淋雨量模型作业(1)
人在雨中行走时的淋雨量问题
人在雨中行走时的淋雨量问题人在雨中行走时的淋雨量问题一．模型假设 1.把人看做一个长方体；2.雨滴下落的速度，方向保持不变；3.人行走一段距离的速度，方向保持不变。
4.假设主要淋雨量集中在正面，背面和头部，忽略两侧淋雨量。
即考虑总淋雨量时只考虑（正面+头部）或者（背面+头部）二．符号说明1.V 为雨速（m/s ），方向定义为朝着人正面为正。
2.D 为人在雨中行走距离。
3.R 为人在雨中行走速度3.θ为雨滴下落方向与地平面的所成角，0°≤θ≤90°。
4. h1，h2，h3分别为视人体为一个长方体时人的身高(m)、身宽(m)、厚度(m)；5.总淋雨量为W （R)单位为m 3。
三．模型建立本模型是在上诉理想条件下分析人在行走时的淋雨量的大小，而淋雨量的大小取决与降雨量的大小，方向，还有人行走的速度，行走的路程。
我们的目标是求出使得人在雨中行走时淋雨量最小的条件。
即最佳行走速度。
以人为Z 轴，人行走的方向为X 轴，左边为y 轴建立空间坐标系。
则雨的降落速度可以按这个坐标系分解到x 轴，y 轴，z 轴。
得到θθθsin ,cos ,cos V Vz V Vy V Vx ===。
进一步得到θcos V R V +=相.人的头部，正面或背面的淋雨面积为h1h2，h2h3，淋雨时间为D/V.则可得到人正面或背面的淋雨量为θcos 21V R h h R D +；人头部淋雨量为θsin 32V h h RD ；进一步得总淋雨量W(R ）=()θθsin 33cos 21V h h V R h h RD ++。
分析：1）当雨从人正面降落，即V 方向取正，V>0,由此得到}sin 32)cos (21{)(θθV h h V R h h R D R W ++=；对W （R)进行单调性分析可知，其一阶导数0)(<'R W 。
所以W(V)单调递减。
无最小值。
2）当雨从人后面降落，即V 方向取负，V<0，由此得到()θθsin 33cos 21)(V h h V R h h RD R W ++= =21)cos 21sin 32(h Dh RV h h V h h D --θθ，θcos 0V R -<<----------------① =θθθcos ,21)sin 32cos 21(V R h Dh RV h h V h h D -≥++；------------------② 分别讨论上诉两种情况下的一阶导数可得：2)cos 21sin 32()(R V h h V h h D R W θθ+-=' 下面对其进行极值分析：其 a ）当θcos 0R R -<<时，当θθcos 21sin 32V h h V h h +>0时，。
淋雨问题数学建模
s1 bc, s2 ab
淋雨时间：
雨速垂直分量：
分别计算其淋雨量如下：
d t v
u cos
雨速水平分量：
u sin
顶部淋雨量： 迎面淋雨量：
Q1 s1tw cos bc
d w cos v
v d u sin v Q2 s2tw ab w u v u
所以总的淋雨量为：
符号说明
三、模型的建立
人在雨中行走时可能出现以下三种情形： 情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋 遍全身
淋雨的面积
雨中行走的时间 降雨强度
S 2wh 2dh wd (米2 )
D t (秒) v
I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600 ) I (m / s )
s3 bc, s4 ab
d 淋雨时间： t v
雨速垂直分量：
，分别计算其淋雨量如下：
u cos
方向与v相同，故相对雨速
雨速水平分量：u sin 故相对雨速v= u sin v
cos 顶部淋雨量： Q3 s3tw cos bcdw v
v abdw | u sin v | 背面的淋雨量： Q4 s4tw u uv
a b
（3）
由（1）式知总淋雨量
Q stw (2ab 2ac bc)
d w v
易知 v越大，Q值越小，故此时跑得越快，所淋到的 v vm时， Q 最小； 雨量越少。即：当 对（2）式关于v求导可得 ：
Q bdw cu cos au sin 0 2 v u v
时，Q最小
2 v u sin
四、结果分析
淋雨量建模
淋雨量与跑步速度关系探究摘要本文就“淋雨量与跑步速度关系”的问题建立了数学模型，从实际情况出发对不同条件下速度和淋雨量关系做出分析探究。
针对问题一：因为已经假设雨淋遍全身，且不考虑雨的方向，当人以最大速度跑步时，可由题中的已知条件，直接列方程求解。
针对问题二：利用最优化原理，以雨从迎面吹来时的“淋雨量—速度”图像为指标，利用了几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，建立出一个动态规划模型，结合题目中的已知条件，列出方程求解。
针对问题三：解决方法和问题二相同，通过绘制出雨从背面吹来时的“淋雨量—速度”图像，方便快速直观地得到两者关系。
利用了第二问已知的几何中的面积公式及物理中速度的分解等知识，列出方程求解即可得到相应结论。
针对问题四：结合问题三的结论，做出相应的图像，即可清楚地得出总降雨量最小的点。
针对问题五：将简单的平面问题升华为空间问题，但处理方法和问题二基本相同，只是增加了空间角，本质没有区别。
关键词：总淋雨量aMathematic1．问题分析本文讨论的是跑步快慢与淋雨量的关系。
总的淋雨量即为人体的各个面上的淋雨量之和。
每个面上的淋雨量等于单位面积，单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。
面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。
再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。
当雨线方向和跑步方向不在同一平面时，我们设出雨线方向角，按照上述方法将其分解，同样可以解决问题。
2．问题的重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，说明是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，解释不考虑雨的方向，雨从迎面吹来，雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向不在同一平面内的总淋雨量时的模型变化，已知总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。
每个面上的淋雨量等于单位面积，单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。
面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值，再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程即可求解。
淋雨
淋雨问题数学建模一、题目：淋雨问题要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
二、问题假设（合理的假设）1 将人体看成一个长方体；2 雨速为常数且方向不变；3 降雨量为一定值；4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内；三、符号的假定:身高（颈部以下）：a=1.5米身宽：b=0.5 身厚: c=0.2米跑步距离：d=1000米跑步速度：v 跑步最大速度：=5v m sm雨速：u=4m s降雨量：w=4cm h总淋雨量：Q雨迎面吹来与人的夹角：θ雨背面吹来与人的夹角：α雨侧面吹来与人的夹角：γ有效淋雨面积:s 以人为参考系时的相对雨速:v四、问题分析：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大的速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
