3第三章 能控性和能观测性

11
对上式对t求导直至n-1次，并令t=0有
α T e− At B = 0, ∀t ∈[0, t1]
α T B = 0, α T AB = 0,Lα T An−1B = 0
写成矩阵形式 α T [B AB L An−1B] = 0,
由于α ≠0，
rank[B AB L An−1B] < n
与条件rankS=n矛盾，所以系统一定能控，充分性得证。
解：此为4阶系统，n＝4
⎡ 0 1 1 0 0 −1 2 0 ⎤
S
=
⎢ ⎢ ⎢
1 0
0 0 −1 1 −2 0
2 0
0 0 − 5⎥⎥ 5 −10 0 ⎥
⎢⎣− 2 0 0 5 −10 0
0
25
⎥ ⎦
rankS＝4，系统能控 系统特征根为
λ1 = λ2 = 0 , λ3 = 5 , λ4 = − 5
α T e−At B = α T [I − At + 1 A2t 2 − 1 A3t3 + L]B
2!
3!
= α T B −α T ABt + 1 α T A2Bt 2 − 1 α T A3Bt 3 + L = 0
2!
3!
∫t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0
0
∫ ∫ t1 α T e−Aτ BBT e−ATταdτ = α T t1 e−Aτ BBT e−ATτ dτα
⋅ x0
2
dτ
=0
BT e− ATt ⋅ x0 = 0, ∀t ∈[0, t1]
8
BT e− ATt ⋅ x0 = 0, ∀t ∈[0, t1]
其中 x0 ≠ 0,
而因为系统完全能控，对于这样一个非零向量 x0 找到一个控制
量u，使得
∫ x(t1) = eAt1 x0 +
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
5
3.1.2 线性系统能控性的判据
x&(t) = Ax(t) + Bu(t)
1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据
线性定常连续系统{A，B} 状态完全可控的充要条件是：存在时
刻t1>0，使如下定义的可控性格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
rank[λiI − A B] = rank[sI − A B], i = 1,2,Ln
充分性的证明类似，大家自己证明。
15
例：给定线性定常系统的状态方程为
⎡0 1 0 0⎤ ⎡ 0 1⎤
x&
=
⎢⎢0 ⎢0
0 0
−1 0
0⎥⎥ 1⎥
x
+
⎢ ⎢ ⎢
1 0
10⎥⎥⎥u
⎢⎣0 0 5 0⎥⎦ ⎢⎣− 2 0⎥⎦
采用反证法，假设系统能控，而Wc(0,t1)是奇异，那么一定存在
一个非零的向量 x0 使下式成立
x0TWc (0, t1)x0 = 0
∫t1
0
x0T e− Aτ BBT e− ATτ
⋅ x0dτ
=
0
∫t1 [BT e−ATτ
0
⋅ x0 ]T BT e−ATτ
⋅ x0dτ
=
0
∫t1
0
BT e− ATτ
λ3 = 5
⎡ 5 −1 0 0 0 1⎤
⎢
[λ3I − A,
B]
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
⎥ 5 1 0 1 0⎥ 0 5 −1 0 1⎥⎥
⎢⎣ 0 0 − 5 5 − 2 0⎥⎦
λ4 = − 5
⎡− 5 −1 0 0 0 1⎤
⎢
[λ4I − A,
B]
=
⎢ ⎢
0 0
⎢
−5 1 0 0 − 5 −1
⎥ 1 0⎥ 0 1⎥⎥
值 λi(i=1,2, …,n),下式均成立。
rank[λiI − A B] = n,i = 1,2,L, n
或可等价表示为 rank[sI − A B] = n,∀s ∈C
即(sI-A)和B是左互质的。
证明：必要性，即系统能控，则上式成立。
采用反证法。假设对某个特征根λ有
rank[λI − A B] < n 则表明矩阵[λI − A B] 行线性相关
⋅Wc−1(0, t1)x0
= 0 = e At1 x0 − e At1 ⋅Wc (0, t1) ⋅Wc−1(0, t1)x0
结果表明，对于任一x0≠0，存在有限时间t1>0和控制量u(t)， 使状态由x0转移到t1时刻x(t1 ) ＝0。充分性得证。
7
再证必要性：即系统能控那么Wc(0,t1)一定非奇异。
再证必要性，即已知系统能控，证明rankS=n。
同样采用反证法假设rankS<n,表明S的各行线性相关，那么一
定存在一个非零的向量α使
