高考数学复习直线与圆的位置关系
2025高考数学总复习直线与圆、圆与圆的位置关系
自主诊断
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.( × ) (2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解,则直线
与圆相切.( √ ) (4)在圆中最长的弦是直径.( √ )
则圆心(-1,3)到直线 l 的距离 d=|-k-1+3+k2 1|=1, 解得 k=-34, 此时直线l的方程为3x+4y-4=0,
综上,所求直线的方程为3x+4y-4=0或x=0.
常用结论
1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在 直线方程为x0x+y0y=r2.
常用结论
2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到. (2)两个圆系方程 ①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2 +y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R); ②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 交 点 的 圆 系 方 程 为 x2 + y2 + D1x + E1y + F1 + λ(x2 + y2 + D2x + E2y + F2) = 0(λ≠-1)(其中不含圆C2,所以注意检验C2是否满足题意,以防丢解).
8x-6y+16=0的位置关系是
√A.外切
B.相交
C.外离
D.内切
圆C1的圆心C1(0,0),半径r1=2, 圆C2可化为(x-4)2+(y-3)2=9, ∴圆心C2(4,3),半径r2=3, ∴|C1C2|= 4-02+3-02=5=r1+r2,故两圆外切.
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中,直线与圆的相关知识点常常出现,并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系:相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点,则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点,则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点,则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法:a. 判断直线与圆相离:计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切:计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交:计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程:Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y),满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程:(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用:a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系:切线与半径的夹角是直角,即切线垂直于半径。
2. 切线的性质:a. 切点:切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度:切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线:若直线与圆内切于一点,则这条直线称为外切线。
d. 内切线:若直线切圆于两个相交点,则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质:弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有:a. 弦长:弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径:直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆:具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆:如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点,则这两个圆称为内切圆与外接圆。
高考数学复习点拨 例谈直线与圆的位置关系
例谈直线与圆的位置关系一、知识清点1.点与圆的位置关系设点到圆:222()()x a y b r -+-=的圆心(,)C a b 的距离为,则d r >⇔点在圆外;d r =⇔点在圆上;d r <⇔点在圆内。
2.直线与圆的位置关系一般地,直线与圆的位置关系的判定有两种情形:(1)代数法判断直线0Ax By C ++=和圆220x y Dx Ey F ++++=的位置关系,我们可将2200Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去(或),得20mx nx p ++=(或20my ny p ++=)。
当0∆>时,直线与圆相交,有两个公共点;当0∆=时,直线与圆相切,有一个公共点;当0∆<时,直线与圆相离,无公共点。
(2)几何法判断直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b r -+-=的位置关系,我们也可用圆心到直线的距离d =当时,直线与圆相交,有两个公共点;当时,直线与圆相切,有一个公共点;当时,直线与圆相离,无公共点。
二、范例剖析例 1 已知圆:22(1)(2)25x y -+-=,直线:(21)(1)740m x m y m +++--=(m R ∈)。
(1)证明直线与圆相交;(2)求直线被圆截得的弦长最小时直线的方程。
证明:(1)将的方程整理为(4)(27)0x y m x y +-++-=,由40270x y x y +-=⎧⎨+-=⎩,得31x y =⎧⎨=⎩, ∴直线过定点(3,1)A 。
∵22(31)(12)525-+-=<,∴点在圆的内部,∴直线恒与圆有两个交点。
(2)圆心(1,2)O ,当截得的弦长最小时,l OA ⊥,由12AO k =-得的方程为12(3)y x -=-, ∴所求直线的方程为250x y --=。
评注:该例的常规解法是联立两个方程,证明方程组恒有解或圆心到直线的距离小于半径,但计算过程太复杂。
年高考第一轮复习数学:直线与圆的位置关系
直线与圆的地点关系●知识梳理 直线和圆1.直线和圆地点关系的判断方法一是方程的看法,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用鉴别式 来议论地点关系 .① >0,直线和圆订交 . ② =0,直线和圆相切 . ③<0,直线和圆相离 .方法二是几何的看法,即把圆心到直线的距离 d 和半径 R 的大小加以比较 .① d <R ,直线和圆订交 . ② d=R ,直线和圆相切 . ③ d >R ,直线和圆相离 .2.直线和圆相切,这种问题主假如求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种状况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种状况.3.直线和圆订交,这种问题主假如求弦长以及弦的中点问题 .●点击双基1.( 2005 年北京海淀区期末练习题)设m>0,则直线2 22( x+y ) +1+m=0 与圆 x +y =m的地点关系为A. 相切B. 订交C.相切或相离D. 订交或相切解读:圆心到直线的距离为d=1m,圆半径为m .2∵ d - r =1 m- m = 1(m - 2 m +1) = 1( m - 1) 2≥ 0,222∴直线与圆的地点关系是相切或相离 .答案: C2.圆 x 2+ y 2- 4x+4y+6=0 截直线 x - y - 5=0 所得的弦长等于A. 6B. 5 22解读:圆心到直线的距离为2,半径为 2 ,弦长为 2( 2)2( 2)2= 6.22答案: A3.( 2004 年全国卷Ⅲ, 4)圆 x 2+y 2-4x=0 在点 P ( 1, 3)处的切线方程为A. x+ 3 y - 2=0B. x+ 3 y - 4=0-3 y+4=0D. x -3 y+2=0解法一:x 2+y 2- 4x=0y=kx - k+3x 2- 4x+( kx - k+3 )2 =0.