分析：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示）（图1）（2）雨迎面吹来，雨线与跑步的方向在同意平面内，且与人体的夹角为θ。
分析：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为θ，此时后背淋不到雨（如图2所示）（图2）（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人体的夹角为α。
分析：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人背面体的夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示）。
面淋不到雨（如图3所示）图 3我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。
为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角θ、α）对总淋雨量的影响。
（4）雨线的方向与跑步方向不在同一平面内。
分析：雨线的方向与跑步方向不在同一平面内时，与人侧面的夹角为γ，人体只有顶部与一个侧面淋到雨（如图4所示）(图4) 五、模型的建立先考虑现有一块土地面积为s ，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t 内该土地的淋雨量为 Q stw =。
人在雨中走淋雨模型
人在雨中行走的淋雨量数学模型院系：数学与统计学院班级：数学与应用数学1班姓名：学号：摘要一直以来，下雨对我来说，是件很烦恼的的事情。
不管下雨有多大，不管有没有打伞，总是会让自己淋得全身是雨，所以研究人在雨中行走的淋雨量对我这样的人有很大的必要。
本题给定路人在地点AB之间为直线行走。
要求建立路人淋雨量与雨速、雨向、行走速度之间的关系。
假设题中所涉及的降雨量为指天空降落到地面上的直接降雨量（未经流失、蒸发、渗透在地面上（假设是水平地面）集聚的水层深度。
）。
淋雨量，指下雨时路人在行走时全身所淋的全部雨的量（即淋雨的路人淋雨的体积，为人表面的面积×淋雨时间×单位面积的淋雨量。
）。
雨速为天空中降雨的速度。
雨向随风而定。
行走速度即行人的步速。
对于问题，我们设人淋雨面积为模型人前、后、左、右、头顶面积之和。
当有风时，人的身体就不会全部淋雨，那么此时淋雨面积就要根据风向即雨向来定，要根据具体情况来确定淋雨体积。
关键词：模型、淋雨量、降雨量、雨速、雨向、降雨角度、行人行走速度、分析、联系实际。
问题重述与分析：问题：下雨时，路人从A地点直线行走到达B地点。
（1）建立路人淋雨量与雨速、雨向、行走速度的关系；（2）并用计算机模拟方法对建立的关系证实。
分析：假设雨向与行人行走方向成夹角为α，①当无风时，α=90°，雨自上而下垂直向下。
则雨均匀淋遍全身。
②当风迎面吹来，即此时α<90°，此时淋在行人身上的雨即为降雨的竖直分量。
③当风从背面吹来，即此时α>90°，此时淋在行人身上的雨也为降雨的竖直分量。
当有风时还要考虑降雨速度与行人速度的相对速度。
问题假设：假设行人为标准长方体形状。
假设行人在雨中行走时，以速度ν从地点A匀速向地点B走去，不管雨速、雨向如何都不变化。
雨向一旦固定，就不会在改变，即α恒定。
雨的密度相同，雨滴大小、形状相同，雨滴为标准球形。
假设行人淋雨的量与雨速成正比。
数学建模 淋雨模型
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]：（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设四、（1）、将人体简化成一个长方体，高a=（颈部以下），宽b=，厚c=.设跑步距离d=1000m，跑步最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；五、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝（㎡）V＝ (cm3)= (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v 1800v 875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ 由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
下雨时淋雨量模型
淋雨量模型
每当下雨而人们又忘记带雨伞不得以要淋雨时，大家脑海中总会思考起这样一个问题：淋雨时走得越快淋雨少，还是走得越慢淋雨少呢？
有人认为走得快淋雨少，因为走得快用时少，从正上方降落到头上的雨滴就少；也有人认为走得慢淋雨少，因为走得快人正前方淋到的雨就多，而且正前方的淋雨面积肯定比正上方的大。
那么在固定行程时到底怎样才能淋雨最少呢？现在我们建立一个数学模型来研究一下这个问题。
设出参数：
人的前进速度：V人
雨滴下落的速度：V雨(2-9m/s)
风的速度：V风（矢量，迎风则合速度为相加，顺风为相减）
人的前进方向与风向的夹角：α
将人体设定为一个长方体：
厚度为a，宽度为b，高为h（0<a<b<h<2.5m）
人的行走距离：s
单位体积包含的雨量为n（kg/m³）（当地气象预报平均降雨量为k(mm/h)，则n=k/v雨/3600）
单位均为国际单位
则淋雨量M分为三面：正面，侧面，顶面
M正=nbh*(V人+V风*cosα)*s/V人
M侧=nah*V风sinα*s/V人
M顶=nab*V雨*s/V人
总淋雨量M=ns*bh+ns*(bh*V风*cosα+ah*V风sinα+ab*V 雨)/V人
从公式可以看出总的淋雨量去除常数项部分后，和人的前进速度
成反比例关系；逆风时的速度为加，逆风的淋雨量要比顺风的淋雨量大。
当风速为0时，公式变为：
M=ns*(bh+ab*V雨/V人)
则淋雨量只和人的速度及降雨速度相关。
带入一些数据我们可以算一下平时都淋了多少雨。
关于淋雨数学建模
淋雨数学建模摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。
并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角α满足tan caα<时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当αsin u v =时，淋雨量最小。
关键词：淋雨 直线行走一 问题重述人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。
试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少，并用MATLAB 编程实现。
假设跑步距离d=100米，跑步最大速度为m v =5 m/s ，雨速u=4m/s ，降雨量为w=2cm/h 。
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为θ,问跑步速度v 为多大？淋雨量最少。
二 问题的分析人在雨中行走时可能出现以下三种情形：情形一：雨垂直下落，人以速度v 前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示）图 1情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为θ，此时后背淋不到雨（如图2所示）图2情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示）图 3我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。
