5-5第五节 数列的综合应用练习题(2015年高考总复习)

第五节 数列的综合应用

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，1

2a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4

的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52

D.5－12或5＋12

解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4

＝q ＝1＋5

2.

答案 B

2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )

A ．10秒钟

B ．13秒钟

C ．15秒钟

D ．20秒钟

解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.

答案 C

3．设函数f (x )＝x m

＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1f (n )(n

∈N *)的前n 项和是( )

A.n n ＋1

B.n ＋2n ＋1

C.n n －1

D.n ＋1n

解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2

＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1

.

∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1

n ＋1

＝1－

1n ＋1＝n n ＋1

. 答案 A

4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1

n ＋2(n ∈N *)，设其前n

项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )

A ．有最小值63

B ．有最大值63

C ．有最小值31

D ．有最大值31

解析 ∵a n ＝log 2n ＋1

n ＋2

＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，

∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)．

由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6，

即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A

5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2

－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )

A ．24

B ．32

C ．48

D ．64

解析 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，

两式相除，得a n ＋2

a n

＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，

a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.

又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案 D

6．抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交点分别为A n ，B n (n ∈N *)，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|的值是( )

A.2 009

2 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012

D.2 0122 013

解析 令y ＝0，则(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0. 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1

n 2＋n .

解得x 1＝1n ，x 2＝1

n ＋1.

∴|A n B n |＝1n －1

n ＋1

.

∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫1n －1n ＋1＝

1－1n ＋1＝n

n ＋1

. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|＝2 010

2 011. 答案 B

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1

a n

，则该数列前

26项的和为________．

解析 由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1

a n ，

所以a 3＝－1，a 4＝1

2，a 5＝1，a 6＝－2，…， 所以{a n }是周期为4的数列，

故S 26＝6×⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10.

答案 －10

8．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n

n 的最小值为________．

解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋33＝33＋n 2－n ，

所以a n n ＝33

n ＋n －1.

设f (x )＝33

x ＋x －1，则f ′(x )＝－33x 2＋1. 令f ′(x )>0，得x >33或x <－33.

所以f (x )在(33，＋∞)上是增函数，在(0，33)上是减函数． 因为n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时，f (n )取最小值． 因为f (5)＝535，f (6)＝636＝212，535>21

2， 所以a n n 的最小值为212. 答案 212