量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#14
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s(s 1) [l (l 1) 2 A / h 2 ] 的正数解
即 所以可令
s ( (2l 1)2 8 A / h 2 1) / 2
s 2 R( ) A e 1
( ，代入（１）得 )
a ) ( ) 0 2 Eh
R '' ( ) (2s 2 ) ' ( ) ( s)1
14QM-2.16 设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） （3）
px 和 px 2 的平均值；
x 和 x 2 的平均值；
1
r a
解：氢原子基态波函数为
0 (r , , )
2a
1
1 2
e
a
h2 e2
而动量 p 本征函数为
v (r ) p
v
vv 1 e 2 p .r / h 3/ 2 (2 h )
所以它在动量表象中的表达式为
( p)
1 (2h a)3/ 2
2
0 0
h
2
0
e ipr cos a / h e r / a r 2 sin d d dr
1 ip 1 ip ( )r ( )r h a h a h [ e e ]rdr 21/ 2 (h a)1/ 2 gip 0 1 1 1 g [ ] 1/ 2 3/ 2 1 ip 2 1 ip 2 i p (2h ) a ( ) ( ) a h a h
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
于 电 子 偶 素 来 说 ， 束 缚 态 的 能 级 为 ：
（ 1） 对
En
e4 (2 )2
2h 2 n 2
me e4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 4h 2 n 2
其中 为系统折合质量， me 为电子质量。 （2）对于 原子来说，束缚态的能级为：
En
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
14QM-2.17 利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即 e e 形成的束缚态的能级； （2）以 子代表核外电子所形成的 原子的能级； （3） 和 e 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为：
En
me4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 2h 2 n 2
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
Байду номын сангаас
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
量。
m e4 (2 )2 2h 2 n 2
207me e4 (2 ) 2 (n 1, 2,3, ) 其中 m 为 原子质量， me 为电子质 2h 2 n 2
（3） 和 e 形成的束缚态能级为：
me e4 (2 )2 En (n 1, 2,3, ) 其中 me 为电子质量。 2h 2 n 2
令
2 2 E r h /
1 a 2 A 1 R ' ( ) [ (l (l 1) 2 ) 2 ]R( ) 0 4 h 2 Eh 2
代入得
R'' ( )
（１）
由方程可知 ，R 的近世值为 e1/ 2
0 ，解的形式为 s ，而
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2
即 所以可令
s ( (2l 1)2 8 A / h 2 1) / 2
s 2 R( ) A e 1
( ，代入（１）得 )
a ) ( ) 0 2 Eh
R '' ( ) (2s 2 ) ' ( ) ( s)1
14QM-2.16 设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） （3）
px 和 px 2 的平均值；
x 和 x 2 的平均值；
1
r a
解：氢原子基态波函数为
0 (r , , )
2a
1
1 2
e
a
h2 e2
而动量 p 本征函数为
v (r ) p
v
vv 1 e 2 p .r / h 3/ 2 (2 h )
所以它在动量表象中的表达式为
( p)
1 (2h a)3/ 2
2
0 0
h
2
0
e ipr cos a / h e r / a r 2 sin d d dr
1 ip 1 ip ( )r ( )r h a h a h [ e e ]rdr 21/ 2 (h a)1/ 2 gip 0 1 1 1 g [ ] 1/ 2 3/ 2 1 ip 2 1 ip 2 i p (2h ) a ( ) ( ) a h a h
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
于 电 子 偶 素 来 说 ， 束 缚 态 的 能 级 为 ：
（ 1） 对
En
e4 (2 )2
2h 2 n 2
me e4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 4h 2 n 2
其中 为系统折合质量， me 为电子质量。 （2）对于 原子来说，束缚态的能级为：
En
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
14QM-2.17 利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即 e e 形成的束缚态的能级； （2）以 子代表核外电子所形成的 原子的能级； （3） 和 e 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为：
En
me4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 2h 2 n 2
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
Байду номын сангаас
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
量。
m e4 (2 )2 2h 2 n 2
207me e4 (2 ) 2 (n 1, 2,3, ) 其中 m 为 原子质量， me 为电子质 2h 2 n 2
（3） 和 e 形成的束缚态能级为：
me e4 (2 )2 En (n 1, 2,3, ) 其中 me 为电子质量。 2h 2 n 2
令
2 2 E r h /
1 a 2 A 1 R ' ( ) [ (l (l 1) 2 ) 2 ]R( ) 0 4 h 2 Eh 2
代入得
R'' ( )
（１）
由方程可知 ，R 的近世值为 e1/ 2
0 ，解的形式为 s ，而
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2