为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角θ、α）对总淋雨量的影响。
三合理的假设3.1 将人体看成一个长方体；3.2 雨速为常数且方向不变；3.3 降雨量为一定值；3.4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内；3.5 符号的假定:a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚v: 跑步最大速度d: 跑步距离 v: 跑步速度mw: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量θ: 雨迎面吹来与人的夹角α: 雨背面吹来与人的夹角s：有效淋雨面积v：以人为参考系时的相对雨速四模型的建立我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t内该土地的淋雨量为Q stw=。
数学建模-淋雨模型
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度vm及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论：[17]（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，记跑设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ. ，且 0°<θ<90°，建立a ，b ，c ，d ，u ，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θsin u ⋅且方向与v 相反，故人相对于雨的水平速度为：()v sin u +⋅θ则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v sin u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /cos b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
数学建模淋雨模型
淋雨量模型一、问题概述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ωm：=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论[17]（1）、不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量;（2）、雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系，问速度v多大，总淋雨里最少。
计算θ=0，θ=30°的总淋雨量.（3）、雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。
计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）（4）、以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义.（5）、若雨线方向跑步方向不在同一平面内，试建立模型二、问题分析淋雨量是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
可得：淋雨量（V）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S）×淋浴时间（t）①时间（t）=跑步距离（d）÷人跑步速度（v）②由①②得：淋雨量（V）=ω×S×d/v三、模型假设（1）、将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m.=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，设跑步距离d=1000m，跑步最大速度vm记跑步速度为v；（参考）（2）、假设降雨量到一定时间时，应为定值；（3）、此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；四、模型求解：（一）、模型Ⅰ建立及求解：设不考虑雨的方向，降雨淋遍全身，则淋雨面积：S＝2ab+2ac+bc雨中奔跑所用时间为：t=d/v总降雨量V＝ω×S×d/vω＝2cm/h=2×10-2/3600 (m/s) 将相关数据代入模型中，可解得：S＝2.2（㎡）V＝0.00244446 (cm³)=2.44446 (L)（二）、模型Ⅱ建立及求解：若雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ.，则淋雨量只有两部分：顶部淋雨量和前部淋雨量. （如图1）设雨从迎面吹来时与人体夹角为θ.，且0°<θ<90°，建立a，b，c，d，u，ω，θ之间的关系为：（1）、考虑前部淋雨量：（由图可知）雨速的水平分量为θu⋅且方向与v相反，sin故人相对于雨的水平速度为：()v⋅θsinu+则前部单位时间单位面积淋雨量为：u /v sin u ）（+⋅⋅θω又因为前部的淋雨面积为：b a ⋅，时间为： d/v于是前部淋雨量V 2为 ：()()[]()v /d u /v sin u V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωb a即：()()v u /v s i n u a V 2⋅+⋅⋅⋅⋅=θωd b ①（2）、考虑顶部淋雨量：（由图可知）雨速在垂直方向只有向下的分量， 且与v 无关，所以顶部单位时间单位面积淋雨量为()θωcos ⋅，顶部面积为()c b ⋅ ，淋雨时间为()v /d ，于是顶部淋雨量为：v /c o s b V 1θω⋅⋅⋅⋅=d c ②由①②可算得总淋雨量 :()()v u /v sin u a v /cos c b V V V 21⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=+=θωθωd b d代入数据求得：v1800v875.1sin 5.7cos V ⋅++=θθ由V （v)函数可知：总淋雨量（V ）与人跑步的速度（v ）以及雨线与人的夹角（θ）两者有关。
数学建模淋雨量与跑步速度
数学建模淋雨量与跑步速度
情景重现
下雨天忘了带雨伞，要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑的越快，淋雨越少，将人体简化为长方体，高a=1.5米（颈部以下），宽b=0.5米，厚c=0.2米，设跑步距离d=100米，跑步最大速度=5米/秒，雨速u=4米/秒，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为）
基本假设
（1）风速始终保持不变
（2）降雨速度和降雨强度保持不变
（3）跑完全程的速度始终不变
符号的约定
a人的身高（颈部以下）（已知）
b人的宽度（已知）
c人的厚度（已知）
d全程距离（知）
Vm跑步最大速度（已知）
u雨速（已知）
w降雨量（已知）
v人跑步的速度（未知）
C身上被淋的雨水总量（升）（未知）
I降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）（厘米/时）
模型的建立
结论
通过对以上模型的分析我们可以知道,在雨中行走时要使身上淋的雨水最少,除了要考虑降雨角度外,还好考虑降雨速度,即是根据降雨角度和降雨速度来选择自己在雨中的行走速度,具体做法如下:
(1)如果雨是迎着前进的方向落下，应该以最大的速度跑完全程..
