线面平行证明的常用方法(最新整理)
线线平行的证明方法
线线平行的证明方法
要证明两条直线平行，可以使用以下几种方法：
1. 利用线段的平行性质：如果两条线段存在平行的两边，则可以推断这两条线段平行，即如果有线段AB和线段CD，且AB//CD，则直线AB和CD平行。
2. 利用向量的平行性质：如果两个向量的方向相同或相反，则可以推断这两个向量平行。
因此，可以根据直线的向量方向，通过向量的运算来判断直线的平行性。
3. 利用平行线的特性：根据平行线的定义，如果两条直线上的任意一组对应角相等，则可以推断这两条直线平行。
因此，可以通过已知的角度来判断直线的平行性。
4. 利用三角形的相似性质：如果两个三角形的对应边成比例，则可以推断这两个三角形相似。
而在相似三角形中，对应边平行，因此可以利用这个性质判断直线的平行性。
5. 利用重心的性质：如果两个三角形的重心之间连接成的线段平行，则可以推断这两个三角形的底边平行。
而根据线段的平行性质，底边平行可以推导出直线的平行性。
这些方法可以根据具体的题目条件和图形特点灵活运用，以确定直线是否平行。
空间中的平行与垂直例题和知识点总结
空间中的平行与垂直例题和知识点总结在立体几何的学习中，空间中的平行与垂直关系是非常重要的内容。
理解和掌握这些关系，对于解决相关的几何问题具有关键作用。
下面我们通过一些例题来深入探讨，并对相关知识点进行总结。
一、平行关系（一）线线平行1、定义：如果两条直线在同一平面内没有公共点，则这两条直线平行。
2、判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。
例 1：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，E，F 分别是 AB，BC 的中点，求证：EF∥A₁C₁。
证明：连接 AC，因为 E，F 分别是 AB，BC 的中点，所以 EF∥AC。
又因为正方体中，AC∥A₁C₁，所以 EF∥A₁C₁。
（二）线面平行1、定义：如果一条直线与一个平面没有公共点，则称这条直线与这个平面平行。
2、判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
例 2：已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，M 是 PC 的中点，求证：PA∥平面 MBD。
证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 MO。
因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 O 是 AC 的中点。
又因为 M 是 PC 的中点，所以MO∥PA。
因为 MO⊂平面 MBD，PA⊄平面 MBD，所以 PA∥平面MBD。
（三）面面平行1、定义：如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。
2、判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
例 3：在正方体 ABCD A₁B₁C₁D₁中，求证：平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
证明：因为 A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，且 A₁B 和 A₁D 是平面A₁BD 内的两条相交直线，D₁C 和 B₁C 是平面 B₁D₁C 内的两条相交直线，所以平面 A₁BD∥平面 B₁D₁C。
二、垂直关系（一）线线垂直1、定义：如果两条直线所成的角为 90°，则这两条直线垂直。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法线面平行是几何学中一个重要的概念，它在解决各种几何问题中起着重要的作用。
在实际问题中，我们经常需要证明两条直线或两个平面是否平行，因此了解证明线面平行的方法是非常重要的。
本文将介绍几种常见的证明线面平行的方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，我们来看一种常见的证明线面平行的方法——使用平行线性质。
根据平行线性质，如果两条直线被一条截线所截，那么同侧内角相等，则这两条直线是平行的。
这一性质在证明线面平行时也同样适用。
当我们需要证明两个平面平行时，可以先找到它们的交线，然后证明同侧内角相等，从而得出结论。
其次，我们可以利用垂直平分线的性质来证明线面平行。
垂直平分线是指一个线段或者一条直线被另一条直线垂直平分成两个相等的部分。
当两个平面被同一条直线垂直平分时，我们可以利用垂直平分线的性质来证明它们是平行的。
这种方法在实际问题中应用较为广泛，可以帮助我们快速准确地证明线面平行的关系。
另外，我们还可以使用平行四边形的性质来证明线面平行。
根据平行四边形的性质，对角线互相平分，那么它们所在的平面是平行的。
因此，当我们需要证明两个平面平行时，可以先构造一个平行四边形，然后证明对角线互相平分，从而得出结论。
最后，我们可以利用平行线的性质来证明线面平行。
平行线的性质是指如果两条直线被一条截线所截，同侧内角相等，则这两条直线是平行的。
这一性质同样适用于证明线面平行的问题。
