【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：3-4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋3π8B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π8C ．y ＝sin4xD ．y ＝sin x解析 把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin2x ，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，则所得图象对应的函数解析式是y ＝sin2(2x )＝sin4x .答案 C2．如右图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 解析 由题图可知A ＝2，T 2＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π2，∴T ＝π，ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝2，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋φ＝2， ∴φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )，结合选项知选B. 答案 B3．(2014·泉州模拟)要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象( )A ．沿x 轴向左平移π2个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B ．沿x 轴向右平移π2个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变C ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再沿x 轴向右平移π4个单位D ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再沿x 轴向左平移π4个单位解析 ∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋π2)＝sin[2(x ＋π4)]，∴函数y ＝sin x 的图象横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再沿x 轴向左平移π4个单位即可得到y ＝cos2x 的图象．答案 D4．(2013·银川模拟)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(其中|φ|<π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则错误的是( )A ．一条对称轴方程为x ＝－11π12 B ．一个对称中心坐标为(5π6，0) C ．在区间[－2π3，π12]上单调递增 D ．f (－13π12)＝f (π4)(f (x )＝sin(2x ＋π3)) 解析 ∵T 4＝712π－π3，∴T ＝π，∴ω＝2. ∴函数f (x )＝sin(2x ＋φ)．当x ＝π3时f (x )＝0，所以2×π3＋φ＝π＋2k π； φ＝π3＋2k π.又∵|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)．∴函数的对称轴是2x ＋π3＝π2＋k π，x ＝π12＋k π2. 当k ＝－2时，A 正确，令2x ＋π3＝k π，x ＝－π6＋12k π， ∴函数的对称中心为(－π6＋12k π，0)．B 正确． 答案 C5．(2013·湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，图象向左平移m (m >0)个单位得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m .又平移后的函数图象关于y 轴对称，则函数y＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋m 为偶函数．由三角函数的奇偶性，得π3＋m ＝k π＋π2(k∈Z )，解得m ＝k π＋π6(k ∈Z )．又m >0，故当k ＝0时，k 取得最小值π6.答案 B6．已知函数f (x )＝A sin π6x ＋φA >0,0<φ<π2的部分图象如下图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A )，点R的坐标为(2,0)．若∠PRQ＝2π3，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是()A．23，π6 B.3，π3C.3，π6D．23，π3解析由题意，x＝2，y＝f(x)的最大值为A，∴sin⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又0<φ<π2，∴φ＝π6.若∠PRQ＝2π3，则∠xRQ＝π6，而周期为2ππ6＝12，故Q(8，－A)，∴A6＝tanπ6，则A＝23，y＝f(x)的最大值及φ的值分别是23，π6.答案 A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如右图所示，则f (0)的值是________．解析 由题图知A ＝2， T 4＝7π12－π3＝π4，T ＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)．将⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2代入得712π×2＋φ＝3π2， ∴φ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∴f (0)＝2sin π3＝62. 答案 628．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析 依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6(x －6).当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5. 答案 20.59．(2013·新课标全国卷Ⅱ)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象重合，则φ＝________.解析 函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋φ＝cos(－2x －φ＋π)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π2，又与函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象重合，故φ－π2＝π3＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝5π6＋2k π，k ∈Z ，∵－π≤φ<π，∴φ＝5π6. 答案 5π6三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(2013·安徽卷)设函数f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(Ⅰ)求f (x )的最小值，并求使f (x )取得最小值的x 的集合； (Ⅱ)不画图，说明函数y ＝f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到．解 (Ⅰ)因为f (x )＝sin x ＋12sin x ＋32cos x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以当x ＋π6＝2k π－π2，即x ＝2k π－2π3(k ∈Z )时，f (x )取最小值－ 3. 此时x 的取值集合为{x |x ＝2k π－2π3，k ∈Z }．(Ⅱ)先将y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，得y ＝3sin x 的图象；再将y ＝3sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位，得y ＝f (x )的图象．11．(2013·山东卷)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 解 (Ⅰ)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. 又ω>0，所以2π2ω＝4×π4.因此ω＝1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.所以－32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 因此－1≤f (x )≤32.故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1. 12．(2014·厦门一模)已知函数f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx (ω>0)的周期为4.(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )的图象，P ，Q 分别为函数g (x )图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小．解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋32cos ωx＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin ωx cos π3＋cos ωx sin π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵T ＝4，ω>0，∴ω＝2π4＝π2. ∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.(2)将f (x )的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x . ∵P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点， ∴P (1，3)，Q (3，－3)． ∴OP ＝2，PQ ＝4，OQ ＝12. ∴cos ∠OQP ＝OQ 2＋PQ 2－OP 22OQ ·QP ＝32. ∴∠OQP ＝π6.。