(2)如果雨是从背后落下，这时应该控制在雨中的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量.。
ej淋雨量模型
雨中行走模型摘要：在实际的日常生活中，人在雨中移动，根据不同的雨速及风向等因素求出相应的移动速度，用数学分析的方法建立数学模型，使人在一定的移动距离下淋雨量最小。
关键词：人速雨速风向面积体积淋雨量1 问题的复述在雨中沿直线从一处跑到另一处，雨速为常数且方向不变，讨论人跑的速度与淋雨量的关系。
将人体简化成一个长方体，高a=1.5m（颈部以下），宽b=0.5m，厚，雨速u=4m/s，降雨量c=0.2m。
设跑步距离d=1000m，跑步最大速度=5m/sw=2cm/h，记跑步速度为v。
主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2问题的分析考虑到人（或物体）在雨中A地走到B地，其距离为L，为方便起见我们认为在雨中行走的这一段时间雨速不变的情况下，并且无其他因素的限制与影响下的移动，在此前提下建立数学模型找出最优的速度，才能使淋雨量最小。
3合理的假设3．1雨速在相当长的一段时间里是不变的，其中包括矢量速度的大小和方向3．2人（或物体）可以理想化为一个长方体。
3．3在一定的时间里降雨量是不变的，即为一个常值3．4可以建立空间直角坐标系使人的行走速度只在x方向有分量4符号的说明L ：人从A地走到B地的距离V：雨的速度V X,V Y V Z :V在空间直角坐标系中x，y，z方向上的速度的分量t：时间变量v：人（或物体）的移动速度R（u）单位时间里的淋雨量K：比例系数5模型的建立人（或物体）的表面比较复杂，为简化模型我们设前侧，顶的面积之比为a：b：c，使在空间直角坐标系中人行走的v={u，0，0}，V={V X，V Y，V Z}，由此可以知道在雨中行走的时间为t=L/u。
在上述的假设下，我们容易有数学分析中的曲面积分的通量的概念和空间向量之间的关系知单位时间里的淋雨量是与（|u-V X|，|0-V Y|，|0-V Z|）.（a,b,c）=a|u-V X|+b|0-V Y|+c|0-V Z|成正比的。
数学模型淋雨量
1.不考虑雨的方向，因为降雨量w 均匀地淋遍全身，所以在将人体简化成长方体的情况下，忽略次要因素，人以最大速度跑步，根据淋雨时间、单位时间、单位面积上的降雨量等有关条件，列出总淋雨量W 的求解公式如下： ()max22d W ab bc ac wv =++利用MATLAB 编程求解（见附录一），可得：0.0024W ≈3m2.根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s （前面），人体接收的雨量和头顶面积、头顶部分与雨滴垂直下落方向分量1u 、行走时间有关。
列式求解如下：头顶：11cos u u s bc ==θ假设降雨量w 与与点密度（均匀不计）淋雨量与人相对速度有关，所以：111111cos cos cos w u w w d bcdw W w s t w bcv v∝====θθθ正面：2sin v v u =+θ而222222212sin sin sin sin v u uw v w wv uw w u v abdW w s t wu v bd av W W W w c a v u +∝=+=⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭θθθ+1θ利用MATLAB 编程求解（见附录二），可得： 当v =5m/s 时，淋雨量W 最小； 当θ=0°时，W =0.00123m当θ=30°时，W =0.00163m3. 根据题意，根据题意，将降落在人体上的雨滴分成两部分，1s （顶部）2s （前后两面），1s 面积为1s bc = 假设：1w 与雨点密度，雨点与人的相对速度成正比而雨点均匀分布。
头顶：111111cos cos cos w v v u w w ds w t bcw vααα∝=∴===1W正面：当sin u v α<时，人速大于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的前面2222sin sin w v v u v v u w wuαα∝-=-∴=2sin v u dW wab u vα-=当sin u v ≥θ时，人速小于垂直于人前后面的雨速，雨会沾到人的后面2222sin sin w v u v v u vw wuαα∝-=-∴=2sin u v dW wab u vα-=因为12W W W =+所以[][]cos sin sin cos sin sin bcw d u v d wab u v v u vW bcw d v u d wab u v v u v αααααα⨯⨯-⎧+⨯⎪⎪=⎨⨯⨯-⎪+⨯≤⎪⎩>用lingo 编程（见附录三）求解可得：当v =2m/s 时，总淋雨量最少;雨线方向与人体夹角为30°时，淋雨量为0.2405556E-033m 。
淋雨量模型 作业(1)
淋雨量模型一、问题的重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化为一个长方体，高a=1.5 m(颈部以下)，宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为m v=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2 cm/h，记跑步速度为v,按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为ө，如图1。
建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w, ө之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。
计算ө=0, ө=030时的总淋雨量。
（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2。
