线面平行证明的常用方法(最新整理)

线面平行证明的常用方法 张磊

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.P ABCD -E PD 求证：平面.//PB AEC

如图⑵ 如图⑶方法二：构造平行四边形，找平行线

例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.

分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD

与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已

知平面平行的平面

例3、如图⑷，在四棱锥中，底面为菱形， 为的中点，O ABCD -ABCD M OA 为的中点，证明：直线N BC MN OCD

平平‖分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，点M ，N 分别在AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.

如图⑷ 如图⑸ 如图⑹

例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.

(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；

(2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC .

方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标

系（或找空间一组基底）及平面的法向量。

例6、如图⑹，在四棱锥中，底面为正方形，

S ABCD -ABCD 侧棱底面分别为的中点．证明平面SD ⊥ABCD E F ，，AB SC ，EF ∥SAD ；

分析：因为侧棱底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建SD ⊥立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明：如图，建立空间直角坐标系．

D xyz -设，则(00)(00)A a S b ，，，，，(0)(00)

B a a

C a ，，，，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，，，，，．02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭ ，，因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向量为=（0，1，0）

n 则：=002b EF n a ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭ A A ，，（0，1，0）因此 EF n

⊥ 所以平面．

EF ∥SAD

F