该二次方程应有两相等实根,即=0,解得 k=3.3∴ y - 3 =3( x - 1),即 x - 3 y+2=0.3解法二:∵点( 1,3 )在圆 x 2 +y 2- 4x=0 上,∴点 P 为切点,进而圆心与 P 的连线应与切线垂直 .又∵圆心为(2, 0),∴3· k=-1.2 1解得 k=3,∴切线方程为 x - 3 y+2=0.3答案: D4.( 2004 年上海,理 8)圆心在直线 2x - y - 7=0 上的圆 C 与 y 轴交于两点A (0,-4)、 B (0,- 2),则圆 C 的方程为 ____________.解读:∵圆 C 与 y 轴交于 A ( 0,- 4), B ( 0,- 2),∴由垂径定理得圆心在 y=- 3 这条直线上 .又已知圆心在直线2x - y -7=0 上,y=-3,解 得 ∴联立2x - y -7=0.∴圆心为( 2,- 3),半径 r =|AC |=2 2 [3 ( 4)] 2 = 5 .∴所求圆 C 的方程为( x -2) 2+( y+3 )2=5. 答案:( x - 2) 2+( y+3) 2=55.若直线 y=x+k 与曲线 x= 1 y 2 恰有一个公共点,则 k 的取值范围是 ___________.解读:利用数形联合 .答案:- 1< k ≤ 1 或 k=-2●典例解析【例 1】 已知圆 x 2+y 2+x -6y+m=0 和直线 x+2y - 3=0 交于 P 、 Q 两点,且 OP ⊥ OQ (O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.解析:因为 OP ⊥ OQ ,所以 k OP · k OQ =- 1,问题可解 .222解:将 x=3- 2y 代入方程 x +y +x - 6y+m=0,得 5y - 20y+12+m=0.12 my 1+y 2=4, y 1y 2=.5∵ OP ⊥ OQ ,∴ x 1x 2+y 1 y 2=0.而 x1=3- 2y1,x2 =3- 2y2,∴x1x2=9 - 6( y1+y2) +4y1y2.∴ m=3,此时>0,圆心坐标为(-1,3),半径r =5. 22评论:在解答中,我们采纳了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但一定注意这样的交点能否存在,这可由鉴别式大于零帮助考虑.【例 2】求经过两圆(x+3)2+y2=13 和 x2+( y+3)2=37 的交点,且圆心在直线x- y-4=0 上的圆的方程.解析:依据已知,可经过解方程组(x+3)2+y2=13 ,22得圆上两点,x +( y+3) =37由圆心在直线x-y- 4=0 上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可依据已知,设所求圆的方程为(x+3)2 +y2- 13+ λ[ x2+( y+3)2- 37] =0,再由圆心在直线 x- y- 4=0 上,定出参数λ,得圆方程 .解:因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13 和 x2+(y+3)2=37 的交点,所以设所求圆的方程为(x+3)2+y2- 13+ λ[ x2+( y+3 )2- 37] =0.睁开、配方、整理,得(x+3)2 +(y+3)2=4 28+ 9(12 ) .111(1) 2圆心为(-3,-3),代入方程x- y-4=0 ,得λ=- 7.11故所求圆的方程为(x+1)2+( y+7)2=89. 222评论:圆 C1: x2+y2+D 1x+E1y+F1=0,圆 C2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆 C1、 C2订交,那么过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D 1x+E1y+F1) +λ( x2+y2+D2x+E2y+F2) =0 (λ ∈R 且λ ≠-1).它表示除圆C2之外的全部经过两圆C1、 C2公共点的圆 .特别提示在过两圆公共点的图象方程中,若λ=- 1,可得两圆公共弦所在的直线方程.【例 3】已知圆C:( x-1)2+( y- 2)2= 25,直线l:( 2m+1) x+( m+1) y-7m -4=0 ( m∈R) .(1)证明:无论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点;( 2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时l 的方程 .解析:直线过定点,而该定点在圆内,本题即可解得.(1)证明: l 的方程( x+y- 4) +m( 2x+y- 7) =0.2x+y- 7=0 , x=3,∵ m∈R,∴得x+y-4=0 , y=1,即 l 恒过定点 A( 3,1) .∵圆心 C( 1,2),| AC|= 5 <5(半径),∴点 A 在圆 C 内,进而直线l 恒与圆 C 订交于两点 .(2)解:弦长最小时, l⊥ AC,由 k AC=-1,2∴l 的方程为 2x- y- 5=0.评论:若定点 A 在圆外,要使直线与圆订交则需要什么条件呢?思虑议论求直线过定点,你还有其他方法吗?●闯关训练夯实基础1.若圆( x- 3)2+( y+5 )2= r 2上有且只有两个点到直线 4x- 3y=2 的距离等于 1,则半径 r 的范围是A. (4, 6)B.[4, 6)C.( 4,6]D.[ 4, 6]解读:数形联合法解.答案: A2.( 2003 年春天北京)已知直线ax+by+c=0( abc≠0)与圆 x2+y2=1 相切,则三条边长分别为| a|、| b|、| c|的三角形A. 是锐角三角形B. 是直角三角形C.是钝角三角形D. 不存在解读:由题意得| a 0 b0c |=1,即 c2 =a2+b2,∴由| a|、| b|、| c|组成的三a 2b2角形为直角三角形 .答案: B3.( 2005 年春天北京, 11)若圆 x2+y2+mx-1=0 与直线 y=- 1 相切,且其圆心在y 轴4的左边,则 m 的值为 ____________.解读:圆方程配方得( x+ m)2+y2=m2 1,圆心为(-m,0) . 242由条件知-m<0,即 m>0. 2又圆与直线 y=-1 相切,则0-(- 1) =m 2124,即 m =3,∴ m= 3 .答案:34.( 2004年福建, 13)直线x+2y=0 被曲线 x2+y2- 6x- 2y- 15=0 所截得的弦长等于____________.解读:由 x2+y2- 6x- 2y-15=0 ,得( x- 3)2+( y- 1)2=25.知圆心为( 3, 1), r=5.由点( 3, 1)到直线 x+2y=0 的距离 d= |32 | = 5 .5可得1弦长为 2 5 ,弦长为4 5 . 2答案: 455.自点 A(- 3,3)发出的光芒l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光芒所在的直线与圆 x2+y2- 4x- 4y+ 7= 0 相切,求光芒 l 所在直线的方程 .解:圆( x - 2) 2+( y - 2) 2= 1 对于 x 轴的对称方程是( x - 2) 2+( y + 2) 2= 1.设 l 方程为 y - 3= k ( x +3),因为对称圆心( 2,- 2)到 l 距离为圆的半径1,进而可得 k 1=- 3 , k 2=- 4.故所求 l 的方程是 3x + 4y - 3= 0 或 4x + 3y + 3=0.436.已知 M ( x 0, y 0)是圆 x 2+y 2=r 2( r >0)内异于圆心的一点,则直线 x 0x+y 0y=r 2 与此圆有何种地点关系 ?解析:比较圆心到直线的距离与圆半径的大小.解:圆心 O (0, 0)到直线 x 0x+y 0y=r 2 的距离为 d=r 2 .x 02 y 02∵ P ( x 0, y 0)在圆内,∴ 22x 0 y 0 <r .则有 d>r ,故直线和圆相离 . 培育能力7.方程 ax 2+ay 2- 4(a - 1) x+4y=0 表示圆,求 a 的取值范围,并求出此中半径最小的圆的方程 .解:( 1)∵ a ≠0 时,方程为[ x -2(a1) ]2 +( y+ 2 ) 2 = 4( a 2 2a 2) ,a a a 2因为 a 2-2a+2 > 0 恒建立, ∴ a ≠0 且 a ∈ R 时方程表示圆 .( 2) r 2=4 · a22a2=4[2( 1- 1)2+1],a 2a 2 2∴ a=2 时, r min 2=2.此时圆的方程为( x - 1) 2+( y - 1) 2=2.8.(文)求经过点A (- 2,- 4),且与直线 l : x+3y - 26=0 相切于( 8, 6)的圆的方程.