建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w, α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算α＝030时的淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
二、问题的分析及思路根据生活经验：若人静止站在地上，让雨淋着，雨速u越快，时间t越久，就会被淋的越惨，因为雨速与降雨量成正比，所以淋雨量Q与降雨量w（从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，称为降雨量）有关，不难想象，若雨斜着落，则Q也会不同，所以Q与雨的方向有关；若人以速度v移动，u、t一定，那么人的身上的水即淋雨量Q就相对变小。
跑的路程d越大，Q也越大，所以Q一定与v、d有关；若w和v都一定，那么一个身体宽大的和一个矮小的站在一起，那么宽大的那个身上的水可能就比矮小的多，所以Q还与被淋面积s有关。
综上所述，淋雨量Q与降雨量w、时间t、被淋面积s有关，可以知道这是一个优化模型。
淋雨量数学模型
论文题目：雨中行走淋雨量分析雨中行走淋雨量分析摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中奔跑时淋雨多少与奔跑速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
利用MATLAB软件对各个问题进行了求解。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
人以最大速度奔跑1000m，用MATLAB求解可得淋雨量近似为0.00243m。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与跑步速度v之间的函v时，淋雨量最少。
并计算出当雨与人体的夹数关系。
分析表明当跑步速度为max角θ=0时，淋雨量近似为0.00123m；当θ=30°时，淋雨量近似为0.00163m。
针对问题三，雨从背面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解，可知当人速度v=2m s时淋雨量最少，α=30°时的总淋雨量近似为0.2405556E-033m。
针对问题四，列出淋雨量W和跑步速度v之间的函数关系式，利用MATLAB 画出α分别为0°，10°，….90°的曲线图。
针对问题五，雨线与人跑步方向不在同一平面内，则考虑人的淋雨面积为前后左右以及头顶。
分别列式表示，总的淋雨量即为三者之和。
关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、 问题重述生活中我们常常会遇到下雨却没有遮雨工具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往很多人会在雨中快走或奔跑以使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
人在雨中奔跑速度与淋雨量问题(1)
人在雨中奔跑速度与淋雨量问题班级:数学(2)班 学号:1107022037 姓名:张柯摘要 在雨速和方向都不变的情形下讨论雨中行走问题,分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系,建立相应的数学模型,使得被雨水淋湿的程度最低.得出不考虑雨的方向,淋雨总量(22)/Q wd ab ac bc =++v .即人走的越快淋雨量越少.因此在这种情况下应以最大速度行走.考虑风向时[cos (sin )]bpd Q uc a u v vθθ=++.当夹角θ一定,淋雨量Q 随着v 的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少. 关键词 淋雨量,数学模型,最优淋雨量正文1 问题的提出1.1 不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的淋雨量.1.2 雨从迎面吹来,雨线与跑步方向在同一平面内,且与人体夹角为θ,跑步速度v 为多大时淋雨量最小.2 合理假设2.1 假设人在雨中沿直线的方向奔跑且匀速.2.2 假设雨的速度为常数、雨的方向及降雨量即降雨强度不变.2.3 假设风速和风向保持不变.2.4 假设不考虑人表面不平整和衣服的原因对雨水的吸收量,将人 体简化为一长方体.2.5 假设雨线方向与人跑步方向在同一平面内.2.6 变量的限定表一变量表3 模型的构建3.1 不考虑雨方向淋雨总量模型图 1 雨水与人关系模型图不考虑雨的方向,如图1人以最大的速度奔跑,雨淋遍全身.前后面及两侧面与上面受淋雨面积分别为2ab,2ac,bc.淋雨的总面积22=,在雨中历经的时间w cm hS ab ac bc=++,降雨量2/t=/d v,淋雨总量为=Q Swt故=++v(1)(22)/Q wd ab ac bc3.2 考虑风向淋雨总量模型雨迎面吹来,雨线方向与行走方向在同一平面内且与人体夹角为θ,如图2所示.根据实际情况估计人体淋雨可分为头顶和前左右几个方向上.雨迎面吹来时,由于雨相对于人的速度有变化,因此人单位时间内接收雨量变化,且与相对速度成正比.据此,推算出前后侧上单位时间接受雨量.同理,头顶部位接雨量与雨速垂直于头顶平面的分速度成正比.分别计算出头顶侧与前侧单位时间接雨量,并分别乘以各自面积以及时间d v,从而得到头顶及两侧淋雨的总量.即人体总的淋雨量.据此可得Q 与v 之间关系.