α T [B AB L An−1B] = 0,
α T Ai B = 0,i = 1,2,Ln −1
12
α T Ai B = 0, i = 1,2,Ln −1
根据凯莱－哈密尔顿定理 α T Ai B = 0, i = n, n +1,L
0
证明:充分性，已知Wc(0,t1)非奇异，证明系统完全能控。 因为Wc(0,t1)非奇异，那么Wc-1存在,因此对任意非零初始状态 x0，可构造控制u(t)为
u (t )
=
−BT
e−
AT
W t −1 c
(0,
t1 ) x0
,
t ∈[0, t1]
6
u (t )
=
−BT
e−
AT
W t −1 c
(0,
0
=0
∫ ∫ x0
= −e− At1
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
0
= − t1 e−Aτ Bu(τ )dτ 0
∫ x0
2
=
x0T x0
= [−
t1 0
e−
Aτ
Bu
(τ
)dτ
]T
x0
∫ =
−
t1 0
u
T
(τ
)
BT
e
−
ATτ
x0
dτ
=0
向量 x0 为零，与假设矛盾，必要性得证。
9
1、线性定常连续系统可控性的格拉姆矩阵判据
那么一定存在一个非零的向量α使 α T [λI − A
B] = 0
则可导出 α T (λI − A) = 0, α T B = 0
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α T B = 0, α T (λI − A) = 0
展开 α T B = 0
α T A = λαT
α T AB = λα T B = 0 α T A2B = λα T AB = 0
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
0
为奇异，即存在一个非零n维向量α使
∫ α TWc (0, t1)α =
t1 α T e− Aτ BB T e− ATταdτ
0
∫= t1 [α T e−Aτ B][α T e−Aτ B]T dτ = 0 0
α T e− Aτ B = 0, ∀t ∈[0, t1]
0
0
= α TWc (0, t1)α = 0
由于α ≠0，推得格拉姆矩阵 Wc (0, t1奇) 异。
与系统能控矛盾，所以假设不成立，rankS=n，必要性得证。 13
3、PBH秩判据 由Popov和Belevitch最先提出，由Hautus指出其广泛应用性 线性定常系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A的所有特征
线性定常连续系统{A，B} 状态完全能控的充要条件是：存在时
刻t1>0，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。对于
∫Δ
Wc (0, t1) =
t1 e− Aτ BB T e− ATτ dτ
0
对于初始时刻不为零的情况，格拉姆（Gram)矩阵为
∫ τ Δ
Wc (t0 , t1) =
e BB e d t1 − A(τ −t0 )
t1
)
x0
,
t ∈[0, t1]
∫ x(t1) = e At1 x0 +
t1 e A(t1−τ ) Bu (τ )dτ
0
∫ = e At1 x0 − e At1
t1 0
e
−
Aτ
BB
T
e
−
ATτ
Wc−1
(0,
t1
)
x0
dτ
∫ = e At1 x0 − e At1
t1 0
e− Aτ
BB T
e− ATτ
dτ
0 0
0 0
−1 0
0 2
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
x
+
⎢⎢0 ⎢0
0 0
04⎥⎥⎥u
⎢
⎥⎢
⎥
⎢ 0 0 0 0 0 2 0 0⎥ ⎢1 2 0⎥
⎢ ⎢
0
0
0
0 0 0 2 0⎥⎥
⎢⎢0 3 3⎥⎥
⎢⎣ 0 0 0 0 0 0 0 5⎥⎦ ⎣⎢3 0 0⎥⎦
解：此为8阶系统，n＝8
19
S=
⎡0 0 0 1 0 0 −2 0 0 3 0 0 −4 0 0 5 0 0 −6 0 0 7 0 0 ⎤
第三章 线性系统的 能控性和能观测性
1
3.1 线性连续系统的能控性 线性连续系统的能控性概念 线性连续系统的能控性判据 线性连续系统的能控性指数
2
3.1.1 线性连续系统能控性的概念
1、状态能控
x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)
