淋雨量模型作业(1)

淋雨量模型

一、问题的重述

要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，

试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化为一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，

厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为v m=5m/s，雨速

u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v,按以下步骤进行讨论：

（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹

角为?，如图1。建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,

?之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。计算?=0,?=30 0时的总淋雨量。

（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体

的夹角为α，如图2。建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u, w,α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。计算α＝300时的

淋雨量。

（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。

（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。

二、问题的分析及思路

根据生活经验：若人静止站在地上，让雨淋着，雨速u越快，时间t越久，就会被淋的越惨，因为雨速与降雨量成正比，所以淋雨

量Q与降雨量w（从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流

失而在水面上积聚的水层深度，称为降雨量）有关，不难想象，若雨斜着落，则Q也会不同，所以Q与雨的方向有关；若人以速度v移动，u、t一定，那么人的身上的水即淋雨量Q就相对变小。跑的路程d越大，Q也越大，所以Q一定与v、d有关；若w和v都一定，那么一个身体宽大的和一个矮小的站在一起，那么宽大的那个身上的水可能就比矮小的多，所以Q还与被淋面积s有关。综上所述，淋雨量Q与降雨量w、时间t、被淋面积s有关，可以知道这是一个优化模型。

三、模型假设

为了处理得的方便，可以把问题模型理想化，根据问题性质作如下假设：

1、雨速为常数且方向不变

2、将人体简化为一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，

厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为v m=5m/s，雨

速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，且这些量在一定的时间是不变量，即忽略外界因素的影响。

3、人匀速v跑动。

四、模型建立

将淋雨量Q表示成被淋面积s、被淋时间t和降雨量w有关的函

数，即Q=stw，在此得重点分析被淋面积s，雨速与降雨量成正比，

当雨速为u1时，降雨量w

1 u

1 w，根据不同具体模型，

s有不同表示，u

所以得根据下面不同情况建立Q的函数。

五、模型求解

问题（1）：

因为不考虑雨的方向，所以跑步过程中只有模型底部不会被淋

到，故被淋表面积s=2ab+2ac+bc=2.2m2，又因为以最大速度匀速跑，

故时间t=d=1000/5s=200s，降雨量w=2cm/h=1/180000m/s,所以淋

v m

雨量由表达式Q=stw=2.44L。

问题（2）：

因为雨线与跑步方向在同一个平面且与人体夹角为θ，故由理想条件知只有顶部和正面被淋到雨。

首先分析顶部淋雨量Q1，由图可知此时只有竖直向下的雨速是有

效的雨速，此时为u1=ucos(θ),降雨量为w1=u1/u*w=wcosθ，当速

度为v时，时间t=d/v，面积s1=bc，故Q1=s1*t*w1=(bcdwcosθ)/v，

再分析正面淋雨量Q1，此时只有水平方向的雨量时有效的，由速度

合成可知，相对人的有效雨速 u2=v+usinθ，此时降雨量w2=u2/u*w=w

（usinθ+v）/u，面积s2=ab，故降雨量Q2=s2*t*w2=abdw（usinθ

+v）/（uv），故总淋雨量Q=Q1+Q2=（bdw）*【cucosθ+a（usinθ+v）】

/(uv),v=Vm时Q最小，θ=0.Q≈1.15L，θ=300，Q≈1.55L。

问题3:

同上所知，头部淋雨量Q3=(bcdwcosα)/v，此时，水平方向：

当v>ucosα时，此时相对雨速v-ucosα，正面淋雨量Q4=abdw（v-ucos

α）/（uv）；当v

Q Q3 Q4 b d w c cos a sin /v a/u，v u sin

Q Q3 Q'4 b d w c cos a sin /v a/u，v u sin （1）、当vusin 时，且0°＜﹤90°，可得：ccosα＋asin

α>0

对⑤式求导，易知Q' <0；所以，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加

而减少，

因此，v usin 总淋雨量最小

（2）、当v>usin α时，且0°＜α﹤90°，对（*）式求导，

1.5sin 0.2cos

解得：Q'

2

（180 v）

( ⅰ)、当1.5sinα－0.2cosα<0时，即：tanα<2/15,即Q`<0；从而推出，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加而减少，所以，

速度v=vm，总淋雨量最小。

（ⅱ）、当1.5sinα－0.2cosα>0时，即：tanα>2/15,即Q`>0；从而推出，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加而增加，所以，