沪教版(五四制)八年级第二学期数学第21章代数方程 21.4二元二次方程及方程组练习
沪教版八年级下-第二十一章--《代数方程》全章复习与巩固知识讲解--讲义
《代数方程》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1．知道一元整式方程与高次方程的有关概念，知道一元整式方程的一般形式. 理解含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的概念，掌握它们的基本解法。
2．理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法,理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；学会判断双二次方程的根的个数。
3．会用“换元法”解特殊的分式方程（组）。
4．理解无理方程的概念，会识别无理方程，知道有理方程及代数方程的概念，领会无理方程“有理化”的化归思想. 会解简单的无理方程（方程中只含一个或两个关于未知数的二次根式）。
5．知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念。
6．掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组。
7．能熟练地列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.通过将实际生活中的问题抽象为方程模型，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值。
【知识网络】【要点梳理】要点一、整式方程1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程;2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n(n是正整数),这个方程叫做一元n次方程.3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。
要点诠释：一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.要点诠释：ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 注：①n5.解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，x=；当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.要点诠释：当常数项不是0时，规定它的次数为0.7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。
沪教版(上海)八年级数学第二学期课件：21.5二元二次方程和方程组(共11张)
问题1：
学校组织全体师生到学校放映厅看戏，如果每排只坐17名 学生，则有5名同学没有位置坐，如果每排坐23名学生，则 放映厅里空5排位置没有人坐，求去看戏的师生总人数和放 映厅的座位排数.
解：设看戏的师生总人数是x人，放映厅座位有y 排，依题意得
17 y 5 x
23 y 5 x
问题2：
本来学校放映厅原有座位500个，每排的座位数一样多， 现在放映厅管理人员为了让师生有更舒适的欣赏环境，对 放映厅进行了改造，每排减少了2个座位，并减少了5排， 剧场座位数相应的减少为师生总人数，问：剧场原有座位 的排数是多少？每排有多少个座位？
系数;dx、ey叫做这个方程的一次项,d、e分别叫做一次项系数;f叫做这 个方程的常数项. (2) 二元二次方程的解: 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值,叫做二元二 次方程的解.
2.(1) 二元二次方程组: 仅含有两个未知数,各方程是整式方程,并且含有未知数的项的最高
次数为2,这样的方程组叫做二元二次方程组. (2) 二元二次方程组的解: 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.
2 1
小结
1.(1) 二元二次方程: 仅含有两个未知数,且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,叫
做二元二次方程. 关于x,y的二元二次方程的一般情势是:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0(a、b、
c、d、e、f都是常数,且a、b、c中至少有一个不是零). 其中,ax2、bxy、cy2叫做这个方程的二次项,a、b、c分别叫做二次项
１．下列方程中，哪些是二元二次方程？是 二元二次方程的请指出它的二次项、一次项 和常数项.
(1)x2 y 1 (3) 1 2y2 x 0
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章的内容，本节内容是在学生学习了二元一次方程组的基础上进行的。
二元二次方程组是实际问题中常见的数学模型，对于学生来说，掌握二元二次方程组的知识，不仅可以帮助他们解决实际问题，还可以培养他们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二元一次方程组，对解方程组有一定的了解。
但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上都有很大的不同，所以学生可能需要一定的时间来适应和理解。
同时，学生对于解决实际问题的能力也各不相同，需要老师在教学中进行因材施教。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握二元二次方程组的定义，了解二元二次方程组的解法，能够运用二元二次方程组解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极面对困难，勇于挑战的精神。
四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，二元二次方程组的解法。
2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，以及如何运用二元二次方程组解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探索。
2.小组合作教学法：通过小组讨论，培养学生的团队协作能力，提高学生解决问题的能力。
3.案例教学法：通过分析具体案例，使学生更好地理解二元二次方程组的应用。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。
2.准备PPT，用于呈现和讲解二元二次方程组的相关知识。
3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）老师通过设置一个实际问题，引出二元二次方程组的概念。
例如，某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元，顾客购买商品A和B的数量分别为a和b，已知该商店一天的总销售额为1500元，请问顾客购买了这两种商品的数量分别是多少？2.呈现（10分钟）老师通过PPT呈现二元二次方程组的定义和解法，让学生了解二元二次方程组的形式和求解方法。
沪教版数学(上海)八年级第二21
（四）课堂练习
在小组讨论之后，我会安排一些课堂练习，让学生独立完成。这些练习将包括不同难度的题目，旨在巩固学生对二元二次方程的理解和应用能力。我会提供及时反馈，指出学生的错误，并指导他们如何改正。
1.通过实例引入二元二次方程，让学生在实际问题中感受其应用，培养学生的问题意识。
2.通过小组合作、讨论的方式，引导学生探索代入法、消元法的解题方法，培养学生的合作精神和创新意识。
3.引导学生运用所学的二元二次方程知识解决实际问题，提高学生将数学知识应用于实际生活的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，使学生乐于探究二元二次方程的解法，并主动将其应用于实际问题。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出二元二次方程模型，以及如何在实际问题中灵活运用解法求解。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，通过实际问题的引入，让学生感受二元二次方程的广泛应用，激发学生的学习兴趣。
（2）运用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法，自主发现二元二次方程的解法。
首先，我会让学生思考如何表示这个问题的数学模型。通过引导学生讨论，我们会得到两个变量：圆形花坛的半径和矩形花园的长宽。接着，我会指导学生如何建立方程来表示花园的边界条件，以及如何利用这些条件来求解最大的圆形花坛面积。
（二）讲授新知
在这一环节，我会正式引入二元二次方程的概念，并解释其一般形式。我会通过公式和图形的结合，让学生直观地理解二元二次方程的几何意义。接着，我会详细讲解代入法和消元法的步骤，并通过具体的例子来展示这两种方法的应用。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-21.5 二元二次方程和方程组 教案
21.5二元二次方程和方程组教学目标：1、理解并掌握二元二次方程和方程组的概念，并会判断哪些是二元二次方程或方程组.2、理解二元二次方程的解的概念，会判断一组解是否是二元二次方程（组）的解；反之，已知一个二元二次方程（组）的解能写出一个符合条件的二元二次方程（组）.3、体会古今中外数学的魅力、从中体会数学与生活的联系. 教学重、难点：重点：二元二次方程（组）的概念，类比的思想方法. 难点：二元二次方程（组）的形成过程与逆向思维. 教学过程： 一、 问题引入今天我们继续学习代数方程的相关内容.在中国古代著作《九章算术》中有专门的“方程”章，其中有很多关于方程的算题. 在古埃及纸草书和巴比伦泥版上也有关于方程问题的记载. 大家对这幅图并不陌生，在本章的开篇，它画出了古埃及纸草书、巴比伦泥版和《九章算术》的图案.它们是研究代数方程最重要的文献，记载了我们已经学过和将要学习的方程和方程组.19世纪上半叶以来，考古学家对巴比伦古国进行系统发掘，发现了约50万块泥版，其中，数学泥版约有 300 块，其上载有各种数学问题，我们一起来看其中的两个问题. 问题1、两正方形面积之和为1300，边长乘积为600，求边长. 问题2、两个正方形面积之和为4121，其中一个正方形边长较另一个正方形的边长小七分之一.求它们的边长.请同学们用列方程的方法解应用题，只需列方程不用求解. 解：设两个正方形的边长分别为x 、y ，则分别可以列出下列方程组：（1）⎩⎨⎧==+②①600130022xy y x （2）⎪⎩⎪⎨⎧==+④③x y y x 76412122二、 二元二次方程（组）的形成过程1、 二元二次方程的概念提问1：观察我们所列出的方程，其中④是我们学过的方程，它们是什么方程？ （是二元一次方程）提问2：方程①②③有什么特点？它们与方程④有什么区别？如果让你给它们下定义的话，叫什么最合适呢？那这两个方程组又叫什么呢？ 我们今天就是要学习二元二次方程和方程组. 提问3、请同学们归纳二元二次方程的概念. 二元二次方程：方程中仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程。
