高等数学第一章第6节夹逼准则

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高数夹逼准则与两个重要极限

利用两个重要极限判断级数收敛性
对于形如$sum_{n=1}^{infty}frac{sin n}{n}$和$sum_{n=1}^{infty}(1 + frac{1}{n})^{n}$的级数，可以利用两个重要极限的结论判断其收敛性。
综合应用夹逼准则和两个重要极限
在判断一些复杂级数的收敛性时，可以将夹逼准则和两个重要极限结合起来使用，通过巧妙的放缩和变换，找到夹逼的级数或函数，从而判断原级数的收敛性。
解答
首先找到与原数列相关的不等式关系，即∑(ξi1)^2Δxi≤∑f(ξi)Δxi≤∑(ξi)^2Δxi。然后验证不等式两侧的数列极限是否存在且相等。对于左侧数列和右侧数列，当n趋向于无穷大时，其极限均为1/3 （可以通过定积分的几何意义或定积分计算公式进行验证）。因此根据夹逼准则，原数列的极限存在且为1/3，即函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分为1/3。
利用(1+1/x)^x在x→∞时的极限为e，可以对一些涉及指数函数的复杂表达式进行逼近处理。
在求解某些微分方程时，可以利用这两个重要极限简化方程形式或求解过程。
在概率论与数理统计中，这两个重要极限也经常出现，例如在求解某些概率分布或统计量的极限性质时。
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感谢您的观看
02
利用第二个重要极限求解幂函数、指数函数相关问题，如求
(1+x)^(1/x)在x=0处的极限值。
结合洛必达法则等其他求极限方法，可以求解更复杂的极限问
03
题。
拓展：其他常见极限形式及求解方法
∞/∞型极限
通过分子分母同除以某个趋于无穷的变量来转化为0/0型极限求解。
1^∞型极限

函数极限存在的夹逼准则

函数极限存在的夹逼准则首先，我们需要明确函数极限的定义。

设有函数$f(x)$在其中一点$a$的一些邻域内有定义，如果存在一个常数$L$，对于任意给定的正实数$\varepsilon$，都存在正实数$\delta$，使得当$0<，x-a，<\delta$时，有$，f(x)-L，<\varepsilon$成立，则称$L$是函数$f(x)$在$x=a$处的极限，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。

现在，我们来介绍夹逼准则的概念。

设有三个函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$，在其中一点$a$的一些邻域内有定义。

如果存在正实数$\delta$，当$0<，x-a，<\delta$时，有$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$成立，且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$，则可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。

根据夹逼准则的定义，我们可以证明一个函数的极限存在或不存在。

具体地，当我们找到两个函数$f(x)$和$h(x)$，满足$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$且$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=L$时，我们可以得出结论$\lim_{x\to a}g(x)=L$。

这是因为当$x$趋近于$a$时，不等式$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$右侧的函数$h(x)$和左侧的函数$f(x)$的极限都趋近于$L$，由此我们可以推断出$g(x)$的极限也趋近于$L$。

夹逼准则的重要性在于它提供了一种判断函数极限存在的方法。

它适用于各种类型的函数，包括无穷的函数，可以广泛地应用于极限的证明中。

接下来，我们将通过一些例子来说明夹逼准则的应用。

例1：证明$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$。

解：由于$-1\leq\sin\frac{1}{x}\leq 1$，我们可以得到以下不等式：$-x\leq x\sin\frac{1}{x}\leq x$当$x$趋近于$0$时，左侧和右侧的极限都为$0$。

高等数学(同济第六版)第一章第6节

高等数学同济版（实际为第六版第一章第六节）深入探讨了极限存在的准则，并详细介绍了两个重要极限。首先，阐述了函数极限与数列极限之间的紧密联系，通过定理1揭示了它们之间的关系，并给出了详细的证明过程。此外，还引入了夹逼准则，这是一个判断函数极限存在的重要工具，定理2对其进行了严谨的阐述。接下来，文档重点介绍了两个重要极限，即sinx/x在x趋向0时的极限为1，以及（1+1/x）的x次方在x趋向无穷大时的极限为自然常数e。对于这两个极限，文档不仅给出了证明过程，还通过多个例题展掌握极限运算方法以及后续课程的学习都具有重要意义。

