《随机信号分析基础》总复习提
随机信号分析 第一章随机信号基础2
y
o
(x,y)
x
利用分布函数，对任意实数 x1 x 2 , y1 y2 则
P( x1 X x2 , y1 Y y2 ) F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 )
y o
( x1, y2 ) ( x1, y1)
F ( x ) f ( t )dt
x
F(x)
=
0
x0
0 x 1
x
tdt tdt
0 1
x
0
1
(2 t )dt
1 x 2
x2
1
即
x0 0, x2 , 0 x 1 2 F ( x) x2 2x 1 , 1 x 2 2 1, x2
多维随机变量及其分布
由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点 讨论二维随机变量 .
二维随机变量用（X，Y）表示下面着重讨论二维 r.v(X，Y),多维随机变量可类推。
二维随机变量（X,Y） X和Y的联合分布函数
一维随机变量X X的分布函数
F ( x ) P( X x )
F ( x , y) P ( X x , Y y) x, y
4．F ( x , y ) F ( x 0 , y ), F ( x , y ) F ( x , y 0 );
即F(x,y)对每个自变量都是右连续的。
5．对任意实数 x1 x2 , y1 y2
，有
F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y2 ) F ( x1 , y1 ) 0.
《随机信号分析》复习课(第一章-第四章)
F (x, y) P{X x,Y y}
y
(x, y)
x
0
1.4 多维随机变量及分布
f (x, y) 2F (x, y) xy
f (x, y) 0
xy
F(x, y)
f (x, y)dxdy
f (x, y)dxdy 1
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
J
dx dy
对于任意单调函数 g(x) ：fY ( y) f X (x) J xg1( y)
如果 g(x) 不是单调函数：
fY ( y) f X (x1) J1 f X (xn ) J n
其中 x1 h1 ( y) … xn hn ( y) , Jk dxk / dy
1.6 随机变量的函数
《随机信号分析》复习课（第一章-第四章）
重点内容
绪论 随机变量基础 重点：随机变量的函数
第二章 随机过程的基本概念 重点: 平稳随机过程的概念，随机过程的功率谱密度 ，高斯过程
第三章 随机过程的线性变换 重点：随机过程线性变换的冲激响应法和频谱法， 白噪声通过线性系统，随机过程线性变换后的概率 分布
x2 f (x)dx
x1
1.3 随机变量的分布函数与概率密度
f (x)
1
2
exp
(x )2 2 2
X ~ N(, 2)
x
FX (x)
1 2
exp
(
x ) 22
2
dx
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-4 -3 -2 -1
第2章 随机信号分析复习
F jF sgn F H
那么传输函数为 H j sgn e 即：
j / 2U
H e
j
/ 2 0 / 2 U /2 0
希尔伯特滤波器幅度-频率和相位-频率特性
2018/10/9 29
希尔伯特变换特例
ˆ (t ) sin t f (t ) cos t , f ˆ (t ) cos t f (t ) sin t , f
若m(t ) M ( )为截至频率为 f 的低通信号，
H 1
希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所频率 成分都相移90o，而幅度保持不变。具有这种特 性的网络称之为希尔伯特滤波器。
2018/10/9 28
即：
/ 2 0 / 2 U /2 0
H 1
本章内容
1 2
确知信号的分析 卷积与相关
3
4 5
希尔伯特变换
确定信号通过线性系统的传输 随机信号通过线性系统的传输
1
2018/10/9
信号和系统分类
一、信号的分类：
确知信号 随机信号 周期信号 非周期信号
二、系统分类
线性系统 非线性系统 时不变系统 时变系统
2018/10/9
2
信号的频谱分析
1、傅里叶级数
通常记做 f (t ) F
2018/10/9 7
特例：冲激函数δ (t)
F (t ) (t )e jt dt e j 0 1
《随机信号分析》总复习1
2020/10/24
34
2.4.2 互相关函数及其性质
联合平稳随机过程互相关函数性质
（3）若X(t)和Y(t)是联合平稳的，则 Z(t)=X(t)+Y(t) 也是平稳的，且
举例：两个均值和方差大致相同的随机过程 ，相关性差异很大
2.2.2 随机过程的数字特征
协方差函数
也是相关性的描述 K X (t1,t2 ) E{[ X (t1) mX (t1)][X (t2 ) mX (t2 )]} 如果 K X (t1,t2 ) 0 ，则称 X (t1) 和 X (t2 )不相关。
x1...xN y1yM
如果
f XY (x1,..., xN , t1,..., tN , y1,..., yM , t'1 ,..., t'M ) f X (x1,..., xN , t1,..., tN ) fY ( y1,..., yM , t'1 ,..., t'M )
则称X(t) 和Y(t) 是相互独立的
y g(x)
Y g(X)
1.6 随机变量的函数
一维随机变量函数的分布
若 g(x) 为单调连续上升函数，x g 1( y)
FY ( y)=P{Y y} P{g( X ) y}=P{X g 1( y)} FX (g 1( y))
求导，得
fY
( y)
fX
(x)
dx dy
，雅可（Jacco）比
n)
2020/10/24
20
2.2.1 随机过程的概率分布
二维概率分布：
X (t1)及 X (t2 )为同一随机过程上的随机变量
FX (x1, x2 , t1, t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
《随机信号基础》练习题
《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。
2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。
3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。
5．两个随机变量独立的充要条件。
6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。
8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。