对于系统{A(t)，B(t)} 及某一个特定的初始状态xi(t0)。若 对每一个tf＞t0，总有定义在时间域[t0，tf]上的控制函数u(·)，能 把系统{A(t)，B(t)}从初始状态xi (t0)，转移到状态xi (tf)=0，则 称该系统的这一特定状态xi (t0)在t0时刻是能控的。 若xi (t0)对所有初始时刻都是能控的，则称xi (t)为一致能控的。
α T An−1B = 0
写成矩阵形式
ห้องสมุดไป่ตู้
α T [B AB L An−1B] = 0,
由于α ≠0，
rank[B AB L An−1B] < n
与系统能控矛盾，所以假设不成立，rank[λI-A,B]=n，必要性得证。
对于等价式，由于[sI-A,B]为多项式矩阵，对复数域上除λi外所有的 det(sI-A)都不为零，则有
α T B = 0 λα T = α T A
证明类似，省略。 这个判据主要用于理论分析。
18
例： 判断系统的状态能控性
⎡−1 1 0 0 0 0 0 0⎤ ⎡0 0 0⎤
⎢ ⎢
0
−1
0
0 0 0 0 0⎥⎥
⎢⎢1 0 0⎥⎥
⎢ 0 0 −1 0 0 0 0 0⎥ ⎢0 2 0⎥
x&
=
⎢ ⎢ ⎢
0 0
,τ
)dτ
10
2、线性定常连续系统能控性的秩判据
线性定常连续系统{A，B} 状态完全能控的充要条件是：
能控性判别阵S行满秩，其中
为能控性判别阵。S = [BM ABM A2BMLM An−1B]
证明:充分性：已知S满秩，证系统能控。
用反证法，假设rankS=n，而系统不能控，那么根据格拉姆矩
阵判据可知
⎣⎢ 0 0 − 5 − 5 − 2 0⎥⎦
rank[λ1I − A, B] = 4
rank[λ3I − A, B] = 4
rank[λ4I − A, B] = 4 系统能控 17
4、PBH特征向量判据 线性定常系统为完全能控的充要条件是A不能有与B的
所有列相正交的非零左特征向量。即对A的任一特征值λi，使 同时满足下两式的特征向量一定为零
⎢⎢1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0 1 0 0 −1 0 0
1
00
−1
0
0
⎥ ⎥
⎢0 2 0 0 −2 0 0 2 0 0 −2 0 0 2 0 0 − 2 0 0 2 0 0 −2 0 ⎥
⎢⎢0 0 4 0 0 − 4 0 0 4 0 0 − 4 0 0 4 0 0 − 4 0 0 4 0 0 − 4⎥⎥
3
2、系统状态完全能控 如果系统的每一个状态xi (t0)(i=1~n)都能控，则称该系
统为状态完全可控，简称状态能控。 物理意义是： 不论初始状态在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始状态 转移到原点位置。 相关概念——能达性：初始状态在原点位置，可以通过控制 函数u(t)，可以将初始状态转移到状态空间中任意指定位置。
16
⎡λ −1 0 0 0 1⎤
[λI − A,
B]
=
⎢⎢0 ⎢0
λ
0
1
λ
01 −1 0
0⎥⎥ 1⎥
λ1 = λ2 = 0
⎣⎢0 0 − 5 λ − 2 0⎥⎦
⎡0 −1 0 0 0 1⎤
[λI − A, B] = ⎢⎢0 0
⎢0 0
1 0 1 0⎥⎥ 0 −1 0 1⎥
⎣⎢0 0 − 5 0 − 2 0⎥⎦
4
3、线性连续系统的输出能控性
x&(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)
系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)})及某一个特定的初始输出y(t0)。 若对每一个tf＞t0，总存在定义在时间域[t0，tf]上的控制函数 u(·)，能把系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}从初始输出y(t0)，转 移到任意输出y(tf)，则称该系统{A(t)，B(t)，C(t)，D(t)}为输 出完全能控的。 物理意义是： 不论初始输出在何处，通过控制函数u(t)，可以将初始输出 转移到指定位置。 这个问题实际上是系统设计的基本问题。
T − AT (τ −t0 )
t0
实际上，对于线性时变系统也存在类似的能控性判据
线性时变连续系统{A(t)，B (t)} 状态完全能控的充要条件是：存
在时刻t1> t0 ，使如下定义的格拉姆（Gram)矩阵为非奇异。
∫Δ
Wc (t0 , t1) =
t1 t0
Φ(t0
,τ
)
B(t
)
BT
(t
)Φ
T
(t
0