解:设圆为 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,依题意有方程组 3D - E=- 36, 2D+4E -F=20, 8D+6E+F=- 100. D=- 11, ∴ E=3,F=- 30.∴圆的方程为 x 2+y 2- 11x+3y -30=0.(理)已知点 P 是圆 x 2+y 2=4 上一动点,定点 Q ( 4, 0) .( 1)求线段 PQ 中点的轨迹方程;( 2)设∠ POQ 的均分线交 PQ 于 R ,求 R 点的轨迹方程 .解:( 1)设 PQ 中点 M ( x , y ),则 P ( 2x - 4, 2y ),代入圆的方程得(x - 2)2+y 2=1.( 2)设 R ( x , y ),由| PR |= |OP|= 1 ,|RQ| |OQ | 2设 P ( m ,n ),则有3x4m=,n=3y,2代入 x 2+y 2=4 中,得 ( x - 4) 2+y 2=16( y ≠ 0) .39研究创新9.已知点 P 到两个定点 M (- 1, 0)、 N ( 1, 0)距离的比为 2,点 N 到直线 PM 的距离为 1,求直线 PN 的方程 .解:设点 P 的坐标为( x ,y ),由题设有|PM |= 2,|PN |即 (x 1) 2y 2 = 2 · (x 1) 2y 2 ,整理得 x 2+y 2-6x+1=0.①因为点 N 到 PM 的距离为 1, |MN |=2,所以∠ PMN =30°,直线 PM 的斜率为±3.3直线 PM 的方程为 y=±3( x+1) .3②将②代入①整理得x 2- 4x+1=0.解得 x 1=2+ 3 , x 2=2- 3 .代入②得点 P 的坐标为( 2+ 3 ,1+ 3 )或( 2- 3,-1+ 3 );( 2+ 3,-1-3 )或( 2- 3,1- 3).直线 PN 的方程为 y=x - 1 或 y=- x+1. ●思悟小结1.直线和圆的地点关系有且仅有三种:相离、相切、订交.判断方法有两个:几何法,比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小;代数法,看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数 .2.解决直线与圆的地点关系的相关问题,常常充足利用平面几何中圆的性质使问题简化.●教师下载中心 教学设计点睛1.相关直线和圆的地点关系,一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确立.2.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径,求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线组成的直角三角形;与圆订交时,弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半组成的直角三角形.3.相关圆的问题,注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确立点与圆、直线与圆、圆与圆的地点关系时,常常要用到距离,所以,两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应娴熟掌握,灵巧运用.拓展题例【例 1 】已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,必定点为A( 1, 2),要使过定点A (1, 2)作圆的切线有两条,求 a 的取值范围 .解:将圆的方程配方得(x+a)2+( y+1)243a2C 的坐标为(-a,-2=4,圆心21),半径43a2r=4,条件是 4- 3a2> 0,过点 A( 1, 2)所作圆的切线有两条,则点 A 必在圆外,即(1a)2(21)2>43a 2.242化简得 a +a+9 > 0.4-3a2> 0,由a2 +a+9> 0,-2 3< a<2 3,33解之得a∈R.∴-2 3<a<2 3. 33故 a 的取值范围是(-23,2 3).33【例 2】已知⊙ O 方程为 x2+y2=4,定点 A( 4, 0),求过点 A 且和⊙ O 相切的动圆圆心的轨迹 .解析:两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可获得动圆圆心在运动中所应知足的几何条件,而后将这个几何条件坐标化,即获得它的轨迹方程 .解法一:设动圆圆心为P( x, y),因为动圆过定点 A,所以 |PA|即动圆半径 .当动圆 P 与⊙ O 外切时, |PO |=|PA|+2;当动圆 P 与⊙ O 内切时, |PO |=|PA|-2.综合这两种状况,得 ||PO|- |PA||=2.将此关系式坐标化,得| x2y2- ( x 4)2y2|=2.化简可得( x- 2)2-y2=1. 3解法二:由解法一可得动点P 知足几何关系||OP|- |PA||=2,即 P 点到两定点 O、 A 的距离差的绝对值为定值2,所以P点轨迹是以O、A为焦点, 2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点( 2, 0),实半轴长=1,半焦距c =2,虚半轴长ab = c2a 2= 3 ,所以轨迹方程为( x - 2) 2- y 2=1.3。
高中数学高考高三理科一轮复习资料第8章 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
题型探究 题型一 直线和圆相交 例 1 已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线 l:(2m+1)x +(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:无论 m 取何实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程.
高中数学
8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考纲点击 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系; 能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
说基础
课前预习读教材
考点梳理 一、直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有三种:相离、相切、相交. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: (1)代数法:利用判别式 Δ>0⇔① 判别式 Δ=0⇔② ――→ 2 Δ=b -4ac Δ<0⇔③ (2)几何法: 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关 系 d<r⇔④______;d=r⇔⑤______;d>r⇔⑥______.
说考点
拓展延伸串知识
疑点清源 一、圆的切线方程的求法 1.求过圆上的一点(x0,y0)的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k,由垂直关系知切线斜率为 1 - k ,由点斜式方程可求切线方程.若切线斜率不存在,则由 图形写出切线方程 x=x0.
2.求过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程 (1)几何方法 当斜率存在时,设为 k,切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 kx-y+y0-kx0=0.由圆心到直线的距离等于半径, 即可得出切 线方程. (2)代数方法 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),即 y=kx-kx0+y0,代入 圆方程,得一个关于 x 的一元二次方程,由 Δ=0,求得 k,切 线方程即可求出. 【说明】 过圆外一点作圆的切线有两条, 若在解题过程中, 只解出一个答案,说明另一条直线的斜率不存在.
高考数学复习:直线与圆、圆与圆的位置关系
当直线y=x+b过点(0,3)时,b=3;
当直线y=x+b与y=3- 4x x2相切时,由点到直线的距离 公式,得2= 2 3 b , 所以|b-1|=2 2 .结合图形知
2
b=1-2 2 . 所以1-2 2 ≤b≤3.
【状元笔记】 求直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何法:用圆的几何性质求解,运用弦心距、半径及 弦的一半表示的线段构成的直角三角形, 计算弦长|AB|=2 r2 d2 .
2.已知点P(2,2),点Q是曲线C:(x2+y2-1)(x2+y2-2)=0上 一动点,则|PQ|的最小值是________.
