两角差的余弦公式的推导过程
两角差的余弦公式
§3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式学习目标1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.理解用向量法导出公式的主要步骤.3.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．知识点两角差的余弦公式C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反．1．存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos α－cos β.(√) 2．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(×) 3．任意角α，β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(√) 4．任意角α，β，cos α－cos β＝cos(α－β)．(×)题型一利用两角差的余弦公式化简求值例1计算：(1)cos(－15°)；(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简求值解(1)方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24.方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°) ＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0.反思感悟利用两角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角转化为特殊角的差，利用公式直接求解．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的右边形式，然后逆用公式求值．跟踪训练1(2018·广安期末)cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°的值是()A.22B．－22 C.12D．－12考点两角差的余弦公式题点利用两角差的余弦公式化简、求值答案 A解析cos 80°·cos 35°＋sin 80°·cos 55°＝cos 80°·cos 35°＋sin 80°·sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝22.题型二给值求值例2(1)已知sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)等于()A．－32B．－12 C.12 D.32考点两角差的余弦公式题点给值利用两角差的余弦公式求值答案 D解析因为sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，所以(cos α－cos β)2＝14，(sinα－sin β)2＝74－ 3.两式相加，得2－2cos(α－β)＝2－ 3. 所以cos(α－β)＝32. (2)已知α，β均为锐角，sin α＝817，cos(α－β)＝2129，求cos β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求值 解 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＝817<12，所以0<α<π6. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π6，cos(α－β)＝2129<32， 所以－π2<α－β<－π6.所以cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－1－⎝⎛⎭⎫21292＝－2029， 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝1517×2129＋817×⎝⎛⎭⎫－2029＝155493. 反思感悟 给值求值问题的解题策略(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中的角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β.②α＝α＋β2＋α－β2.③2α＝(α＋β)＋(α－β)．④2β＝(α＋β)－(α－β)．跟踪训练2 已知π4<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α的值．考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 解 ∵π4<β<α<3π4，∴0<α－β<π2，π2<α＋β<3π2.又sin(α＋β)＝－35，∴π<α＋β<3π2，从而有cos(α＋β)＝－45.∵cos(α－β)＝1213，∴sin(α－β)＝513.∴sin(β－α)＝－513.∴cos 2α＝cos [(α＋β)－(β－α)]＝cos(α＋β)cos(β－α)＋sin(α＋β)sin(β－α) ＝⎝⎛⎭⎫－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513＝－3365. 题型三 给值求角例3 已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求β的值． 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114， ∴α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝437， sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝5314.又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12. 又∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3. 引申探究若本例条件中的“cos(α＋β)＝－1114”改为“sin(α＋β)＝5314”，则β的值是什么？解 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∵cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，∴sin α＝437，cos(α＋β)＝±1114，当cos(α＋β)＝－1114时，cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－1114×17＋5314×437＝12， ∵β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴β＝π3； 当cos(α＋β)＝1114时，cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝1114×17＋5314×437＝7198<1114＝cos(α＋β)，且α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以β>α＋β，即α<0，与已知矛盾，舍去，∴β＝π3.反思感悟 求解给值求角问题的一般步骤 (1)求角的某一个三角函数值． (2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．跟踪训练3 已知cos(α－β)＝－1213，cos(α＋β)＝1213，且α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求角β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且cos(α－β)＝－1213，得sin(α－β)＝513.由α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且cos(α＋β)＝1213， 得sin(α＋β)＝－513，cos 2β＝cos [(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝1213×⎝⎛⎭⎫－1213＋⎝⎛⎭⎫－513×513＝－1. 