量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#14
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.31-2#3
x 0
2 x
x 0
eik0 y sin Reik0 y sin Te
ik y y
ik0 cos eik0 y sin Rik0 cos eik0 y sin Tik xe
ik y y
由于势能与 y 无关,则有 k y k0 sin ,上式变为
2 Ze / x, x 0 V x 的结果相比较. , x 0
解:根据维理定律
x 1 1 E V x Ze2 dx 2 2 x 2
如果当 x 0 时, x 不趋于零,上述积分会发散, E 会趋近于负无穷大 .这是不可能的 ,所以 我们得到 0 0 .这样我们就可以用 Laplace 变换来解决这个问题. 势能为 V x 一维薛定谔方程为
2
2
k02 sin 2
ii 在 x 0 区域中,波函数的形式和 i 中一样
在 0 x t 区域中, E V 0 ,薛定谔方程变为
2
/ 2m 2 0
在 y 方向上势能是不变的,我们有 exp ik x exp kx ,其中 k k0 sin ,
C
4ik
eikc e c 1 ik / e c 1 ik /
2 2
因为在 I 中已经取入射波的形式为 eikx ,所以透射系数 T CC * ,则有
T
k
2
2 2
4k 2 2 sinh 2 c 4k 2 2
2
当 c
1 ,即 V0 E
2
s
2
1 1 s 1 s ds
量子力学教程(二版)习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e ch d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k #1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q c o s ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#08
选择 i ，在渐进区域 x 我们有 (1 y)
代表从左边入射的平面波，而第二项代表在金属表面反射的平面波，因此
AI eikx AR eikx
（ x ）
于是反射系数是
R
AR (2 )( )( 1) ……（13） AI (2 )( )( 1)
2 2 如果 V0 E 0 ， 则有 ， 于是 是实数。 当 x 时 y
F 1 e x / a 0 ，
而 们有
y
e x / a 。于是，如果选择 0 ，则解（9）当 x 时为零。如果 E 0 ，我
2 2 ， 因 而 是 纯 虚 数 ， 比 如 说 i 。 于 是 当 x 是 ，
n 2 2 2 8ma 2
F
En a
2
n 2 2 8m
2 a3
2 En a 2 ∴ F E a
dr
0
r 2 e
r i r a
dr
令
r i r x a 1 4 原式 3 ( 2 ) a3
0
x2 ex
1 (a
i
dx )
3
1 8 a3 3 3 ( 2 )3 a3 ( i a)
批注 [JL1]: 即去掉一个 overal 相位 因子, 但好像仍有差别。
2r r2 e y dy 3 0 a 2 4 a0 4 y 3 ( ) 6e 0 a 2 3 （ a a0 ） a 2
2
2） e / r r sin (
2 2 V
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.13-2#13
U 0 e 1
x a
，入射粒子能量 E 0 时的反射系数。
解：该势场的薛定谔方程为：
U d 2 2m 2 ( E x 0 ) 0 2 dx ea 1
令 y (1 e a ) 1 ，则有 y ( y 1)
x
d 2 d 2 2 (1 2 y) ( ) 0 2 dx dy y (1 y ) y
1
1 2m 2 2m( E V0 ) 2 其中 K 2 E ， k 2 a
1 r / a0
1
2.14 设氢原子处在 （i） r 的平均值；
a
3
e
， a0 为第一波尔半径，求：
（ii）势能 e / r 的平均值；
2
（iii）能量概率的分布函数。 解： （1）首先判断题中所给波函数的归一化情况：
十三组成员 ：李俊华 200431020040
扈俊 200431020122
余功硕 200431020039
4
1
令 i ，当 x ，我们有
(1 y)
e
i x / a
eikx ，这时 1 式中 的第一项代表
代表延 x 轴正向传播的平面波，第二代表反射的平面波 因此
AI eikx AReikx , x ，因此
2
A R R AI
(v 1)(v )(2 ) ，当 E 0 时， 和 v 均为纯虚数，即 (v ) 2 (v 1)
（2）
e 2 4 e2 4e2 1 e2 2 r / a0 2 re dr r a3 a 211 a0 0
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
苏汝铿量子力学讲义第二章波函数和Schroinger方程
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征函数性质,以x趋近正无穷大为例
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
➢ 能量本征谱性质
•
振荡解,连续谱,二度简并,散射态
•
指数衰减解
振荡解
本征谱连续,无简并,非束缚态解
§2.6 一维薛定谔方程的普遍性质
• 简并
两端均指数衰减,束缚态解,分立谱,无
➢ 多粒子体系的推广
§2.1 波函数的统计解释
▪ 动量几率分布函数 =>Fourier变换频谱 展开
§2.1 波函数的统计解释
➢
可描写体系状态,
也可描写体系状态
是同一个态,不同自变量
§2.1 波函数的统计解释
➢
代表在
出现单色平面波
态中,
的几率
§2.1 波函数的统计解释
➢ 处在
的粒子,动量无确定值
2 2
2n 1
n 0,1,2,
H
n
2
n
nn
12
n2
nn
1n
2!