【解析】曲线C由两部分组成,圆M:x2+y2=1与圆 N:x2+y2=2,如图,
要使|PQ|最小,需点Q在圆N上且在直线OP上, 此时,|PQ|=|OP|- 2 = 2 , 所以|PQ|的最小值是 2 . 答案: 2
【解析】(1)选A.直线l:mx-y+1-m=0过定点(1,1),因为 点(1,1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.
【一题多解微课】 本例题(1)还可以采用以下方法求解: (几何法)选A.由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离 d= m 1 5, 故直线l与圆相交.
m2 1
A.[1-2 2 ,1+2 2 ] C.[-1,1+2 2 ]
B.[1- 2 ,3] D.[1-2 2 ,3]
【解析】选D.因为y=3- 4x x2 ,所以1≤y≤3, 所以(x-2)2+(y-3)2=4(1≤y≤3),即曲线y=3- 4x x2 表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆.直线y=x+b与 曲线y=3- 4x x2 有公共点,表示两曲线至少有一个公共 点.符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切 的两直线之间.
9.5 直线与圆的位置关系
d < r ⇔ 相交 d = r ⇔ 相切 d > r ⇔ 相离
一般宜用几何法。
(1)过定点P(x0,y0)的圆的切线: ①点P(x0,y0)在圆上:则圆x2+y2=r2的切线方程为 x0x+y0y=r2; 圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的切线方程为 x + x0 y0 + y x0x+y0y+D +E ·+F=0. 2 2
24 , 7
高考总复习·数学 高考总复习 数学
(2)连结CP、CQ,则CP⊥PM,CQ⊥QM. ∴M、P、Q、C四点共圆. 其圆是以CM为直径的圆. ∵C(1,-3),∴CM的中点为( |CM|=
3 2
2
1 , 2
=5.
).
(2 − 1) + (4 + 3)
2
2
高考总复习·数学 高考总复习 数学
1 2 25 ∴以CM为直径的圆的方程为(x ) =. 2 2 1 3 2 25 2+(y+3)2-1-[(x2∴PQ的方程为(x-1) ) +(y) ] 2 2 2
3 2
)2+(y
=0,即
x+7y+19=0.
高考总复习·数学 高考总复习 数学 求圆的圆心坐标、 求圆的圆心坐标、半径和方程等
已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于 P,Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求该圆的圆心坐标及 半径。 思路分析: 思路分析: 由于OP⊥OQ,所以kOP·kOQ=-1,问题可解.
高考总复习·数学 高考总复习 数学 (2)弦长最小值时,l ⊥AC , 由kAC= - 1/2, 所以的方 程为2x-y-5=0. 【点评与感悟】用直线系方程求点。若证明一条直线恒 点评与感悟】 过定点或求一条直线必过定点,通常采用分离系数法: 即将原方程改变成:f(x, y)+mg(x,y)=0的形式,此式的 成立与m的取值无关,从而解出定点。
高考数学复习考知识解析与专题练习24---直线与圆、圆与圆的位置关系
∴0<m<1 和-1<m<0 都是直线与圆相交的充分不必要条件. 7 . 过 点 A(3,5) 作 圆 O : x2 + y2 - 2x - 4y + 1 = 0 的 切 线 , 则 切 线 的 方 程 为
________________. 答案 5x-12y+45=0 或 x-3=0 解析 化圆 x2+y2-2x-4y+1=0 为标准方程得(x-1)2+(y-2)2=4,其圆心为(1,2),半 径为 2, ∵|OA|= (3-1)2+(5-2)2= 13>2,∴点 A(3,5)在圆外.显然,当切线斜率不存在时,
故有 61-m- 11=5,解得 m=25-10 11.
6-3 3
4
因为 kMN=5-1=4,所以两圆公切线的斜率是-3.
4
43×1+3-b
设切线方程为 y=-3x+b,则有
432+1 = 11.
13 5 解得 b= 3 ±3 11.
13 5 容易验证,当 b= 3 +3
11时,直线与圆 x2+y2-10x-12y+m=0 相交,舍去.
A.0<r≤1
B.0<r<1
C.r≥1
D.r>1
答案 D 1
解析 圆心到直线的距离 d= cos2α+sin2α=1,
故 r>1. (2)(多选)已知圆 M 的一般方程为 x2+y2-8x+6y=0,则下列说法中正确的是( )
ห้องสมุดไป่ตู้
A.圆 M 的圆心为(4,-3)
B.圆 M 被 x 轴截得的弦长为 8
C.圆 M 的半径为 25
题组二 教材改编 2.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是( )
高考数学—— 直线与圆的位置关系-考点复习
判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是: (1)确定两圆的圆心坐标和半径长;
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距 d,求 r1 + r2,| r1-r2 | ;
3
(3)比较 d , r1 + r2 ,| r1-r2 | 的大小,写出结论.
典例 2 圆 O1: x2 + y2 − 2x = 0 和圆 O2 : x2 + y2 − 4 y = 0 的位置关系是
的位置关系是 A.相交 C.相离 【答案】A
B.相切 D.不确定
【名师点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离,属于中档题.判定直线与圆的位置关系可 以联立方程,利用方程组的解的个数判断位置关系,也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关
系来确定直线与圆位置关系.求解本题时,直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径,求出斜率 k , 再根据圆 D 的圆心到直线的距离,判断其与直线的关系.
5
只有一条;若点在圆外,切线有两条;若点在圆内,则切线不存在.
典例 4 已知点 P( 2 +1, 2 − 2) ,点 M(3,1),圆 C:(x-1)2+(y-2)2=4.
(1)求过点 P 的圆 C 的切线方程; (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程,并求出切线长.
【答案】(1) x − y +1− 2 2 =0 ;(2)过点 M 的圆 C 的切线方程为 x-3=0 或 3x-4y-5=0,切线长为
1.已知半圆 (x −1)2 + ( y − 2)2 = 4( y ≥ 2) 与直线 y= k ( x −1) + 5 有两个不同交点,则实数 k 的取值范围是
A. −
5, 2
5 2
高考数学第一轮单元复习课件 第45讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
► 探究点2 圆的切线问题
例 2 已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若 C 的切线在 x 轴,y 轴上的截距的绝对值相等,求 此切线方程; (2)从圆 C 外一点 P(x1,y1)向圆引一条切线,切点为 M, O 为原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的 P 点的坐标.
【思路】 (1)依据截距关系确定切线的斜率,设出直 线方程,利用点到直线的距离等于半径求解;
(2)首先确定P点的轨迹方程,从而确定|PM|最短时点 P的坐标满足的关系式.