又因为α－β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，α＋β∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， 所以2β∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以2β＝π，则β＝π2.两角差的余弦公式的应用典例 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，1213，求cos α和sin β；(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值． 考点 两角差的余弦公式题点 两角差的余弦公式的综合应用解 (1)∵OA ＝1，OB ＝1，且点A ，B 的纵坐标分别为45，1213，∴sin α＝45，sin β＝1213，∴cos α＝35.(2)∵β为钝角，由(1)知cos β＝－513，∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365. [素养评析] 从已给信息得出角α，β的正弦、余弦值是解决本题的关键，体现了从图形关系中抽象出数学概念的思想，这正是数学核心素养数学抽象的具体表现.1．(2018·滨州期末)cos 165°等于( ) A.12 B.32 C ．－6＋24 D ．－6－24 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 C解析 cos 165°＝cos(180°－15°)＝－cos 15°＝－cos(45°－30°) ＝－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)＝－6＋24.故选C. 2．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525B.255C.2525或255D.55或525考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎫－45×55＋35×255＝2525. 3．(2018·河南商丘九校联考)cos(－40°)·cos 20°－sin(－40°)sin(－20°)＝________. 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 12解析 原式＝cos(－40°)cos 20°＋sin(－40°)sin 20° ＝cos(－40°－20°)＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.4．已知α，β均为锐角，且sin α＝255，sin β＝1010，求α－β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 ∵α，β均为锐角， ∴cos α＝55，cos β＝31010. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 又∵sin α>sin β，∴0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.故α－β＝π4.5．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，α，β∈(0，π)且a ⊥b ，求α－β的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用解 因为a ⊥b ，所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝0. 因为－π<α－β<π，所以α－β＝－π2或π2.1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值． (2)确定角所在的范围(找区间)． (3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.一、选择题1．cos 295°sin 70°－sin 115°cos 110°的值为( ) A.22 B ．－22 C.32 D ．－32考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式化简、求值 答案 A解析 原式＝－cos 115°cos 20°＋sin 115°sin 20° ＝cos 65°cos 20°＋sin 65°sin 20°＝cos(65°－20°) ＝cos 45°＝22. 2．满足cos αcos β＝32－sin αsin β的一组α，β的值是( ) A ．α＝1312π，β＝3π4B ．α＝π2，β＝π3C ．α＝π2，β＝π6D ．α＝π3，β＝π4考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 B3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos(α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365 C.6365 D.3365考点 两角差的余弦公式题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A. 4．(2018·山西孝义高二期末)下列关系式中一定成立的是( ) A ．cos(α－β)＝cos α－cos β B ．cos(α－β)<cos α＋cos β C ．cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin α D ．cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝sin α 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 C解析 由两角差的余弦公式知A 不正确；令α＝β＝π2知B 不正确；由诱导公式可知C 正确，D 不正确．5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝35，π3<α<5π6，则cos α的值是( ) A.3－4310B.4－3310C.23－35D.3－235考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式求值 答案 A解析 ∵π3<α<5π6，∴π2<π6＋α<π.∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－45.∴cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π6＋α－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin π6＝－45×32＋35×12＝3－4310. 6．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，且α，β均为锐角，α<β，则α＋β的值为( ) A.π6 B.π4 C.3π4 D.5π6 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 C解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，α<β，∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，2α∈(0，π)，sin(α－β)＝－255，sin 2α＝31010， ∴cos(α＋β)＝cos [2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝⎛⎭⎫－255＝－22， ∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4. 7．(2018·北京海淀科大附中高二期中)若cos(α－β)＝13，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2等于( )A.83 B ．－83 C.223 D ．－223 考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案 A解析 原式＝2＋2(sin αsin β＋cos αcos β) ＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×13＝83.