八年级数学下册21.5二元二次方程和方程组教学设计沪教版五四制
八年级数学下册21.5二元二次方程和方程组教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版八年级数学下册》21.5节主要讲述二元二次方程和方程组的概念、性质及其解法。
通过本节课的学习，学生能够理解二元二次方程和方程组在实际问题中的应用，掌握求解二元二次方程组的方法，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二元一次方程和方程组的相关知识，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生对二次项的理解和运用还不够熟练，对于如何将实际问题转化为二元二次方程组可能还存在一定的困难。
三. 教学目标1.知识与技能：理解二元二次方程和方程组的概念，掌握求解二元二次方程组的方法。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为二元二次方程组的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二元二次方程和方程组的概念、性质及其解法。
2.难点：如何将实际问题转化为二元二次方程组，以及求解过程中的计算和分析。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法和引导发现法进行教学。
通过设置问题情境，引导学生主动探究，合作交流，发现和总结二元二次方程和方程组的解法，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含二元二次方程和方程组概念、性质、解法及相关实例的PPT。
2.练习题：准备一定数量的练习题，用于巩固所学知识。
3.教学素材：收集一些实际问题，用于引导学生将问题转化为二元二次方程组。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个简单的实际问题引出二元二次方程和方程组的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）利用PPT展示二元二次方程和方程组的概念、性质，并通过实例进行分析，让学生理解二元二次方程组在实际问题中的应用。
3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些简单的二元二次方程组问题，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
数学八下第21章：代数方程-知识点
1数学八下第21章：代数方程-知识点1、解含字母系数的一元一次方程的一般步骤：①去分母，②去括号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为1。
2、解含字母系数的方程“ax=b ”时，需要分类讨论 ，分三种情况：①若a ≠0 ，则x=b/a ；②若a=0 ，b=0 ，则x 可以取一切实数 ；③若a=0 ，b ≠0 ，则x 无解 。
3、一元二次方程的一般解法有：① 开平方 法，② 因式分解 法（主要指提取公因式、平方差公式、完全平方公式和十字相乘），③ 配方 法，④ 公式 法。
（当△ ＞0 时，有 两个不相等 的实数根，x=a acb b 242-±- ；当△ ＝0 时，有两个相等 的实数根，x= a b2- ；△ ＜0 时， 无 实数根）。
4、解含字母系数的方程“ax 2+bx+c=0”时，如果已指明 是一元二次 方程或明确有两个 实数根，则必有a ≠0 。
如果没有说明 是几次方程，则应对 a 进行讨论：①若a =0 ，则转化为解方程bx+c=0；②若a ≠0，则继续讨论判别式△ 的符号。
★特别地，对于方程（b 2+2）x 2=1，因二次项系数b 2+2具有非负性 时，所以不需要对系数进行讨论。
5、二项方程：形如ax n +b=0 （a ≠0，b ≠0，n 是正整数）只含两项的一元n 次方程，其中一项含未知数，另一项是非零的常数项 。
解法：①变形为x n =a b -，②当n 是奇数时，x=n 1b ）（a - ；当n 是偶数时，如果ab ＜0，则x=±n 1b ）（a -，如果ab ＞0，则方程没有实数根 。
6、双二次方程：形如ax 4+bx 2+c=0（a ≠0），只含有偶数次项的一元四次方程。
解方程的思想是降次 ，通常采用换元 法或因式分解 法。
比如：x 4-3x 2-10=0。
①换元法：设 x ²=y ，则 y 2-3y-10=0 ，解出y 之后 回代 到x ²=y 即可解出x 。
专题21.4 二元二次方程方程(重点练)-2020-2021学年八年级数学下册课堂专练(沪教版)
第二十一章代数方程专题21.4 二元二次方程（重点练）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.方程x3＝x的解是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或﹣1【答案】D【分析】把方程的左边因式分解，结果有理数的乘法法则得到方程的解．【解答】解：x3＝x，x3﹣x＝0，x（x+1）（x﹣1）＝0，x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，故选：D．【知识点】高次方程2.下列说法中正确的是（）A．x4+1＝0是二项方程B．x2y﹣y＝2是二元二次方程C ．﹣＝1是分式方程D ．x2﹣1＝0是无理方程【答案】A【分析】根据整式方程、分式方程和无理方程的概念逐一判断即可得．【解答】解：A．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确；B．x2y﹣y＝2是二元三次方程，此选项错误；C ．﹣＝1是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；D ．x2﹣1＝0是一元二次方程，属于整式方程；故选：A．【知识点】高次方程、无理方程、分式方程的定义3.下列方程组中，属于二元二次方程组的是（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】根据整式方程与分式方程及无理方程逐一判断即可得．【解答】解：A．此方程组是二元二次方程组，符合题意；B．此方程组的第一个方程是分式方程，不符合题意；C．此方程组是二元一次方程组，不符合题意；D．此方程组第二个方程是无理方程，不符合题意；故选：A．【知识点】无理方程、高次方程4.方程组有唯一解，则m的值是（）A．B．C．D．以上答案都不对【答案】C【分析】先利用代入消元法消去y得到关于x的一元二次方程，然后根据判别式的意义得到关于m的一元二次方程，再解关于m的方程即可．【解答】解：，由②得y＝x+m③，把③代入①得x2+（x+m）2﹣1＝0，整理得2x2+2mx+m2﹣1＝0，△＝（2m）2﹣4•2•（m2﹣1）＝0，解得m＝±．故选：C．【知识点】高次方程5.已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0．则（）A．x0、y0均为偶数B．x0、y0均为奇数C．x0是偶数，y0是奇数D．x0是奇数，y0是偶数【答案】C【分析】运用n是奇数，m是偶数，分析方程的奇偶性，从而确定x0，y0的奇偶性．【解答】解：方程有整数解x0、y0，∴2018x0+3y02＝m，13x0+28y0＝m∵x0、y0为整数，∴2018x0为偶数，28y0为偶数，∵n是奇数，m是偶数，∴3y02是奇数，13x0为偶数，∴y0是奇数，x0为偶数，故选：C．【知识点】高次方程二、填空题（共5小题）6.方程x3﹣8x＝0的实根是﹣．，【分析】利用因式分解法可解方程．【解答】解：x3﹣8x＝0，x（x2﹣8）＝0，x＝0，x2﹣8＝0，x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2，故答案为：x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2．【知识点】高次方程7.可以根据方程x2﹣4xy﹣5y2＝0的特点把它化成两个二元一次方程，它们分别是﹣、．【答案】【第1空】x-5y=0【第2空】x+y=0【分析】利用因式分解法先把方程左边化成两个因式的积，再根据两式积为0，要么是第一式为0，要么是第二式为0，得出两个二元一次方程．【解答】解：∵x2﹣4xy﹣5y2＝0，∴（x﹣5y）（x+y）＝0，∴x﹣5y＝0或x+y＝0，故答案为：x﹣5y＝0；x+y＝0．【知识点】高次方程8.方程2x4＝32的根是．【答案】x=±2【分析】解2x4＝32得x2＝4或x2＝﹣4（舍），再解x2＝4可得．【解答】解：2x4＝32，x4＝16，x2＝4或x2＝﹣4（舍），∴x＝±2，故答案为：x＝±2．【知识点】高次方程9.把方程x2+4xy﹣12y2＝0化为两个二元一次方程是﹣．【答案】（x+6y）（x-2y）=0【分析】根据因式分解即可将原方程化为两个二元一次方程的乘积．【解答】解：∵x2+4xy﹣12y2＝（x+6y）（x﹣2y）∴原方程化为：（x+6y）（x﹣2y）＝0，故答案为：（x+6y）（x﹣2y）＝0，【知识点】高次方程10.“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．【答案】54100【分析】设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，根据从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，列出方程，进而求解即可．【解答】解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．【知识点】二元二次方程组三、解答题（共5小题）11.解方程组：．【分析】由①得：x＝y+2，代入②并整理得：y2﹣2y﹣3＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．【解答】解：，由①得：x＝y+2…③，把③代入②并整理得：y2﹣2y﹣3＝0，解这个方程得，y1＝3，y2＝﹣1，把y的值分别代入③，得x1＝5，x2＝1．∴原方程组的解为．【知识点】高次方程12.解方程组【分析】由方程②可得x+y＝0或x﹣2y＝0，据此可得两个关于x、y的方程组，再分别求解可得．【解答】解：由②得（x+y）（x﹣2y）＝0，则x+y＝0或x﹣2y＝0，所以方程组可变形为或，解得或．【知识点】高次方程13.