+；D 、223+.提示：易证△AED ≌△AEF ≌△BGD ，得ED=EF=GD ，∠DGE=45°，进而得∠BGD=∠AED=∠AEF=135°，易得△DEG 和△DEF 都是等腰直角三角形，设DG=x ，则EG=2x ，注意AB=3，FED CBA y/BG=AE=1，∠AEB=90°，可解得x=222-.答案D. 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）13.计算：10)21()13(-+-= .提示：根据零指数幂、负整数指数幂的意义.答案3. 14.2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日止，重庆市党员“学习强国”APP 注册人数约1180000，参学覆盖率达71%，稳居全国前列.将数据1180000用科学记数法表示为 .提示：根据科学记数法的意义.答案1.18×106.15.一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数.连续掷两次骰子，在骰子向上的一面上，第二次出现的点数是第一次出现的点数的2倍的概率是 . 提示：由树状图知总共有36种，符合条件的有3种.答案：121. 16.如图，四边形ABCD 是矩形，AB=4，AD=22，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交CD 于点E ，交AD 的延长线于点F ，则图中阴影部分的面积是 .提示：连AE ，易得∠EAD=45°.答案828-.17.一天，小明从家出发匀速步行去学校上学.几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家.小明拿到书后以原速度的45快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）.两人之间相距的路程y(米)与小明从家出发到学校的步行时间x （分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 米.提示：设小明原速度为x 米/分钟，则拿到书后的速度为1.25x 米/分钟，家校距离为11x+(23-11)×1.25x=26x.设爸爸行进速度为y 米/分钟，由题意及图形得： 11x=(16-11)y 且(16-11)(1.25x+y)=1380.解得：x=80，y=176.答案2080.18.某磨具厂共有六个生产车间，第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品，第五、六车间每天生产的产品数量分别是第一车间每天生产的产品数量的43和38.甲、乙两组检验员进驻该厂进行产品检验.在同时开始检验产品时，每个车间原有成品一样多，检验期间各FE D C B A 车间继续生产.甲组用了6天时间将第一、二、三车间所有成品同时检验完；乙组先用2天将第四、五车间的所有成品同时检验完后，再用了4天检验完第六车间的所有成品（所有成品指原有的和检验期间生产的成品）.如果每个检验员的检验速度一样，则甲、乙两组检验员的人数之比是 .提示：设第一、二、三、四车间每天生产相同数量的产品为x 个，则第五车间每天生产的产品为x 43个，第六五车间每天生产的产品为x 38个，每个车间原有成品均为m 个.甲组有检验员a 人，乙组有检验员b 人，每个检验员的检验速度为c 个/天.由题意得： 6(x+x+x+)+3m=6ac ，bc 2m 2)x 43x (2=++，bc 4m x 38)42(=+•+由后两式可得m=3x ，代入前两式可求得.答案18︰19.三、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分） 19.计算：（1）(a+b)2+a(a-2b)解：原式=a 2+2ab+b 2+a 2-2ab =2a 2+b 2. （2）3m 2m 29m 6m 21m 2++÷--+- 解：原式=)1m (23m )3m )(3m ()3m (21m ++•-+-+- =1m 11m ++- =1m m 2+20.如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D.（1）若∠C=42°，求∠BAD 的度数；（2）若点E 在边AB 上，EF ∥AC 交AD 的延长线于点F.求证：AE=FE.解与证：（1）∵AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ∴∠BAD=∠CAD ，∠ADC=90°，又∠C=42°.∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°. （2）∵AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ， ∴∠BAD=∠CAD ∵EF ∥AC ， ∴∠F=∠CAD∴∠BAD=∠F ，∴AE=FE.21.