二、填空题8．若a ＝(cos α ，sin β)，b ＝(cos β，sin α)，0<β<α<π2，且a ·b ＝12，则α－β＝________.考点 两角差的余弦公式 题点 两角差余弦公式的综合应用 答案 π3解析 a ·b ＝cos αcos β＋sin βsin α＝cos(α－β)＝12，因为0<β<α<π2，所以0<α－β<π2.所以α－β＝π3.9．化简：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.考点 两角差的余弦公式 题点 利用两角差的余弦公式化简 答案3解析 原式＝2cos (30°－20°)－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋sin 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.10．(2018·湖南衡阳二十六中高二期中)已知α，β均为锐角，且sin α＝55，cos β＝1010，则α－β的值为________． 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 答案 －π4解析 ∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α＝255，sin β＝31010. ∵sin α<sin β，∴α<β， ∴α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝255×1010＋55×31010＝22， ∴α－β＝－π4.11．函数f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为________． 考点 和、差角公式的综合应用题点 和、差角公式与其他知识的综合应用 答案 ⎣⎡⎦⎤－5π12，π12解析 f (x )＝sin 2x sin π6－cos 2x cos 5π6＝sin 2x sin π6＋cos 2x cos π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数f (x )单调递增．取k ＝0，得－5π12≤x ≤π12，故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12，π12. 三、解答题12．设cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2的值． 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式综合应用 解 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝⎛⎭⎫π4，π， α2－β∈⎝⎛⎭⎫－π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝1－181＝459， cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－49＝53， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527.13．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0<φ<π2，求cos φ的值．考点 两角差的余弦公式题点 和、差角公式与其他公式的综合应用解 (1)因为a ⊥b ，所以a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0， 即sin θ＝2cos θ. 又因为sin 2θ＋cos 2θ＝1， 所以4cos 2θ＋cos 2θ＝1， 即cos 2θ＝15，所以sin 2θ＝45，又θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝255，cos θ＝55. (2)因为5cos(θ－φ)＝5(cos θcos φ＋sin θsin φ) ＝5cos φ＋25sin φ＝35cos φ， 所以cos φ＝sin φ，所以cos 2φ＝sin 2φ＝1－cos 2φ， 即cos 2φ＝12.因为0<φ<π2，所以cos φ＝22.14．(1)已知cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，则cos(α－β)＝________.考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求值2解析 由cos α＋cos β＝12，sin α＋sin β＝32，两边平方相加得(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， ∴2＋2cos αcos β＋2sin αsin β＝1， 2(cos αcos β＋sin αsin β)＝－1， ∴cos(α－β)＝－12.(2)已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)＝________. 考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求值 答案 －12解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝－sin γ， ①cos α＋cos β＝－cos γ， ②①2＋②2，得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1， 即cos(α－β)＝－12.15．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，求β的值．考点 两角差的余弦公式题点 给值利用两角差的余弦公式求角 解 由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，∵cos α＝17，cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314，sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫172＝437，∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos(α－β)＋sin α·sin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，3。
2017-2018人教版高中数学专题复习 两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cos α＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy 内，作单位圆O ，以Ox 为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A ，B ，则＝(cos α，sin α)，＝(cos β，sin β).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.附方法六：等积法推导余弦的差角公式 广东佛山袁锦前如图：在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E,设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos （α-β） 解：在△ABD 中,BD=c·cos β，AD=b ·cos α在△ACD 中,CD= b c·sin α，AD= c·sin β11cos cos sin sin 22ABD ACDSSbc bc αβαβ∴+=+ ()1cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○1 又∵2BAD πβ∠=-()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=⋅-+⋅--⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()c cos αβ=⋅-()11cos 22ABCSAC BE bc αβ∴=⋅=- …………………………………………○2 由○1○2可得： ()c o s =c o sc o s s i n s i nαβαβαβ-+。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照