图 2 雨水与人关系模型图顶部淋雨量为顶部淋雨面积bc 与降雨强度pu 以及淋雨时间d v的乘积,故1Q =c o s d b c p u v θ (2) 前方淋雨量为前侧淋雨面积ba 与降雨强度(sin )p u v θ+以及淋雨时间d v的乘积,故 2Q =(s i n )d b a p u v vθ+ (3) 因此，淋雨总量c o s (s i n )d d Q bcpu bap u v v v θθ=++ [c o s (s i n )]bpd Q uc a u v vθθ=++ (4)4 模型的求解4.1 不考虑降雨方向的情况下,将100d =米,最大速度为max 5/v m s =,雨速为4/u m s =,降雨量为2/w cm h =带入,则跑完全程的淋雨量为Q 0.002(22)/3ab ac bc =++ (5)4.2 考虑降雨方向即风向,其模型应用了雨滴速度的分解及相对运动速度的概念,得出总的淋雨量为c o s (s i n )d d Q bcpu bap u v v v θθ=++ (6) [cos (sin )]bpd Q uc a u v vθθ=++ (7)其中假设夹角θ一定,淋雨量Q 随着v 的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少.5 结果分析5.1 根据不考虑雨的方向,雨淋遍全身即人的前面、后面 、左面、右面和上面淋雨建立了相应的模型.(22)/Q Swt wd ab ac bc v ==++ (8)从模型中可以看出淋雨总量Q 随着v 的变大而变小,即人走越快淋雨量越小.5.2 雨迎面吹来,雨线方向与行走方向在同一平面内且与人体夹角为θ,应用雨滴速度的分解及相对运动速度的概念建立了相应的数学模型.cos (sin )[cos (sin )]d d Q bcpu bap u v v vbpd Q uc a u v v θθθθ=++=++ (9)其中假设夹角 一定,淋雨量Q随着v的变大而变小,即人走的越快淋雨量越少.6 模型的评价通过对题目的分析求解,可知道人在雨中奔跑的淋雨量不仅与跑步速度有关,还与雨线与人跑步方向的夹角,雨速以及人跑步速度等因素有关.文章中并未对雨从背面吹来的情况进行研究,建出相应的模型.,文章还忽略了降雨密度不均匀,风向不稳定等次要因素,以便更好的对问题进行分析和研究.但在实际问题中的限制性因素远远超过这些,因此文章的分析方法仍存在一定的局限性,有待改进和提高.参考文献[1] 刘锋.葛照强.数学建模[M].南京:南京大学出本社,2005.[2]全国大学生数学建模竞赛组委会.全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编[C].北京:中国物价出版社,2002.[3] 党林立.孙晓群.主编数学建模简明教程[M]西安电子科技大学出版社.。
数学建模第三次作业
雨中行走淋雨量问题分析芮雪（数科院数创2班）A班刘倩冰（数科院数创2班）姜勇（计科院软工1班）摘要人在雨中奔跑时的淋雨量与很多因素有关，主要分析人的跑步速度、降雨方向和雨速大小与淋雨量之间的关系。
本文讨论了在给定降雨条件下，分别建立相应的数学模型，探究淋雨量与跑步速度、降雨方向和雨速大小之间的量化关系，分析总淋雨量最小时对应的跑步速度大小。
针对问题一，在不考虑雨方向的条件下，淋雨总面积为人体前后左右及头顶面积之和，结合雨速大小与淋雨时间，进一步得到跑完全程的总淋雨量。
针对问题二，根据雨线与跑步方向在同一平面内，可分析出雨速在某一方向上没有分量，又由雨迎面吹来，可知淋雨面积为人体前方和头顶面积之和。
进而借鉴数学分析中曲面积分的通量概念，建立雨从迎面吹来的淋雨量模型，运用图解法分析淋雨量最小时对应的跑步速度，有以下结论：当雨从迎面吹来，即雨在人跑步水平方向上的分速度与人跑步速度方向相反时，人跑得越快，总淋雨量越少。
针对问题三，按照问题二的建模思想，建立雨从背面吹来的淋雨量模型，通过图解法探究淋雨量最小时对应的跑步速度。
结果表明：雨速在人跑步方向上的分速度大于某一常量的情况下，人跑步速度等于雨速在跑步方向上的分速度时，总淋雨量最小；雨速在人跑步方向上的分速度小于这一常量的情况下，人跑的越快淋雨量越少；雨速在人跑步方向上的分速度等于这一常量的情况下，人跑步速度为这一常量的两倍时，总淋雨量最小为零，在理论上即人的速度为合理值时，可以不淋雨，但是不具有实际的指导意义。
针对问题四，根据雨线方向与跑步方向不再同一平面内，分析出雨速在三个方向上都有分量，同样利用通量概念，建立此时跑步速度与总淋雨量之间的模型，探究模型的变化。
通过综合对比各模型给出结论：当雨速在人跑步方向上的分速度大于某一正常数的情况下，只要人跑步速度等于雨速在人跑步方向上的分速度时，总淋雨量最小，其他情况下，人跑得越快，淋雨量越小，显然这符合人们的生活常识。
数学建模-淋雨模型
建模论文|淋雨模型姓名：王瑜班级：服工112学号：1人在雨中行走的速度与淋雨量关系摘要本文在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。
其中文中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。
淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收到得雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。
针对问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设得人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。
针对问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。
因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。
据此可列出总淋雨量W与行走速度v之间的v时，淋雨量最少。
函数关系。
分析表明当行走速度为max针对问题三，雨从背面吹来，雨线与行走方向在同一平面内，人淋雨量与人和雨相对速度有关。
列出函数关系式分析并求解。
关键词淋雨量；降雨的大小；降雨的方向（风）；路程的远近；行走的速度；一、问题重述生活中的我们常常会遇到下雨而没带雨具的时刻，我们在那时会有很多选择，其中之一就是淋雨，往往好多人会在雨中快走或奔跑而使自己身体淋雨量最小化，但往往很多人会感觉到淋雨量并不会因为快走或奔跑而减少多少，反而有时候淋雨量倒有所增加，淋雨量和速度等有关参数的关系如何，是否人走得越快雨淋得越少，让我们假设一数学模型模拟计算真实情况。