高数夹逼准则

高数夹逼准则高数夹逼准则是微积分中的一个重要概念，它在求解极限、证明不等式等问题中具有重要的应用价值。

夹逼准则的核心思想是通过找到两个函数，一个从下方夹逼住待求的对象，另一个从上方夹逼住待求的对象，从而得到待求对象的极限或性质。

夹逼准则的应用非常广泛，不仅在数学领域中有着广泛的应用，而且在实际生活中也有着很多的应用场景。

下面将通过几个具体的案例来说明夹逼准则的应用。

我们来看一个经典的例子。

假设有一个数列{an}，其中an = 1/n，我们想要求这个数列的极限。

根据夹逼准则，我们可以找到两个函数，一个从下方夹逼住这个数列，另一个从上方夹逼住这个数列。

我们可以取下方的函数为0，上方的函数为1，即0<=an<=1，而且当n趋向于无穷大时，0和1也分别趋向于无穷大和无穷小。

因此，根据夹逼准则，我们可以得到an的极限为0。

除了求解极限，夹逼准则还可以用来证明不等式。

下面我们来看一个例子。

假设要证明对于任意的正实数x，都有x>0。

我们可以通过夹逼准则来证明这个不等式。

取下方的函数为0，上方的函数为x。

显然，0<=x，而且当x>0时，0和x也分别大于0和x。

因此，根据夹逼准则，我们可以得到x>0。

除了数列和不等式，夹逼准则还可以应用于求解极限的问题。

下面我们来看一个例子。

假设要求极限lim(x->0) [(sinx)/x]。

我们可以通过夹逼准则来求解这个极限。

首先，我们知道对于任意的实数x，都有-1<=sinx<=1。

因此，我们可以取下方的函数为-x，上方的函数为x，即-x<=sinx<=x。

而且当x趋向于0时，-x和x也分别趋向于0。

因此，根据夹逼准则，我们可以得到lim(x->0) [(sinx)/x]=1。

通过上面的例子，我们可以看到夹逼准则在求解极限、证明不等式等问题中的重要性。

夹逼准则的核心思想是通过寻找两个函数，一个从下方夹逼住待求对象，另一个从上方夹逼住待求对象，从而得到待求对象的极限或性质。

高等数学极限存在准则

x x0 ( x )
x x0 ( x )
那末 lim f ( x)存在, 且等于A. x x0 ( x)
A
A
A
（（ 1 x0
y h( x) y f (x) y g(x)
x0
）） 2
x0
准则 Ⅰ和准则 Ⅰ'称为夹逼准则. 问题: 1. 怎样使用数列夹逼准则？
回答：关键是构造数列 yn和 zn，使得对于一切正整
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC,
sin x x tan x, 即 cos x sin x 1, x
上式对于 x 0也成立. 2
当 0 x 时,
2
0 cos x 1 1 cos x
2sin2 x 2
2( x)2
x2 ,
22
lim x 2 0, lim(1 cos x) 0,
x x
3. lim xsin 1 _0___ ;
x0
x
作业
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
P55 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
第七节目录上页下页返回结束
xn
存在.
xn1
3 xn ,
xn21 3 xn ,
lim
n
x2 n1
lim(3
n
xn ),
A2 3 A, 解得 A 1 13 , A 1 13 (舍去)
2
2
lim n
xn
1
2
13 .
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1 x0 x

高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限

1 当 x > 0 时 1 x x 1 x 1 由夹逼定理得 lim x[ ] 1. x 0 x
【注】记住[x]的运算性质： x 1 [ x ] x
7
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2.【单调有界准则】
如果数列xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
18
机动目录上页下页返回结束
当 x 1 时,
有 [ x ] x [ x ] 1,
1 [ x] 1 x 1 [ x ] 1 (1 ) (1 ) (1 ) , [ x] 1 x [ x]
1 [ x ]1 1 [ x] 1 而 lim (1 ) lim (1 ) lim (1 ) e, x x x [ x] [ x] [ x] 1 [ x] lim (1 ) x [ x] 1 1 [ x ]1 1 1 e , lim (1 ) lim (1 ) x x [ x] 1 [ x] 1
2 lim x n 1 lim( 3 x n ), n
A 3 A,
2
1 13 1 13 1 13 lim x . n 解得 A , A (舍去) n 2 2 2
10
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【说明】该方法只有在证明了极限存在时，才能由递推公式，通过解方程的方法求极限，否则可能导致荒谬的结论