两角和与差的余弦公式的五种推导方式之对照第一种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp其中，adj表示邻边的长度，hyp表示斜边的长度。
现在考虑两个角度的和，即θ1+θ2、根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1/hyp1现在我们将θ1和θ2分别表示为它们的余弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2将这两个式子相加，得到：cosθ1 + cosθ2 = (adj1 + adj2) / (hyp1 + hyp2)这就是两角和的余弦公式。
第二种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道余弦函数的复合角公式，即：cos(θ1 + θ2) = cosθ1⋅cosθ2 - sinθ1⋅sinθ2现在我们将θ1和θ2表示为它们的余弦函数和正弦函数：cosθ1 = adj1/hyp1cosθ2 = adj2/hyp2sinθ1 = opp1/hyp1sinθ2 = opp2/hyp2将这些式子代入复合角公式中，得到：cos(θ1 + θ2) = (adj1/hyp1)⋅(adj2/hyp2) -(opp1/hyp1)⋅(opp2/hyp2)= (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅hyp2)这就是第二种推导方式。
第三种推导方式：我们知道余弦函数的定义为：cosθ = adj/hyp我们还知道正弦函数的平方与余弦函数的平方之和等于1，即：sin²θ + cos²θ = 1现在我们考虑θ1和θ2的和，即(θ1+θ2)。
我们可以得到：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2现在我们将θ1+2表示为(θ1+θ2)的余弦函数和正弦函数：cos(θ1 + θ2) = adj1+2/hyp1+2= (adj1⋅cosθ2 - opp1⋅sinθ2) / (hyp1⋅cosθ2 + hyp2⋅sinθ2) = (adj1⋅adj2 - opp1⋅opp2) / (hyp1⋅ hyp2)这就是第三种推导方式。
两角和与差的余弦公式的六种推导方法
两角和与差的余弦公式的六种推导方法沈阳市教育研究院王恩宾两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP ＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难.此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式.在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB 的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.附方法六：等积法推导余弦的差角公式广东佛山袁锦前如图：在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E,设∠DAC=α，∠ABD=β,求：cos（α-β）解：在△ABD中,BD=c·cosβ，AD=b·cosα在△ACD中,CD= b c·sinα，AD= c·sinβ11cos cos sin sin 22ABD ACDSSbc bc αβαβ∴+=+ ()1cos cos sin sin 2bc αβαβ=+ …………………………..○1 又∵2BAD πβ∠=-()c sin =c sin 22BE ππβααβ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∴=⋅-+⋅--⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦()c cos αβ=⋅-()11cos 22ABCSAC BE bc αβ∴=⋅=- …………………………………………○2 由○1○2可得： ()cos =cos cos sin sin αβαβαβ-+。
两角及差正余弦公式的证明
两角及差正余弦公式的证明两角和差正余弦公式的证明：我们知道，任意角的正弦、余弦等三角函数都可以通过单位圆的定义得到。
所以，为了证明两角和差正余弦公式，我们先来考察它们在单位圆上的几何意义。
一、两角和公式的几何意义：设在单位圆上有点A和点B，OA和OB分别为半径。
假设点A对应的角为θ1，点B对应的角为θ2，那么点P是单位圆上点A和点B对应的角的和，即θ1+θ2、我们要研究的是点P的坐标。
首先，我们可以将圆心O作为直角坐标系的原点，点A和点B所在的直线即为直角坐标系的x轴。
我们知道，点A和点B的坐标分别可以表示为：A(x1, y1) = (cosθ1, sinθ1)B(x2, y2) = (cosθ2, sinθ2)点P的坐标为(x, y) = (cos(θ1 + θ2), sin(θ1 + θ2))。
我们需要推导出点P的坐标。
为此，我们利用三角恒等式：cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβsin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ我们令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 + θ2) = cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2sin(θ1 + θ2) = sinθ1cosθ2 + cosθ1sinθ2即点P的坐标为：P(x, y) = (cosθ1cosθ2 - sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 +cosθ1sinθ2)可以看出，点P的坐标与三角函数的和公式是完全对应的。
这就证明了两角和公式的几何意义，也就是说，两个角的正余弦的和等于一个新角的正余弦。
二、两角差公式的几何意义：在上面的单位圆中，点A和点B表示的角分别为θ1和θ2，设点Q 为点A和点B对应的角的差，即θ1-θ2、我们要研究的是点Q的坐标。
同样地，我们可以得到点Q的坐标为(x, y) = (cos(θ1 - θ2), sin(θ1 - θ2))。
仿照上面的方法，我们利用三角恒等式：cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβsin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ令α=θ1，β=θ2，代入上面的恒等式，得到：cos(θ1 - θ2) = cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2sin(θ1 - θ2) = sinθ1cosθ2 - cosθ1sinθ2即点Q的坐标为：Q(x, y) = (cosθ1cosθ2 + sinθ1sinθ2, sinθ1cosθ2 -cosθ1sinθ2)可以看出，点Q的坐标与三角函数的差公式是完全对应的。
(完整版)两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OA cosα＋AP sinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |= .在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S△OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。
两角和与差的正弦余弦正切公式的推导
两角和与差的正弦余弦正切公式的推导首先，我们先来推导两角和的正弦公式。
设有两个角A和B，其正弦分别为sinA和sinB，我们要推导这两个角的和（A+B）的正弦。
根据三角函数的定义，sinA可以表示为三角形的对边A与斜边C之比，sinB可以表示为对边B与斜边C之比，即sinA=A/C，sinB=B/C。
现在我们考虑两个角的和（A+B），绘制一个新的三角形，假设它的对边为D，斜边仍然为C。
根据三角形的定义，sin(A+B)可以表示为对边D与斜边C的比值，即sin(A+B)=D/C。
```-------```由于平行四边形的对角线互相平分，并且对角线的长度相等，我们可以得到有两个等式：（1）三角形ABC的对边A等于平行四边形ADEB的对角线E的一半，即A=1/2E。