当我们需要证明两个平面平行时，可以先找到它们的交线，然后证明同侧内角相等，从而得出结论。
综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体的问题选择合适的方法进行证明。
通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和运用线面平行的概念，从而解决各种几何问题。
希望本文介绍的方法能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法
要证明线面平行，可以采用以下方法：
1. 使用向量法：设直线L上一点为P，平面M上一点为Q，
其中从直线L的方向向量可以得到直线L的法向量nL，从平
面M的法向量可以得到平面M的法向量nM。
若nL与nM相
互垂直，则可以判断直线L与平面M是平行的。
2. 使用点法式：设直线L的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其
中(A,B,C)为直线方向向量，(x,y,z)为直线上任意一点的坐标。
设平面M的方程为Ax + By + Cz + D' = 0，其中(A,B,C)为平面的法向量，(x,y,z)为平面上任意一点的坐标。
如果直线L的法
向量与平面M的法向量平行，则直线L与平面M是平行的。
3. 使用斜率法：对于直线L，找出直线上两点的坐标(x1, y1,
z1)和(x2, y2, z2)，计算直线的斜率mL = (y2 - y1) / (x2 - x1)。
对于平面M，找出平面上两点的坐标(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，计算平面的斜率mM = (z2 - z1) / (y2 - y1)。
如果直线L和平面
M的斜率相等，则直线L与平面M是平行的。
以上三种方法可以用来证明直线与平面之间的平行关系，其实质上是通过分析向量或者坐标的关系来判断直线和平面是否平行。
线面垂直平行六种关系的证明方法
线面垂直平行六种关系的证明方法线面垂直平行六种关系的证明方法一、线线平行的证明方法：1、利用平行四边形。
2、利用三角形或梯形的中位线。
(分线段成比例的直线平行)3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。
（线面平行的性质定理）4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5、如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6、平行于同一条直线的两条直线平行。
（平行公理）7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）8. 两直线的方向向量共线（平行）二、线面平行的证明方法：1、定义法：直线与平面没有公共点。
2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
4、直线的方向向量与平面的法向量垂直，且线在面外。
5、直线的方向向量与平面内的两个不共线向量共面（线性表示）且线在面外。
三、面面平行的证明方法：1、定义法：两平面没有公共点。
2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3、平行于同一平面的两个平面平行。
4、经过平面外一点，有且只有一个平面和已知平面平行。
5、垂直于同一直线的两个平面平行。
6、两平面的法向量共线四、线线垂直的证明方法：1、勾股定理。
2、等腰三角形（三线合一）。
3、菱形对角线。
4、圆所对的圆周角是直角。
5、点在线上的射影。
6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。
7、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
（三垂线定理，需证明）8、在平面内的一条直线，如果和这个平面一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
（三垂线逆定理，需证明）9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也垂直于这条直线。
总结证明线面平行的常用方法
BC DA 1B 1C 1D 1图２AFE GαabA图1总结证明线面平行的常用方法空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：方法一、反证法【例1】求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）已知：,,a b a αα⊄⊂∥b ，如图1．求证：a ∥α．【分析】要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．【证明】假设直线a 与平面α不平行，又∵a α⊄，∴a A α=．下面只要说明aA α=不可能即可．∵a ∥b ，∴a ，b 可确定一平面，设为β． 又aA α=， ∴,A a A β∈∈．又b ,A αα⊂∈，∴平面α与平面β中含有相同的元素直线b ，以及不在直线b 上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面α与平面β重合． ∴a α⊂，这与已知a α⊄相矛盾． ∴a A α=不可能．