2
)
作单位圆的切线，得ACO .
扇形OAB的圆心角为 x ,
于是有sin x BD,
OAB的高为BD ,

高等数学1-6 同济第六版

2π
例4. 已知圆内接正 n 边形面积为
n
2π sin n 证: lim An lim πR 2 n 2π n n
证明:
R
注: 计算中注意利用
( x ) 0 重要 !
三、单调有界数列的收敛准则
准则II ：单调有界数列必有极限。
若数列{xn}满足 x1 x2 x3 xn xn1
t 1 t t
x
e
x 1 x 1 x 故 lim (1 1 ) e ( 因 lim ( 1 ) lim ( 1 x x x) e )
x
x
例5.
解: 令 t x , 则
1 t lim (1 ) t t 1 lim
t
几何平均值算术平均值
n
a1 a2 an a1 a2 an n
Cauchy不等式
第二步, 证明数列{xn}有界.
1 1 1 n 1 1 1 1 1 xn (1 ) (1 ) (1 )(1 ) 4 4 n 2 2 n n n
( 形如1 的情形要注意用此极限并 “凑”成标准型 )
课堂练习
求极限:
作业
P56-57
1/(2)(3)(4)(6)
2
4/(2)(3)
提示：利用单调有界数列有极限证明。先用归纳法证明有界，再证明单调。
下页有思考题.
思考题
(中科院2001硕士入学考题)
（研1996 ）
ε 0, 正整数 N 1 , 当n N 1 时, | yn a | ε. ε 0, 正整数 N 2 , 当n N 2 时, | zn a | ε.

高数夹逼准则与两个重要极限

高数夹逼准则与两个重要极限高数中的夹逼准则和两个重要极限是数学中非常基础而重要的概念。

夹逼准则可以帮助我们求解函数在其中一区间上的极限，而两个重要极限则可以简化我们在计算极限时的计算过程。

下面将详细介绍夹逼准则和两个重要极限。

一、夹逼准则夹逼准则是数学中一种求函数极限的方法。

它适用于其中一区间上的函数。

夹逼准则的基本思想是，如果一个函数在其中一区间内被两个函数夹住，而这两个函数恰好有相同的极限，那么被夹住的函数也会有相同的极限。

具体地说，设函数f(x)在其中一区间[a, b]上有定义。

如果存在两个函数g(x)和h(x)，满足对于所有的x∈(a, b)，有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且lim[x→a]g(x) = lim[x→a]h(x) = L，则有lim[x→a]f(x) = L。

夹逼准则的应用非常广泛，特别是可以用来求解一些比较复杂的极限。

1.正无穷大与无穷小之间的比较设函数f(x)在x→a时，当x趋于a时，f(x)的极限为正无穷大∞，即lim[x→a]f(x) = ∞。

那么对于任意的正数M，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有f(x)>M，即f(x)比任意的正数M都要大。

同样地，如果函数g(x)在x→a时，当x趋于a时，g(x)的极限为0，即lim[x→a]g(x) = 0。

那么对于任意的正数ε，存在一个正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，<δ的x，有，g(x)，<ε，即g(x)比任意的正数ε都要小。

这个极限的意义是，在计算极限时，如果我们发现函数f(x)在x→a时可以无限增大而无限接近正无穷大，那么我们可以将它近似地看作一个无穷大，这样可以简化计算过程。

同样地，如果函数g(x)在x→a时可以无限接近0，那么我们可以将它近似地看作一个无穷小。

2.正无穷大与负无穷大之间的关系如果两个函数f(x)和g(x)满足lim[x→a]f(x) = +∞，lim[x→a]g(x) = -∞，那么它们之间的关系为：当x→a时，f(x)比g(x)大无穷小。