某商家为了让手机销量更好，更能吸引大家来购买，商家实施一定程度的让利促销活动，手机的销量分别出现不同程度的增长，A品牌手机的销量每月都比上个月多卖100台，而B品牌的手机的销量每月均按照一个相同的百分数增长，十月份A品牌手机的销量比B品牌的手机销量少360台，十一月份两种手机的总销量比十月份的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%．（1）求B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多多少台？（2）求B品牌的手机十月份的销量是多少台？【分析】（1）利用B品牌手机销售的增加量＝两种手机销售的总增加量﹣A品牌手机销售的增加量（十一月份比十月份的增加量），即可求出结论；（2）设A品牌手机十月份销售量为x台，B品牌手机每月销量增长百分数为a，则B品牌手机十月份销售量为（x+360）台，根据“十一月份两种手机的总销量比十月份的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%”，即可得出关于x，a的二元二次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入（x+360）中即可求出结论．【解答】解：（1）200﹣100＝100（台）．答：B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多100台．（2）设A品牌手机十月份销售量为x台，B品牌手机每月销量增长百分数为a，则B品牌手机十月份销售量为（x+360）台，依题意，得：，解得：，∴x+360＝1000．答：B品牌的手机十月份的销量是1000台．【知识点】二元二次方程组14.苏科版九上数学p31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝﹣，x3＝；（2）用“转化”思想求方程＝x的解；（3）拓展：若实数x满足x2+＝2，求x+的值【答案】【第1空】-2【第2空】1【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）把无理方程化为整式方程x2﹣2x﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；（3）先表示得到（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，利用因式分解法得到x+＝4或x+＝﹣1，由于x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，从而得到x+的值为4．【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，x（x2+x﹣2）＝0，x（x+2）（x﹣1）＝0，x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；故答案为0，﹣2，1；（2）两边平方得2x+3＝x2，整理得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，经检验，x＝3为原方程的解；（3）x2+＝2，（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，（x+﹣4）（x++1）＝0，x+＝4或x+＝﹣1，x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，所以x+的值为4．【知识点】高次方程、无理方程、分式方程的解、换元法解分式方程15.阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【答案】②【分析】（1）先设t＝y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3＝0，运用因式分解法解得t1＝，t2＝﹣3，再把t＝和﹣3分别代入t＝y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．（2）根据阅读新知即可判断①②③．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1＝，t2＝﹣3．当t1＝时，y2＝，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1＝，y2﹣；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．【知识点】换元法解一元二次方程、根的判别式、解一元二次方程-因式分解法、一元二次方程的一般形式、高次方程。
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计
沪教版数学八年级下册21.4《二元二次方程组》教学设计一. 教材分析《二元二次方程组》是沪教版数学八年级下册第21章“方程与不等式”的第四节内容。
本节课的主要内容是让学生掌握二元二次方程组的定义、解法及应用。
通过学习，学生能理解二元二次方程组的概念，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在八年级上册已经学习了二元一次方程组的相关知识，对解方程组有一定的基础。
但二元二次方程组与二元一次方程组在形式和求解方法上有较大的区别，需要学生重新建立认知结构。
此外，学生需要进一步培养抽象思维能力、问题解决能力和合作交流能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：理解二元二次方程组的定义，掌握用代入法、消元法求解二元二次方程组的方法，并能够解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生抽象思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神。
四. 教学重难点1.重点：二元二次方程组的定义，代入法、消元法求解二元二次方程组。
2.难点：理解二元二次方程组的解法及应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：引导学生主动探究二元二次方程组的解法，培养学生的抽象思维能力。
3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决问题，提高学生的合作交流能力。
4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二元二次方程组的相关概念、解法及应用。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入二元二次方程组，激发学生学习兴趣。
如：某商店同时销售两种商品A和B，售价分别为每件100元和80元。
最新沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析试题(含详细解析)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、设直线y ＝kx +6与y ＝（k +1）x +6（k 是正整数）及x 轴围成的三角形面积为S k （k ＝1，2，3，…），则S 5的值等于（ ）A ．35B ．910C ．1D ．32、如图，已知函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是（ ）．A ．31x y =⎧⎨=-⎩B ．31x y =-⎧⎨=-⎩C ．31x y =-⎧⎨=⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩3、下面是四位同学解方程2111x x x+=--过程中去分母的一步，其中正确的是（ ）A ．21x x +=-B ．21x x -=-C ．21x x -=-D ．21x +=4、若关于x 的不等式组4213222()x x x x a +-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，且关于y 的分式方程1211y a y y y --+--＝﹣3的解为非负数，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ）A ．﹣6B ．0C ．4D ．125、直线y ＝kx ＋1与y ＝x ﹣1平行，则y ＝kx ＋1的图象经过的象限是（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限6、已知直线1l 交x 轴于点()3,0-，交y 轴于点()0,6，直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，将直线1l 向下平移8个单位得到直线3l ，则直线2l 与直线3l 的交点坐标为（ ）A ．()1,4--B ．()2,4--C ．()2,1--D ．()1,1--7、在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m ，那么它的下部应设计为多高?设它的下部设计高度为x m ，根据题意，列方程正确的是（ ）A ．()233x x =-B ．()233x x =-C ．23x =D ．23x x =-8、一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．求前一小时的行驶速度．设前一小时的行驶速度为x km/h ，则可列方程（ ）A ．180218013 1.5x x-=+ B ．180218013 1.5x x +=+ C ．180218013 1.5x x x --=+ D ．180218013 1.5x x x ++=+ 9、熊猫绿道，起于我市环山路玉堂街道，止于青城山镇，总长10千米.甲、乙两人从绿道起点出发，沿着绿道徒步.已知甲每小时徒步a 千米，乙每小时徒步b 千米()a b >，他们各自走完绿道所用的时间，乙比甲多半小时．则符合题意的方程是（ ）A ．101030b a -=B ．101030a b-= C ．101012b a -= D ．101012a b -= 10、下列方程是二项方程的是（ ）A ．0n ax b +=B ．2280x +=C ．40x x +=D ．220x =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、方程11212x x =+-的解是x =______． 2、如图，直线:AB y kx b =+与直线:CD y mx n =+交于点E (3，1)，则关于x ，y 的二元一次方程组y kx b y mx n=+⎧⎨=+⎩的解为___．3、几名同学准备参加“大美青海”旅游活动，包租一辆面包车从西宁前往青海湖．面包车的租价为240元，出发时又增加了4名同学比原来少分担了10元车费．设原有人数为x人，则可列方程___．4、代数式22231x xx---的值等于0，则x=________．5、一个分数的分子比分母少6，如果分子分母都加1，则这个分数的值等于14，则这个分数为________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、（1）解分式方程21233xx x-+=--（2）先化简，再求值（22444xx x--+－22x-）÷222x xx+-，然后选取一个你喜欢的数代入求值．