2010高考数学文科试题及答案-全国卷1

2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文科数学(必修+选修)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I 卷1至2页。

第Ⅱ卷3 至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334V R π=n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)kkn kn n P k C p p k n -=-=…一、选择题 (1)cos 300︒=(A)2-12(C)12(D)21.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1co s 300co s 36060co s 602︒=︒-︒=︒=(2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ðA.{}1,3B. {}1,5C. {}3,5D. {}4,52.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =ð，{}1,3,5N =，则()U N M ⋂=ð{}1,3,5{}2,3,5⋂={}3,5(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为(A)4 (B)3 (C)2 (D)13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域（如右图），11222z x y y x z =-⇒=-，由图可知,当直线l 经过点A(1,-1)时，z 最大，且最大值为m ax 12(1)3z =-⨯-=.（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A) 4.A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a === ，37897988()a a a a a a a ===10,所以132850a a =,所以133364564655()(50)a a a a a a a =====(5)43(1)(1x --的展开式 2x 的系数是(A)-6 (B)-3 (C)0 (D)35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.x +20y -=【解析】()134323422(1)(11464133x x x x x x x x ⎛⎫--=-+---+- ⎪⎝⎭2x 的系数是 -12+6=-6(6)直三棱柱111A B C A B C -中，若90B A C ∠=︒，1A B A C A A ==，则异面直线1B A 与1A C 所成的角等于(A)30° (B)45°(C)60° (D)90°6.C 【命题意图】本小题主要考查直三棱柱111A B C A B C -的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解析】延长CA 到D ，使得A D A C =，则11A D A C 为平行四边形，1D A B ∠就是异面直线1B A 与1A C 所成的角，又三角形1A D B 为等边三角形，0160D A B ∴∠=(7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且，()()f a f b =，则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞(C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞7.C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a 的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12a a+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.【解析1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1b a=，所以a+b=1a a+又0<a<b,所以0<a<1<b ，令()f a a=+1a 由“对勾”函数的性质知函数()f a 在a ∈(0,1)上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b 的取值范围是(2,+∞).【解析2】由0<a<b,且f (a )=f (b )得：0111a b a b <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，利用线性规划得：0111x y xy <<⎧⎪<⎨⎪=⎩，化为求z x y =+的取值范围问题，z x y y x z =+⇒=-+，2111y y xx'=⇒=-<-⇒过点()1,1时z 最小为2,∴(C) (2,)+∞（8）已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，ABC DA 1B 1C 1D 1 O则12||||P F P F =(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力. 【解析1】.由余弦定理得 cos ∠1F P 2F=222121212||||||2||||P F P F F F P F P F +-()(22221212121212122221co s 60222P F P F P FP F P F PF F F P F P F P F P F +--+-⇒=⇒=12||||P F P F = 4【解析2】由焦点三角形面积公式得：122212126011co t1co tsin 6022222F P F S b P F P FP F P F θ∆=====12||||P F P F = 4（9）正方体A B C D-1111A B C D 中，1B B 与平面1A C D 所成角的余弦值为（A ） 3（B ）3（C ）23（D ）39.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.【解析1】因为BB 1//DD 1,所以B 1B 与平面AC 1D 所成角和DD 1与平面AC 1D 所成角相等,设DO ⊥平面AC 1D ，由等体积法得11D A C D DA C DV V --=,即111133A C D A C D S D O S D D ∆∆⋅=⋅.设DD 1=a,则122111sin 60)2222A C D S A C A D ∆==⨯⨯=,21122A C D S A D C D a ∆==.所以1313AC DAC DS D D aD O a S ∆∆==,记DD 1与平面AC1D 所成角为θ,则1sin 3D O DD θ==,所以co s 3θ=.【解析2】设上下底面的中心分别为1,O O ；1O O 与平面AC 1D 所成角就是B 1B 与平面AC 1D 所成角，1111co s 1/3O O O O D O D ∠===（10）设123log 2,ln 2,5a b c -===则（A ）a b c <<（B ）b c a << (C) c a b << (D)c b a <<10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析1】 a=3log 2=21lo g 3, b=In2=21lo g e,而22lo g 3lo g 1e >>,所以a<b,c=125-1,222log 4log 3>=>,所以c<a,综上c<a<b.【解析2】a =3log2=321lo g ,b =ln2=21lo g e, 3221lo g lo g 2e <<< ，32211112lo g lo g e<<<；c=12152-=<=，∴c<a<b（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A P B ∙的最小值为 (A) 4-+3-+(C) 4-+3-+11.D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析1】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，sin α=，||||cos 2P A P B P A P B α∙=⋅=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=4221x xx -+，令P A P B y ∙= ，则4221x xy x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以2[(1)]41()0y y ∆=-+-⨯⨯-≥，2610y y ++≥，解得3y ≤--或3y ≥-+.故m in ()3P A P B ∙=-+此时x =【解析2】设,0A P B θθπ∠=<<，()()2co s 1/tan co s 2P A P B P A P B θθθ⎛⎫∙== ⎪⎝⎭ 2222221sin 12sin cos 22212sin 2sinsin22θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=⋅-=⎪⎝⎭换元：2s i n,012x x θ=<≤，()()1121233x x P A P B x x x--∙==+-≥【解析3】建系：园的方程为221x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，()()2211101110110,,001A O P A x y x x y x x x y x x ⊥⇒⋅-=⇒-+=⇒=()222222221100110110221233P A P B x x x x y x xx x x ∙=-+-=-+--=+-≥（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 33(C) 312.B 【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析】过CD 作平面PCD ，使AB ⊥平面PCD,交AB 与P,设点P 到CD 的距离为h ,则有AB C D 11222323V h h =⨯⨯⨯⨯=四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,m ax h ==故m ax 3V =第Ⅱ卷注意事项：()()22210110111001,,2P A P B x x y x x y x x x x y ∙=-⋅--=-+-1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。