2n
3
2
n4
n
1 2
n!
2 n2
n 2
n 2
!
{ n
2
n/2
n 1/ 2
(n为偶数)
n为奇数
En
n
1 2
n 0,1,2,
En1 En
E0
1 2
1 2x2
n x Nne 2 Hn x
§2.3 薛定谔方程
➢ 力学量用算符表示 ➢ 两个惯例
1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变 例:二维极坐标下的薛定谔方程
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.22-2#11
2 3/ 2
1 a
'3/ 2
e z / a
'
me2 z ' 4 2 exp ,a 2 me2 4
me4 32 2 1 me4 2 2 p p x y 32 2n2 2m
基态能量 E1,0,0
所以电子的能量 E
基态能量。 解：(1)令 X
1 1 x y ,Y x y 2 2
Y , E3 Z
则 E1
X , E2
1 2A E 1 n1 1 , 1 1 2 m 1 2A E2 n2 2 , 2 1 2 m 1 2B E3 n3 3 B 2 , 3 2 m
2.22 一个质量为 m 的粒子在一个三维方势阱 V（r）中运动。 （i）证明：对于一个半径 R 一定的阱，只有阱深至少有一个极小值时，才可能有束缚态， 并计算这一极小值。 （ii）在一维情况下，类似问题的结果和三维的有何不同？ （iii）上述结果中的一半性质对任意形状的势阱是否仍然成立？例如在一维情况下，若
但是
0
0
p2 p2 V x 0 0 Vs x 0 2m 2m
所以
p2 V x 0 0 2m
即题中所给的 V x 形式的势阱均有束缚态。
2.23 一电子在一无限大接地的平面导体上方运动， 它被自己的象电荷吸收， 但电子不能穿透 导体表面， 试写出电子作三维运动的哈密顿量和它满足的边界条件， 并求出电子的能级和在 基态时，电子和导体表面之间的平均距离。 解： （1）设导体表面法向沿 Z 轴方向，系统电能 V
f ( x) 0 a <x b U ( x) x a或x b 0
量子力学课后习题答案
量子力学课后习题详解 第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Eti）（）（， 可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r1)2( 1)1(21 从所得结果说明1 表示向外传播的球面波，2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x )( ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dx dx *∴波函数不能按1)(2dx x 方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m 在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ①Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x②Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxd m a x ③由于(1)、(3)方程中，由于 )(x U ，要等式成立，必须0)(1 x 0)(2 x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.10-2#07
x Nne
1 2 x2 2
H n x
Ek
势能平均值
2 p2 2 , 2m 2m x 2
Ep
1 m 2 x 2 2
1 E p n* x m 2 x 2 n x dx 2 m 2 2 2 y2 2 3 N n y e H n y dy 2
a
1 n* x n x
0
An 2 sin 2
0
a
n xdx a
a 2 An 2
a 0 a
1 * x x A2 x 2 a x dx
2 0
a5 2 A 30
得：
A
30 , a5
An
2 a
由态叠加定理有：
2
2m
2
Nn2 e
1 2 x2 2
H n x
2 x2 2 1 2 e H n x dx 2 x
2m
2
N n 2 e
1 y2 2
H n y y 2 1 H n 4nyH n 1 4n n 1 H n 2 e
可想而知，对两个方势垒，则需解八元一次代数方程组，这是不好做的。
我们认为近似处理可以得到： D D1D2 e
2 [ 2 m (U1 E )a 2 m (U 2 E ) c b ]
12.证明对于一维谐振子，无论处在哪个本征态，它的动能平均值恒等于势能平均值。 证明： 一维谐振子的波函数是
6
其中，查表可得：
480 2 ma 2 4 5 2 ma 2
量子力学答案 苏汝铿 第二章课后答案2#02
d 2W dV ( ) 0 ， 相 应 的 必 有 )， 则 若 满 足 W ( 0) 0， 且 dx 2 dx