1夹逼准则

x→0
例5 求 lim(1 − 1 )x .
x→∞
x
例6 求 lim(3 + x )2x . x→∞ 2 + x
解
原式
=
lim[(1 +
x→∞
x
1 +
) x+2 ]2 (1 + 2
x
1 +
)−4 2
=
e2.
小结
1.三个准则
夹逼准则; 单调有界准则；有界无穷小.
2.两个重要极限
设 α 为某过程中的无穷小 ,
3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
两个重要极限
(1) lim sin x = 1 x→0 x
例4
求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
例4
求
lim
x→0
1
−
cos x2
x
.
解
2sin2 x
原式 = lim x→0
2 x2
=
1
lim
sin 2
x 2
2 x→0 ( x)2
2
=
1
sin lim(
x 2
)2
2 x→0 x
∴{x }是有界的 ; n
∴ lim n→∞
xn
存在，记为A.
∵ xn+1 =
3 + xn ,
x2 n+1
=
3
+
xn ,
lim
n→∞
x2 n+1
=
lim(3
n→∞
+
xn ),
A2 = 3 + A,

函数极限存在的夹逼准则(课件全)

解析几何
夹逼准则在解析几何的具体应用
夹逼准则的发展与应用
夹逼准则有着悠久的历史渊源和不断发展的应用前景。
1 历史渊源
探讨夹逼准则的起源和发展历程
2 应用前景
展望夹逼准则在未来的应用前景
1. 定义夹逼准则 2. 夹逼定理的三个条件 3. 推导夹逼定理的过程
夹逼准则的应用
掌握夹逼准则的应用技巧，可以帮助我们更快速地求解各种函数的极限。
1
例题
通过夹逼准则求解特定函数的极限
2
实例分析
探讨夹逼准则在实际问题中的应用
3
技巧总结
总结夹逼准则的常见应用技巧和注意事项
夹逼准则的几何意义
夹逼准则在几何学中有着重要的几何意义，它可以帮助我们理解函数图像在特定区间内的行为。重点：夹逼准则的几何解释和应用示例
夹逼准则与其他求极限方法的比较
夹逼准则与L'Hopital法则等其他求解函数极限的方法有着不同的特点和适用范围。
对比：夹逼准则与其他方法的异同
夹逼准则的应用领域
夹逼准则不仅在微积分中有应用，还在代数、解析几何等领域中起到重要的作用。
微积分
利用夹逼准则计算函数极限
代数
在代数表达式中应用夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则
函数极限存在的夹逼准则是一种重要的数学工具，它帮助我们求解各种函数的极限，并在微积分中有广泛的应用。
函数极限的定义
在介绍夹逼准则之前，我们首先回顾一下函数极限的定义，它是刻画函数趋近某个值时的概念。
• 重点：函数极限的定义 • 关联：函数极限与夹逼准则
夹逼准则
夹逼准则是一种常用的求解函数极限的方法，它利用一个函数夹在两个其他函数之间的关系。特点：简单易理解、适用范围广、常用于复杂问题的求解

夹逼定理

第六节夹逼定理无穷小的比较一．夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )。

（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞→lim 。

则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞→lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧a U 内（或X x ≥时）满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。

（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。

则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞→)(lim ）。

注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。

（2）定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,(Λ,3,2,1=n )，结论仍然成立。

例1：求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→xx x 。

（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(lim ，e n n n =+∞→)11(lim ）。

例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim xx x x -→ （3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 212)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→三．无穷小的比较在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。

函数极限存在的夹逼准则

函数极限存在的夹逼准则夹逼准则是微积分中用于判定函数极限是否存在的重要原理。

它是一种特殊的极限判定方法，可以帮助我们证明一些函数极限的存在性。

在本文中，我们将讨论夹逼准则的基本思想、严格证明及应用。

夹逼准则的基本思想是，通过将待求的函数夹在两个已知函数之间，且这两个已知函数的极限相等，从而可以推得待求函数的极限存在并等于这个共同的极限值。

简单来说，如果一个函数在一段区间上可以被两个已知函数"夹逼"，那么这个函数的极限也存在。

具体地说，夹逼准则可以形式化为以下定理：设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间(a, b)上定义，且对于x在(a, b)内的任意值，都有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)成立。