（2）三角形BCD的对边B等于平行四边形ADEB的对角线D的一半，即B=1/2D。
将（1）和（2）两个等式代入sinA=A/C和sinB=B/C中，可以得到：sinA=(1/2E)/C --> E=2sinACsinB=(1/2D)/C --> D=2sinBC根据三角形ABC的定义，对边D与斜边C之比sin(A+B)=D/C，代入D=2sinBC和C=sin(A+B)，可以得到：sin(A+B)=2sinBC/sin(A+B) -->sin(A+B)=2sinBC/(sinAcosB+cosAsinB)这就是两角和的正弦公式。
接下来，我们来推导两角和的余弦公式和正切公式。
我们可以使用欧拉公式e^(ix)=cosx+isinx，其中i是虚数单位。
我们将两个角的和（A+B）代入这个公式：e^(i(A+B))=cos(A+B)+isin(A+B)同时，将欧拉公式应用于角A和角B：e^(iA)=cosA+isinA （欧拉公式1）e^(iB)=cosB+isinB （欧拉公式2）将欧拉公式1和欧拉公式2中的幂指数iA和iB分别乘以i，有：ie^(iA)=icosA+isinsAie^(iB)=icosB+isinsB将上述两个等式相加：ie^(iA)+ie^(iB)=icosA+isinsA+icosB+isinsB合并同类项：ie^(iA)+ie^(iB)=i(cosA+cosB)+i(sinA+sinB)利用欧拉公式中的e^(ix)=cosx+isinx，有：ie^(iA)+ie^(iB)=i(e^(iA)+e^(iB))将上述等式代入原有等式，得到：i(e^(iA)+e^(iB))=i(cosA+cosB)+i(sinA+sinB)取消i的公因子，得到：e^(iA)+e^(iB)=cosA+cosB+isinA+isinB再次使用欧拉公式，令左边的等式为e^(i(A+B)):e^(i(A+B))=cos(A+B)+isin(A+B)对比右边的等式，我们可以得到：cos(A+B)+isin(A+B)=cosA+cosB+isinA+isinB比较实部和虚部，可以得到两角和的余弦公式和正弦公式：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBsin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB至此，我们推导出了两角和的正弦公式、余弦公式和正切公式。
两角和差的正弦余弦正切公式
两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。
它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。
这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。
1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。
2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。
可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。
3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。
这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。
使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。
这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。
例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。
以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。
例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。
根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
令狐采学创作两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比令狐采学两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注•对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学主的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用•下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角0C的终边与单位圆的交点为Pl, /POPl = p,贝IJ ZPOx = a-p.过点P作PM丄x轴，垂足为M,那久()M即为a-p角的余弦线，这里要用表示a,卩的正弦、余弦的线段来表示OM.过点P作PA丄()P1,垂足为A,过点A作AB丄x轴，垂足为B,再过点P作PC丄AB,垂足为C,那么cosp = ()A, sinp =AP,并且ZPAC=/Pl()x = a,于是()M = ()B + BM = ()B + CP=OAcosa + APsina = cospcosa + sinpsina ・cos (Ci- 0)= cos 必cos 播 + sin <Xsin 0综上所述说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解.但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难•此种证明方法的另一个问题是公式是在工©均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑工©的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设Pl(xl, yl), P2(x2, y2),则有|P1P2 | 二-审十(必在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角色oc+p和-0, 它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1,则P1(1,())、P2(cosa, since)、P3(cos(a+p), sin(a+p))> 片(GQS(-0),siil(-0)).• 今。
《两角差的余弦公式》课件
1 2 3
利用三角函数诱导公式推导
通过三角函数的周期性和对称性，利用诱导公式 将角度转换到易于计算的角度范围，然后利用两 角和与差公式进行推导。
利用单位圆性质推导
利用单位圆的性质，将两角差的余弦表示为向量 夹角的余弦值，然后利用向量的数量积和模长进 行推导。
推导过程的证明
证明两角差的余弦公式需要利用三角函数的周期 性和对称性、单位圆的性质以及代数运算和三角 恒等变换进行证明。
学习目标
掌握公式的推导过程，理解公式 的几何意义，能够熟练应用公式 进行计算
THANKS
感谢观看
进阶习题3
已知cos(π/3 + α) = 1/3，求 cos(2π/3 - 2α)的值。
习题解析
解析1
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 - α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
解析2
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/4 - α)转化为关 于sin(3π/4 - 2α)的表达式，然后进行计算。
适用于任意角度α、β的三角函数计算
公式应用注意事项
角度范围
在使用两角差的余弦公式时，需 要注意角度α、β的范围，以避免
出现负数平方根的情况
精度问题
在计算过程中，需要注意精度问 题，以避免误差的积累
特殊角的处理
对于一些特殊角，如90°、180° 等，需要特别注意公式的应用方
式
下章预告
学习内容
学习两角和与差的正弦、余弦、 正切公式
解析6
利用两角差的余弦公式，将已知的cos(π/3 + α)转化为 关于cos(2π/3 - 2α)的表达式，然后进行计算。
05
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1
1
A.3
B.2
C.