【解答】 (1)∵切线在 x 轴,y 轴上的截距的绝对值 相等,∴切线的斜率是±1.设切线的方程为 y=x+b 或 y= -x+b,由点到直线的距离公式解得切线的方程为:x+y -3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.
变式题 求圆心在直线 x+y=0 上,且过两圆 x2+y2 -2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0 的交点的圆的 方程.
【思路】 求出两圆的交点坐标,利用圆心到两交点的 距离都相等于半径,求出圆心和半径,也可以利用两交 点连结所得弦的垂直平分线与直线x+y=0的交点,就 是圆心;还可以利用圆系,先设出过两圆点的圆的方程, 再求系数.
①
x d 2 y2 r22 ②
将①②两式联立,研究此方程组的解.
如果方程组有解,且只有两解,这时相应的两 圆 相交于两点 。如图 45-2.
图 45-2
如果方程组有唯一解,这时两圆 相切(外切或内切) 。如 图 45-3.
图 45-3
如果方程组无解,这时两圆 外离或内含 。如图 45-4.
知识梳理
1.直线与圆的位置关系的判定方法 (1)代数法(或 Δ 法):看由直线与圆的方程组成的方程组有 无实数解。 将直线 l 的方程与圆 C 的方程联立,消元后得到关于 x(或 y)的一元二次方程. ①当 Δ>0 时,方程有 两 解,此时方程组也有两组实数 解,说明直线 l 与圆 C 相交 ; ②当 Δ=0 时,方程有唯一 解,此时方程组也有唯一一组 解,说明直线 l 与圆 C 相切 ;
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1.直线与圆的位置关系(半径为r ,圆心到直线的距离为d )Δ<0 Δ=0 Δ>02.圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1,r 2,d =|O 1O 2|)|r -r |<d <二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.②过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2. ③过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形,且有r 2=d 2+221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l :mx -y +1-m =0与圆C :x 2+(y -1)2=5的位置关系是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法: (1)几何法:利用d 与r 的关系.(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线方程为( )A .3x +4y -4=0B .4x -3y +4=0C .x =2或4x -3y +4=0D .y =4或3x +4y -4=0 (2)已知圆C :x 2+y 2-2x -4y +1=0上存在两点关于直线l :x +my +1=0对称,经过点M (m ,m )作圆C 的切线,切点为P ,则|MP |=________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2+b 2=2c 2(c ≠0),则直线ax +by +c =0被圆x 2+y 2=1所截得的弦长为( ) A.12 B .1 C.22D.2 (2)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为( ) A .4π B .2π C .9π D .22π跟踪练习:1.已知圆的方程是x 2+y 2=1,则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222,的切线方程是________. 2.若直线kx -y +2=0与圆x 2+y 2-2x -3=0没有公共点,则实数k 的取值范围是________.3.设直线y =kx +1与圆x 2+y 2+2x -my =0相交于A ,B 两点,若点A ,B 关于直线l :x +y =0对称,则|AB |=________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离变式练习:1.若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0外切,则m =( )A .21B .19C .9D .-112.(变结论)若本例两圆的方程不变,则两圆的公共弦长为________.[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤: (1)确定两圆的圆心坐标和半径长;(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ,求r 1+r 2,|r 1-r 2|; (3)比较d ,r 1+r 2,|r 1-r 2|的大小,写出结论.课后作业1.若直线2x +y +a =0与圆x 2+y 2+2x -4y =0相切,则a 的值为( ) A .±5 B .±5 C .3 D .±32.与圆C 1:x 2+y 2-6x +4y +12=0,C 2:x 2+y 2-14x -2y +14=0都相切的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条3.直线y =kx +3被圆(x -2)2+(y -3)2=4截得的弦长为23,则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B .-π3或π3 C .-π6或π6 D.π64.过点(3,1)作圆(x -1)2+y 2=r 2的切线有且只有一条,则该切线的方程为( ) A .2x +y -5=0 B .2x +y -7=0 C .x -2y -5=0 D .x -2y -7=05.若圆x 2+y 2+2x -6y +6=0上有且仅有三个点到直线x +ay +1=0的距离为1,则实数a 的值为( ) A .±1 B .±24 C .± 2 D .±326.过点P (1,-2)作圆C :(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则AB 所在直线的方程为( ) A .y =-34 B .y =-12 C .y =-32 D .y =-147.在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________. 8.若P (2,1)为圆(x -1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为________. 9.过点P (-3,1),Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2+y 2=1相切,则a 的值为________.10.点P 在圆C 1:x 2+y 2-8x -4y +11=0上,点Q 在圆C 2:x 2+y 2+4x +2y +1=0上,则|P Q |的最小值是________.11.已知圆C 1:x 2+y 2-2x -6y -1=0和圆C 2:x 2+y 2-10x -12y +45=0. (1)求证:圆C 1和圆C 2相交;(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.12.已知圆C 经过点A (2,-1),和直线x +y =1相切,且圆心在直线y =-2x 上. (1)求圆C 的方程;(2)已知直线l 经过原点,并且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的方程.提高练习1.过圆x 2+y 2=1上一点作圆的切线,与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ,B 两点,则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C .2 D .32.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l :y =2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→=0,则点A 的横坐标为________. 3.已知圆C :x 2+(y -a )2=4,点A (1,0).(1)当过点A 的圆C 的切线存在时,求实数a 的取值范围; (2)设AM ,AN 为圆C 的两条切线,M ,N 为切点,当|MN |=455时,求MN 所在直线的方程.。
直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2024届高考数学一轮复习
( − ) +[ − (−)] = .所以| AB |= || − =
.
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(2) 已知圆 M : x 2+ y 2-2 x -2 y -2=0,直线 l :2 x + y +2=0, P
为直线 l 上的动点,过点 P 作圆 M 的切线 PA , PB ,切点分别为 A , B .
组不同的解,则直线与圆相交.
(
√
)
(2) (RA选一P92例2改编)若过一点向圆作切线,切线有两条,则点
在圆外.
(
√
)
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(3) (RA选一P96例5改编)若两圆没有公共点,则两圆相离.
(
√
)
(4) (RA选一P98习题2.5第7题改编)若圆 O 1: x 2+ y 2+ D 1 x + E 1 y
2. (RA选一P91例1改编)直线 x + y +1=0与圆( x -1)2+ y 2=2的位
置关系是( A )
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定
3. (RA选一P98习题2.5第3题改编)已知圆 x 2+ y 2=4截直线 y = k ( x
-2)所得弦的长
度为2,则实数 k 的值为(
第八单元
第53课时
解析几何
直线与圆、圆与圆的位置关系
目
录
01
课前自学
02
课堂导学
【课时目标】
理解直线与圆的位置关系;理解圆与圆的位置关系;了
解直线和圆的简单应用.