如果lim[x→c]g(x) = lim[x→c]h(x) = L，则lim[x→c]f(x)也存在且等于L。

接下来，我们给出夹逼准则的严格证明。

证明：对于函数f(x)、g(x)和h(x)，我们要证明如果lim[x→c]g(x) = lim[x→c]h(x) = L，则lim[x→c]f(x)也存在且等于L。

首先，我们给出函数f(x)、g(x)和h(x)的夹逼条件：对于x在(a,b)内的任意值，都有g(x)≤f(x)≤h(x)。

由于lim[x→c]g(x) = L，根据极限的定义，对于任意小的ε>0，存在δ1>0，使得当0 < ，x - c，< δ1时，有，g(x) - L，< ε。

同样地，由于lim[x→c]h(x) = L，根据极限的定义，对于任意小的ε>0，存在δ2>0，使得当0 < ，x - c，< δ2时，有，h(x) - L， < ε。

由于我们要证明的是lim[x→c]f(x)存在且等于L，那么我们可以先选择一个较小的δ = min(δ1, δ2)来保证要使用的x值满足上述条件。

接下来，我们取一个满足0<，x-c，<δ的x值。

函数极限存在的夹逼准则(全)

y y f (x)
y 定义：f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义
lim y 0
x
o x0 x x
x0
称函数 f (x) 在点 x0 连续
反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。
例. 证明函数 y sin x 在 ( , ) 内任意一点连续 .
证: x0 ( , )
y
解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数
3
1
31
3 x2
3
x
x (1 x 2 ) x 6 (1 x 2 )3
3 x2
lim
x0
1
x6
1
31
x
x 6 (1 x 2 )3
lim x0
1
31
lim(1 x 2 )3 x0
1
x6
思考题：当x 0时，x x x 是x的几阶无穷小量？
精选2021版课件
当 x 0 时,
n 1 x 1 ～
1x n
常用等价无穷小 : 当 x 0 时,
sin x ～ x , arctan x ～x ,
tan x ～
x,
1 cos x ～
1 2
x2
,
arcsin x～ x ,
n
1
x
1～
1 n
x
ex 1 ～ x , ax 1 ～x ln a , (1 x)a 1 ～ax
lim ,
是的低阶无穷小
C ( 0) , 是的同阶无穷小
1,
lim
k
C
0,
是的等价无穷小记作 ~ 或 ~
是的 k 阶无穷小
精选2021版课件
11
例如 , 当 x 0 时

高等数学课件--D1_6极限存在准则

(1 n1 1)
n 1
n
1 n1 1
n
e
(P53~54)
n
lim (1 1 ) n
x
n 1
lim [(1 1 ) （ 1） e 1 n ] n
n
x
2012-10-12
lim (1 1 ) e x
高等数学课件
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( x)
( x )
e, 则
原式 lim
2012-10-12
x
(1 1x ) x 1 e 1
高等数学课件
目录上页下页返回结束
例7. 求
解: 原式 =
2 lim [(sin 1 cos 1 ) ] 2 x x x
x 2
x
lim (1 sin 2 ) x
作业
P56 1 (4)，(5)，(6) ; 2 (2)，(3)，(4) ; 4 (4) , (5)
2012-10-12 高等数学课件
第七节目录上页下页返回结束
2 sin x
2
2 2 x 2
x0
sin lim x 2 x0 2
1
x 2
1 2 1 2
2
例5. 已知圆内接正 n 边形面积为
An n R π cos π n n
π n
R
证明: 证: lim An lim π R 2
n
sin π n
π n
n
1 sin 2
x
1 tan x 2
(0 x π ) 2 (0 x π ) 2
sin x x tan x