9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。
10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。
11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。
14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。
15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。
22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。
24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。
随机信号分析期末总复习提纲重点知识点
第 一 章1.1不考 条件部分不考△雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况）△随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58）△ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61()()()()()()()221()211222211,,exp 22exp ,,exp 22T Tx m X XXX X n n XT T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E ejM U σπσμ---⎡⎤--⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦C C C u u r u u ru u r u u r u u r u u r L u r u ru u r u r L另外一些性质： []()20XY XY X YX C R m m D X E X m ⎡⎤=-=-≥⎣⎦第二章 随机过程的时域分析1、随机过程的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机过程的概率密度P74、特征函数P81。
（连续、离散）一维概率密度、一维特征函数 二元函数4、随机过程的期望、方差、自相关函数。
（连续、离散）5、严平稳、宽平稳的定义 P836、平稳随机过程自相关函数的性质：0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88222()()()()()(0)()X X XX X X X X XXC R m R R R R τττρτσσ--∞==-∞=非周期相关时间用此定义（00()d τρττ∞=⎰）8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
《随机信号处理》重点题目题型及相关知识点简介
《随机信号处理》重点题⽬题型及相关知识点简介第⼀组上台讲解题⽬（第2、7题）2. 复随机过程0()()j t Z t e ω+Φ=，式中0ω为常数，Φ是在(0,2)π上均匀分布的随机变量。
求：(1)[()()]E Z t Z t τ*+和[()()]E Z t Z t τ+；(2)信号的功率谱。
解： (1)0000[()][]201[()()]212j t j t j j E Z t Z t e e d e d e ωτωπωτωττππ+∞++Φ-+Φ*-∞+=Φ=Φ=?000[()][]2[(2)2]2(2)201[()()]212120j t j t j t j t j E Z t Z t e e d e d ee d ωτωπωτπωττπππ+∞++Φ+Φ-∞++Φ+Φ+=Φ=Φ=Φ=(2)00()[()]{[()()]}[]2()Z Z j S F R F E Z t Z t F e ωτωττπδωω*==+==-备注:主要考察第⼆章P37,功率谱计算,第⼀步求期望⽤数学积分⽅法,得到[()()]E Z t Z t τ*+即输出的⾃相关,对其进⾏傅⾥叶变换就得信号的功率谱。
7. ⼀零均值MA(2)过程满⾜Yule-Walker ⽅程：试求MA 参数： 0b ，1b ，2b解：由于对于零均值MA(q)过程⽽⾔，均值为0，令⽅差为1，其⾃相关函数220(0)qx k k r b ωσ==∑222012011202321b b b b b b b b b ++=+==220(0)qx k k r b ωσ==∑（公式：3.2.5）2,0()0,qk k l k l x b b l qr l l q ωσ-=?≤≤?=??>?∑ ()(),1x x r l r l q l =--≤≤-（公式：3.2.6）则可得：22201011210(0)(1)()q x q q x q x b b b r b b b b b b r b b r q -++=++==故由题意知，MA(2)过程的⾃相关函数为(0)3,(1)(1)2,(2)(2)12x x x x x r r r r r k ==-==-=?> 由此不难求得MA(2)过程的功率谱22122()()232kx xk s z r k zz z z z ---=-==++++∑（公式：2.4.14）其因式分解为：122()(1)(1)x s z z z z z --=++++根据功率谱分解定理2**()()(1/)x s z Q z Q Z σ=（公式：2.5.2a ），⽐较得传输函数：12()1Q z z z --=++ 即0121,1,1b b b ===备注：本题主要考察MA 模型满⾜Yule-Walker ⽅程的模型参数求解，根据P54页3.2.6求得⾃相关函数值，由P38页2.4.14求得复功率谱密度，因式分解，与P39页2.5.2a ⽐较得出结果。
随机信 分析基础习题
E
Tlim
1 2T
X
T
(
,
)
2
lim 1 T 2T
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：
2GX
( )[1
e
j
2
e
j
]
2GX ()(1 cos )
4.16 解：
由题可知,A,B为实常数,X (t)和Y(t)是宽联合平稳的
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
(t)
1
cos0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
E s2 (t)dt 1
2
S( ) d
2
时域内信号ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ能量等于频域内信号的能量
S () 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
的功率谱密度的表达式.
