合肥工业大学2012-2013《高等数学》A(1)试卷B(答案)

2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植

2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植

2012～2013 学年第 一 学期 课程代码 课程名称 高等数学A(1) 学分 课程性质:必修;、选修 、限修 考试形式:开卷 、闭卷;

专业班级（教学班） 考试日期 2012.11.20 命题教师 高等数学课程组 系（所或教研室） 主任审批签名 刘植

五、（12分）设()f x 在上具有二阶导数，且，， [,]a b ()()0f a f b ==()()0f a f b +

−′′>证明：（1）存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=；

（2）存在(,)a b η∈，使()0f η′′=.

证明：（1）不妨设：，，即 ()0f a +′>()0f b −′> 1()()()

()lim lim 0,x a

x a f x f a f x f a x a x a x a +

++→→−′==>⇒∃>−−使 1()0f x > 2()()()()lim lim 0,x b

x b f x f b f x f b x b x b x b

−

−

−→→−′==>⇒∃<−−使2()0f x < ()f x 在12[,]x x 上满足零点定理条件，故存在一点12(,)(,)x x a b ξ∈⊂，使()0f ξ=

（2）()f x 在区间[],a ξ上满足Rolle 中值定理条件，故存在一点1(,)a ξξ∈，使1()0f ξ′=，

()f x 在区间[],b ξ上满足Rolle 中值定理条件，故存在一点2(,)b ξξ∈，使2()0f ξ′=， ()f x ′在区间[]12,ξξ上满足Rolle 中值定理条件，故存在一点12(,)ηξξ∈，使()0f η′′=.