当我们在雨中从一处沿直线跑到另一处时，如果雨速为常数，走的时候身体的动作的大小和暴露在雨中的面积大小影响着淋雨的多少，并且行走速度也同样影响着淋雨量Q，将人体简化成一个长方体，高a=1.5米，宽b=0.5米，厚c=0.2m，行走距离D，雨速u，降雨量I，行走速度为ν。
1、当我们不考虑风，即雨滴垂直下落时，淋雨量和人行走速度之间的关系？2、当雨滴从前方（斜的）下落时，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v及其它参数之间的关系，此时速度与淋雨量的关系？3、当雨从人的背面吹来，即雨滴与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v之间的关系？二、模型的假设与符号说明2.1 基本假设1、假设人行走的路线是直线；2、不考虑风的方向（即假定前后左右都淋雨），这是一种较为理想的假设，主要为了建模的方便，并且假设雨滴的速度为常数；3、为计算淋雨面积的方便，把人体表面积看成长方体，长用a表示,宽用b表示，厚度用c 表示，且abc都是定值。
数学建模淋雨量模型完整版
数学建模淋雨量模型 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】重庆大学本科学生论文数学模型的淋雨量模型学生：谭昕宇、杨龙顺学号：指导教师：黄光辉专业：通信工程专业重庆大学通信工程学院二O一七年十月摘要本文针对淋雨量最小问题，采用matlab仿真等方法，得到不同风向下淋雨量与跑步速度的关系。
针对问题一，可以得到淋雨量最小是针对问题二，通过matlab仿真可以得到迎面淋雨时跑步速度最大，淋雨量最小。
且淋雨量大小与跑步方向和雨线夹角有关。
针对问题三，通过matlab仿真可以知道背面淋雨时，跑步方向和雨线夹角不太小时，当跑步速度与雨速在同一方向分量相等时淋雨量最小，此时只有顶面淋雨。
在本文的最后，对模型的优缺点进行分析，并提出一些改进。
关键字：淋雨量最小，跑步速度，雨线与跑步方向夹角， matlab目录一、问题描述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。
讨论淋雨量与人体跑步速度的关系。
二、问题分析这是一个简单优化问题，根据雨速大小和方向、人速度大小进行合理分析，使得人淋雨量最小。
淋雨面积与雨的方向有关，淋雨时间与跑步速度与雨速相对速度大小有关，所以在不同情况下有不同的最优解。
三、模型假设1.人体简化成一个长方体，高a=(颈部以下)，宽b=,厚c=；2.雨速u是常数(4m/s)，在跑步过程中降雨量w是常数(2cm/h)；3.在整个过程中人跑步速度v是常数，且有最大速度Vmax=5m/s;4.雨线的方向是确定的;5.跑步距离一定d=1000m.根据题意，按以下步骤进行讨论：不考虑雨的方向，设雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
淋雨面积s=2ab+2ac+ab=,跑完时间t=d/v=200 s,降雨量w=2cm/h=1/s,淋雨量 Q=swt= m3。
雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，建立总淋雨量与速度v的关系，求解总淋雨量最少的最优解，并计算θ=0，θ=30。
数学建模简单――B题
B题：
最少淋雨量问题
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化为一个长方体，高a=
1.5m(颈部以下)，宽b=
0.5m，厚c=
0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为v
m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量w=2 cm/h，记跑步速度为v,按以下步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为ө，如图1。
建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w,ө之间的关系，问速度v 为多大，总淋雨量最少。
计算ө=0,ө=300
时的总淋雨量。
（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2。
建立总淋雨量与速度v及参数a, b, c, d, u, w,α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算α＝300时的淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对
（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
图1
图2。
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淋雨量模型
一、问题的重述
要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，
试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。
将人体简化为一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，
厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为v m=5m/s，雨速
u=4m/s，降雨量w=2cm/h，记跑步速度为v,按以下步骤进行讨论：
（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。
（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹
角为?，如图1。