为落实视力保护工作，某校组织七年级学生开展了视力保健活动.活动前随机测查了30名学生的视力，活动后再次测查这部分学生的视力.两次相关数据记录如下： 活动前被测查学生视力数据：4.0，4.1，4.1，4.2，4.2，4.3，4.3，4.4，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6 4.7，4.7，4.7，4.7，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1 活动后被测查学生视力数据：4.0，4.2，4.3，4.4，4.4，4.5，4.5，4.6，4.6，4.6，4.7，4.7，4.7，4.7，4.8 4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，4.9，4.9，4.9，5.0，5.0，5.1，5.1(注:每组数据包括左端值，不包括右端值)活动前被测查学生视力频数分布直方图4127b 215.0≤x<5.24.8≤x<5.04.6≤x<4.84.4≤x<4.64.2≤x<4.44.0≤x<4.2频数分组活动后被测查学生视力频数分布表根据以上信息回答下列问题：（1）填空：a= ，b= ，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是 ，活动后被测查学生视力样本数据的众数是 ；（2）若视力在4.8及以上为达标，估计七年级600名学生活动后视力达标的人数有多少？ （3）分析活动前后相关数据，从一个方面评价学校开展视力保健活动的效果. 解：（1）a=5，b=4，活动前被测查学生视力样本数据的中位数是4.65，活动后被测查学生视力样本数据的众数是4.8； （2）16÷30×600=320.所以七年级600名学生活动后视力达标的人数有320人.（3）活动前的中位数是4.65，活动后的中位数是4.8，因此，活动后的视力好于活动前的视力.说明学校开展视力保健活动的效果突出.22.在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了偶数、奇数、合数、质数等.现在我们来研究一种特殊的自然数——“纯数”. 定义：对于自然数n ，在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时各位都不产生进位现象，则称这个自然数n 为“纯数”. 例如：32是“纯数”，因为32+33+34在列竖式计算时各位都不产生进位现象；23不是“纯数”，因为23+24+25在列竖式计算时个位产生了进位. （1）请直接写出1949到2019之间的“纯数”；（2）求出不大于100的“纯数”的个数，并说明理由. 解：（1）显然1949至1999都不是“纯数”因为在通过列竖式进行n+(n+1)+(n+2)的运算时要产生进位.在2000至2019之间的数，只有个位不超过2时，才符合“纯数”的定义. 所以所求“纯数”为2000，2001，2002，2010，2011，2012. （2）不大于100的“纯数”的个数有13个，理由如下： 因为个位不超过2，二位不超过3时，才符合“纯数”的定义.所以不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32，100.共13个.23.函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数y=-2|x|的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如下图所示；经历同样的过程画函数y=-2|x|+2和y=-2|x+2|的图象如下图所示.（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A ，B 的坐标和函数y=-2|x+2|的对称轴.（2）探索思考：平移函数y=-2|x|的图象可以得到函数y=-2|x|+2和y=-2|x+2|的图象，分别写出平移的方向和距离. （3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数y=-2|x-3|+1的图象.若点(x 1,y 1)和(x 2,y 2)在该函数图象上，且x 解：（1）A(0,2)，B(-2,0)，函数y=-2|x+2|的对称轴为x=-2.（2）将函数y=-2|x|的图象向上平移2个单位得到函数y=-2|x|+2的图象. 将函数y=-2|x|的图象向左平移2个单位得到函数y=-2|x+2|的图象.（3）将函数y=-2|x|的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数y=-2|x-3|+1的图象.所画图象如图所示，当x 2>x 1>3时，y 1>y 2.24.某菜市场有2.5平方米和4平方米两种摊位，2.5平方米的摊位数是4平方米摊位数的2倍.管理单位每月底按每平方米20元收取当月管理费，该菜市场全部摊位都有商户经营且各摊位均按时全额缴纳管理费.