2014年-高等工程数学试题-工程硕士基地班-2014-03-06

中南大学工程硕士“高等工程数学”考试试卷（开卷）

考试日期：2014年 月 日 时间100分钟

注：解答全部写在答题纸上

一、填空题(本题24分，每小题3分)

1. 若函数()tan 3f x x x =-, 写出Newton 迭代公式 ；

2. 建立最优化问题数学模型的三个要素是： 、 、 ；

3. 随机变量X 服从参数为λ的指数分布即分布密度为();0x f x e x λλ-=>,X 是样本均值，则

2~n X λ ；

4. 写出矩阵 468=6101381321A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

的乔勒斯基 （Cholesky ） 分解矩阵 L = ； 5. 设由一组观测数据22,,2,1),,( =i y x i i 计算得,125,200,150===xx L y x ,95,75==yy xy L L 则y 对x 的线性回归方程为 ,其误差估计为 ；

6．设2)(3-+=x x x f ，则差商=]3,2,1,0[f ；

7．对方程 ()ln(2)0f x x x =-+=，给出迭代计算公式，使其收敛到方程的正数根 ；

8．已知函数)(x f y =过点(,),0,1,2,,i i x y i n =，[,]i x a b ∈，设函数)(x S 是()f x 的三次样条插值函数，则)(x S 在],[b a 内的 阶导数是连续的。

二、（本题10分）已知)(x f 的数据如表：

选用适合的插值法求)(x f 的三次插值多项式，计算)8.2(f 的近似值，给出误差估计式。

三、（本题12分）设有5种治疗荨麻疹的药，要比较它们的疗效。假定将30个病人分成5组，每组6人，令同组病人使用一种药，并记录病人从使用药物开始到痊愈所需时间，得到下表的记录：

试检验不同药物对病人的痊愈时间有无差别？（取05.0=α）

四、（本题16分）某厂利用劳动力8个、电力4千瓦、煤2吨可以生产甲产品1吨，获利20万元；利用劳动力3个、煤1吨可以生产乙产品1吨，获利8万元；利用劳动力2个、电力3千瓦可以生产丙产品1吨，获利6万元；工厂现有劳动力250个、电力150千瓦、煤50吨。

（1）建立使工厂获利最大的生产安排计划数学模型；

（2）将模型标准化； 利用单纯形法求解，列出求解过程。

五、（本题10分）证明含有1n +个插值节点(0,1,

,)k x k n =的插值型求积公式0()()n b k k a k f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度至少是n 。

六、（本题12分）为了控制生产过程，需要对产品质量进行检验，当产品的一等品率达到95%时，生产过程是稳定的，现对产品进行适时检验，抽取了200件，结果一等品数为186二等品数为12，不合格品数为2。试问此时生产过程是否稳定)05.0(=α？

七、（本题16分）设方程组为

1232057392146017x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（1）对任取的初始迭代点，直接使用 Jacobi 迭代法解该方程组，是否收敛？说明原因。

（2）对方程组进行适当调整，使得用Jacobi 方法、Gauss-Seidel 迭代法求解时收敛。

（3）取(0)(0,0,0)T x

=，用Gauss-Seidel 迭代法在（2）的基础上计算两步迭代值(1)x ，(2)x 。