故a ∥α．方法二、判定定理法【例2】正方体1AC 中，Ｅ、G 分别为BC 、11C D 的中点，求证：EG ∥平面11BDD B 【分析】要证明EG ∥平面11BDD B ，根据线面平行的判定定理，需在平面11BDD B 内找到一条与EG 平行的直线，充分借助Ｅ、G 为中点的条件．【证明】如图２，取BD 的中点为Ｆ，连结EF ，1D F ． ∵Ｅ为BC 的中点， ∴ EF ∥CD 且12EF CD =又∵G 为11C D 的中点， ∴ 1D G ∥CD 且112D G CD =∴ EF ∥1D G ，且1EF D G =B C DA 1B 1C 1D 1AＮＭE Ｆ图３故四边形1EFD G 为平行四边形．∴ 1D F ∥EG又1D F ⊂平面11BDD B ，且EG ⊄平面11BDD B ， ∴ EG ∥平面11BDD B 【评注】根据直线与平面平行的判定定理证明直线和平面平行的关键是在平面内找到 一条直线和已知直线平行，常用到中位线定理 、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.具体应用时,应根据题目条件而定.方法三、运用面面平行的性质定理【例3】在正方体1111ABCD A B C D -中，点N 在BD 上，点M 在1B C 上，且CM DN =，求证：MN ∥平面11AA BB ．【分析】若过MN 能作一个平面与平面11AA BB 平行，则由面面平行的性质定理，可得MN 与平面11AA BB 平行．【证明】如图3，作MP ∥1BB ，交BC 与点Ｐ，联结NP ． ∵ MP ∥1BB ，∴1CM CPMB PB=． ∵1BD B C =，DN CM =，∴1B M BN =， ∵1CM DN MB NB =，∴DN CPNB PB= ∴NP ∥CD ∥AB ， ∴面MNP ∥面11AA BB ． ∴MN ∥平面11AA BB【评注】本题借助于成比例线段，证明一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行，得到这两个平面平行，进而得到线面平行，很好地体现了线面、线线、面面平行关系之间的转化思想．。
谈谈证明线面平行问题常用的几种方法
证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。
证明线线平行的六种方法
证明线线平行的六种方法
线线平行是几何学中的基本概念之一，可以通过多种方法来证明线线平行，本文将介绍六种常用的证明方法。
方法一：同位角定理法
同位角定理指的是：如果两条直线被一条截线分成两对同位角相等的角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的同位角相等即可。
方法二：平行线性质法
如果一条直线与两条平行直线相交，那么它所对应的两个内角互为补角。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们的内角互为补角即可。
方法三：转折法
转折法是通过反证法来证明线线平行的方法。
假设两条直线不平行，那么它们一定会相交，那么在相交点处一定存在一对同位角不相等的角，这与同位角定理相矛盾，因此假设不成立，两条直线必须平行。
方法四：等夹角法
如果两条直线被一条截线分成一对相等的内角，则这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需证明它们被一条截线分成的内角相等即可。
方法五：延长线法
如果两条直线的一对相邻内角互为补角，那么这两条直线是平行的。
因此，要证明两条直线平行，只需找到这两条直线上的相邻内角，将它们延长成一条直线，然后证明这条直线与另一条直线是垂直的即可。
方法六：反向证明法
反向证明法是证明两条直线不平行的方法，只需证明这两条直线的内角不互为补角即可。
因为如果两条直线不平行，它们在相交处的内角一定不互为补角。
通过同位角定理法、平行线性质法、转折法、等夹角法、延长线法、反向证明法这六种方法，我们可以轻松地证明线线平行的问题。
对于几何学的学习来说，掌握这些方法是非常重要的。
线面平行证明“三板斧”
线面平行证明“三板斧”
要证明线和面平行，通常可以使用以下三个步骤，也被称为“三板斧”：
步骤一：假设线和面不平行，推导出矛盾的结论；
步骤二：利用步骤一的矛盾，说明原假设错误；
步骤三：根据步骤二的结果，得出结论，即线和面平行。
下面将通过一个具体的例子来证明。
例子：
已知平面π与直线l,m平行，线段AB和线段CD在直线l上，线段EF在直线m上，且线段AB不在平面π上。
步骤一：
假设线段AB与平面π不平行，则线段AB与平面π必有一交点E。
步骤二：
连接线段CD，并延长线段CD，假设CD与平面π交于一点F。
由于π与l平行，AB与CD在l上，且AB!=CD，所以线段EF于线段AB与线段CD上有一个相交的点F。
根据平行线截斜线的性质可得：
∠DFE=∠BFA（对应角相等）。
由于π与m平行，所以线段EF与平面π平行
但是根据平面与一线和这个平面都平行的另外一线上的角是等于的性质，∠DFE和∠ABE为平行线与母线的对应角，∠DFE!=∠ABE（对应角相等）。
从而与前面所述的假设产生矛盾。
步骤三：
因此，根据步骤二的分析，可以推出假设错误，即线段AB与平面π平行。