2 2
√D.
3 3
∵cos α＋cosα－π3＝1， ∴cos α＋12cos α＋ 23sin α＝32cos α＋ 23sin α
＝
3
3 2 cos
α＋21sin
α
＝ 3cosα－π6＝1，
∴cosα－π6＝ 33.
(2)化简：①sin x＋ 3cos x＝ 2sinx＋π3 .
∴β>α，而 α，β∈0，π2， ∴0<β－α<π2， ∴β－α＝π3， 即选项D正确，C错误.
(2)在△ABC 中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则 tan Atan B 的值为
1 A.4
√B.13
1
5
C.2
D.3
∵C＝120°，∴tan C＝－ 3. ∵A＋B＝π－C， ∴tan(A＋B)＝－tan C. ∴tan(A＋B)＝ 3， tan A＋tan B＝ 3(1－tan Atan B)， 又∵tan A＋tan B＝233， ∴tan Atan B＝13.
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
√D.a>c>b
(sin2256°
由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得
a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°
＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°
＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)
＝cos 77°＝sin 13°，
第四章
考试要求
1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比
文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础，其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的，因此两角和与差的余弦公式的推导作为本章要推导的第一个公式，往往得到了广大教师的关注. 对于不同版本的教材采用的方法往往不同，认真体会各种不同的两角和与差的余弦公式的推导方法，对于提高学生的分析问题、提出问题、研究问题、解决问题的能力有很大的作用.下面将两角和与差的余弦公式的五种常见推导方法归纳如下：方法一：应用三角函数线推导差角公式的方法设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β．过点P作PM⊥x轴，垂足为M，那么OM即为α－β角的余弦线，这里要用表示α，β的正弦、余弦的线段来表示OM．过点P作PA⊥OP1，垂足为A，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，再过点P作PC⊥AB，垂足为C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB ＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．综上所述，.说明：应用三角函数线推导差角公式这一方法简单明了，构思巧妙，容易理解. 但这种推导方法对于如何能够得到解题思路，存在一定的困难. 此种证明方法的另一个问题是公式是在均为锐角的情况下进行的证明，因此还要考虑的角度从锐角向任意角的推广问题.方法二：应用三角形全等、两点间的距离公式推导差角公式的方法设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有|P1P2 |=.在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角α，α+β和，它们的终边分别交单位圆于P2、P3和P4点，单位圆与x轴交于P1，则P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ∴，∴，∴，∴，∴，.说明：该推导方法巧妙的将三角形全等和两点间的距离结合在一起，利用单位圆上与角有关的四个点，建立起等式关系，通过将等式的化简、变形就可以得到符合要求的和角与差角的三角公式. 在此种推导方法中，推导思路的产生是一个难点，另外对于三点在一条直线和三点在一条直线上时这一特殊情况，还需要加以解释、说明.方法三：应用余弦定理、两点间的距离公式推导差角公式的方法设，则.在△OPQ中，∵，∴，∴.说明：此题的解题思路和构想都是容易实现的. 因为要求两角和与差的三角函数，所以构造出和角和差角是必须实现的. 构造出的和角或差角的余弦函数又需要和这两个角的三角函数建立起等式关系，因此借助于余弦定理、两点间的距离公式建立起等式关系容易出现，因此此种方法是推导两角和与差的余弦的比较容易理解的一种方法.文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 但此种方法必须是在学习完余弦定理的前提下才能使用，因此此种方法在必修四中又无法使用. 另外也同样需要考虑三点在一条直线上的情况.方法四：应用三角形面积公式推导推导差角公式的方法设α、β是两个任意角，把α、β两个角的一条边拼在一起，顶点为O，过B点作OB的垂线，交α另一边于A，交β另一边于C，则有S△OAC=S△OAB+S △OBC..根据三角形面积公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.根据此式和诱导公式，可继续证出其它和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcos α；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsin β.