2、列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？3、某次动车平均提速a km/h，用相同的时间，动车提速前行驶b/km，提速后比提速前多行驶100km，提速前动车的平均速度为多少？4、某商店第一次用600元购进一款中性笔若干支，第二次又用750元购进该救中性笔，但这次每支中性笔的进价比第一次多1元，所购进的中性笔数量与第一次相同．（1）求第一次购进的每支中性笔的进价是多少元？（2）若这两次购进的中性笔按同一价格进行销售，全部销售完毕后获利不低于450元，求每支中性笔的售价至少是多少元？5、为了做好防疫工作，保障员工安全健康，某企业用400元购进一批某种型号的口罩．由于质量较好，公司又用600元购进第二批同一型号的口罩，已知第二批口罩的数量是第一批的2倍，且每包便宜5元，问第一批口罩每包的价格是多少元？-参考答案-一、单选题1、A【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可分别求出直线y=5x+6、y=6x+6与两坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式即可求出结论．【详解】解：当x=0时，y=5×0+6=6，∴直线y=5x+6与y轴的交点A的坐标为（0，6）；当y=0时，5x+6=0，解得：x=65 -，∴直线y=5x+6与x轴的交点B的坐标为（65-，0），当x=0时，y=6×0+6=6，∴直线y=6x+6与y轴的交点C的坐标为（0，6）；当y=0时，6x+6=0，解得：x=-1，∴直线y=6x+6与x轴的交点D的坐标为（-1，0）．∴S5=12BD•OA=12×|-1-（65-）|×6=35，故选：A．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y =kx +b 是解题的关键．2、C【分析】由图可知：两个一次函数的交点坐标为(3,1)-；那么交点坐标同时满足两个函数的解析式，而所求的方程组正好是由两个函数的解析式所构成，因此两函数的交点坐标即为方程组的解．【详解】解：根据函数图可知，函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P 的坐标是(3,1)-，故y ax b y kx =+⎧⎨=⎩的解是31x y =-⎧⎨=⎩， 故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3、B【分析】去分母根据的是等式的性质2，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程．【详解】解：方程的两边同乘（x −1），得2−x ＝x −1．故选：B ．【点睛】本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的项．4、D【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有非负整数解，确定出a的值，求出积即可．【详解】解：不等式组整理得：822xx a≤⎧⎨≥+⎩，∵关于x的不等式组4213222()x xx x a+-⎧-≥⎪⎨⎪+≤-⎩有解，∴2a+2≤8，即a≤3，解分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3得y＝22a+，∵关于y的分式方程1211y a yy y--+--＝﹣3的解为非负数，∴22a+≥0，且22a+≠1，解得，a≥﹣2，且a≠0，∴﹣2≤a≤3，且a≠0，∵a为整数，∴a＝﹣2或﹣1或1或2或3，∴满足条件的所有整数a的值之积：（﹣2）×（﹣1）×1×2×3＝12．故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5、A【分析】根据两直线平行得到k ＝1，然后根据一次函数图象与系数的关系判断y ＝k x ＋1的图象经过的象限．【详解】解：∵直线y ＝kx ＋1与y ＝x −1平行，∴k ＝1，即直线y ＝kx ＋1的解析式为y ＝x ＋1，∴y ＝kx ＋1的图象经过第一、二、三象限．故选：A ．【点睛】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．同时考查了一次函数图象与系数的关系．6、A【分析】设直线1l 的解析式为()1110y k x b k =+≠ ，把点()3,0-，点()0,6代入，可得到直线1l 的解析式为26y x =+，从而得到直线3l 的解析式为22y x =- ，再由直线2l 与直线1l 关于x 轴对称，可得点()0,6关于x 轴对称的点为()0,6- ，然后设直线2l 的解析式为()2220y k x b k =+≠ ，可得直线2l 的解析式为26y x =--，最后将直线2l 与直线3l 的解析式联立，即可求解．【详解】解：设直线1l 的解析式为()1110y k x b k =+≠ ，把点()3,0-，点()0,6代入，得：111306k b b -+=⎧⎨=⎩ ，解得：1126k b =⎧⎨=⎩， ∴直线1l 的解析式为26y x =+，∵将直线1l 向下平移8个单位得到直线3l ，∴直线3l 的解析式为22y x =- ，∵点()0,6关于x 轴对称的点为()0,6- ，设直线2l 的解析式为()2220y k x b k =+≠ ，把点()0,6- ，点()3,0-代入，得：222306k b b -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：2226k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线2l 的解析式为26y x =--，将直线2l 与直线3l 的解析式联立，得：2622y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得：14x y =-⎧⎨=-⎩ ， ∴直线2l 与直线3l 的交点坐标为()1,4--．故选：A【点睛】本题主要考查了一次函数的平移，一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数的平移特征，一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．7、B【分析】设它的下部设计高度为x m，则上部为3x-米，根据题意列方程化简即可．【详解】解：设它的下部设计高度为x m，则上部为3x-米，根据题意可得：33x xx-=，化简可得()233x x=-故选B【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程．8、C【分析】根据原计划的时间=实际所用时间+提前的时间可以列出相应的分式方程．【详解】解：设前一小时的行驶速度为x km/h，由题意可得：18040180160 1.5xx x--=+，即180218013 1.5xx x--=+，故选：C．【点睛】本题主要是考查了列分式方程，熟练地根据题意找到等量关系，通过等量关系列出对应的分式方程，这是解题的关键．9、C【分析】根据各自走完绿道所用的时间，乙比甲多半小时乙可列方程．【详解】解：甲每小时徒步a 千米，乙每小时徒步b 千米()a b >，由乙比甲多半小时． 得：101012b a -=． 故选：C ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是理清甲乙两人各自走完绿道所用的时间，再根据时间差可得方程．解题时要注意单位统一．10、B【分析】根据二项方程的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A. 0n ax b +=，当a =0时，不是二项方程，不合题意；B. 2280x +=，是二项方程，符合题意；C. 40x x +=，不含常数项，不是二项方程，不合题意；D. 220x =，不含常数项，不是二项方程，不合题意．故选：B【点睛】本题考查了二项方程的定义，二项方程需满足以下条件：（1）整式方程；（2）方程共两项；（3）两项中一项含有未知数，另一项是常数项．二、填空题1、-3【分析】根据解分式方程的步骤去分母，解方程，检验解答即可．【详解】解：方程的两边同乘()()212x x +-，得：221x x -=+，解这个方程，得：3x =-，经检验，3x =-是原方程的解，∴原方程的解是3x =-．故答案为-3．【点睛】本题考查分式方程的解法，掌握分式方程的解题步骤是关键．2、31x y =⎧⎨=⎩【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．【详解】解：∵直线:AB y kx b =+与直线:CD y mx n =+交于点E (3，1)，∴关于x ，y 的二元一次方程组y kx b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解为31x y =⎧⎨=⎩； 故答案为：31x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．3、240240104x x -=+ 【分析】设原有人数为x 人，根据增加之后的人数为(4)x +人，根据增加人数之后每个同学比原来少分担了10元车费，列方程240240104x x -=+． 【详解】解：设原有人数为x 人，根据则增加之后的人数为(4)x +人， 由题意得，240240104x x -=+． 故答案为：240240104x x -=+． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．4、3【分析】根据题意建立分式方程，求解并检验即可．【详解】 解：由题意，222301x x x --=-， 左右同乘21x -，得：2230x x --=，()()310x x -+=，解得：3x =或1x =-，检验：当3x =时，210x -≠；当1x =-时，210x -=，则舍去；故答案为：3．【点睛】本题考查可化为一元二次方程的分式方程，理解题意，准确建立分式方程求解并检验是解题关键． 5、17【分析】设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据“分子分母都加1，则这个分数的值等于14，”可列出方程，解出即可．【详解】解：设这个分数的分子为x ，则分母为6x + ，根据题意得：11614x x +=++ ， 解得：1x = ，经检验：1x =是原方程的解，且符合题意， ∴这个分数为116167x x ==++ ． 故答案为：17．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．三、解答题1、（1）5x =；（2）12x +，当1x = 时，原式13= 【分析】（1）先把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解；（2）先将原式化简，再根据分式的分母不等于0，可得x 不能取 2，-2，0 ，再选合适的数代入，即可求解．