综上所述，根据“三板斧”证明方法，线段AB与平面π平行。
证明线线平行的方法-精品文档
E D
30
G
B
A
C
F
棱柱
1、特殊四棱柱及它们之间的关系
棱柱
底面是 四边形
四棱柱
平行六面体
侧棱与底 面垂直
底面是平 侧棱与底 行四边形 面垂直
直四棱柱
底面是 正方形
直平行六面体 底面是平
行四边形 底面是矩形
长方体
底面是正方形
正四棱柱
侧面是正方形
正方体
二、棱柱的性质
1. 侧棱都相等，侧面是平行四边形； 2. 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；
5、定义法—— 直线与平面内任一直线垂直
证明面面垂直的方法 （1）面面垂直的判定定理—— 一平面经过了另一平面的一条垂线
2、定义法—— 二面角为900
角
1、两异面直线所成角 方法：平移法——
π 0, 2
直接平移法、中位线平移法、补形平移法
步骤：作、证、求 作——作其中一异面直线的平行线 证——平行 并交待某角即为两异面直线所成角或补角
3. 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
三、长方体的性质
性质1、长方体的一条对角线长的平方等于 一个顶点上的三条棱的长的平方和。 性质2、长方体的一条对角线与一个顶点上 的三条棱所成的角分别为α、β、γ，
则有cos2α+cos2β+cos2γ=1 性质3、长方体的一条对角线与各个面所 成的角分别为为α、β、γ，
求——把角放到三角形中去解
2、线面角——主要指斜线与平面所成角 0 , π 2 1）作—— 先在直线上取斜足以外的一点作平面的垂线 后连垂足与斜足得射影 2）证——证直线与平面垂直，
并交待射影与某角是直线与平面所成角
线线平行的证明方法
其实，世上最温暖的语言，“ 不是我爱你，而是在一起。” 所以懂得才是最美的相遇！只有彼此以诚相待，彼此尊重， 相互包容，相互懂得，才能走的更远。 相遇是缘，相守是爱。缘是多么的妙不可言，而懂得又是多么的难能可贵。否则就会错过一时，错过一世！ 择一人深爱，陪一人到老。一路相扶相持，一路心手相牵，一路笑对风雨。在平凡的世界，不求爱的轰轰烈烈；不求誓 言多么美丽；唯愿简单的相处，真心地付出，平淡地相守，才不负最美的人生；不负善良的自己。 人海茫茫，不求人人都能刻骨铭心，但求对人对己问心无愧，无怨无悔足矣。大千世界，与万千人中遇见，只是相识的 开始，只有彼此真心付出，以心交心，以情换情，相知相惜，才能相伴美好的一生，一路同行。 然而，生活不仅是诗和远方，更要面对现实。如果曾经的拥有，不能天长地久，那么就要学会华丽地转身，学会忘记。 忘记该忘记的人，忘记该忘记的事儿，忘记苦乐年华的悲喜交集。 人有悲欢离合，月有阴晴圆缺。对于离开的人，不必折磨自己脆弱的生命，虚度了美好的朝夕；不必让心灵痛苦不堪， 弄丢了快乐的自己。擦汗眼泪，告诉自己，日子还得继续，谁都不是谁的唯一，相信最美的风景一直在路上。 人生，就是一场修行。你路过我，我忘记你；你有情，他无意。谁都希望在正确的时间遇见对的人，然而事与愿违时， 你越渴望的东西，也许越是无情无义地弃你而去。所以美好的愿望，就会像肥皂泡一样破灭，只能在错误的时间遇到错的人。 岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。 其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。 一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
证明线面平行的三种措施
探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。
证线面平行的常见方法
证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。
如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。
如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。
举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。
我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。
另一种证明线面平行的方法是使用投影。
这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。
如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。
如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。
相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。
当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。
根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。
假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。