4 (4) 1 2 j 6
×
该表达式含有虚部，不是实函数，所以不 是正确的功率谱密度表达式
4.4 解：先求出自相关函数
随机信号期末复习知识点总结
1、随机实验的特点，满足什么特征？
随机试验须满足下面三个特征
(1)、可在相同条件下重复进行；
(2)、每次试验可能结果(Possible result)不唯一，并能事先确定所有可能结果；
(3)、每次试验结果不确定。
2、概率的定义？
1事件是随机的。
赋予事件出现可能性的度量(Measure)，称为概率(Probability)。
“可能性的度量值”是大数试验情形下的统计比例值
P(A) ¼
试验中A出现的次数/总试验次数=nA/n n 足够大
2更一般的定义由概率的公理化定义给出：
3定义若定义在事件域F 的一个集合函数P 满足如下三条件：
(1)、非负性：对任何事件A均有P(A) 大等于0 成立。
即P(A) 大等于0;
(2)、归一性：必然事件(Certain event) 概率为1。
P() = 1；
(3)、可加性：若事件A;B 2 F互斥(Mutually exclusive)，即A并B =空，则P(A[
B) = P(A) + P(B)。
则称P 为概率。
3、随机变量之间的“不相关、正交、独立”（各自定义、相关系数定义）？
相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立正交与不相关、独立没有明显关系
4、概率分布函数
5、概率密度函数
6、数学期望
三、正交与无关
正交(Orthogonal)：EfXY g = 0
线性无关(Uncorrelated)或互不相关：EfXY g = mXmY or cov(X; Y ) = 0。
统计独立=)互不相关；但是，互不相关=)= 统计独立。
随机信号分析复习
p X ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) ∂ FX ( x1 , x 2 ,..., x n ; t1 , t 2 ,..., t n ) = ∂x1∂x 2 ...∂x n
2
显然， 取得愈大 随机过程的n维分布律描述随机 取得愈大， 显然，n取得愈大，随机过程的 维分布律描述随机 过程的特性也愈趋完善。 过程的特性也愈趋完善。
随机过程X(t)在四种不同情况下的意义： 随机过程X(t)在四种不同情况下的意义： X(t)在四种不同情况下的意义
(1)当t, ξ 都是可变量时，是一个时间函数族； 当 都是可变量时，是一个时间函数族； (2)当t是可变量，ξ固定时，是一个确定的时 当 是可变量 是可变量， 固定时， 间函数； 间函数； (3)当t固定，ξ是可变量时，是一个随机变量 (3)当t固定 固定， 是可变量时， (4)当t固定，ξ固定时，是一个确定值。 固定， 固定时，是一个确定值。
.2随机过程的统计特性 § 2.2随机过程的统计特性
一、 随机过程的概率分布 随机过程实际是依赖于时间t 一族随机变量， 随机过程实际是依赖于时间 t 的 一族随机变量 ， 因此， 因此，可以用多维随机变量的理论来描述随机过程 的统计特性。 的统计特性。 1. 一维概率分布 对于任意的时刻t， 是一个随机变量， 对于任意的时刻 ，X(t)是一个随机变量，它的 是一个随机变量 一维分布函数定义为： 一维分布函数定义为：
p X ,Y ( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ; t1 ,...,t n , t ,...,t ) = ∂
n+m
' 1
' m
FX ,Y ( x1 ,..., xn , y1 ,..., ym ; t1 ,...t n , t ,...t ) ∂x1...∂xn ∂y1...∂ym
《随机信号分析基础》总复习题纲
概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程X(t,ζ)是t,ζ两个变量的函数②X(t,ζ)是随时间t变化的随机变量③X(t,ζ)可看成无穷多维随机矢量在∆t→0,n→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系）一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系）5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定6、平稳随机信号自相关函数的性质：0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系）8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
《随机信号基础》复习题