【详解】解：（1）方程两边同乘以3x -，得：22(3)1x x -+-=．解得：5x =．检验：当5x =时，320x -=≠ ，所以5x =是原方程的解；（2）解：原式()()()()22222222x x x x x x x ⎡⎤+--=-⋅⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦=（22x x +-－22x -）·2(2)x x x -+ ＝2x x -·2(2)x x x -+ ＝12x + ， 根据题意得：()220,0,20x x x -≠≠+≠ ，所以x 不能取 2，-2，0 ，当1x = 时，原式11123==+ ． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握相关运算步骤是解题的关键．2、约为1.5吨【分析】设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨，根据“2021年比2020年增加20亩耕地”列出方程即可．【详解】解：设2020年所种粮食的亩产量约为x 吨，则2021年所种粮食的亩产量约为1.2x 吨 由题意，得15021620 1.2x x+=．解得 1.5x =． 经检验， 1.5x =是原分式方程的解，且符合实际．答：2020年该农户所种粮食的亩产量约为1.5吨．【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验．3、100ab km/h 【分析】设提速前动车的平均速度为x km/h ，由题意：某次动车平均提速a km/h ，用相同的时间，动车提速前行驶b /km ，提速后比提速前多行驶100km ，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设提速前动车的平均速度为x km/h ， 依题意列方程得：100b b x x a +=+， 解得：x ＝100ab ， 经检验，x ＝100ab 是原分式方程的解，且符合题意， 答：提速前动车的平均速度为100ab km/h ． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．4、（1）第一次每支铅笔的进价为4元；（2）每支售价至少是6元.【分析】（1）设第一次每支铅笔进价为x 元，则第二次每支铅笔的进价为x +1元，然后根据题意列出方程求解即可；（2）设售价为y 元，再根据（1）得到的第一次和第二次每支铅笔的进价，然后根据题意列出不等式求解即可.【详解】解：（1）设第一次每支铅笔进价为x 元，由题意得6007501x x =+， 解得：4x =，经检验4x =是原分式方程的解．答：第一次每支铅笔的进价为4元；（2）设售价为y 元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为5元， 由题意得：()()7506004545045y y ⨯-+-≥ 解得6y ≥.答：每支售价至少是6元.【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，读懂题意、根据题意列出分式方程和不等式成为解答本题的关键.5、20元【分析】根据题意设第一批口罩每包x 元，则第二批口罩每包（x ﹣5）元，由“第二批口罩的数量是第一批的2倍”，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设第一批口罩每包x元，则第二批口罩每包（x﹣5）元，根据题意得60040025x x=⨯-，解得x＝20，经检验，x＝20是分式方程的解，答：第一批口罩每包的价格是20元．【点睛】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，列出分式方程是解题的关键，注意分式方程要检验．。
上海教育版数学八下第二十一章《代数方程》word知识点汇总
第二十一章 代数方程21.1 一元整式方程1、 （a 是正整数），x 是未知数，a 是用字母表示的已知数。
于是，在项ax 中，字母a 是项的系数，我们把a 叫做字母系数，我们把a 叫做字母系数，这个方程是含字母系数的一元一次方程2、 如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程3、 如果经过整理的一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n （n 是正整数），那么这方程就叫做一元n 次方程；其中次数n 大于2的方程统称为一元高次方程，本章简称高次方程21.2 二项方程1、 如果一元n 次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程；一般形式为 0n ax b +=（ 0,0a b ≠≠，n 是正整数）2、 解一元n （n ＞2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根3、 对于二项方程 0n ax b +=（0,0a b ≠≠ ）（1）当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根（2）当n 为偶数时，如果ab ＜0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab ＞0，那么方程没有实数根21.3可化为一元二次方程的分式方程1、 解分式方程，可以通过方程两边同乘以方程中各分式的最简公分母，约去分母，转化为正式方程来解2、 注意将所得的根带入最简公分母中检验是否为增根（也可带入方程中）3、 换元法可将某些特殊的方程化繁为简，并且在解分式方程的过程中，避免了出现解高次方程的问题，起到降次的作用21.4无理方程1、 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2、 整式方程和分式方程统称为有理方程3、 有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程4、 解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解，解简单无理方程的一般步骤5、 注意无理方程的检验必须带入原方程中检验是否为增根21.5 二元二次方程和方程组1、 仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程2、 关于x 、y 的二元二次方程的一般形式是： 220ax bxy cy dx ey f +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不是零；当b 为零时，a 与d 以及c 与e 分别不全为零）3、 仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2。
沪教版(五四制)八年级下册 第二十一章 21.4二元二次方程组讲义(无答案)
二元二次方程组学生姓名授课日期教师姓名授课时长本讲主要是对二元二次方程组的解法进行讲解。
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法解法。
这部分内容在中考中一般不会以具体题型出现，更多是作为一种工具在进行使用，它是我们解决综合问题的基础，是学生运算能力的体现。
二元二次方程组的定义形如x2+y=2，x2+y2=0,3x2+2y2+1=0，4x2–4xy+y2+2x–y–12=0这些整式方程，每个方程都含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次都是2，像这样的含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次是2的整式方程，称为二元二次方程。
关于x、y的二元二次方程式的一般形式是ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0（a、b、c不全为零）其中ax2、bxy 、cy2叫做方程的二次项，dx、ey 叫做方程的一次项，f叫做常数项。
我们所研究的二元二次方程组一般由两个方程联立而成，其中一个是二元二次方程，另一个可能是二元二次方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程。
二元二次方程组中两个方程的公共解叫做这个二元二次方程组的解。
二元二次方程组的解法求解二元二次方程组的基本思想是消元或降次。
消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，因此，通过消元或降次可以将其转化为二元一次方程组或一元二次方程甚至一元一次方程，以便求解。
例如在解方程组x–2y–1=0 (1)时，注意到(1)可以转化为x=2y+1(3)，将(3)式代入(2)x 2–y 2–4x －y+1=0(2)即可消去(2)中的未知数x ，得到一个关于y 的一元二次方程。
我们把这种解方程组的方法叫代入消元法。
而在解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+)2(065)1(202222y xy x y x 时，显然无法直接使用代入法求解，但由于方程（2）可分解为(x –2y)(x –3y)=0即x –2y=0或x –3y=0，这样一来，原来的二元二次方程立即转化为两个二元一次方程，通过因式分解降低了方程的次数。
上海教育版数学八下21.4《二元二次方程组的解法》ppt课件
y1y2
x1 x2
x2 x1
2
若不存在，请说明理由。
已知关于x、y的方程组
x2
y2
2x
0
kx y k 0
求证：（1）不论k取何值时，方程组总有
两个不同的实数解。
（2）设方程组的两个不同的实数解为
x x1
y
y1
x
,
y
x2 y2
则 (x1 – x2)2+(y1 – y2)2是一个常数
解关于x、y的方程组
x 1 y
x y3
3
2
x
y
1 y
6
解关于x、y的方程组
xyx y 1 x2 y2 x2y2 17
• 学习永远是件快乐而有 趣的事！
• 多彩的图形及其变换的 魅力将把你引入一个奇 妙的境界！
轻轻的, 我走了, 正如我轻轻的来,
2a有两Βιβλιοθήκη 解？某汽车队要在规定天数内运完一批货物。如 果汽车减少6辆，则需要延长3天才能完成任 务；如果汽车增加4辆，则可以提前1天完成 任务。问：规定几天完成任务？
可化为二元二次方 程组的方程的解法
解关于x、y的方程组
(x2 3x)(x y) 40 x2 4x y 14
若存在，求出所有这样的n的值， 若不存在，请说明理由。
已知方程组(xx2yy)2 k2x02y10有两个不相等的实数解
(1)求k的取值范围；
(2)若
x y
x2 y2
,
x y
x 1 是方程组的两个不相等的实数解 y1
沪教版五四制 八年级数学下册 第二十一章 代数方程 单元精品教案合集(章节14课时合集)
一元整式方程
二项方程
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
可化为一元二次方程的分式方程
无理方程
无理方程
21.5二元二次方程和方程组
2002年国际数学家大会在北京召开.