因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。
垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。
如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。
这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。
举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。
这证明了平行线的存在。
向量是另一种证明线面平行的有用工具。
向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。
如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。
总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。
高中数学证明线面平行方法
高中数学证明线面平行方法一.线面平行判断方法(1)利用定义：证明直线与平面无公共点;(2)利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行;(3)利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
>>>二.证明线面平行的方法一，面外一条线与面内一条线平行，或两面有交线强调面外与面内版二，面外一直线上不同两点到面的权距离相等，强调面外三，证明线面无交点四，反证法(线与面相交，再推翻)五，空间向量法，证明线一平行向量与面内一向量(x1x2-y1y2=0)>>>三.高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)首先，在高中必考数学知识点归纳整理，集合的初步知识与其他知识点密切联系。
它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。
所以同学在集合与函数的概念一定要学扎实。
同学们应该知道，函数在高中是最重要的基本概念之一，老师运用有关的概念和函数的性质，培养学生的思维能力。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
立体几何这部分对高一同学是难点，因为需要同学立体意识较强。
在学习立体几何证明：垂直(多考查面面垂直)、平行在学习空间几何体、点、直线、平面之间的位置关系时，重点要帮助学生逐步形，逐步掌握解决立体几何的相关问题。
必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容。
在学习算法初步、统计等内容的时候，要注意顺序渐进，不可追求一步到位，特别要注意其思想的重要性。
必修四：1、基本初等函数(三角函数：图像、性质、高中重难点)这个是高考中占分最多的题目。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
浅谈线面平行的证明方法
ʏ田延兰直线与平面平行是立体几何中的重要内容,也是高考的常考点㊂下面介绍线面平行常见的五种证明方法,供大家学习与参考㊂方法一:利用几何体的性质例1 如图1,在长方体A B C D -A 'B 'C 'D '中,下列直线与平面A D 'C 平行的是( )㊂图1A .B 'C ' B .A 'B C .A 'B 'D .B B'因为A 'B ʊC D ',A 'B ⊄平面A D 'C ,C D '⊂平面A D 'C ,所以A 'B ʊ平面A D 'C ㊂应选B ㊂评析:长方体相对的面(长方形)互相平行,这两个相对的长方形中对应线段平行且相等㊂方法二:利用三角形的中位线例2 如图2,A B 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于A ,B 的点,P 为平面A B C 外一点,E ,F 分别是P A ,P C 的中点㊂记平面B E F 与平面A BC 的交线为l ㊂求证:直线l ʊ平面P A C ㊂图2证明:因为E ,F 分别是P A ,P C 的中点,所以E F ʊA C ㊂又E F ⊄平面A B C ,且A C ⊂平面A B C ,所以E F ʊ平面A B C ㊂而E F ⊂平面B E F ,且平面B E F ɘ平面A B C =l ,所以E F ʊl ㊂因为l ⊄平面P A C ,E F ⊂平面P A C ,所以l ʊ平面P A C ㊂评析:三角形的中位线平行于底边且等于底边长的一半㊂方法三:构造平行四边形例3 如图3,在斜三棱柱A B C -A 1B 1C 1中,C A =C B ,D ,E 分别是A B ,B 1C 的中点㊂图3求证:D E ʊ平面A C C 1A 1㊂证明:连接A 1C ,A C 1交于点O ,连接O E ,则O 是A 1C 的中点㊂因为E 是B 1C 的中点,所以O E ʊA 1B 1,O E =12A 1B 1㊂又A D ʊA 1B 1,且A D =12A 1B 1,所以O E ʊA D ,且O E =A D ,所以四边形A D E O 是平行四边形,所以A O ʊD E ㊂因为A O ⊂平面A C C 1A 1,D E ⊄平面A C C 1A 1,所以D E