简答题1．简述两个随机变量X 和Y 之间分别满足独立、不相关、正交关系的条件，以及这三种关系之间的联系。
答：独立：)()(),(y F x F y x F Y X XY ⋅=，或)()(),(y f x f y x f Y X XY ⋅=； 不相关：0=XY r 或0),cov(=Y X ； 正交：0][=XY E .若X 和Y 独立则一定不相关，若X 和Y 不相关则不一定独立； 若X 或Y 的数学期望为0，则不相关与正交等价。
2. 写出函数),(t e X 在①e 确定t 为变量、②t 确定e 为变量、③e 和t 都确定、④e 和t 都是变量四种情况下所代表的意义。
其中S e ∈，S 为样本空间，t 为时间参数。
答：①样本函数；②随机变量；③常数；④随机过程。
3．简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。
答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程 ①均值具有遍历性②相关函数具有遍历性。
所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。
4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函数。
一般白噪声在任意两个不同时刻不相关，正态白噪声在任意两个不同时刻独立。
5.若随机过程)(t X 是平稳过程，则其功率谱密度)(ωX G 与自相关函数)(τX R 有何关系？请写出关系式。
答：)(ωX G 是)(τX R 的傅立叶变换，ττωωτd e R G j X X -∞∞-⎰=)()(，或ωωπτωτd e G R j X X ⎰∞∞-=)(21)(.6.设线性系统的冲激响应为h(t)，输入随机过程为X(t)，系统输出为Y(t)，各自的自相关函数分别为RX(t1,t2)和RY(t1,t2)。
说明二者之间的关系。
答：)()(),(),(212121t h t h t t R t t R X Y **=.7.写出希尔伯特变换的时域形式)(t h 和频域形式)(ωH 。
精品文档-随机信号分析基础(梁红玉)-第5章
yt
xt
ht
h
x tΒιβλιοθήκη dx h td
第五章 随机信号通过线性系统分析
显然， y(t)也是一个确定的时间函数。 对于随机信号
X(t)中的所有样本函数{xi(t)}(i=1, 2, …)， 通过线性系统 后可得到另一个随机信号Y(t)所有的样本函数{yi(t)}(i=1, 2, …)。 其中
yi
t
yt
0
h
x t
d
t
x
h t
d
(5-5)
第五章 随机信号通过线性系统分析
若输入信号x(t)也是因果信号， 即当t<0时， 有x(t)=0， 上式可以写为
y
t
t
0
h
x
t
d
t
0
x
h
t
d
(5-6)
图5-3给出了线性时不变系统时域输入输出关系。
第五章 随机信号通过线性系统分析
图5-3 时域输入输出关系
(5-21)
若输入信号X(t)广义平稳， 且τ=|t2－t1|， 则式（5-
20）变为
RXY
h
RX
d
RX
h
(5-22)
第五章 随机信号通过线性系统分析
类似地， 式（5-21）变为
RYX(τ)=RX(τ)＊h(－τ)
(5-23)
根据以上分析， 我们可以得到重要的结论： 若输入
信号X(t)是平稳的， 则线性时不变系统输出Y(t)也是平稳的，
随机信号分析复习题
华侨大学《随机信号分析》考试试卷(09级A卷) 班级：_______________ 姓名：________________ 学号 _______________第1页共3页第2页共3页(1) (5分)求 X(t)的均值函数、方差函数。
(2) (5分)当 —t 2|=T 时，丫(t)是否是广义平稳的？(3) (5分)当t2〔=1.5T 时，Y(t)是否是均值各态历经的？【15分】12五、 设输入随机过程 X(t)的功率谱为S x=22，经过h(t)二e 」u(t)的系统 9 +国试求：(1)输出Y(t)的均值；(2) 输出Y(t)的功率谱密度 &和自相关函数R Y .； (3) 输出与输入间的互功率谱密度 S YX (■)。
【10分】六、 已知平稳随机噪声 N (t)的功率谱如图所示，求窄带随机信号 X t 二N t cos ，r - N t sin •• r 的功率谱密度 SxQ i ,并画图表 示，其中「0为常数，二服从0,2二上的均匀分布，且与 N(t)独立。
【10分】A S N (灼)27：1‘1 --忑°心)t 兰T七、设线性滤波器的输入信号为x(t) =s(t) + n(t)。
其中s(tW 为指数脉冲信[0 t A T号，n(t)为平稳白噪声，功率谱为N°/2且与s(t)统计独立。
试求：第3页共3页（1）（10分）匹配滤波器的传输函数H（jJ并画出与之对应的电路图。