2002
知识呈现：
图中,一个大正方形问题二
4、新课探索三（2）
左右两边的值相等2. 下列方程组中,哪些是二元二次方程组
二元二次方程组的解法
、思考：
想一想
想一想解二元一次方程组的基本思想是什么
“消元”、“降次”是解方程（组）的基本思想。
知识呈现：
根据解方程(方程组)“消元”、“降次”转化的基本思想
；…这种类型的二元二次方程组的基本思想和、新课探索四（2）
从方程组中消去
有一个解
二元二次方程组的解法
这两个方程组的解的全体就是原方程组的解、新课探索四
2. 解方程组
列方程（组）解应用题
列方程(组)解应用题
列方程(组)解应用题
列方程(组)解应用题。
沪教版(五四制)八年级第二学期数学第21章代数方程 214二元二次方程及方程组练习
二元二次方程及方程组【知识要点】1、二元二次方程：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．2、二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组． 3、解二元二次方程组的基本思想和方法： 解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
【典型例题】一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组例1-1、解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩例1-2、解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩ 二、由两个二元二次方程组成的方程组1．可因式分解型的方程组例2-2、解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩例2-2、解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩例2-3、解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩2．可消二次项型的方程组 例3、解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩【大展身手】 1．解下列方程组：(1) 26x y y x⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩2．解下列方程组：(1)32x y xy +=-⎧⎨=⎩(2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩(2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩(4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩4．解下列方程组：(1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩【能力提升训练】 1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩(2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩(2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩(2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组：(1) 2252x y xy ⎧+=⎨=-⎩(2) 22410x y x y +=⎧⎨+=⎩。
沪教版(上海)八年级数学第二学期-21.5 二元二次方程和方程组-教案设计
二元二次方程和方程组【教学目标】1．知道二元二次方程和二元二次方程组的概念，知道二元二次方程的一般形式，能识别二次项、一次项、常数项等；2．了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；3．经历二元二次方程（组）的概念以及二元二次方程（组）的解的概念的形成过程，发展观察归纳能力，体会类比的思想方法。
【教学重难点】1．二元二次方程（组）及其解的概念和辨别。
2．二元二次方程（组）的辨别。
【教学过程】一、情景引入。
问题1：如图，有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边分别是多少？预设生答：根据题意（设2个未知数），设较短的直角边的长为x，较长的直角边的长为y。
由图及勾股定理得：（3）将这两个方程组成方程组，解这个方程组，就可以求出两条直角边的长。
问题2：某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整。
已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多；现在每排减少了2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个。
问：剧场原有座位的排数是多少？每排有多少个座位？答：设剧场原有座位的排数为x排，每排座位数为y个，根据题意列出方程观察：在上述两个问题列出的方程中，方程（2）、（3）、（2）、（3）、（4）与方程（1）有什么异同？教师：方程（2）、（3）、（4）都是二元二次方程。
二、学习新课。
1．仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。
2．关于x、y的二元二次方程的一般形式是：（a．b．c．d．e、f都是常数，且a．b．c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a．b．c分别叫做二次项系数，dx，ey叫做这个方程的一次项，d．e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项。
反馈练习：1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项。
八年级数学下册 第21章 代数方程复习教案 沪教版五四
代数方程
练习
1、⎪⎩⎪⎨⎧=+=++0
06522y x y xy x 2、
答案 X=0 y=0 答案 x=2 y=1 或x=-2 y=-1 或x=
210 y=210或x=-210 y=-2
10
例4-1、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成。
乙队单独完成这项工程需要多少天？
甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元，若该工程计划在70天完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？ 答案：（1）设乙队单独完成需天
根据题意，得
解这个方程，得=90
经检验，=90是原方程的解 ∴乙队单独完成需90天
（2）设甲、乙合作完成需天，则有
解得
（天）
甲单独完成需付工程款为60×3.5=210（万元）
乙单独完成超过计划天数不符题意（若不写此行不扣分）． 甲、乙合作完成需付工程款为36（3.5+2）=198（万元） 答：在不超过计划天数的前提下，由甲、乙合作完成最省钱
例4-2、甲、乙两站相距30千米，根据火车运行时刻表，火车按规定的速度从甲站驶向乙站，当火车行驶到一半路程时，因故临时停车2分钟，然后把时速提高5千米，才能准时到达乙站，求火车规定的速度是多少千米/时？ 答案 设规定速度x 千米/小时
x 30=301+x 15+5
x 15+ X=45 或x=-50（舍）。
沪教版(上海)数学八年级第二学期-21章小结 代数方程复习课 教案
代数方程复习课教学目标:（1）进一步理解代数方程的概念；会用换元法、因式分解的方法解某些简单的高次方程。
掌握分式方程（组）和简单的无理方程的解法，知道“验根”是解分式方程（组）和无理方程的必要步骤及验根的基本方法。
掌握代入消元法、因式分解法解二元二次方程组。
（2）通过对本章的复习，经历整式方程从低次到高次以及从整式方程到分式方程、再到无理方程的扩展过程，探索并获得各类简单方程的解法，领会贯穿其中中化归的数学思想和消元、降次的数学方法。
教学重点重点是进一步复习巩固特殊的高次方程的解法和简单的分式方程、无理方程、二元二次方程组的解法。
教学难点:难点是对分式方程和无理方程有可能产生增根的理解。
教学过程:5.22351210.6161.11.2下列方程组是二元二次方程组的是（ ）A.x y x y x y B x y x y C x xy y x y D xy y x+=⎧⎨-=⎩⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩-=⎧⎨++=⎩⎧+=⎨=+⎩6.m m 1.1.1.如果关于x 的（-1）x=1无解，那么m 满足（ ）A.任意实数B mC mD >=≠221619.,242x x x x +-=--+分式方程原方程可化为整式方程为_____________ 223310.20,+1__________y x x x xy +-+==用换元法解分式方程设原方程可化为关于的整式方程为_____________11.3-2x-3,x =无理方程原方程可化为整式方程为_____________以集思广益，产生一些思想的碰撞；其次可以活跃课堂氛围．328.20,x x --=解方程x 本题可以采用____________法学生通过观察找错，并说明错误原因．展示平时作业中容易出现的问题，以轻松的形式找错，激发学生学习的兴趣，反思自己解题过程中的错误．三、课堂小结通过学习这节课，你有什么收获吗？1.代数方程的分类.2.代数方程概念及解法复习学生自谈收获学生整理思路，及时查漏补缺.四、思考提高21.(2)31xa x a x--=+解关于的方程22.yy=4290xa xx y-⎧⎨-+=⎩讨论关于，的二元二次的方程组解的情况应用知识思考作答展示学生答案拓展提高五、作业布置一课一练单元二十一板书：代数方程复习课后反思本节课的亮点在于利用类比思想对代数方程进行分类,利用化归思想对代数方程进行求解,通过学生实践,潜移默化地掌握数学思想的运用,遗憾的是纠错部分由于时间问题,没有让学生的思维进行充分碰撞,可能仅仅适合于部分学生.。
2022年最新精品解析沪教版(上海)八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析试题(含详解)