说明：此种推导方法通过三角形的面积的和巧妙的将两角和的三角函数与各个角的三角函数和联系在一起，体现了数形结合的特点. 缺点是公式还是在两个角为锐角的情况下进行的证明，因此同样需要将角的范围进行拓展.(五)应用数量积推导余弦的差角公式在平面直角坐标系xOy内，作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编辑.欢迎下载支持.4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. ＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ). 由向量数量积的概念，有.由向量的数量积的坐标表示，有.于是，有.说明：应用数量积推导余弦的差角公式无论是构造两个角的差，还是得到每个角的三角函数值都是容易实现的，而且从向量的数量积的定义和坐标运算两种形式求向量的数量积将二者之间结合起来，充分体现了向量在数学中的桥梁作用.综上所述，从五种不同的推导两角和与差的余弦公式的过程可以看出，不同的推导方法体现出不同的数学特点，不同的巧妙构思，相同的结果.。
两角和差正余弦公式的证明
（方法1）如图所示，在直角坐标系妨中作单位圆O ,并作角起，"和一“，使 角优的始边为。
T ，交［0于点A ，终边交L "于点B ;角0始边为（旳，终边交两角和差正余弦公式的证明两角和差的正余弦公式是三角学中很重要的一组公式。
法进行探讨。
F 面我们就它们的推导证明方 由角d , 0的三角函数值表示 的正弦或余弦值，这正是两角和差的正余弦公 式的功能。
换言之，要推导两角和差的正余弦公式 ，就是希望能得到一个等式或方程 将CLIS （（T t 小或GMa F ”）与（I , P 的三角函数联系起来。
根据诱导公式，由角0的三角函数可以得到 0的三角函数。
因此，由和角公式容 易得到对应的差角公式，也可以由差角公式得到对应的和角公式。
又因为 即原角的余弦等于其余角的正弦 据此，可以实现正弦公式和余弦 公式的相互推导。
因此，只要解决这组公式中的一个，其余的公式将很容易得到。
（一）在单位圆的框架下推导和差角余弦公式 注意到单位圆比较容易表示 SlH 和 α±0 ，而且角的终边与单位圆的交点坐标可 以用三角函数值表示，因此，我们可以用单位圆来构造联系 “呦I 列与CE ，E 的三角 函数值的等式。
1.和角余弦公式角 "始边为（ZL ,终边交[0于点。
从而点A, B, C和D的坐标分别为XiL(IO, B(C(K亿dace) ,C(攻α+E f⅛a(cc+∕5) ,Q伽霸-dn∕J) O由两点间距离公式得Q =(CDS(α+∕J)-l)3+≡Λ2(tt+∕5 = 2-2cαs(α+/!)；BD I =(C os∕l-OTsα)2+(-⅛ι∕J-anα)2= 2-2(CDSaelK/J-si∩csh∕J) O 注意到& 跖，因此c□sσtos^ SinaEin0 o注记：这是教材上给出的经典证法。
它借助单位圆的框架，利用平面内两点间距离公式表达两条相等线段，从而得到我们所要的等式。
三角函数两角和与差,以及万能公式的推导
向量法：取直角坐标系，作单位圆取一点A，连接OA，与X轴的夹角为A取一点B，连接OB，与X轴的夹角为BOA与OB的夹角即为A-BA（cosA,sinA),B(cosB,sinB)OA=(cosA,sinA)OB=(cosB,sinB)OA*OB=|OA||OB|cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB|OA|=|OB|=1cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB在直角坐标系xoy中，作单位圆O，并作角α，β，-β，使角α的始边为Ox交⊙O于P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.依三角函数的定义，得P1、P2、P3、P4的坐标分别为P1（1，0），P2（cosα,sinα）、P3（cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).连接P1P3，P2P4.则∣P1P3∣=∣P2P4∣.依两点间距离公式，得∣P1P3|2=〔cos(α+β)-1〕2+〔sin(α+β)-0〕2,∣P2P4|2=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2∴〔cos(α+β)-1〕2+sin2(α+β)=〔cos(-β)-cosα〕2+〔sin(-β)-sinα〕2展开整理，得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ……Cα+β.该公式对任意角α，β均成立在公式Cα+β中，用-β替代β.cos(α-β)=cos〔α+(-β)〕=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ……Cα-β.该公式对任意角α，β均成立.普高教材<<数学4>>(必修)125___126页有两角差的余弦公式推导.照抄给你.如图,在平面直角坐标系xOy内作单位圆O,以Ox为始边作角α,β,它们的终边与单位圆O的交点分别为A, B,则向量OA=(cosα,sinα),向量OB=(cosβ,sinβ),由向量数量积的坐标表示,有向量OA*向量OB=(cosα,sinα)*(cosβ,sinβ)=cosαcosβ+sinαsinβ(1)如果α-β∈[0,π],那公向量OA与向量OB的夹角就是α-β,由向量数量积的定义,有向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cos(α-β)=cos(α-β)于是cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(2)当α-β不∈[0,π],设向量OA与向量OB的夹角为θ,则向量OA*向量OB=｜向量OA｜*｜向量OB｜cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ另一方面.