（2）（5分）输出的最大信噪比是多少？八、设齐次马尔可夫链有4个状态01,2,3；，一步转移概率为；（1）画出其状态转移图；（2）如果该链在n时刻处于状态2，求在n亠2时刻处于各个状态的概率;（3）对该链的状态进行分类；_0 0 1 0 "1 0 0 0〔0.3 0.7 0 00.6 0.2 0.2 0 【15分】【12分】第4页共3页。
随机信号复习提纲
《随机信号基础》知识点1、确定函数、随机变量、随机过程三者之间的关系例题：理解最简单随机过程()()Θ+⋅=t a t X ωcos ，其中ω,a 是常数，t 表示时间，Θ表示随机相位。
（1）当t ，Θ均为变量时，()t X 是一族时间t 的函数，即为随机过程； （2）当Θ给定，t 为变量时，()t X 是一个确定的时间t 的函数，即样本函数； （3）当t 给定，Θ为变量时，()t X 表示一个随机变量，即t 时刻的状态； （4）当Θ，t 均给定时，()t X 是一个常量。
总结：随机过程=时间+随机变量，注意扩展，简述题考查多。
2、随机变量的分布函数与概率密度函数 分布函数：()()x X P x F ≤= 概率密度函数：()()dxx dF x f =例题：设某信号源，每T 秒产生一个幅度为A 的方波脉冲，其脉冲宽度X 为均匀分布于[]T ,0中的随机变量。
这样构成一个随机过程()∞<≤t t Y 0,。
设不同间隔中的脉冲是统计独立的，求()t Y 的概率密度()y f Y 。
解：某个时刻()t Y 可以看做随机变量，取范围()nT t T n <≤-1；()t Y 取值只有两种：(){}()[]{}()T Tn t T n t X P t Y P 110--=--≤== (){}()[]{}TtnT T n t X P A t Y P -=-->==1()()()()A y T tnT y T T n t y f Y --+--=δδ1注意：对于离散随机变量的分布函数可表示为：()()∑-=ii i x x U p x F ；概率密度函数可表示为：()()∑-=ii i x x p x f δ。
例题：利用重复掷硬币的试验定义一个随机过程：()⎩⎨⎧=出现反面出现正面,2,cos tt t X π 设“出现正面”和“出现反面”的概率各为0.5；（1）求X(t)的一维分布函数()1,,21,x F x F X X ⎪⎭⎫⎝⎛（2）求X(t)的二维分布函数⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21;,21x x F X解：令随机变量Y 表示试验结果，Y=1表示正面，Y=0表示反面。
随机信号分析基础习题王永德答案专题培训课件
a
mY (t)
5.11 要求的是输出的自相关函数
系统所示的传函为：
h(t)(t)R 1 CeR tC,H ()1 j j R R C C
为求得输出的自相关函数，分别从时域和频 域可得两种方法。
RY()RX()h()*h() GY()H()2GX()
G W ( )kk 1 1R W (k)ejk2 3(1cos )
（2）解：
Z nX n2X n 1X n 2
这是一个二阶MA过程
21,q2,b1,b2,b1
X3
0
1
2
2, k 0
RZ (k )
4 3
1 3
,k ,k
R Y ( ) R X ( )* h ( )* h ( )
利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度
G Y () H () H () G X () H ()2 G X ()
式中H(ω )是系统的传输函数，其模（绝对值）的平 方∣H(ω )∣2称之为系统的功率传输函数。
得到：
H()21.6411.6cos
H(Z)
2
1
1.640.8Z
0.8Z1
1 1 (0.8Z 1) (0.8Z1 1)
从稳定性和系统特性考虑选取：
1 H(Z)10.8Z1
数字滤波器的概念
滤波器是对输入信号的波形或频谱进行某种 变换，以得到一定的输出信号。实现滤波的系统 是离散的称为数字滤波。
1 )k 2
4 9
R(k)R(k)
Y
Y
RY(k)
(1)k 2
4 9
功率谱密度为：
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概率论基础
1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）
2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）
3.随机变量的描述：
⑴统计特性
一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布
概率分布函数、概率密度函数的关系
⑵数字特征
一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）