八年级数学第二学期第二十一章代数方程必考点解析考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、给出下列说法：①直线24y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是()1,2；②一次函数y kx b =+，若0k >，0b <，那么它的图象过第一、二、三象限；③函数6y x =-是一次函数，且y 随x 增大而减小；④已知一次函数的图象与直线1y x =-+平行，且过点()8,2，那么此一次函数的解析式为6y x =-+；⑤直线1y kx k =+-必经过点()1,1--．其中正确的有（ ）．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2、某生产厂家更新技术后，平均每天比更新技术前多生产3万件产品，现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同，设更新技术前每天生产产品x 万件，则可以列方程为（ ）A ．50403x x =+B ．40503x x =+C ．40503x x =-D ．50403x x=- 3、解分式方程8587142x x x x--=--时，去分母后得到的整式方程是（ ） A ．2（x －8）＋5x ＝16（x －7）B ．2（x －8）＋5x ＝8C ．2（x －8）－5x ＝16（x －7）D ．2（x －8）－5x ＝84、关于x 的方程1011m x x x -+=--有增根，则m 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．0 D ．-15、一双鞋子如卖150元，可赚50%，如卖120元可赚（ ）A ．20%B ．22%C ．25%D ．30% 6、若分式方程244x a x x =+--无解，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．07、关于x 的方程312a x x -=-的解为整数．且关于x 的不等式组312(2)413x x x a +≤-⎧⎪-⎨≤⎪⎩的解集为5x ≤-．则满足条件的所有整数a 值之和为（ ）A ．5B ．3C ．4D ．08、2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用43小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x 千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：60060041.23x x =+； ②佳佳：4600600+3 1.2x x=；③富富：60060041.23x x =-；④强强：60046003 1.2x x-=．其中，正确的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③9、设甲、乙、丙为三个连续的正偶数，已知甲的倒数与丙的倒数的2倍之和等于乙的倒数的3倍，设乙为x ，所列方程正确的是（ ）A ．12311x x x+=-+ B ．12322x x x +=+- C ．12322x x x +=-+ D ．12311x x x +=+- 10、2020年初，湖北武汉出现了“新型冠状病毒感染肺炎”疫情，面对突如其来的疫情，全国人民众志成城，携手抗疫．甲、乙两单位为“新冠疫情”分别捐款4800元、6000元，已知甲单位捐款人数比乙单位少50人，而甲单位人均捐款数比乙单位多1元，若设甲单位有x 人捐款，则所列方程是（ ）A ．48006000150x x =++ B ．48006000150x x =+- C ．48006000150x x =-+ D ．48006000150x x =-- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知直线//AB x 轴，且点A 的坐标是(1,1)-，则直线y x =与直线AB 的交点是_______．2、若直线2y x b =+经过直线2y x =-与4y x =-+的交点，则b 的值为____________．3、已知一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k 的值是 __．4、已知函数3y ax =-和y kx =的图象交于点()2,1P -，则关于x ，y 的二元一次方程组3y ax y kx =-⎧⎨=⎩的解是_______________；5、已知直线y =x +b 和y =ax +2交于点P (3，-1)，则关于x 的方程(a -1)x =b -2的解为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、列方程解应用题：“共和国勋章”获得者，“杂交水稻之父”袁隆平院士一生致力于提高水稻的产量，为解决人类温饱问题做出了巨大贡献．某农业基地现有A ，B 两块试验田，A 块种植普通水稻，B 块种植杂交水稻．已知杂交水稻的亩产量是普通水稻亩产量的1.8倍，A 块试验田种植面积比B 块试验田多5亩，两块试验田的总产量都是．．6750千克．求杂交水稻的亩产量是多少千克？2、解分式方程：224124x x x -=-+- 3、为积极创建全国文明城市，甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程．若由甲、乙两工程队合做20天可以完成；若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可以完成．求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？4、解分式方程：（1）231x x=+ （2）11222x x x -=--- 5、今年4月23日是第26个世界读书日．八（1）班举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园”主题活动．准备订购一批新的图书鲁迅文集（套）和四大名著（套）．（1）采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价的贵25元．花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买鲁迅文集（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？（2）若购买鲁迅文集和四大名著共10套（两类图书都要买），总费用不超过570元，问该班有哪几种购买方案？-参考答案-一、单选题1、B【分析】联立241y x y x =-+⎧⎨=+⎩，求出交点坐标即可判断①；根据一次函数图像与系数的关系即可判断②③；可设一次函数的解析式为y x b =-+，然后求出解析式即可判断④；根据一次函数解析式可化为()11y k x =+-，即可判断⑤．【详解】解：联立241y x y x =-+⎧⎨=+⎩， 解得12x y =⎧⎨=⎩，∴直线24y x =-+与直线1y x =+的交点坐标是()1,2，故①正确；∵一次函数y kx b =+，若0k >，0b <，∴它的图象过第一、三、四象限，故②错误；∵函数6y x =-是一次函数，且y 随x 增大而减小，∴③正确；∵一次函数的图象与直线1y x =-+平行，∴可设一次函数的解析式为y x b =-+，∵一次函数经过点()8,2，∴28b =-+，∴10b =，∴一次函数解析式为10y x =-+，故④错误；∵直线的解析式为1y kx k =+-，即()11y k x =+-∴直线1y kx k =+-必经过点()1,1--，故⑤正确；故选B ．【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，求一次函数图像，求两直线的交点等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．2、A【分析】更新技术前每天生产产品x 万件，可得更新技术后每天生产产品（x +3）万件．根据现在生产50万件产品与更新技术前生产40万件产品所需时间相同列出方程50403x x=+即可．【详解】解：∵更新技术前每天生产产品x万件，∴更新技术后每天生产产品（x+3）万件．依题意得50403x x=+．故选：A．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住等量关系列出方程是解题关键．3、A【详解】略4、A【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值【详解】解：两边都乘（x﹣1），得：m﹣1－x＝0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故选A．【点睛】考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5、A【分析】 根据“=利润利润率进价”求出进价，再代入120求出利润率即可． 【详解】设进价为x 元． 依题意，得15050%x x -=解得100x =∴卖120元可赚12010020%100-= 故选A ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据利润率公式列式是解决本题的关键．6、A【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，求出x 的值，代入整式方程即可求出a 的值．【详解】解：分式方程去分母得：2(4)x x a =-+，由分式方程有增根，得到40x -=，即4x =，把4x =代入整式方程得：42(44)a =⨯-+，解得：4a =，【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为0确定增根；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7、B【分析】（1）先解分式方程得62x a =+，由于解是整数，故可推出a 的值，解不等式，由于解集为5x ≤-，即可确定a 的可能值，相加即可得出答案．【详解】 解分式方程得：62x a =+， ∵x 为整数，2x ≠且0x ≠，∴a 可为8-，5-，4-，-3，1-，0，4，312(2)413x x x a +≤-⎧⎪⎨-≤⎪⎩①②， 由①得：5x ≤-，由②得：43x a ≤+，∵解集为5x ≤-，∴435a +≥-，解得：2a ≥-，∴整数a 可为1-，0，4，∴1043-++=．故选：B ．本题考查解分式方程和一元一次不等式组，掌握求解的步骤是解题的关键．8、C【分析】根据题意设大货车速度为x千米/小时，则面包车的速度为1.2x千米/小时，总路程均为600千米，由路程、速度、时间之间的关系及大货车到达四子王旗比面包车多用43小时，列出方程即可得．【详解】解：设大货车速度为x千米/小时，则面包车的速度为1.2x千米/小时，总路程均为600千米，根据题意可得：60060041.23x x-=，变形为：60046003 1.2x x-=，60060041.23x x=+，∴①④正确，故选：C．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，熟练运用路程、速度、时间之间的关系是解题关键．9、C【分析】因为甲、乙、丙为三个连续的正偶数，设乙为x，则甲为2x-，丙为2x+，然后根据已知甲的倒数与丙的倒数的2倍之和等于乙的倒数的3倍列出方程即可．【详解】解：∵甲、乙、丙为三个连续的正偶数，∴设乙为x，则甲为2x-，丙为2x+，根据题意得：12322x x x+=-+， 故选：C ．【点睛】 本题考查了分式方程的应用，读懂题意，找准等量关系是解决本题的关键．10、A【分析】设甲单位有x 人捐款，则乙单位有（x +50）人捐款．根据甲单位人均捐款数比乙单位多1元，列方程即可．【详解】解：设甲单位有x 人捐款，则乙单位有（x +50）人捐款． 依题意得：48006000150x x =++． 故选：A ．【点睛】本题考查列分式方程解应用题，掌握列分式方程解应用题的方法与步骤，抓住甲单位人均捐款数比乙单位多1元列方程是解题关键．二、填空题1、(1,1)【分析】由直线//AB x 轴，可得直线AB 上点的纵坐标相等，由点A 的坐标是(1,1)-，可得直线AB 上点的纵坐标均为1,点M 的纵坐标为1，可求1x y ==即可．【详解】解：∵直线//AB x 轴，∴直线AB 上点的纵坐标相等，∵点A 的坐标是(1,1)-，∴直线AB 上点的纵坐标均为1,∵直线y x =与直线AB 的交点，设交点为M ，∴点M 的纵坐标为1，∴1x y ==,∴点M 坐标为（1，1）．故答案为（1，1）．【点睛】本题考查平行x 轴直线上点的特征，与直线y x =上点的特征，掌握平行x 轴直线上点的特征，与直线y x =上点的特征，是解决两直线交点坐标的关键．