高中数学 第2讲 命题及其关系、充要条件

第2讲命题及其关系、充要条件
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(·重庆卷改编)命题“若p，则q”的逆命题是________．
解析根据原命题与逆命题的关系可得：“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”．
答案若q，则p
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．解析同时否定原命题的条件和结论，所得命题就是它的否命题．
答案若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3
3．(·南通调研)“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”
的________条件．
解析因为两直线平行，所以(a2－a)×1－2×1＝0，解得a＝2或－1.
答案充分不必要
4．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是________．解析由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”．
答案若x＋y不是偶数，则x、y不都是偶数
5．A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”
是“x∈C”的________条件．
解析由题意得，A＝{x∈R|x>2}，A∪B＝{x∈R|x<0，或x>2}，C＝{x∈R|x<0，或x>2}，∴A∪B＝C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．
答案充分必要
6．(·盐城调研)“m<1
4”是“一元二次方程x
2＋x＋m＝0有实数解”的________
条件．
解析 x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14.
答案 充分不必要
7．已知a ，b ，c 都是实数，则在命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”与它的逆命题、
否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．
解析 当c 2＝0时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”，逆命题正确，则否命题也正确．
答案 2
8．(·扬州模拟)下列四个说法：
①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；
②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；
③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；
④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．
其中说法不正确的序号是________．
解析 ①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真
命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x －12＝2－x 2x <0，解得x <0
或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命
题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．
答案 ①②
二、解答题
9．判断命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．
解 原命题：若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根．
逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.
判断如下：
∵x 2＋x －a ＝0无实根，∴Δ＝1＋4a ＜0，∴a ＜－14＜0.
∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．
10．已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0(a >0)．若p 是q 的充分不必要
条件，求实数a 的取值范围．
解 p ：x 2－8x －20≤0⇔－2≤x ≤10，
q ：x 2－2x ＋1－a 2≤0⇔1－a ≤x ≤1＋a .
∵p ⇒q ，q p ，
∴{x |－2≤x ≤10}
{x |1－a ≤x ≤1＋a }． 故有⎩⎨⎧ 1－a ≤－2，
1＋a ≥10，
a >0，且两个等号不同时成立，解得a ≥9.
因此，所求实数a 的取值范围是[9，＋∞)．
能力提升题组
(建议用时：25分钟)
一、填空题
1．命题“若f (x )是奇函数，则f (－x )是奇函数”的否命题是________．
解析 否命题既否定题设又否定结论．
答案 若f (x )不是奇函数，则f (－x )不是奇函数
2．设a ，b 都是非零向量．下列四个条件①a ＝－b ；②a ∥b ；③a ＝2b ；④a ∥b
且|a |＝|b |中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是________．
解析 对于①，注意到a ＝－b 时，a |a |≠b |b |；对于②，注意到a ∥b 时，可能
有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |；对于③，当a ＝2b 时，a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于④，当a
∥b 且|a |＝|b |时，可能有a ＝－b ，此时a |a |≠b |b |，综上所述，使a |a |＝b |b |成立的充
分条件是a ＝2b .
答案 ③
3．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________.
解析 已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.
答案 3或4
二、解答题
4．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的
必要不充分条件，求实数a 的取值范围．
解 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴綈q ⇒綈p ，且綈p 綈q 等价于p ⇒q ，且q
p . 记p ：A ＝{x ||4x －3|≤1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤1，q ：B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，
则A B .
从而⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1
≥1，
a ≤12，且两个等号不同时成立，解得0≤a ≤
12. 故所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤
0，12.。