二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）
⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系
4.随机变量函数的分布
△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）
5、高斯随机变量
一维和二维概率密度函数表达式
高斯随机变量的性质
△随机变量的特征函数及基本性质
、
随机信号的时域分析
1、随机信号的定义
从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广
2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？
3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）
4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系）
一维：期望函数、方差函数、均方值函数。
（相互关系）
二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系）
5、严平稳、宽平稳
定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定
6、平稳随机信号自相关函数的性质：
0点值，偶函数，均值，相关值，方差
7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。
（定义、相互关系）
8、高斯随机信号
定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质
9、各态历经性
定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率
随机信号的频域分析
1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。
功率谱密度的含义，与总平均功率的关系
2、一般随机信号功率谱计算公式与方法
3、平稳随机信号的功率谱密度计算方法
维纳—辛钦定理
⑴平稳随机信号,()()X X P R ωτ↔
⑵两个联合平稳的实随机过程，()()()()12j XY
XY j XY XY P R e d R P e d ωτωτωτττωωπ∞--∞∞-∞⎧=⎪⎨⎪=⎩
⎰⎰ 要熟记常见信号的傅里叶变换和傅里叶变换性质，并且熟练应用。
求随机信号总平均功率的两种方法。
4、白噪声
定义、数字特征、不相关特性、带宽、功率
什么事加性高斯白噪声 带宽、功率)
5、带限白噪声(低通和带通带限白噪声) （定义、数字特征、相关特性、功率谱密度、
随机信号通过线性系统的分析
1、线性系统的基本理论 稳定的物理可实现系统
2、 随机信号通过线性系统分析
时域分析
0()()()()()(0)
()()()()()()X Y X Y Y XY X YX X Y m h d R R h h P R R R h R R h m ττττττττττττ∞
==*-*==*-=*⎰
输入平稳、高斯、各态历经，输出也是平稳、高各态历经，且输入输出联合平稳。
频域分析
3、 白噪声通过线性系统
线性系统的结论：双侧随机信号()X t 输入物理可实现系统
若输入()X t 是宽平稳的，则系统输出()Y t 也是宽平稳的，且输入与输出联合平稳 若输入()X t 是严平稳的，则输出()Y t 也是严平稳的。
若输入()X t 是宽各态历经的，则输出()Y t 也是宽各态历经的
若线性系统输入为高斯过程，则输出为高斯分布
若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布
（输入白噪声的情况）
()220(0)(0)()()()()()()()()()()()()11()()()22Y X Y X X XY X YX X Y Y X m m H H h d P P H P H H P H P P H P P P d H P d ττωωωωωωωωωωωωωωωωωππ∞∞∞-∞-∞=⋅===-=⋅⎧⎨=-⋅⎩==⎰⎰⎰
窄带随机信号
1、什么是窄带随机信号？
2、窄带随机信号的表达式如何表示？（包络相位表达式、正交分解表达式）
3、窄带随机信号的包络、相位、同相分量、正交分量之间的关系
4、零均值平稳高斯随机信号的同相分量、正交分量的统计特性
5、零均值平稳高斯随机信号的包络、相位的一维分布
6、随相正弦波加窄带高斯噪声合成信号的包络和相位的一维分布。
（信噪比大小的讨论）
7、高斯分布、瑞利分布和莱斯分布的联系和区别。