2、-5【分析】先求出直线y =x -2与直线y =-x +4的交点坐标，再代入直线y =2x +b ，求出b 的值．【详解】解：解方程组24y x y x -⎧⎨-+⎩＝＝， 得31x y ⎧⎨⎩＝＝． ∴直线2y x =-与4y x =-+的交点为（3，1）把（3，1）代入y =2x +b ，得：1=2×3+b ，解得：b =-5．故答案为-5．本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．3、4±【分析】先求出直线与两坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【详解】解：当0x =时，044y k =⨯-=-，∴一次函数4y kx =-的图象与y 轴交于点(0,4)-；当0y =时，40kx -=，解得：4x k=， ∴一次函数4y kx =-的图象与x 轴交于点4(k ，0)．一次函数4y kx =-的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2， ∴14|4|||22k⨯-⨯=， 4k ∴=±，经检验，4k =±是原方程的解，且符合题意．故答案为：4±．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．4、21x y =⎧⎨=-⎩【分析】根据函数3y ax =-和y kx =的图象交于点P （2，-1）即可得．解：∵函数3y ax =-和y kx =的图象交于点P （2，-1），∴关于x ，y 的二元一次方程组3y ax y kx =-⎧⎨=⎩的解为21x y =⎧⎨=-⎩， 故答案为：21x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了图象法解二元一次方程组，解题的关键是掌握一次函数与二元一次方程组之间的关系．5、x =3【分析】利用函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解即可求解．【详解】解：解：∵直线y =x +b 和y =ax +2交于点P (3，-1)，∴当x =3时，3+b =3a +2，上述等式移项得到：3a-3=b-2，整理得到：3(a -1)=b -2，三、解答题1、杂交水稻的亩产量是1080千克．【分析】设普通水稻亩产量为x 千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x 千克，根据题意列出相应分式方程求解即可得．【详解】解：设普通水稻亩产量为x 千克，则杂交水稻的亩产量是1.8x 千克，根据题意，得 6750675051.8x x-=， 解这个方程，得600x =．经检验：600x =是方程的解，符合题意．1.8 1.86001080x =⨯=千克．答：杂交水稻的亩产量是1080千克．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意，列出相应方程是解题关键．2、x =4【分析】两边都乘以x 2-4化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】 解：224124x x x -=-+-， 两边都乘以x 2-4，得2(x -2)-4x =-(x 2-4)，x 2-2x -8=0，(x +2)(x -4)=0，x 1=-2，x 2=4，检验：当x =-2时，x 2-4=0，当x =4时，x 2-4≠0，∴x =4是原分式方程的根．【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．3、甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天【分析】设甲工程队单独完成此项工程需要x天，根据工作效率=总工作量÷完成时间和甲的工作量+乙的工作量=1列分式方程，然后解分式方程即可解答．【详解】解：设甲工程队单独完成此项工程需要x天，依题意，可得401110()1x20x+-=，解得：x＝60，.经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷（11-20x）＝30，答：甲工程队单独完成此项工程需要60天，乙工程队单独完成此项工程需要30天．【点睛】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．4、（1）3x=-；（2）分式方程无解【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）去分母得：2x＝3x+3，解得：x ＝﹣3，经检验x ＝﹣3是分式方程的解；（2）去分母得：1﹣x ＝﹣1﹣2x +4，移项合并得：x ＝2，经检验x ＝2是增根，分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程；注意去分母时，单独的一个数也要乘最简公分母；互为相反数的两个式子为分母，最简公分母应为其中的一个．5、（1）鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是50元、75元；（2）见解析【分析】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x 元，根据“花费1000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费1500元购买鲁迅文集（套）的数量相同”列方程求解；（2）设购买鲁迅文集a 套，根据“总费用不超过570元”列不等式求解．【详解】（1）设鲁迅文集（套）的单价为x 元，列方程得1000150025x x =+， 解得50x =，经检验50x =是方程的解且符合题意，∴25502575x +=+=，答：鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是50元、75元；（2）设购买鲁迅文集a 套，则()507510570a a +-≤，解得7.2a ≥，∵10a <且a 为正整数，∴8a =、9，答：该班有两种购买方案．见下表【点睛】。
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二元二次方程及方程组
【知识要点】
1、二元二次方程：含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．
2、二元二次方程组：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组
组成的方程组，叫做二元二次方程组．
3、解二元二次方程组的基本思想和方法： 解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和 “降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。
因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。
【典型例题】
一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组
例1-1、解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩
例1-2、解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩ 二、由两个二元二次方程组成的方程组
1．可因式分解型的方程组
例2-2、解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩例2-2、解方程组2212 (1)4 (2)
x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 例2-3、解方程组2226 (1)5 (2)
x y xy ⎧+=⎨=⎩
2．可消二次项型的方程组
例3、解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩
【大展身手】
1．解下列方程组：
(1) 26x y y x
⎧+=⎨=⎩
(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩ (3) 221
235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩ (4) 220
3210x y x xy -=⎧⎨+=⎩
2．解下列方程组：
(1)32x y xy +=-⎧⎨=⎩ (2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩
3．解下列方程组：
(1) 2(23)0
1x x y x -=⎧⎨=-⎩ (2) (343)(343)0325
x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩ (3) 22(2)()08
x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩ (4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ 4．解下列方程组： (1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ (2) 168
xy x xy x +=⎧⎨-=⎩ 【能力提升训练】
1．解下列方程组：
(1) 223
2320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩ (2) 22231
234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩
单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。
2．解下列方程组：
(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩ (2) 24221
x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：
(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ (2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩
4．解下列方程组：
单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。
(1) 2252
x y xy ⎧+=⎨=-⎩ (2) 224
10x y x y +=⎧⎨+=⎩
课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。
为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。
要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。
可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。
这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。
这些成语典故“贮藏”在学生脑
中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。
其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。