（1）菜市场每月可收取管理费4500元，求该菜市场共有多少个4平方米的摊位？ （2）为推进环保袋的使用，管理单位在5月份推出活动一：“使用环保袋抵扣管理费”，2.5平方米和4平方米两种摊位的商户分别有40%和20%参加了此项活动.为提高大家使用环保袋的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“使用环保袋抵扣管理费”，同时终止活动一，经调查与测算，参加活动一的商户会全部参加活动二，参加活动二的商户会显著增加，这样，6月份参加活动二的2.5平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加2a%，每个摊位的管理费将会减少%a 103；6月份参加活动二的4平方米摊位的总个数将在5月份参加活动一的同面积个数的基础上增加6a%，每个摊位的管理费将会减少%a 41，这样，参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费比他们按原方式共缴纳的管理费将减少%a 185，求a 的值. 解：（1）设4平方米的摊位有x 个，则2.5平方米的摊位有2x 个，由题意得： 20×2.5×2x+20×4×x=4500，解得：x=25. 答：4平方米的摊位有25个.（2）设原有2.5平方米的摊位2m 个，4平方米的摊位m 个.则5月活动一中：2.5平方米摊位有2m ×40%个，4平方米摊位有m ×20%个. 6月活动二中：2.5平方米摊位有2m ×40%(1+2a%)个，管理费为20×(1-%a 103)元/个图1E D C B A K答图1E D C B A HN MGFE DC B A 答图2HG F E D C BA 图24平方米摊位有m ×20%(1+6a%)个，管理费为20×(1-%a 41)元/个. 所以参加活动二的这部分商户6月份总共缴纳的管理费为： 2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 41)×4元 这部分商户按原方式共缴纳的管理费为：20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)元 由题意得：2m ×40%(1+2a%)×20×(1-%a 103)×2.5+m ×20%(1+6a%)×20×(1-%a 41)×4 =[20×2.5×2m ×40%(1+2a%)+20×4×m ×20%(1+6a%)]×(1-%a 185). 令a%=t ，方程整理得2t 2-t=0，t 1=0（舍），t 2=0.5 ∴a=50.即a 的值为50.25.在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E. （1）如图1，若∠D=30°，AB=6，求△ABE 的面积；（2）如图2，过点A 作AF ⊥DC ，交DC 的延长线于点F ，分别交BE ，BC 于点G ，H ，且AB=AF.求证：ED-AG=FC.提示：（1）过B 作边AD 所在直线的垂线，交DA 延长于K ，如图，易求得BK=26.答案1.5. （2）要证ED-AG=FC.只要证ED=AG+FC ，为此延长CF 至FM ，使FM=AG ，连AM 交BE 于N如图，则只要证ED=FM+CF=CM ，又AE=AB=CD ，所以只要证AD=MD ，即证∠M=∠DAM.又易证△AFM ≌△BAG ，则∠M=∠AGB ，∠MAF=∠GBA=∠AEN. 四、解答题（本大题1个小题，共8分）26.在平面直角坐标系中，抛物线y=32x 23x 432++-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点Q.（1）如图1，连接AC ，BC.若点P 为直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE ∥y 轴交BC 于点E ，作PF ⊥BC 于点F ，过点B 作BG ∥AC 交y 轴于点G.点H ，K 分别在对称轴和y 轴上答图1图1运动，连接PH ，HK.当△PEF 的周长最大时，求PH+HK+23KG 的最小值及点H 的坐标. （2）如图2，将抛物线沿射线AC 方向平移，当抛物线经过原点O 时停止平移，此时抛物线顶点记为D /，N 为直线DQ 上一点，连接点D /，C ，N ，△D /CN 能否构成等腰三角形？若能，直接写出满足条件的点N 的坐标；若不能，请说明理由.439)，△PEF ∽△BOC. ∴当PE 最大时，△PEF 的周长最大.易求直线BC 的解析式为y=32x 23+- 设P(x, 32x 23x 432++-)，则E(x, 32x 23+-) ∴PE=32x 23x 432++--(32x 23+-)=x 3x 432+- ∴当x=2时，PE 有最大值. ∴P(2, 32)，此时如图，将直线OG 绕点G 逆时针旋转60 °得到直线l ，过点P 作PM ⊥l 于点M ，过点K 作KM /⊥l 于M /. 则PH+HK+23KG= PH+HK+KM /≥PM 易知∠POB=60°.POM 在一直线上.