d ( ) 0. dx
(1) 证 决定 2 P 和 3D 态能级的 Schondinger 方程是 (2m
1)
批注 [JL1]:
u "
g2 2 u 2 u V u r r g2 6 v 2 v V v r r
u 2 v2 dr r r
(5)
d r
0
r
u r v 2 r dr r r
2
u 2 v 2 dr 0
0
而在 r 很大时 , 由 I r 的特性知 I r 0 , 所以 J r I r dr 0 , 综合上述可知在
U ( x) ( x d ) U ( x) 0 ( x d )
中运动，求：
（i）当势壁离粒子很远时，对束缚态能量的修正值。并据此说明“远离”的意义； （ii）至少存在一个束缚态时， U 0 和 d 应满足的条件。 解： （1） x d 时，势为无穷大，波函数 0
则 U ( x) 的束缚态不超过 V2 ( x) 的束缚态个数，而后者的束缚态个数为 [
2m a 2
] 1，
则所给的势 U ( x) 对应的束缚态个数在 [
2m a 2 m a 2 ] 和[ ] 1 之间 2
v 无节点，且满足
u(0) v(0) 0 ？
uv ' vu ' (
0
r
4 E2 P E3 D )uvdr ' F (r ) ， r '2
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.10-2#12
1 4 2 x 2 2 2 2 m 2 x 2 , 2 2m 2m
2 2 2
m
, x
Vn n x Vdx
2
N n H n e
2 2 2
2m
d
又由厄秘多项式 H n 的递推式 2 H n H 2 n1 2nH n1
2
a 0
2
于是 A 30a
5
下面考虑粒子能量的概率分布和能量的平均值：
2 n sin x 对一个无限深的势阱，其能级为 En 的波函数为： n x a a
0
a
x 是各个能级的波函数的叠加，故设
x cn n x cn
n n
2 n sin x a a
2 D exp 2m U 0 E b a
U1
又
a
U2
b
D R 1 ，D 是贯穿系数，R 是反射系数，
所以 D 是粒子透过势垒的概率，而由概率论知识， 粒子连续贯穿两个方势垒的概率等于 分别单独贯穿这两个势垒的概率之积。 于是
E
图 2
a b
a
0
5 2 E x dx 2 ma
2
2.10
设两个方势垒的形状分别是：
0 U x U1
x 0 , 0 x a
0 U x U 2
a x b, x c b x c
U
E
图1
求粒子连续贯穿两个方势垒的贯穿系数。 解：如图（1） ，对低能入射，贯穿一个方势垒的贯穿系数为
苏汝铿量子力学课后习题及答案
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
量子力学 第二章习题与解答1
第二章习题解答p.522.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m 2i J e)r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（，可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中 ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
量子力学(二)习题参考答案
ψ 1 (− a ) = ψ 2 (− a ) → −C sin ka = A1e −α a
比较以上两式可以得到
B2 = − A1
A1eα x , x < − a 于是有 ψ 0 ( x) = C sin kx, −a < x < a − A e −α x , x > a 1
——奇宇称态！
+∞
( p x x − Et )
4） 、由归一化条件 ψ * ( x)ψ p ' ( x )dx = δ ( p ' − p '' ) 可定出归一化常数 p'
−∞
∫
A= 1
2π h h2 d 2 ,U = 0 2 I dϕ 2
µ =− 4、平面转子（见教科书）—— H
其解为： E m =
m2 h2 , m = 0, ±1, ±2 …… 2I 1 imϕ e ， 2π
比较得到：
B2 ＝ A1
于是得
A1eα x , x < − a ψ e ( x) = C cos kx, − a < x < a −α x A1e , x > a
——偶宇称态！
（23）
其中的 C，A1 可由归一化条件和连续性条件定出。 7、 δ 形势—— U ( x ) = f ( x )δ ( x) U(x) E 1 0 2 x （1）
①
②
由①和②消去 B
→ 2 A = (1 +
2k1 k2 k +k )C = 1 2 C → C = A k1 k1 k1 + k 2
③
由①和②消去 C
→
A − B k2 = → A + B k1
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
.