ʊ平面A C C 1A 1㊂评析:构造平行四边形A D E O 是解答本题的关键㊂方法四:利用三角形中成比例的线段相互平行例4 四棱锥P -A B C D 的底面A B C D 是梯形,A B ʊC D ,且A B =23C D ㊂试问在3知识结构与拓展高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.P C 上能否找到一点E ,使得B E ʊ平面P A D ㊂若能,请确定点E 的位置,并给出证明;若不能,请说明理由㊂如图4,在P C 上取点E ,使C E P E =12,则B E ʊ平面P A D ㊂图4证明如下㊂延长D A 和C B 交于点F ㊂在梯形A B C D 中,A B ʊC D ,A B =23C D ,所以A B C D =B F F C =23,所以B C B F =12㊂在әP F C 中,因为C E P E =12,所以C E P E =B CB F ,所以B E ʊP F ㊂而B E ⊄平面P A D ,P F ⊂平面P A D ,故B E ʊ平面P A D ㊂评析:在三角形A B C 中,若A D B D =A EC E ,则DE ʊB C ㊂方法五:利用平面与平面平行的性质例5 如图5,在正方体A B C D -A 1B 1C 1D 1中,侧面对角线A B 1,B C 1上分别有两点E ,F ,且B 1E =C 1F ㊂求证:E F ʊ平面A B C D ㊂图5证明:过E 作E G ʊA B 交B B 1于点G ,则B 1E B 1A =B 1GB 1B㊂因为B 1E =C 1F ,B 1A =C 1B ,所以C 1F C 1B =B 1GB 1B,所以F G ʊB 1C 1ʊB C ㊂易得E G ʊ平面A B C D ,FG ʊ平面A B C D ㊂因为E G ɘF G =G ,E G ,F G ⊂平面E F G ,所以平面E F G ʊ平面A B C D ㊂又因为E F ⊂平面E F G ,所以E F ʊ平面A B C D ㊂评析:线线平行,线面平行,面面平行是可以相互转化的,要特别注意线面平行关系的证明㊂1.如图6,四棱锥P -A B C D 中,M ,N 分别为A C ,P C 上的点,且MN ʊ平面P A D ,则( )㊂图6A .MN ʊP DB .MN ʊP AC .MN ʊAD D .以上均有可能提示:因为MN ʊ平面P A D ,平面P A Cɘ平面P A D =P A ,MN ⊂平面P A C ,所以MN ʊP A ㊂应选B ㊂2.现有下列说法:①若直线a 在平面α外,则a ʊα;②若直线a ʊb ,直线b ⊂α,则a ʊα;③若直线a ʊb ,b ⊂α,那么直线a 平行于平面α内的无数条直线㊂其中说法正确的个数为( )㊂A.0B .1C .2D .3提示:对于①,直线a 在平面α外包括两种情况,即a ʊα或a 与α相交,所以a 和α不一定平行㊂对于②,由直线a ʊb ,b ⊂α,只能说明a 和b 无公共点,但a 可能在平面α内,所以a 不一定平行于α㊂对于③,由a ʊb ,b ⊂α,可知a ⊂α或a ʊα,这时a 与平面α内的无数条直线平行㊂应选B ㊂作者单位:湖北省巴东县神农中小学(责任编辑 郭正华)4知识结构与拓展 高一数学 2023年4月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
证明线面平行的方法
证明线面平行的方法线面平行是几何中一个非常重要的概念，它在我们日常生活和工作中都有着广泛的应用。
在数学中，我们需要通过一定的方法来证明两条线或者两个平面是否平行。
接下来，我将介绍几种证明线面平行的方法，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
首先，我们来介绍通过角的性质来证明线面平行的方法。
在平行线和平行面的性质中，我们知道对应角相等是平行线的必要条件。
因此，如果我们需要证明两条线是平行的，可以通过观察它们所形成的角是否相等来进行判断。
同样地，对于平行面的情况，我们也可以通过观察它们所形成的角是否相等来进行证明。
其次，我们可以通过距离的性质来证明线面平行的方法。
在平行线和平行面的性质中，我们知道平行线之间的距离是相等的。
因此，如果我们需要证明两条线是平行的，可以通过测量它们之间的距离来进行判断。
同样地，对于平行面的情况，我们也可以通过测量它们之间的距离来进行证明。
除了以上两种方法，我们还可以通过平行线的定义来证明线面平行的方法。
在平行线的定义中，我们知道平行线是在同一个平面内，且不相交的两条直线。
因此，如果我们需要证明两条线是平行的，可以通过观察它们是否在同一个平面内，并且不相交来进行判断。
同样地，对于平行面的情况，我们也可以通过观察它们是否在同一个空间内，并且不相交来进行证明。
综上所述，我们可以通过角的性质、距离的性质和平行线的定义来证明线面平行的方法。
当然，在实际的数学问题中，我们可能需要结合多种方法来进行证明。
希望通过本文的介绍，大家能够对证明线面平行的方法有更清晰的认识，从而更好地应用于实际问题中。
感谢大家的阅读！以上就是本文的全部内容，希望对大家有所帮助。
如果还有其他疑问，欢迎大家留言讨论，我们一起来探讨数学中更多的问题。
谢谢！。
线面平行的证明
4. 面面平行模型：
a
例. 如图，FD垂直于矩形ABCD所在平面，CE//DF,2CE=FD． 求证：BE//平面ADF.