由图可知α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以cos(α-β)=cosθ也有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ所以,对于任意角α,β有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ由两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,得两角和的余弦cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,得两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ,两角差的正弦公式推导,则可由余弦公式及诱导公式很快得出; sin(α-β)=cos{π/2-(α-β)]=cos{(π/2-α)+β)]=cos(π/2-α)cosβ-sin(π/2-α)sinβ=sinαcosβ-cosαsinβ两角和的正弦公式推导sin(α+β)=sin[α-(-β)]=sinαcos(-β)-cosαsi n(-β)sinαcosβ+cosαsinβ作单位圆，做向量a=(cosa,sina),b=(cosb,sinb),俩向量夹角cos(a-b)=(cosacosb+sibasinb)/|a|*|b|=cosacosb+sibasinb.由梯形面积，得1/2 *1*1*sin(a+b)+1/2 *sina*cosa+1/2 sinbcosb=1/2 *(sina+sinb)*(cosa+cosb),sin(a+b)=sinacosb+cosasinb,将b换成-b,sin(a-b)=sinacosb-cosasinb万能公式的推导：。
两角差的余弦公式
两角差的余弦公式余弦公式是解决三角形的常见方法之一，它可以用来计算三角形中的一些角的大小，当我们已知三角形的三边长度时，余弦公式可以非常方便地帮助我们解答。
余弦公式的表达式如下：cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)其中，a、b、c分别表示三角形的三边的长度，C表示待求的角度。
在这个公式中，我们可以将C换成A或B，来计算其他两个角的大小。
如果我们已知角A和边a的长度，要计算其他两个角的大小，可以使用以下公式：cosB = (a² + c² - b²) / (2ac)cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)这些公式中都使用了余弦函数，因为它们可以直接用来计算角度。
当我们已知三边的长度，通过余弦公式，我们可以得到每个角的余弦值，然后再通过反余弦函数（arccos）来计算角度的大小。
余弦公式非常重要，并且在实际问题中有很广泛的应用。
下面我们将通过一个例题来说明如何使用余弦公式。
例题：已知一个三角形的两边分别为a = 6cm，b = 8cm，夹角为C = 45°，求第三边c的长度和另外两个角的大小。
解题思路：1. 根据余弦公式，我们首先可以计算出夹角C的余弦值。
将已知量代入公式，得到cosC = (8² + 6² - c²) / (2 * 8 * 6)。
2.接下来，我们可以通过反余弦函数来计算角C的大小。
使用计算器或数学工具，我们可以得到C≈37.38°。
3. 然后，我们可以通过余弦公式计算第三边c的长度。
将已知量代入公式，得到c = √(8² + 6² - 2 * 8 * 6 * cosC) ≈ 4.22cm。
4.最后，我们可以通过补角定理计算其他两个角的大小。
根据补角定理，角A=90°-C≈52.62°，角B=180°-A-C≈90°。
5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式(课件)-2022学年高一数学(人教A版2019必修第一册)
AP＝A1P1
自主学习
两角差的余弦公式
名称
简单符号
两角差的余弦
C(α－β)
公式 cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
使用条件 α，β 为任意角
小试牛刀
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)cos (60°－30°)＝cos60°－cos30°.( × ) (2)对任意 α，β∈R，cos (α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 都成立．(√ ) (3)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.( √ ) (4)求 cosα 时，有时把角 α 看成角 α＋β 与角 β 的差．( √ )
＝
＝.
当堂达标
8.已知 cos(α－β)＝－1123，cos(α＋β)＝1123，且 α－β∈π2，π，α＋β∈32π，2π， 求角 β 的值．
当堂达标
解：由 α－β∈2π，π，且 cos(α－β)＝－1123，得 sin(α－β)＝153. 由 α＋β∈32π，2π，且 cos(α＋β)＝1123，得 sin(α＋β)＝－153. cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝1123×－1123＋－153×153＝－1. 因为 α－β∈2π，π，α＋β∈32π，2π， 所以 2β∈π2，32π.所以 2β＝π. 故 β＝π2.
课后作业
对应课后练习
＝
3 2×
22＋12×
22＝
6＋ 4
2 .
解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°