解：(i)
(ii) 10 当
时，显然
20 假设当
时，满足
成立； ，则
这就是说当 综上 10,20 可知 3.4 证明：
时，满足 对于任意
；
；
；
. 的整数恒成立.
. 证：1)
由角动量与坐标算符的对易子
，知
同理有
，
即
6
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
角动量算符与动量算符的对易子 2)
，同上可证
式中 是坐标， , 是相应于 态和 态的能量，求和对一切可能的状态进行. (注：由于质量 与态 字母一样，故将质量 改为 ,避免混淆)
解：
,
,
故
4.6 证明两个厄米矩阵能用同一个幺正变换对角化的充要条件是它们彼此对易.
证:(充分性)
.设使 对角化的幺正变换 ,则
.
的变换矩阵元
即
于是
即时
,
时
故
是对角矩阵的元素，
的两个不可穿透的同心球面之间运动，不存在其他势
径向波函数所满足的边界条件是 径向部分的薛定谔方程
. .
5
引入变换 的解是
量子力学(第二版)【苏汝铿】课后习题解答
,
,基态
,代入边界条件有
,可化为
即 而 归一化 即 基态波函数 归一化
粒子的基态能量
基态波函数
3.1 若算符 、 满足
,求证:
（i）
；
（ii）用数学归纳法证明：
(必要性) 能同时将 对角化,即
的变换矩阵元
是对角矩阵， 能用同一个幺正变换 对角化. , (同充分性)
4.7 已知在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为：
量子力学答案(第二版)苏汝铿第2章课后答案2#01
U, z U new ， , z
即
U, 0 U new , 0
时，方程（1）中的方程①、②均不变，因此其本征值 E1n , E2 n 不变，方程③变为
2 1 d 2T1 B 2 E3 , 0 2 ， T1 0, 0 ……④ 2m T1 d T 0 0 1
2
……①
2 d 2S 1 (1 ) Av 2 E2 2 2m S dv 2
2
……②
1 d 2T B 2 E3 2m T d 2
2
……③
其中 E1 E2 E3 B 2 E 0 对于一维谐振子有
2 d2 1 m 2 x 2 x E x 2 2m dx 2
第一组： 第二章 2.24 一 个 质 量 为 m 的 非 相 对 论 性 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 ， 势 场 是
U ( x, y, z )
的，求：
2
A ( x2பைடு நூலகம் y 2
x) y2 (B，其中 z 2 A )0 z ， B 0 ， 1 ， 是任意
(1) 能量的本征值；
E001 1 2
3 3 B 2 （ n1 n2 0, n3 1 ） 2
2.25
一个刚体具有惯性矩 I z ， 可以自由地在 x y 平面中转动， 令 为 x 轴与转动轴之间的夹角， 求： （1）能量本征值和相应的本征函数； （2）若在 t 0 时，转子由波包 (0) A sin 2 描述，求在 t 0 时的 (t ) .
(t )
1 1 (e2i ei 2 3 2 3
量子力学教程答案(第二版)
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThc ekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有p h =λ nmm m E c hc Eh e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学(第二版)答案 苏汝铿 第二章课后答案2.16-2#09
2.16 设氢原子处在基态，求：（i ）它在动量表象中的表达式；（ii ）x p 和2x p 的平均值；（iii ）x 和2x 的平均值。
解：（i ）位置表象中的基态波函数为 ()32100r a r e ψ--=变换到动量表象为()()()2310032322221222p riap ed x a p aψψππ∞∙--∞==+⎰（ii）()22sin cos sin 0x p p p p dpd d θϕψθθϕ==⎰这是因为积分区间是对称的且被积函数关于p 是奇函数。
()22222222sin cos sin 3x p p p p dpd d a θϕψθθϕ==⎰（iii ）()()222100100sin cos sin 0x x r dr r r r drd d ψθϕψθθϕ===⎰⎰()2222221002234322sin cos sin sin cos rax r r r drd d a r edr d d aππθϕψθθϕθθϕϕπ∞--===⎰⎰⎰⎰2.17 利用氢原子的能谱公式，写出:(i) 电子偶素（positronium ）, 即e e +--形成的束缚态的能级； (ii)以μ-子代表核外所形成的μ原子的能级； （iii ）μ+和e -形成的束缚态的能级。
解：（i ）电子偶素的约化质量为12e e e e e m m m m m μ==+由类氢离子的能谱公式442222224e n m e e z E n nμ=-=- ， ()1,2,...n =（ii ）μ原子的约化质量为 m M m Mμμμ=+ （M 为原子核质量）由类氢离子的能谱公式有：424222222n m M e z e E n n m Mμμμ=-=-+ (iii) 根据与前面同样的理由有约化质量为: e em m m m μμμ=+能级为：4222e n em m e E n m m μμ=-+2.18 设势场为()()2,0a AU r a A r r =-+>，求粒子的能量本征值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2r 1 a 2 e x dxdydz 3 a 2r 1 3 e a r 2 dxdydz 3a 2r 4 4 而 3 e a r dr 3a 4 a 3 g( )5 4! 3a 2 a2
x
h2 2 h2 h 2 2 x p a 所以 3a 2 3 2
这为适合流超比方程，要使Ｒ（p）在 趋于０则有解
( ) F (S 1
s 1
本征值为
a ), 2s 2, ) 2 Eh
a n 2 Eh
n＝０、１、２…..