【考情概述】
直线与圆、圆与圆的位置关系是新高考考查的重点
内容之一,常以选择题、填空题的形式进行考查,难度中等,属于
热点问题.
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第四讲+直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(3)由(x2+y2-2x-6y+1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,得两 圆的公共弦所在直线的方程为 4x+3y-22=0.
故两圆的公共弦的长为
2
32-|4+34×2+3-3222|2=254.
【题后反思】 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间 的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法. (2)若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方 程作差消去 x2,y2 项得到.
解析:由 x2+y2-2x-2y+1=0 得(x-1)2+(y-1)2=1, 因为直线 x+my=2+m 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相交,
所以|1+m1-+2m-2 m|<1,即 1+m2>1,
所以 m≠0,即 m∈(-∞,0)∪(0,+∞). 答案:D
【题后反思】判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用 d 与 r 的关系判断. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可 判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于 动直线问题.
解:由题意得圆心 C(1,2),半径 r=2. (1)∵( 2+1-1)2+(2- 2-2)2=4, ∴点 P 在圆 C 上. 又 kPC=2-2+12- -12=-1,
∴切线的斜率 k=-k1PC=1. ∴过点 P 的圆 C 的切线方程是 y-(2- 2)=x-( 2+1), 即 x-y+1-2 2=0.
如图 D72,设 P(0,-2),PA,PB 分别切圆 C 于 A,B 两点, PC= 22+22=2 2,θ=∠APB,α=π-θ.
图 D72
在 Rt△PAC 中,sin 2θ=PrC= 410, 所以 cos 2θ= 1-sin22θ= 46. 所以 sinθ=2sin 2θcos 2θ=2× 410× 46= 415,sin α=sin (π-θ) = 415.故选 B. 答案:B
2020年高考数学(文科)一轮复习 第47讲直线与圆 圆与圆的位置关系
听课手册第47讲直线与圆圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相离无实数解(续表)位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相切d=r相交22.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示(R>r)公共点个数几何特征(|O1O2|=d)代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的情况)外离0无实数解外切1两组相同实数解相交2两组不同实数解内切1 两组相同实数解内含0 无实数解常用结论 1.圆的切线(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x+y 0y=r 2;(2)过圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2;(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x+y 0y=r 2.2.直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成直角三角形,且有r 2=d 2+(12a)2.3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.题组一 常识题1.[教材改编] 若直线x-y+1=0与圆(x-a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是 . 2.[教材改编] 圆x 2+y 2-4=0与圆x 2+y 2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为 ,弦长为 .3.[教材改编] 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是 .4.[教材改编] 圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为 .5.[教材改编] 过坐标原点O 作圆x 2+y 2-6x-8y+20=0的切线,则切点到O 的距离为 .题组二 常错题◆索引:求圆的切线或弦长时易忽视切线斜率不存在的情况;两圆相切时易忽视有内切与外切两种情况.6.已知圆C 1:(x-a )2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b )2+(y+2)2=1相切,则(a+b )2= . 7.过点A (3,5)作圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 .8.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l 的方程为.探究点一直线与圆的位置关系例1(1)[2018·云南昆明二模]已知直线l:y=√3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2√2,则实数m的值等于()A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或1(2)[2019·河北唐山二中月考]在△ABC中,若a sin A+b sin B-c sin C=0,则圆C:x2+y2=2与直线l:ax+by+√2c=0的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定[总结反思]判断直线与圆的位置关系的一般方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d<r,则直线与圆相交.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数来判断.变式题(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能(2)已知圆C:x2+y2-6x+5=0,则圆心C的坐标为;若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k的值为.探究点二圆的切线与弦长问题角度1过圆上一点的切线问题例2(1)已知圆的方程是x2+y2=1,则经过圆上一点M(1,0)的圆的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x-y=1(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程是()A. x+2y-5=0B. x-2y+3=0C. 2x+y-4=0D. 2x-y=0[总结反思]过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:若切线斜率存在,先求切点与圆心连线,再由点斜式方程可求出切线方程;若切线斜率不的斜率k(k≠0),由垂直关系知切线斜率为-1k存在,则由图形得出切线方程x=x0.变式题已知点P(√2+1,2-√2),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为.角度2过圆外一点的切线问题例3(1)[2018·茂名一模]从坐标原点O向圆C:x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.(2)若直线y=k(x+3)与圆x2+y2-2x=3相切,则k= .[总结反思]处理切线、弦长问题的策略:(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.变式题 [2018·重庆三诊] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,过第一象限内的点P (a ,b )作圆O 的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则a+b 的最大值为 ( ) A. 3 B. 3√2 C. 4√2 D. 6角度3 有关弦长问题例4 (1)[2018·全国卷Ⅰ] 直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= . (2)[2018·湖南益阳4月调研] 已知斜率为1,且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆C :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为√3,则b= .[总结反思] 解有关弦长问题的两种方法:(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形,且r 2=(l 2)2+d 2.(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2(k ≠0).变式题 已知直线l :kx-y-3=0与圆O :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则k=( )A. 2B. ±√2C. ±2D. √2探究点三 圆与圆的位置关系例5 (1)[2018·四川绵阳三诊] 已知圆C 1:x 2+y 2=r 2,圆C 2:(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,给出以下结论:①a (x 1-x 2)+b (y 1-y 2)=0;②2ax 1+2by 1=a 2+b 2;③x 1+x 2=a ,y 1+y 2=b.其中正确结论的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2)[2018·辽宁丹东二模] 圆心坐标为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0相外切,则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x+2=0 B. x 2+y 2-4x+2=0C. x2+y2+4x=0D. x2+y2-4x=0[总结反思](1)判断两圆的位置关系,有两种方法:一是代数法,联立两圆方程,消去其中一个未知数,通过对所得方程的根进行判断,从而可得两圆关系;二是几何法,通过计算两圆的圆心距与两圆的半径和或差进行比较,从而可得两圆的位置关系.(2)当两圆相交时,公共弦所在直线的方程可由两个圆的方程相减得到,而且在解决圆的有关问题时,注意合理利用圆的几何性质简化计算.变式题(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离(2)过两圆x2+y2+4x+y=-1和x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程为.(3)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.完成课时作业(四十七)。