建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,
?之间的关系，问速度v为多大，总淋雨量最少。
计算?=0,?=30 0时的总淋雨量。
（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体
的夹角为α，如图2。
建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u, w,α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最少。
计算α＝300时的
淋雨量。
（4）以总淋雨量为纵轴，速度v为横轴，对（3）作图（考虑α的影响），并解释结果的实际意义。
（5）若雨线方向与跑步方向不在同一平面内，模型会有什么变化。
二、问题的分析及思路
根据生活经验：若人静止站在地上，让雨淋着，雨速u越快，时间t越久，就会被淋的越惨，因为雨速与降雨量成正比，所以淋雨
量Q与降雨量w（从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流
失而在水面上积聚的水层深度，称为降雨量）有关，不难想象，若雨斜着落，则Q也会不同，所以Q与雨的方向有关；若人以速度v移动，u、t一定，那么人的身上的水即淋雨量Q就相对变小。
跑的路程d越大，Q也越大，所以Q一定与v、d有关；若w和v都一定，那么一个身体宽大的和一个矮小的站在一起，那么宽大的那个身上的水可能就比矮小的多，所以Q还与被淋面积s有关。
综上所述，淋雨量Q与降雨量w、时间t、被淋面积s有关，可以知道这是一个优化模型。
三、模型假设
为了处理得的方便，可以把问题模型理想化，根据问题性质作如下假设：
1、雨速为常数且方向不变
2、将人体简化为一个长方体，高a=1.5m(颈部以下)，宽b=0.5m，
厚c=0.2m，设跑步距离d=1000m,跑步最大速度为v m=5m/s，雨
速u=4m/s，降雨量w=2cm/h，且这些量在一定的时间是不变量，即忽略外界因素的影响。
3、人匀速v跑动。
四、模型建立
将淋雨量Q表示成被淋面积s、被淋时间t和降雨量w有关的函
数，即Q=stw，在此得重点分析被淋面积s，雨速与降雨量成正比，
当雨速为u1时，降雨量w
1 u
1 w，根据不同具体模型，
s有不同表示，u
所以得根据下面不同情况建立Q的函数。
五、模型求解
问题（1）：
因为不考虑雨的方向，所以跑步过程中只有模型底部不会被淋
到，故被淋表面积s=2ab+2ac+bc=2.2m2，又因为以最大速度匀速跑，
故时间t=d=1000/5s=200s，降雨量w=2cm/h=1/180000m/s,所以淋
v m
雨量由表达式Q=stw=2.44L。
问题（2）：
因为雨线与跑步方向在同一个平面且与人体夹角为θ，故由理想条件知只有顶部和正面被淋到雨。
首先分析顶部淋雨量Q1，由图可知此时只有竖直向下的雨速是有
效的雨速，此时为u1=ucos(θ),降雨量为w1=u1/u*w=wcosθ，当速
度为v时，时间t=d/v，面积s1=bc，故Q1=s1*t*w1=(bcdwcosθ)/v，
再分析正面淋雨量Q1，此时只有水平方向的雨量时有效的，由速度
合成可知，相对人的有效雨速 u2=v+usinθ，此时降雨量w2=u2/u*w=w
（usinθ+v）/u，面积s2=ab，故降雨量Q2=s2*t*w2=abdw（usinθ
+v）/（uv），故总淋雨量Q=Q1+Q2=（bdw）*【cucosθ+a（usinθ+v）】
/(uv),v=Vm时Q最小，θ=0.Q≈1.15L，θ=300，Q≈1.55L。
问题3:
同上所知，头部淋雨量Q3=(bcdwcosα)/v，此时，水平方向：
当v>ucosα时，此时相对雨速v-ucosα，正面淋雨量Q4=abdw（v-ucos
α）/（uv）；当v<ucosα时，此时相对雨速ucosα-v，背面淋雨量Q4，=abdw（ucosα-v）/（uv）,故
Q Q3 Q4 b d w c cos a sin /v a/u，v u sin
Q Q3 Q'4 b d w c cos a sin /v a/u，v u sin （1）、当vusin 时，且0°＜﹤90°，可得：ccosα＋asin
α>0
对⑤式求导，易知Q' <0；所以，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加
而减少，
因此，v usin 总淋雨量最小
（2）、当v>usin α时，且0°＜α﹤90°，对（*）式求导，
1.5sin 0.2cos
解得：Q'
2
（180 v）
( ⅰ)、当1.5sinα－0.2cosα<0时，即：tanα<2/15,即Q`<0；从而推出，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加而减少，所以，
速度v=vm，总淋雨量最小。
（ⅱ）、当1.5sinα－0.2cosα>0时，即：tanα>2/15,即Q`>0；从而推出，总淋雨量（Q）随着速度（v）的增加而增加，所以，
当速度（v）取最小，即v=usinα总淋雨量最小。
当α＝30°,当vusin时，由（1）知vusin总淋雨量最小；当v>usinα时，且此时tanα>2/15，由（2）中（ii）知vunis
总淋雨量最小；
综上所述:此时v u sin =2m/s,最小淋雨量Q≈0.24L
问题4：
根据问题3中所求的降雨总量然后对式子分别求导可以可画出图如下：
结果的实际意义：与从背面吹来时，只要满足：tanα>c/a=2/15
则vusin时Q最小，相当于人的前面背面都不会淋雨，只有顶部淋雨
结果分析：
(1):由以上三个模型可知在一定速度下，人跑的越快，淋雨越
少。
(2):当雨线和人跑步方向不在同一方向时，这个模型仍然没有
变化，比如当雨线与人跑步方向垂直且与竖直面夹角为?时，只需要考虑顶部和侧面的淋雨量，此时的做法仍主要是建立直角坐标
系，并分解速度，求出降雨量，再算出淋雨量，方法同上。
(3):当雨线和人的跑步方向不在同一平面时,只需分解为应对几个淋雨面积,用同样的方法建立模型进行求解。
只不过过程较为
繁杂。