且 所以
Enl
2
a2
2h 2 (n s 1)2
2
而 s ( (2l 1) 8 A / h 1) / 2 第 14 组 彭毅 姜麟舜 200431020117 200431020119
2h 2 2ah a3 ( p 2 h / a 2 )2
于是
px | ( p) | px dpx d p y dpz
0
由于被积函数对 px 是奇函数
2 2 px | ( p ) |2 p x dpx d p y dpz
1 | ( p) |2 p 2 dpx d p y dpz 3 8h 5 2 p4 2 5 dp sin d d 3 a 0 0 0 ( p h ) 4 a2 h2 2 3a
a A (a, A 0) ，求粒子的能量本征值。 r r2
14QM-2.1８
设势场为 U (r )
解：由于 E>0 是连续谱，所以仅讨论 E<0 在极坐标中，薛定谔方程的径向方程为
2 2 E l (l 1) R '' (r ) R ' (r ) [ 2 r h r2 2 a 2 A ] R(r ) 0 h 2 r h 2 r2
于 电 子 偶 素 来 说 ， 束 缚 态 的 能 级 为 ：
（ 1） 对
En
e4 (2 )2
2h 2 n 2
me e4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 4h 2 n 2
其中 为系统折合质量， me 为电子质量。 （2）对于 原子来说，束缚态的能级为：
En
令
2 2 E r h /
1 a 2 A 1 R ' ( ) [ (l (l 1) 2 ) 2 ]R( ) 0 4 h 2 Eh 2
代入得
R'' ( )
（１）
由方程可知 ，R 的近世值为 e1/ 2
0 ，解的形式为 s ，而
所以它在动量表象中的表达式为
( p)
1 (2h a)3/ 2
2
0 0
h
2
0
e ipr cos a / h e r / a r 2 sin d d dr
1Hale Waihona Puke ip 1 ip ( )r ( )r h a h a h [ e e ]rdr 21/ 2 (h a)1/ 2 gip 0 1 1 1 g [ ] 1/ 2 3/ 2 1 ip 2 1 ip 2 i p (2h ) a ( ) ( ) a h a h
s(s 1) [l (l 1) 2 A / h 2 ] 的正数解
即 所以可令
s ( (2l 1)2 8 A / h 2 1) / 2
s 2 R( ) A e 1
( ，代入（１）得 )
a ) ( ) 0 2 Eh
R '' ( ) (2s 2 ) ' ( ) ( s)1
量。
m e4 (2 )2 2h 2 n 2
207me e4 (2 ) 2 (n 1, 2,3, ) 其中 m 为 原子质量， me 为电子质 2h 2 n 2
（3） 和 e 形成的束缚态能级为：
me e4 (2 )2 En (n 1, 2,3, ) 其中 me 为电子质量。 2h 2 n 2
14QM-2.16 设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） （3）
px 和 px 2 的平均值；
x 和 x 2 的平均值；
1
r a
解：氢原子基态波函数为
0 (r , , )
2a
1
1 2
e
a
h2 e2
而动量 p 本征函数为
v (r ) p
v
vv 1 e 2 p .r / h 3/ 2 (2 h )
14QM-2.17 利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即 e e 形成的束缚态的能级； （2）以 子代表核外电子所形成的 原子的能级； （3） 和 e 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为：
En
me4 (2 )2 (n 1, 2,3, ) 2h 2 n 2