2024年对口高考数学二轮复习专题七—直线与圆的方程
2024年对口高考数学二轮复习专题七:直线与圆的方程1.直线与圆的位置关系:设直线l :Ax +By +C =0和圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2,则圆心到直线l 的距离d =||Aa +Bb +C A 2+B 2.若l 与圆C 相离⇔d >r ;l 与圆C 相切⇔d =r ;l 与圆C 相交⇔d <r .若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来研究,若有两解,即Δ>0,则相交;若有一解,即Δ=0,则相切;若无解,即Δ<0,则相离. 2.圆的弦和切线:圆的半径为r ,直线l 与圆相交于A 、B ,圆心到l 的距离为d ,则|AB |=2r 2-d 2.过圆x 2+y 2=r 2上一点M (x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.练习1、已知直线l 经过两条直线2x ﹣3y +10=0和x +2y ﹣2=0的交点.且垂直于直线3x ﹣2y +4=0,则直线l 的方程为( )A .2x +3y ﹣2=0B .2x +3y +2=0C .2x ﹣3y +10=0D .2x ﹣3y ﹣10=02、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2﹣6x +5=0相切,则k 的值为( )A .﹣1或19B .1或﹣19C .1D .±103、直线x ﹣y +8=0与圆x 2+y 2=r 2相切,则r 的值是( )A .4B .2C .2D .4、已知过点P (2,2)的直线l 与圆(x ﹣1)2+y 2=5相切,则直线l 的斜率为( )A .1B .C .2D .5、过圆x 2+(y ﹣1)2=9外一点P (3,5)向圆引切线,则点P 与切点的距离为( )A .2B .3C .4D .56、已知点P 在直线l :x ﹣y ﹣6=0上,点Q 在圆O :x 2+y 2=2上,则|PQ |的最小值为( )A .B .C .D .7.圆x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣10=0上的点到直线x +y ﹣14=0的最大距离与最小距离的差是( )A .30B .18C .6D .58、已知直线x ﹣y ﹣4=0分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 是圆x 2+y 2=2上的一个动点,则△ABP 面积的取值范围是( )A .[4,8]B .[4,12]C .[8,12]D .[12,16]9、从点P (4,5)向圆(x ﹣2)2+y 2=4引切线,切线方程为________________________10、过点(1,2)作圆x 2+y 2=5的切线,则切线方程为( )A .x =1B .3x ﹣4y +5=0C .x +2y ﹣5=0D .x =1或x +2y ﹣5=011、过点P (2,1)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则AB 所在的直线方程为 .12、过点P (2,1)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则|AB |=13、过点P (1,3)作圆O :x 2+y 2=1的两条切线(O 为坐标原点),切点分别为A ,B ,则P A →·PB→=____14、过直线0x y +-=上点P 作圆221x y +=的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P 的坐标是__________.15、如图所示,已知两点A (﹣3,0),B (3,2)在圆C 上,直线:x +y ﹣2=0过圆心C 。
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7.6 直线与圆的位置关系●知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ>0,直线和圆相交.②Δ=0,直线和圆相切.③Δ<0,直线和圆相离.方法二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较.①d <R ,直线和圆相交.②d =R ,直线和圆相切.③d >R ,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.●点击双基1.设m >0,则直线2(x +y )+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析:圆心到直线的距离为d =21m +,圆半径为m . ∵d -r =21m +-m =21(m -2m +1)=21(m -1)2≥0, ∴直线与圆的位置关系是相切或相离.答案:C2.圆x 2+y 2-4x +4y +6=0截直线x -y -5=0所得的弦长等于 A.6 B.225 C.1 D.5 解析:圆心到直线的距离为22,半径为2,弦长为222)22()2(-=6. 答案:A3.圆x 2+y 2-4x =0在点P (1,3)处的切线方程为A.x +3y -2=0B.x +3y -4=0C.x -3y +4=0D.x -3y +2=0解法一: x 2+y 2-4x =0y =kx -k +3⇒x 2-4x +(kx -k +3)2=0.该二次方程应有两相等实根,即Δ=0,解得k =33. ∴y -3=33(x -1),即x -3y +2=0. 解法二:∵点(1,3)在圆x 2+y 2-4x =0上,∴点P 为切点,从而圆心与P 的连线应与切线垂直.又∵圆心为(2,0),∴1230--·k =-1. 解得k =33,∴切线方程为x -3y +2=0. 答案:D4.圆心在直线2x -y -7=0上的圆C 与y 轴交于两点A (0,-4)、B (0,-2),则圆C 的方程为____________.解析:∵圆C 与y 轴交于A (0,-4),B (0,-2),∴由垂径定理得圆心在y =-3这条直线上.又已知圆心在直线2x -y -7=0上, y =-3, 2x -y -7=0.∴圆心为(2,-3),半径r =|AC |=22)]4(3[2---+=5.∴所求圆C 的方程为(x -2)2+(y +3)2=5.答案:(x -2)2+(y +3)2=55.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点,则k 的取值范围是___________. 解析:利用数形结合.答案:-1<k ≤1或k =-2●典例剖析【例1】 已知圆x 2+y 2+x -6y +m =0和直线x +2y -3=0交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ (O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标及半径.剖析:由于OP ⊥OQ ,所以k OP ·k OQ =-1,问题可解.解:将x =3-2y 代入方程x 2+y 2+x -6y +m =0,得5y 2-20y +12+m =0.设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),则y 1、y 2满足条件y 1+y 2=4,y 1y 2=512m +. ∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1=3-2y 1,x 2=3-2y 2,∴x 1x 2=9-6(y 1+y 2)+4y 1y 2. ∴联立 解得x =2,∴m =3,此时Δ>0,圆心坐标为(-21,3),半径r =25. 评述:在解答中,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧,但必须注意这样的交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】 求经过两圆(x +3)2+y 2=13和x 2+(y +3)2=37的交点,且圆心在直线x -y -4=0上的圆的方程. 剖析:根据已知,可通过解方程组(x +3)2+y 2=13, x 2+(y +3)2=37由圆心在直线x -y -4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为(x +3)2+y 2-13+λ[x 2+(y +3)2-37]=0,再由圆心在直线x -y -4=0上,定出参数λ,得圆方程.解:因为所求的圆经过两圆(x +3)2+y 2=13和x 2+(y +3)2=37的交点,所以设所求圆的方程为(x +3)2+y 2-13+λ[x 2+(y +3)2-37]=0. 展开、配方、整理,得(x +λ+13)2+(y +λλ+13)2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++. 圆心为(-λ+13,-λλ+13),代入方程x -y -4=0,得λ=-7. 故所求圆的方程为(x +21)2+(y +27)2= 289. 