高考数学复习直线与圆的位置关系

7.6 直线与圆的位置关系

●知识梳理

直线和圆

1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系.

①Δ＞0，直线和圆相交.

②Δ=0，直线和圆相切.

③Δ＜0，直线和圆相离.

方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较.

①d ＜R ，直线和圆相交.

②d =R ，直线和圆相切.

③d ＞R ，直线和圆相离.

2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.

3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.

●点击双基

1.设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为

A.相切

B.相交

C.相切或相离

D.相交或相切

解析：圆心到直线的距离为d =

2

1m +，圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=2

1（m －1）2≥0， ∴直线与圆的位置关系是相切或相离.

答案：C

2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6 B.2

25 C.1 D.5 解析：圆心到直线的距离为

22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6. 答案：A

3.圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为

A.x +3y －2=0

B.x +3y －4=0

C.x －3y +4=0

D.x －3y +2=0

解法一： x 2+y 2－4x =0

y =kx －k +3

⇒x 2－4x +（kx －k +3）2=0.

该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k =

33. ∴y －3=3

3（x －1），即x －3y +2=0. 解法二：∵点（1，3）在圆x 2+y 2－4x =0上，

∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直.

又∵圆心为（2，0），∴

1230--·k =－1. 解得k =3

3，∴切线方程为x －3y +2=0. 答案：D

4.圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.

解析：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2），

∴由垂径定理得圆心在y =－3这条直线上.

又已知圆心在直线2x －y －7=0上， y =－3， 2x －y －7=0.

∴圆心为（2，－3），

半径r =|AC |=22)]4(3[2---+=5.

∴所求圆C 的方程为（x －2）2+（y +3）2=5.

答案：（x －2）2+（y +3）2=5

5.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合.

答案：－1＜k ≤1或k =－2

●典例剖析

【例1】 已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.

剖析：由于OP ⊥OQ ，所以k OP ·k OQ =－1，问题可解.

解：将x =3－2y 代入方程x 2+y 2+x －6y +m =0，得5y 2－20y +12+m =0.

设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1、y 2满足条件

y 1+y 2=4，y 1y 2=

5

12m +. ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2+y 1y 2=0.

而x 1=3－2y 1，x 2=3－2y 2，

∴x 1x 2=9－6（y 1+y 2）+4y 1y 2. ∴联立 解得x =2，

∴m =3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－21，3），半径r =25. 评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.

【例2】 求经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程. 剖析：根据已知，可通过解方程组

（x +3）2+y 2=13， x 2+（y +3）2=37

由圆心在直线x －y －4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；

也可根据已知，设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0，再由圆心在直线x －y －4=0上，定出参数λ，得圆方程.

解：因为所求的圆经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，

所以设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0. 展开、配方、整理，得（x +λ+13）2+（y +λλ+13）2=λλ++1284+22)

1()1(9λλ++. 圆心为（－

λ+13，－λ

λ+13），代入方程x －y －4=0，得λ=－7. 故所求圆的方程为（x +21）2+（y +27）2= 2

89. 评述：圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0，若圆C 1、C 2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1）+λ（x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2）=0（λ∈R 且λ≠－1）.它表示除圆C 2以外的所有经过两圆C 1、C 2公共点的圆.

特别提示 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.

【例3】 已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.

（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.

剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.

（1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0.

2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1，

即l 恒过定点A （3，1）.

∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径），

∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点.

（2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－2

1， ∴l 的方程为2x －y －5=0.

评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

得圆上两点， ∵m ∈R ，∴ 得