易得PM=10，H(1,3)（2）易得直线AC 的解析式为y=32x 3+，过D 作AC 的平行线，易求此直线的解析式为y=435x 3+，所以可设D /(m, 435m 3+)，平移后的抛物线y 1=435m 3)m x (432++--.将（0，0）代入解得m 1=-1（舍），m 2=5.所以D /(5,4325). 设N(1,n)，又C(0,32)，D /(5,4325). 所以NC 2=1+(n-32)2，D /C 2=22)324325(5-+=161267，D /N 2=22)n 4325()15-+-（. 分NC 2= D /C 2；D /C 2= D /N 2；NC 2= D /N 2.列出关于n 的方程求解.答案N 1(1,4139338+)，N 2(1, 4139338-)，N 3(1,41011325+)，N 4(1, 41011325-)，N 5(1,1363641).。
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2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案
一、填空题(每小题8分，共64分)
1.设A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{|,,}B x y x y A x y =+∈≠，若222{log 6,log 10,log 15}B =，则集合A =________. 答案：22{1,log 3,log 5}
提示：设222{log ,log ,log }A a b c =，其中0.a b c <<<
则6,10,15.ab bc ad ===解得2,3,5a b c ===，从而22{1,log 3,log 5}A =。
2.函数 的最小值为 ，最大值为 ，则
________.
答案：
提示：设 ,则 且 ，∴ .
，令
， . 令 得 ， ， ， ∴ ， ，∴
.
3. ________. 答案：
提示：
.
4.已知向量 ， ， 满足 ，且 ，若 为 ， 的
夹角，则 ________. 答案：
提示：∵ ∴ ∴ ∵ ∴
又∵ ∴ ∴
.
5.已知复数 ， ， 使得
为纯虚数， ， ，则 的最小
值是________.
1
提示：设 ，则 ，由已知
∴
∴ ∴ ∴ 。
当
1232
1,,(1)2
z z i z i ===
+时，最小值能取到。
6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________. 答案：
提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为 ，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球， 且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为 ，所以正四面体的高
, 得
7. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，对任意0x >有4()f x x >-，4
(())3f f x x
+=，则(8)f = . 答案：
7
2
提示：由题意存在00x >使0()3f x =。
又因()f x 是(0,)+∞上的单调函数，这样的00
x >是唯一的，再由004
(())3f f x x +
=得000
44()3x f x x x
=+=+
解得04x =或01x =-（舍）。
所以4()4f x x =-，47(8)482
f =-=。
8.已知 为椭圆
的内接三角形，且 过点 ，则 的面积的最大
值为________. 答案：
提示：经伸缩变换
得 内接于圆 ， 过点
，
，设 距 的距离为 ，则
， ， ，易知当
时， 有最大值为
，∴ 的最大值为
.
二、解答题(第9题16分，第10、11题各20分)
9.已知过点斜率为的直线交双曲线：右支于、两点，为双曲线的右焦点，且，求的值.
解：设，，则直线：.离心率。
......4分
联立得
∴...........8分
∴ .......12分
∴. ........ 16分。
10.数列满足，，.
（1）证明：数列是正整数数列；
（2）是否存在，使得，并说明理由.
证明：（1）已知，∴
相减得
∴为常数数列。
.......... 5分
∴
∴，又∵∴
又∵，∴ ....... 10分
（2）∵，假设有，则。
..... 15分
法一：由，，
得
∴∴
法二：∵∴
由费马小定理得，矛盾.
所以不存在，使得，得证. ......20分
11.已知，，求证.
注：可直接应用以下结论
（1）；（2）。
证明：设，，则，.
只要证，因为, 所以只要证明：对满足的，有。
..... 5分
令得，
此时
，......... 10分
∴
. ........ 15分
∵∴
，不等式成立，得证. ........ 20分。