评述:圆C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,圆C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,若圆C 1、C 2相交,那么过两圆公共点的圆系方程为(x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1)+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2)=0(λ∈R 且λ≠-1).它表示除圆C 2以外的所有经过两圆C 1、C 2公共点的圆.特别提示 在过两圆公共点的图象方程中,若λ=-1,可得两圆公共弦所在的直线方程.【例3】 已知圆C :(x -1)2+(y -2)2=25,直线l :(2m +1)x +(m +1)y -7m -4=0(m ∈R ).(1)证明:不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点;(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析:直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得.(1)证明:l 的方程(x +y -4)+m (2x +y -7)=0.2x +y -7=0, x =3, x +y -4=0, y =1,即l 恒过定点A (3,1).∵圆心C (1,2),|AC |=5<5(半径),∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点.(2)解:弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC =-21, ∴l 的方程为2x -y -5=0.评述:若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢?思考讨论得圆上两点, ∵m ∈R ,∴ 得求直线过定点,你还有别的办法吗?●闯关训练夯实基础1.若圆(x -3)2+(y +5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x -3y =2的距离等于1,则半径r 的范围是A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]解析:数形结合法解.答案:A2.已知直线ax +by +c =0(ab c ≠0)与圆x 2+y 2=1相切,则三条边长分别为|a |、|b |、|c |的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在 解析:由题意得22|00|b a c b a ++⋅+⋅=1,即c 2=a 2+b 2,∴由|a |、|b |、|c |构成的三角形为直角三角形.答案:B3.若圆x 2+y 2+mx -41=0与直线y =-1相切,且其圆心在y 轴的左侧,则m 的值为____________. 解析:圆方程配方得(x +2m )2+y 2=412+m ,圆心为(-2m ,0). 由条件知-2m <0,即m >0. 又圆与直线y =-1相切,则0-(-1)=412+m ,即m 2=3,∴m =3. 答案:34.直线x +2y =0被曲线x 2+y 2-6x -2y -15=0所截得的弦长等于____________.解析:由x 2+y 2-6x -2y -15=0,得(x -3)2+(y -1)2=25.知圆心为(3,1),r =5.由点(3,1)到直线x +2y =0的距离d =5|23|+=5. 可得21弦长为25,弦长为45. 答案:455.自点A (-3,3)发出的光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在的直线与圆x 2+y 2-4x -4y +7=0相切,求光线l 所在直线的方程.解:圆(x -2)2+(y -2)2=1关于x 轴的对称方程是(x -2)2+(y +2)2=1. 设l 方程为y -3=k (x +3),由于对称圆心(2,-2)到l 距离为圆的半径1,从而可得k 1=-43,k 2=-34.故所求l 的方程是3x +4y -3=0或4x +3y +3=0. 6.已知M (x 0,y 0)是圆x 2+y 2=r 2(r >0)内异于圆心的一点,则直线x 0x +y 0y =r 2与此圆有何种位置关系?分析:比较圆心到直线的距离与圆半径的大小. 解:圆心O (0,0)到直线x 0x +y 0y =r 2的距离为d =20202y x r +.∵P (x 0,y 0)在圆内,∴2020y x +<r . 则有d >r ,故直线和圆相离.培养能力7.方程ax 2+ay 2-4(a -1)x +4y =0表示圆,求a 的取值范围,并求出其中半径最小的圆的方程.解:(1)∵a ≠0时,方程为[x -a a )1(2-]2+(y +a 2)2=22)22(4a a a +-, 由于a 2-2a +2>0恒成立,∴a ≠0且a ∈R 时方程表示圆.(2)r 2=4·2222a a a +-=4[2(a 1-21)2+21], ∴a =2时,r min 2=2.此时圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2.8.(文)求经过点A (-2,-4),且与直线l :x +3y -26=0相切于(8,6)的圆的方程. 解:设圆为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,依题意有方程组 3D -E =-36,2D +4E -F =20,8D +6E +F =-100.D =-11,E =3,F =-30.∴圆的方程为x 2+y 2-11x +3y -30=0.(理)已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点,定点Q (4,0).(1)求线段PQ 中点的轨迹方程;(2)设∠POQ 的平分线交PQ 于R ,求R 点的轨迹方程.解:(1)设PQ 中点M (x ,y ),则P (2x -4,2y ),代入圆的方程得(x -2)2+y 2=1.(2)设R (x ,y ),由||||RQ PR =||||OQ OP =21, 设P (m ,n ),则有m =243-x , ∴n =23y , 代入x 2+y 2=4中,得(x -34)2+y 2=916(y ≠0). 探究创新 9.已知点P 到两个定点M (-1,0)、N (1,0)距离的比为2,点N 到直线PM 的距离为1,求直线PN 的方程.解:设点P 的坐标为(x ,y ), 由题设有||||PN PM =2, 即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-,整理得x 2+y 2-6x +1=0.①因为点N 到PM 的距离为1,|MN |=2,所以∠PMN =30°,直线PM 的斜率为±33. 直线PM 的方程为y =±33(x +1). ②将②代入①整理得x 2-4x +1=0.解得x 1=2+3,x 2=2-3.代入②得点P 的坐标为(2+3,1+3)或(2-3,-1+3);(2+3,-1-3)或(2-3,1-3).直线PN 的方程为y =x -1或y =-x +1.●思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种:相离、相切、相交.判定方法有两个:几何法,比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小;代数法,看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题,往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化. ●教师下载中心教学点睛1.有关直线和圆的位置关系,一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径,求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形;与圆相交时,弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题,注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时,经常要用到距离,因此,两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握,灵活运用.拓展题例【例1】 已知圆的方程为x 2+y 2+ax +2y +a 2=0,一定点为A (1,2),要使过定点A (1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.解:将圆的方程配方得(x +2a )2+(y +1)2=4342a -,圆心C 的坐标为(-2a ,-1),半径r =4342a -, 条件是4-3a 2>0,过点A (1,2)所作圆的切线有两条,则点A 必在圆外,即22)12()21(+++a >4342a -. 化简得a 2+a +9>0.4-3a 2>0, a 2+a +9>0,-332<a <332, a ∈R .∴-332<a <332. 故a 的取值范围是(-332,332). 【例2】 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A (4,0),求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹.剖析:两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它的轨迹方程.解法一:设动圆圆心为P (x ,y ),因为动圆过定点A ,所以|P A |即动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时,|PO |=|P A |+2;当动圆P 与⊙O 内切时,|PO |=|P A |-2.综合这两种情况,得||PO |-|P A ||=2.将此关系式坐标化,得 |22y x +-22)4(y x +-|=2.化简可得(x -2)2-32y =1. 解法二:由解法一可得动点P 满足几何关系||OP |-|P A ||=2,即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长的双曲线,中心在OA 中点(2,0),实半轴长a =1,半焦距c =2,虚半轴长b =22a c -=3,所以轨迹方程为(x -2)2-32y =1. 由 解之得。