函数极限存在的夹逼准则

类型的数学问题可能不适用。
无法处理无穷大情况
02 当函数极限趋于无穷大时，夹逼准则无法给出正确的
结论。
需要满足特定条件
03
使用夹逼准则需要满足一定的条件，如存在性、有限
性和顺序性，这些条件在实际应用中可能难以满足。
夹逼准则与其他极限定理的关系
01
与单调有界定理的关系
单调有界定理可以推导出夹逼准则，而夹逼准则也可以用来证明单调有界定理。
利用夹逼准则求积分极限
总结词
积分夹逼准则也是利用夹逼准则的一种形式，通过比较被积函数与夹逼函数的积分值，可以确定积分极限的存在性。
详细描述
当被积函数f(x,y)在某个区域D内单调递增或递减，且存在两个函数g(x,y)和h(x,y)，满足 g(x,y)≤f(x,y)≤h(x,y)，且g(x,y)和h(x,y)在区域D内的积分分别收敛于同一值时，则f(x,y)在区域D内的积分也收敛于该值。
03
夹逼准则的实例
利用夹逼准则求函数极限
总结词
夹逼准则是求函数极限的重要方法之一，通过比较函数值与夹逼函数值的大小关系，可以确定函数极限的存在性。
详细描述
当函数f(x)在某区间内单调递增或递减，且存在两个函数g(x)和h(x)，满足 g(x)≤f(x)≤h(x)，且g(x)和h(x)在该区间内分别收敛于同一值时，则f(x)也收敛于该值。
积分级数的夹逼准则
总结词
积分级数的夹逼准则是用来判断积分级数收敛性的重要工具。如果一个积分级数的被积函数在某个区间上被两个同阶的函数所夹逼，且这两个同阶函数的积分级数收敛，则原积分级数也收敛。
详细描述
在积分级数的夹逼准则中，关键在于找到合适的同阶函数作为上下界，使得原积分级数的被积函数被它们所夹逼。如果这两个同阶函数的积分级数收敛，则原积分级数也收敛。这个准则在研究积分级数的收敛性时非常

高数夹逼准则

高数夹逼准则高数夹逼准则是微积分中常用的一种重要方法，用于求解函数的极限值。

它是通过将待求函数与两个已知函数进行比较，利用已知函数的性质来确定待求函数的极限值。

夹逼准则的应用范围很广，可以用于证明数列的极限、函数的极限、无穷小量的性质等等。

一、数列的极限对于数列的极限，夹逼准则可以用来证明某个数列的极限存在，并求出极限值。

例如，对于数列an = sin(nπ/4)，我们希望求出该数列的极限。

这时可以利用夹逼准则，我们知道-1≤sin(nπ/4)≤1，而当n趋近于无穷大时，sin(nπ/4)的取值会在-1和1之间无限循环。

因此，根据夹逼准则，可以得出lim(n→∞) sin(nπ/4) = 0。

二、函数的极限对于函数的极限，夹逼准则同样可以发挥重要作用。

通过夹逼准则，我们可以确定函数在某个点的极限是否存在，并求出极限值。

例如，对于函数f(x) = x^2sin(1/x)，我们希望求出x趋近于0时f(x)的极限。

利用夹逼准则，我们可以构造两个函数g(x) = -x^2和h(x) = x^2，可以发现对于任意x，-x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。

当x趋近于0时，g(x)和h(x)的极限都是0，根据夹逼准则，可以得出lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0。

三、无穷小量的性质夹逼准则还可以用于证明无穷小量的性质。

例如，对于无穷小量x，我们希望证明x^2也是无穷小量。

可以利用夹逼准则，构造两个无穷小量a = 1/x和b = x，可以发现对于任意x，0 < a < b。

根据夹逼准则的定义，当a和b都趋近于0时，x^2也必然趋近于0，因此x^2也是无穷小量。

总结夹逼准则是微积分中一种重要的求解极限的方法，可以用于数列的极限、函数的极限和无穷小量的性质证明。

通过将待求对象与两个已知对象进行比较，利用已知对象的性质来确定待求对象的性质，从而求解极限值。

夹逼准则在数学证明和实际问题中都有广泛的应用，是学习微积分的基础内容之一。

高等数学第一章第6节夹逼准则

高数 夹逼准则与两个重要极限

函数极限存在的夹逼准则

高等数学(同济第六版)第一章第6节

高数夹逼准则

高等数学极限存在准则

高数上册第一章第六节极限存在准则两个重要极限

高等数学1-6 同济第六版

高数夹逼准则与两个重要极限

1夹逼准则

函数极限存在的夹逼准则(课件全)

夹逼定理

函数极限存在的夹逼准则

函数极限存在的夹逼准则(全)

高等数学课件--D1_6极限存在准则

函数极限存在的夹逼准则

高数夹逼准则

高数夹逼准则与两个重要极限