F
E G
D A
C B
证明:
∵ CE // DF , DF 平面ADF , CE 平面ADF ∴ CE // 平面ADF , ∵ 四边形ABCD为矩形 ∴ BC// AD ∵ AD 平面ADF , BC 平面ADF ∴ BC // 平面ADF ∵ BC CE C
F
4. 如图，在三棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC， AA1=AC=2，E、F分别为A1C1、BC的中点.
（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； （2）求证：C1F//平面ABE； （3）求三棱锥E-ABC的体积.
A1
E
C1
B1
A G
C F B
5. 如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，AD=2 ， BA=BD = ， PA=PD= , E、F分别2 是棱AD、PC5的中点.
F B
E C
10. 三棱柱 ABC-A1B1C1中，侧棱与底面垂直， ∠ABC=90° ， AB=BC=BB1=2，M、N分别是AB、AC1的中点． 求证：MN//平面BCC1B1；
A
M
B
C
N
A1
B1
C1
11.如图, 三棱柱ABC-A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC, 且各棱长均相等. D、 E、F分别为棱AB, BC, A1C1的中点. (Ⅰ) 证明：EF//平面A1CD； (Ⅱ) 证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1； (Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.
12. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面
线面平行证明常用方法
线面平行证明常用方法
首先，我们可以利用等角定理来证明线段与平面平行。
若两条线段在同一平面上，且与平面内的一条直线所夹角度相等，则可以推断这两条线段与平面平行。
其次，我们可以利用等边定理来证明线段与平面平行。
若线段的两个端点分别与平面内的两条线段的端点相连，且这四条线段的长度相等，则可以推断这条线段与平面平行。
另外，我们还可以利用相交定理来证明线段与平面平行。
若平面上有两条平行线段与这条线段相交，则可以推断这条线段与平面平行。
在证明面与平面平行时，常用的方法有平行线分割定理和斜率定理。
若平面内有两条平行线段分别与这个面相交，则可以推断这个面与平面平行。
除了以上常用方法，还有一些经典的证明线面平行的方法。
首先是利用线面垂直性质来证明线面平行。
若线段与面上的一条直线垂直，则可以推断这条线段与该面平行。
其次是利用线面距离的性质来证明线面平行。
若线段到面的距离为定值，则可以推断这条线段与该面平行。
此外，还可以利用向量法来证明线面平行。
若线段的向量与该面的法向量平行，则可以推断这条线段与该面平行。
最后，还有一些特殊情况下的线面平行证明方法，如平行投影法、相交判别法和三垂足定理等。
综上所述，线面平行证明的常用方法包括利用等角定理、等边定理、相交定理、平行线分割定理、斜率定理、线面垂直性质、线面距离性质、向量法、平行投影法、相交判别法和三垂足定理等。
在实际问题中，可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
证明线线平行的方法技巧
证明线线平行的方法技巧线线平行是一个数学难点，关于这个该怎么证明呢?证明的方法又是哪些呢?下面就是店铺给大家整理的证明线线平行的方法内容，希望大家喜欢。
证明线线平行的方法一内错角相等同位角相等同旁内角互补A平行B，B平行C，则A平行C平行四边形(那一类如菱形，矩形等)对边平行证明：如果a‖b,a‖c,那么b‖c 证明:假使b、c不平行则b、c交于一点O证明线线平行的方法二“两直线平行，同位角相等.”是公理，是无法证明的，书上给的也只是说明而已，并没有给出严格证明，而“两直线平行，内错角相等“则是由上面的公理推导出来的，利用了对等角相等做了一个替换，上面两位给出的都不是严格的证明。
一、怎样证明两直线平行证明两直线平行的常用定理(性质)有: 1.两直线平行的判定定理:①同位角相等,两直线平行;②内错角相等,两直线平行;③同旁内角互补,两直线平行;④平行(或垂直)于同一直线的两直线平行. 2、三角形或梯形的中位线定理. 3、如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 4、平行四边形的性质定理. 5、若一直线上有两点在另一直线的同旁 ).(A)艺l=匕3(B)/2=艺3(C)匕4二艺5(D)匕2+/4=18)分析:利用平行线判定定理可判断答案选 C \认六一值!小人﹃夕叱的一试勺洲洲川JL ZE一B \/(一、图月一飞 /匕\一|求且它们到该直线的距离相等,则两直线平行. 例1(2003年南通市)已知:如图l,下列条件中,不能判断直线l,//l:的是(B). 例2(2003年泉州市)如图2,△注Bc中,匕BAC 的平分线AD交BC于D,④O过点A,且和BC切于D,和AB、Ac分别交B于E、F,设EF交AD于C,连结DF. (l)求证:EF// Bc(1)根据定义。
证明两个平面没有公共点。
