32动量算符和角动量算符

32动量算符和角动量算符

?3.2 动量算符和角动量算符

一(动量算符。

,,,,,,1. 动量算符的本征值方程:，三个分量方程是 (3.2.1) ，，，，,,r,p,rppi ,,,,,,，，，，， ,r,p,r,,,x,，,pxpi,x

,,,,,, ， (3.2.2) ,,,y,，,，，，，,r,p,rpypi,y

,,,,,,，，，，， ,r,p,r,,,z,，,pzpi,z

通解是

i,,p,r,,,，C是归一化常数。 (3.2.3) ，，,r,Cep

2.动量本征函数的归一化。

i,,,，，,,，，p,px，p,py，，，

p,pz，,，,，,，,xxyyzz2,,,,,，，，，,r,rd,,Cedxdydzp p,,,,,,,,,,,,

i,ppx，，,，,xx,,，，edx2,,,pp,,因为，所以有 xx,,,

，,2,3,,,,,,,,,,,,,rrd,C2p,pp,pp,p,，，，，，，，，，，，，ppxxyyzz,,,

2,,3,，，，，,C2,,p,p,

3,,,2,，，如果取，，，则,r归一化为函数。 C,2,, Y p

，,,,,,, ,,,,,,;rrd,p,p，，，，，，pp,,, i,,p,rA A

1,(3.2.4) ,,,，，r,ep3 O X

2，，2,,

(3.2.5)

Z

3.箱归一化

i,,p,r,,,,A，，,r,Ce在A(L/2,y,z)和(-L/2,y,z)点, 的值应相同。即 p

11ii,,,,,pL，py，pzpL，py，pz,,,,xyzxyz,2,2,,,,Ce,Ce i，，pLx,e,1

pxL,2n,n所以，是正负整数或零。 xx,

2,n,xp,,n,0,,1,？ (3.2.6) xxL

2,n,y (3.2.7) p,,n,0,,1,？yyL

2,n,zp,,n,0,,1,？ (3.2.8) zzL

当L时，的本征值就变为连续谱。 p,p,p,,xyz

i,,p,r1,,,，，,r,e (3.2.9) p32L

LLL1,,,,222,由可求出归一化系数。，，，，,r,rd,,dxdydz,1ppLLL,,,,3,,,L222二(角动量算符

:,::,,在直角坐标系下， 1.角动量算符L,r，p

,,ˆˆˆ lypzpiyz,,,,,,()xzy,,zy

,,ˆˆˆlzpxpizx,,,,,,() (3.2.10) yxz,,xz

,,ˆˆˆ lxpypixy,,,,,,()zyx,,yx2222 (3.2.11) L,L，L，LXYZ

222,r,x，y，z,,x,rsincos,,,,,122,,,y,rsinsin，，,tanx，y/z (3.2.12) ,,

,,,1z,rcos,，，,tany/x,,,,

2.在球坐标系中角动量算符

,,ˆlictg,,, (sincos) ,，,x,,,,

,,ˆlictg,,,(cossin) ,,,,y,,,,

,ˆ (3.2.14) li,,,z,,

2:，，1,,1,,,22, l,,,sin，,,,,22,,sin,,,sin,,,,,，，1. l 本征函数 z ˆ角动量算符的本征函数 lz

1im, ,,,e(m,0,,1,,2,？)()m2,

组成正交归一系:

2,*,,,,,,()()d, (7) ,,mmmm,0

2ˆ2. 本征值和本征函数: l

:222ˆl的本征值方程: ，，，，lY,,,,,,Y,,,

2222ˆˆ角动量平方算符l本征值为，角动量平方算符l属于本征值的本征函l(l，1),l(l，1),

mim,数为: YY,(,,),NP(cos,)elmlmlml

2l，1l,m!，，是归一化系数。 N,lm，，4,l，m!

2,,*Y,(,,)Y(,,,)sin,d,d,,,组成正交归一系: (8) ,,lmlmll,,00

2,,*Y,(,,)Y(,,,)sin,d,d,,,, (7)和(8)可合写为 (9) ,,,,lmlmllmm,,00

式中 l,0.1,2,？;m,0,,1,,2,？,,l