由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法张磊立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：方法一：中位线型：找平行线。
求证：PB//平面AEC . 分析： r如图⑴例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点•方法二：构造平行四边形，找平行线例2、如图⑵，平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证:AE// 平面DCF.分析：过点E作EG//AD交FC于G，DG就是平面AEGD 与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行，即:作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD为菱形，M为0A的中点，N为BC的中点，证明：直线MN ||平面OCD分析：：取0B中点E,连接ME , NE,只需证平面MEN l平面OCD。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形 ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于 AB ,点M , N 分别在AC 和 BF 上，且 AM=FN.求证：MN |平面BCE.如图⑷ 如图⑹A D如图⑸例5.如图⑸，已知三棱锥P —ABC, A', B C '是△ PBC, △ PCA, △ PAB的重心.(1)求证：A'B' //面ABC;(2)求£△ A ' B ' C ' : £△ ABC .方法五：(向量法)所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系 (或找空间一组基底)及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD，E，F分别为AB, SC的中点.证明EF //平面SAD;分析：因为侧棱SD丄底面ABCD，底面ABCD是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
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线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：
方法一：中位线型：找平行线。
例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点.P ABCD -E PD 求证：平面.//PB AEC
如图⑵ 如图⑶方法二：构造平行四边形，找平行线
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.
分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD
与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。
方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷，在四棱锥中，底面为菱形， 为的中点，O ABCD -ABCD M OA 为的中点，证明：直线N BC MN OCD
平平‖分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。
方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在的平面相交于AB ，点M ，N 分别在AC 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.
如图⑷ 如图⑸ 如图⑹
例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.
(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；
(2)求S △A ′B ′C ′： S △ABC .
方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标
系（或找空间一组基底）及平面的法向量。
例6、如图⑹，在四棱锥中，底面为正方形，
S ABCD -ABCD 侧棱底面分别为的中点．证明平面SD ⊥ABCD E F ，，AB SC ，EF ∥SAD ；
分析：因为侧棱底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建SD ⊥立空间直角坐标系及相应的点的坐标。
证明：如图，建立空间直角坐标系．
D xyz -设，则(00)(00)A a S b ，，，，，(0)(00)
B a a
C a ，，，，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，，，，．02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ ，，因为y 轴垂直与平面SAD ，故可设平面的法向量为=（0，1，0）
n 则：=002b EF n a ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ A A ，，（0，1，0）因此 EF n
⊥ 所以平面．
EF ∥SAD
F。